2021年高考数学一轮复习 13.1 导数的概念与运算教案

●网络体系总览

●考点目标定位

1.理解导数的定义，会求多项式函数的导数.

2.理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.

3.会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.

4.理解函数极大（小）值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大（小）值.

●复习方略指南

在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导.

课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.

从xx年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.

13.1 导数的概念与运算

●知识梳理

1.用定义求函数的导数的步骤.

（1）求函数的改变量Δy；

（2）求平均变化率.

（3）取极限，得导数（x0）=.

2.导数的几何意义和物理意义

几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线斜率.

物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处的瞬时速度.

3.求导公式

(c=0，(x n=n·x n－1（n∈N*）.

4.运算法则

如果f（x）、g（x）有导数，那么［f（x）±g（x）=（x）±g′（x），［c·f（x）=

c（x）.

●点击双基

1.若函数f（x）=2x2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx，1+Δy），则等于

A.4

B.4x

C.4+2Δx

D.4+2Δx2

解析：Δy=2（1+Δx）2－1－1=2Δx2+4Δx，=4+2Δx.

答案：C

2.对任意x，有（x）=4x3，f（1）=－1，则此函数为

A.f（x）=x4－2

B.f（x）=x4+2

C.f（x）=x3

D.f（x）=－x4

解析：筛选法.

答案：A

3.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为

A.6

B.18

C.54

D.81

解析：∵s′=6t2，∴s′|t=3=54.

答案：C

4.若抛物线y=x2－x+c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________.

解析：∵y′=2x－1，∴y′|x=－2=－5.

又P（－2，6+c），∴=－5.

∴c=4.

答案：4

5.设函数f（x）=（x－a）（x－b）（x－c）（a、b、c是两两不等的常数），则++=________.

解析：∵f（x）=x3－（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x－abc，

∴（x）=3x2－2（a+b+c）x+ab+bc+ca.

又（a）=（a－b）（a－c），同理（b）=（b－a）（b－c），

（c）=（c－a）（c－b）.

代入原式中得值为0.

答案：0

●典例剖析

【例1】（1）设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，］，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为

A.［0，］

B.［0，］

C.［0，||］

D.［0，||］

（2）（xx年全国，3）曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为

A.y=3x－4

B.y=－3x+2

C.y=－4x+3

D.y=4x－5

（3）（xx年重庆，15）已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是______.

（4）（xx年湖南，13）过点P（－1，2）且与曲线y=3x2－4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是______.

剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.

解析：（1）∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，］，

∴P到曲线y=f（x）对称轴x=－的距离d=x0－（－）=x0+.

又∵（x0）=2ax0+b∈［0，1］，

∴x0∈［，］.∴d=x0+∈［0，］.

（2）∵点（1，－1）在曲线上，y′=3x2－6x，

∴切线斜率为3×12－6×1=－3.

∴所求切线方程为y+1=－3（x－1）.

（3）∵P（2，4）在y=x3+上，

又y′=x2，∴斜率k=22=4.

∴所求直线方程为y－4=4（x－2），4x－y－4=0.

（4）y′=6x－4，∴切线斜率为6×1－4=2.

∴所求直线方程为y－2=2（x+1），即2x－y+4=0.

答案：（1）B （2）B （3）4x－y－4=0 （4）2x－y+4=0

评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用.

思考讨论

导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用?

答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.

【例2】曲线y=x3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?

剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.

解：曲线在点（3，27）处切线的方程为y=27x－54，此直线与x轴、y轴交点分别为（2，0）和（0，－54），

∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S=×2×54=54.

评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.

【例3】已知曲线C：y=x3－3x2+2x，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点（x0，y0）（x0≠0），求直线l的方程及切点坐标.

剖析：切点（x0，y0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.

解：∵直线过原点，则k=（x0≠1）.

由点（x0，y0）在曲线C上，则y0=x03－3x02+2x0，

∴=x02－3x0+2.

又y′=3x2－6x+2，

∴在（x0，y0）处曲线C的切线斜率应为k=（x0）=3x02－6x0+2.

∴x02－3x0+2=3x02－6x0+2.

整理得2x02－3x0=0.

解得x0=（∵x0≠0）.

这时，y0=－，k=－.

因此，直线l的方程为y=－x，切点坐标是（，－）.

评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识.

【例4】证明：过抛物线y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1

剖析：利用与x轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可.

解：y′=2ax－a（x1+x2），

y′|=a（x1－x2），即k A=a（x1－x2），y′|=a（x2－x1），即k B=a（x2－x1）.

设两条切线与x轴所成的锐角为、β，则tan=|k A|=|a（x1－x2）|，

tanβ=|k B|=|a（x2－x1）|，故tan=tanβ.

又、β是锐角，则=β.

评述：由tan=tanβ不能直接得=β，还必须有、β为锐角时（或在同一单调区间上时）才能得=β.

●闯关训练

夯实基础

1.函数f（x）=（x+1）（x2－x+1）的导数是

A.x2－x+1

B.（x+1）（2x－1）

C.3x2

D.3x2+1

解析：∵f（x）=x3+1，

∴（x）=3x2.

答案：C

2.曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为3x+y+3=0，则

A.（x0）>0

B.（x0）<0

C.（x0）=0

D.（x0）不存在

解析：由题知（x0）=－3.

答案：B

3.函数f（x）=ax3+3x2+2，若（－1）=4，则a的值等于________.

解析：（x）=3ax2+6x，从而使3a－6=4，∴a=.

答案：

4.曲线y=2x2+1在P（－1，3）处的切线方程是________________.

解析：点P（－1，3）在曲线上，k=（－1）=－4，y－3=－4（x+1），4x+y+1=0.

答案：4x+y+1=0

5.已知曲线y=x2－1与y=3－x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0.

解：在x=x0处曲线y=x2－1的切线斜率为2x0，曲线y=3－x3的切线斜率为－3x02.

∵2x0·（－3x02）=－1，∴x0=.

答案：

6.点P在曲线y=x3－x+上移动，设点P处切线的倾斜角为，求的范围.

解：∵tan=3x2－1，

∴tan∈［－1，+∞）.

当tan∈［0，+∞）时，∈［0，）；

当tan∈［－1，0）时，∈［，π）.

∴∈［0，）∪［，π）.

培养能力

7.曲线y=－x2+4x上有两点A（4，0）、B（2，4）.求：

（1）割线AB的斜率k AB及AB所在直线的方程；

（2）在曲线AB上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行?若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）k AB==－2，

∴y=－2（x－4）.

∴所求割线AB所在直线方程为2x+y－8=0.

（2）=－2x+4，－2x+4=－2，得x=3，y=－32+3×4=3.

∴C点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y－9=0.

8.有点难度哟！

若直线y=3x+1是曲线y=x3－a的一条切线，求实数a的值.

解：设切点为P（x0，y0），对y=x3－a求导数是

=3x2，∴3x02=3.∴x0=±1.

（1）当x=1时，

∵P（x0，y0）在y=3x+1上，

∴y=3×1+1=4，即P（1，4）.

又P（1，4）也在y=x3－a上，

∴4=13－a.∴a=－3.

（2）当x=－1时，

∵P（x0，y0）在y=3x+1上，

∴y=3×（－1）+1=－2，即P（－1，－2）.

又P（－1，－2）也在y=x3－a上，

∴－2=（－1）3－a.∴a=1.

综上可知，实数a的值为－3或1.

9.确定抛物线方程y=x2+bx+c中的常数b和c，使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切.

解：=2x+b，k=y′|x=2=4+b=2，

∴b=－2.

又当x=2时，y=22+（－2）×2+c=c，

代入y=2x，得c=4.

探究创新

10.有点难度哟！

曲线y=x3+3x2+6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程.

解：=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，

∴x=－1时，

切线最小斜率为3，此时，y=（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14.

∴切线方程为y+14=3（x+1），即3x－y－11=0.

●思悟小结

1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键.