2017年西藏高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅱ)(附答案解析)

2017年西藏高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 3+i

1+i

=()

A.1+2i

B.1?2i

C.2+i

D.2?i

2. 设集合A={1,2,4}，B={x|x2?4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=( )

A.{1,??3}

B.{1,?0}

C.{1,?3}

D.{1,?5}

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )

A.1盏

B.3盏

C.5盏

D.9盏

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()

A.90π

B.63π

C.42π

D.36π

5. 设x，y满足约束条件{2x+3y?3≤0，

2x?3y+3≥0，

y+3≥0，

则z=2x+y的最小值是( )

A. ?15

B.?9

C.1

D.9

6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )

A.12种

B.18种

C.24种

D.36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学基础知识竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的a=?1，则输出的S=()

A.2

B.3

C.4

D.5

9. 若双曲线C:x2

a2

?y2

b2

=1(a>0,?b>0)的一条渐近线被圆(x?2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率

为（）

A.2

B.√3

C.√2

D.2√3

3

10. （河南豫南九校一联）已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）

A.√3

2

B.√15

5

C.√10

5

D.√3

3

11. 若x=?2是函数f(x)=(x2+ax?1)e x?1的极值点，则f(x)的极小值为（）

A.?1

B.?2e ?3

C.5e ?3

D.1

12. 已知△ABC 是边长为2a(a >0)的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →

?(PB →

+PC →

)的最小值是( ) A. ?2a 2

B.?3

2a 2

C.?4

3a 2

D. ?a 2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

（2017·新课标全国Ⅱ卷理，13）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =________．

函数f(x)=sin 2x +√3cos x ?3

4（x ∈[0,?π

2]）的最大值是________．

等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10，则 ∑1

S

k

n k=1=________．

已知F 是抛物线C:y 2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN|=________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。

△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin (A +C)=8sin 2B

2．

(1)求cos B ；

(2)若a +c =6，△ABC 的面积为2，求b ．

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如图：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，估计A 的概率；

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

．

附：

K 2

=n(ad?bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

（2017课标Ⅱ，理19）如图，四棱锥P ?ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC

=1

2AD ，∠BAD =∠ABC =90°，E 是PD 的中点．

证明：直线CE?//?平面PAB ；

点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M ?AB ?D 的余弦值．

设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C:x 22

+y 2=1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →=√2NM →

．

(1)求点P 的轨迹方程；

(2)设点Q 在直线x =?3上，且OP →

?PQ →=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．

已知函数f(x)=ax2?ax?x ln x，且f(x)≥0．

(1)求a；

(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e?2

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ= 4．

（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

（Ⅱ）设点A的极坐标为(2,π

3

[选修4-5：不等式选讲]

已知a>0，b>0，a3+b3=2．证明：

(1)(a+b)(a5+b5)≥4；

(2)a+b≤2．

参考答案与试题解析

2017年西藏高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.

【答案】

D

【考点】

复数的运算

【解析】

分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．

【解答】

3+i 1+i =(3+i)(1?i)

(1+i)(1?i)

=4?2i

2

=2?i，

2.

【答案】

C

【考点】

一元二次不等式的解法

交集及其运算

【解析】

本题考查集合的运算．

【解答】

解：由题意1∈B，即x=1是方程x2?4x+m=0的根，

解得m=3，B={x|x2?4x+3=0}={1,3}，

经检验，C符合题意．

故选C．

3.

【答案】

B

【考点】

等比数列的前n项和

【解析】

设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．

【解答】

解：设这个塔顶层有a盏灯，

∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，

∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，

又总共有灯381盏，

∴381=a(1?27)

1?2=127a，解得a=3，

则这个塔顶层有3盏灯.

故选B．

4.

【答案】

B

【考点】

由三视图求体积（切割型）

【解析】

由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．

【解答】

解：由三视图可得，直观图为一个高为10的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，

V=π?32×10

?1

2

?π?32×6=63π.

故选B.

5.

【答案】

A

【考点】

求线性目标函数的最值

【解析】

本题考查简单的线性规划求最值问题．

【解答】

解：画出可行域如图中阴影部分所示，

可知可行域为以A(0,1)，B(?6,?3)，C(6,?3)

为顶点的△ABC围成的区域（包括边界），

可知当目标函数z=2x+y经过点B(?6,?3)时取得最小值，

最小值为?15．

故选A．

6.

【答案】

D

【考点】

排列、组合及简单计数问题 排列、组合的应用 计数原理的应用

【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：4=2+1+1.

由题意，在3名志愿者中，有两人各完成1项，一人完成2项， 先将4项工作分成三堆，共

C 42C 21C 1

1A 2

2种分组方法，

再把这三堆分配给3名志愿者，共A 33种分配方法， 由分步乘法计数原理，共C 42C 21C 1

1A 2

2?A 33=36种．

故选D ．

7.

【答案】 D

【考点】

进行简单的合情推理 【解析】 【解答】

解：依题意，由于甲看后还是不知道自己的成绩，说明乙、丙两人必是一个优秀、一个良好， 则甲、丁两人必是一个优秀、一个良好，

因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩，丁看了甲的成绩就清楚自己的成绩， 综合以上信息可知，乙、丁可以知道自己的成绩． 故选D ． 8.

【答案】 B

【考点】 程序框图 【解析】

执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，K 值，当k =7时，程序终止即可得到结论． 【解答】

解：执行程序框图，有S =0，K =1，a =?1，代入循环， 第一次满足循环，S =?1，a =1，K =2；

满足条件，第二次满足循环，S =1，a =?1，K =3； 满足条件，第三次满足循环，S =?2，a =1，K =4； 满足条件，第四次满足循环，S =2，a =?1，K =5； 满足条件，第五次满足循环，S =?3，a =1，K =6； 满足条件，第六次满足循环，S =3，a =?1，K =7； 7≤6不成立，退出循环，输出S =3.

故选B ．

9.

【答案】 A

【考点】

双曲线的离心率 点到直线的距离公式

【解析】

通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 【解答】 解：双曲线C:

x 2a 2

?

y 2b 2

=1(a >0,?b >0)的一条渐近线不妨为：bx +ay =0，

圆(x ?2)2+y 2=4的圆心(2,?0)，半径为2， 双曲线C:

x 2a

2?

y 2b 2

=1(a >0,?b >0)的一条渐近线被圆(x ?2)2+y 2=4所截得的弦长为2，

可得圆心到直线的距离为：√22?12=√3=√a 2+b 2

，

解得：

4c 2?4a 2

c 2

=3，可得e 2=4，即e =2．

故选A ．

10.

【答案】 C

【考点】

异面直线及其所成的角 【解析】 此题暂无解析 【解答】

取AB ，BB 1，B 1C 1的中点分别是D ，E ，F ，连接DE ，EF ，DF ，则DE//AB 1，EF//BC 1，在△ABC 中，由余弦定理可求得AC =√7，由勾股定理得DE =

√5

2

，EF =

√2

2

，取BC 的中点Q ，连接DQ ，FQ ，则△DQF 为直角

三角形，所以DF =√(√72)2

+1=√11

2，在△DEF 中，由余弦定理可得cos ∠DEF =

DE 2+EF 2?DF 2

2DE?EF

=?

√10

5

，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为√10

5

，故选C ．

异面直线所成角一般通过平移转化为两条相交直线所成的锐角或直角，再在三角形中利用余弦定理求解． 本题考查异面直线所成角． 11.

【答案】

A

【考点】

利用导数研究函数的极值

【解析】

求出函数的导数，利用极值点，求出a ，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可． 【解答】

解：函数f(x)=(x 2+ax ?1)e x?1，

可得f′(x)=(2x +a)e x?1+(x 2+ax ?1)e x?1， x =?2是函数f(x)=(x 2+ax ?1)e x?1的极值点， 可得：?4+a +(3?2a)=0． 解得a =?1．

可得f′(x)=(2x ?1)e x?1+(x 2?x ?1)e x?1，

=(x 2+x ?2)e x?1，函数的极值点为：x =?2，x =1， 当x 1时，f′(x)>0，函数是增函数， 当x ∈(?2,?1)时，f′(x)<0，函数是减函数，

x =1时，函数取得极小值：f(1)=(12?1?1)e 1?1=?1． 故选A ． 12. 【答案】 B

【考点】

平面向量数量积的性质及其运算律 二次函数的性质

向量加减混合运算及其几何意义

【解析】

根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【解答】

解：建立如图所示的坐标系，

以BC 中点为坐标原点，

则A(0,?√3a)，B(?a,?0)，C(a,?0)， 设P(x,?y)，则PA →

=(?x,?√3a ?y)， PB →

=(?a ?x,??y)， PC →=(a ?x,??y)， 则PA →

?(PB →

+PC →

)， =2x 2?2√3ay +2y 2 =2[x 2+(y ?

√3

2

a)2?3

4a 2],

∴ 当x =0，y =

√3

2

a 时，取得最小值2×(?34

a 2)=?3

2

a 2.

故选B .

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 【答案】 1.96

【考点】

离散型随机变量的期望与方差 【解析】 此题暂无解析 【解答】

随机变量X ～B(100,0.02)，D(X)=np(1?p)=1.96． 【答案】 1

【考点】

三角函数的最值

三角函数中的恒等变换应用

【解析】

同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出． 【解答】

解：f(x)=sin 2x +√3cos x ?3

4=1?cos 2x +√3cos x ?3

4， 令cos x =t 且t ∈[0,?1]， 则y =?t 2+√3t +1

4=?(t ?√32)2+1，

当t =

√3

2

时，f(t)max =1，

即f(x)的最大值为1.

故答案为：1. 【答案】

2n

n +1 【考点】 数列的求和

等差数列的前n 项和

【解析】 此题暂无解析 【解答】

设等差数列的首项为a 1，公差为d ，

由题意有{a 1+2d =34a 1+4×32d =10，解得{a 1=1

d =1，

数列的前n 项和S n =na 1+

n (n?1)2d =n ×1+

n (n?1)2

×1=

n (n+1)2

，

裂项可得1

S k

=2

k(k+1)=2(1k ?1

k+1)，

所以 ∑1

S

k

n k=1=2[(1?12)+(12+13)+...+(1n ?1n+1)]=2(1?1n+1)=2n

n+1．

【答案】 6

【考点】 抛物线的性质 【解析】

本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 【解答】

解：抛物线C:y 2＝8x 的焦点F(2,?0)，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点， 可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为：±2√2， |FN|=2|FM|=2√(1?2)2+(±2√2?0)2=6．

故答案为：6．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。 【答案】

解：(1)由题设及A +B +C =π得sin B =8sin 2B

2， 故sin B =4(1?cos B)．

上式两边平方，整理得17cos 2B ?32cos B +15=0， 解得cos B =1（舍去），cos B =1517

．

(2)由cos B =

15

17

得sin B =8

17， 故S △ABC =12ac sin B =4

17ac ． 又S △ABC =2，则ac =

172

．

由余弦定理及a +c =6得b 2=a 2+c 2?2ac cos B

=(a +c)2?2ac(1+cos B) =36?2×

172

×(1+

15

17

)=4． 所以b =2． 【考点】

二倍角的余弦公式 余弦定理 正弦定理

【解析】

本题考查倍角公式、解三角形． 【解答】

解：(1)由题设及A +B +C =π得sin B =8sin 2B

2， 故sin B =4(1?cos B)．

上式两边平方，整理得17cos 2B ?32cos B +15=0， 解得cos B =1（舍去），cos B =15

17． (2)由cos B =

1517

得sin B =

8

17

，

故S △ABC =12ac sin B =417

ac ． 又S △ABC =2，则ac =

172

．

由余弦定理及a +c =6得b 2=a 2+c 2?2ac cos B

=(a +c)2?2ac(1+cos B) =36?2×

172

×(1+

1517

)=4．

所以b =2．

【答案】 解：（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”， 由P(A)=P(BC)=P(B)P(C)，

则旧养殖法的箱产量低于50kg ：(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62， 故P(B)的估计值0.62，

新养殖法的箱产量不低于50kg ：(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66， 故P(C)的估计值为0.66，

则事件A 的概率估计值为P(A)=P(B)P(C)=0.62×0.66=0.4092； ∴ A 发生的概率为0.4092； (2)2×2列联表：

则K 2=

200(62×66?38×34)2100×100×96×104

≈15.705，

由15.705>6.635，

∴ 有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

(3)由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图的面积： (0.004+0.020+0.044)×5=0.34， 箱产量低于55kg 的直方图面积为：

(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5， 故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+

0.5?0.340.068

≈52.35(kg)，

新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35(kg)． 【考点】

用频率估计概率

相互独立事件的概率乘法公式

独立性检验

众数、中位数、平均数

【解析】

本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力． 【解答】 解：（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”， 由P(A)=P(BC)=P(B)P(C)，

则旧养殖法的箱产量低于50kg ：(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62， 故P(B)的估计值0.62，

新养殖法的箱产量不低于50kg ：(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66， 故P(C)的估计值为0.66，

则事件A 的概率估计值为P(A)=P(B)P(C)=0.62×0.66=0.4092； ∴ A 发生的概率为0.4092； (2)2×2列联表：

则K 2

=

200(62×66?38×34)2100×100×96×104

≈15.705，

由15.705>6.635，

∴ 有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；

(3)由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图的面积： (0.004+0.020+0.044)×5=0.34， 箱产量低于55kg 的直方图面积为：

(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5， 故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+

0.5?0.340.068

≈52.35(kg)，

新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35(kg)． 【答案】

取PA 的中点F ，连接EF ，BF ． 因为E 是PD 的中点， 所以EF//AD ，EF =1

2AD ， 由∠BAD =∠ABC =90°得BC//AD ， 又BC =1

2AD ， 所以EF =//BC ．

四边形BCEF 是平行四边形，CE//BF ． 又BF ?平面PAB ，CE ?平面PAB ，

故CE//平面PAB ． √10

5

【考点】

二面角的平面角及求法 直线与平面平行的判定 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略

由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →

的方向为x 轴正方向，|AB →

|为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系A ?xyz ，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1,√3)， PC →

=(1,0,?√3)，AB →

=(1,0,0)．

设M(x,y,z)(0

则BM →

=(x ?1,y,z)，PM →

=(x,y ?1,z ?√3)， 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n =(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos ?BM →

,n?|=sin 45°，

√(x?1)2+y 2+z 2

=

√22

， 即(x ?1)2+y 2?z 2=0．① 又M 在棱PC 上，设PM →

=λPC →

， 则x =λ，y =1，z =√3?√3λ．② 由①，②解得{ x =1+√2

2y =1(舍去)z =?√62，{

x =1?√2

2y =1z =√6

2．

所以M (1?

√22,1,√6

2

)，

从而AM →

=(1?

√22,1,√6

2

)． 设m =(x 0,y 0,z 0)是平面ABM 的法向量， 则{m ?AM →

=0，

m ?AB →

=0，

即{(2?√2)x 0+2y 0+√6z 0=0，x 0=0， 所以可取m =(0,?√6,2)． 于是cos ?m,n?=m?n

|m||n|=

√10

5

， 因此二面角M ?AB ?D 的余弦值为

√10

5

． 【答案】

(1)解：设P(x,y)，M(x 0,y 0)，则N(x 0,0)， NP →=(x ?x 0,y)，NM →

=(0,y 0)． 由NP →=√2NM →

得x 0=x ，y 0=√2

2

y ． 因为点M(x 0,y 0)在椭圆C 上， 所以

x 0

22

+y 02=1， 所以x 2

2+

y 22

=1．

因此点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2．

(2)证明：由题意知点F(?1,0)． 设点Q(?3,t)，点P(m,n)，

则OQ →

=(?3,t)，PF →

=(?1?m,?n)， OQ →

?PF →=3+3m ?tn ，

OP →

=(m,n)，PQ →

=(?3?m,t ?n)． 由OP →

?PQ →

=1得?3m ?m 2+tn ?n 2=1， 又由(1)知m 2+n 2=2，故3+3m ?tn =0． 所以OQ →

?PF →

=0，即OQ →

⊥PF →

．

又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，

所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过椭圆C 的左焦点F ． 【考点】 直线恒过定点 椭圆的标准方程

数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积 轨迹方程

【解析】

此题暂无解析 【解答】

(1)解：设P(x,y)，M(x 0,y 0)，则N(x 0,0)， NP →

=(x ?x 0,y)，NM →

=(0,y 0)． 由NP →

=√2NM →

得x 0=x ，y 0=

√2

2

y ． 因为点M(x 0,y 0)在椭圆C 上，

所以x 0

22+y 02

=1，

所以

x 22

+

y 22

=1．

因此点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2．

(2)证明：由题意知点F(?1,0)． 设点Q(?3,t)，点P(m,n)，

则OQ →

=(?3,t)，PF →

=(?1?m,?n)， OQ →

?PF →=3+3m ?tn ，

OP →

=(m,n)，PQ →

=(?3?m,t ?n)． 由OP →

?PQ →

=1得?3m ?m 2+tn ?n 2=1， 又由(1)知m 2+n 2=2，故3+3m ?tn =0． 所以OQ →

?PF →

=0，即OQ →

⊥PF →

．

又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，

所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过椭圆C 的左焦点F ． 【答案】

(1)解：因为f(x)=ax 2?ax ?x ln x =x(ax ?a ?ln x)(x >0)，

则f(x)≥0等价于?(x)=ax ?a ?ln x ≥0， 求导可知?′(x)=a ?1

x ，

则当a ≤0时?′(x)<0，即y =?(x)在(0,?+∞)上单调递减， 所以当x 0>1时，?(x 0)0. 因为当0

a 时?′(x)<0， 当x >1

a 时?′(x)>0，

所以?(x)min =?(1

a ).

又因为?(1)=a ?a ?ln 1=0， 所以1

a =1，

解得a =1.

(2)证明：由(1)可知f(x)=x 2?x ?x ln x ， f ′(x)=2x ?2?ln x ，

令f ′(x)=0，可得2x ?2?ln x =0， 记t(x)=2x ?2?ln x ，则t ′(x)=2?1

x ， 令t ′

(x)=0，解得x =1

2，

所以t(x)在区间(0,?1

2)上单调递减，在(1

2,?+∞)上单调递增， 所以t(x)min =t(1

2)=ln 2?1<0，

从而t(x)=0有解，即f ′(x)=0存在两根x 0，x 2， 且不妨设f ′(x)在(0,?x 0)上为正、在(x 0,?x 2)上为负、 在(x 2,?+∞)上为正，

所以f(x)必存在唯一极大值点x 0，且2x 0?2?ln x 0=0，

所以f(x 0)=x 02?x 0?x 0ln x 0=x 02?x 0+2x 0?2x 02=x 0?x 02

.

由x 0<1

2

可知f(x 0)<(x 0?x 02)max =?

122

+12

=1

4

；

由f ′(1e )

<0可知x 0<1e <1

2，

所以f(x)在(0,?x 0)上单调递增，在(x 0,?1

e )上单调递减， 所以f(x 0)>f(1

e )=1

e 2.

综上所述，f(x)存在唯一的极大值点x 0，且e ?2

利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】

（1）通过分析可知f(x)≥0等价于?(x)=ax ?a ?ln x ≥0，进而利用?′(x)=a ?1

x 可得?(x)min =?(1

a )，从而可得结论；

（2）通过（1）可知f(x)=x 2?x ?x ln x ，记t(x)=f′(x)=2x ?2?ln x ，解不等式可知t(x)min =t(1

2)=ln 2?1<0，从而可知f′(x)=0存在两根x 0，x 2，利用f(x)必存在唯一极大值点x 0及x 0<1

2可知f(x 0)<14，另一方面可知f(x 0)>f(1

e )=

1e 2

．

【解答】

(1)解：因为f(x)=ax 2?ax ?x ln x =x(ax ?a ?ln x)(x >0)，

则f(x)≥0等价于?(x)=ax ?a ?ln x ≥0， 求导可知?′(x)=a ?1

x ，

则当a ≤0时?′(x)<0，即y =?(x)在(0,?+∞)上单调递减， 所以当x 0>1时，?(x 0)0. 因为当0

a 时?′(x)<0， 当x >1

a 时?′(x)>0，

所以?(x)min =?(1

a ).

又因为?(1)=a ?a ?ln 1=0， 所以1

a =1，

解得a =1.

(2)证明：由(1)可知f(x)=x 2?x ?x ln x ， f ′(x)=2x ?2?ln x ，

令f ′(x)=0，可得2x ?2?ln x =0， 记t(x)=2x ?2?ln x ，则t ′(x)=2?1

x ， 令t ′(x)=0，解得x =1

2，

所以t(x)在区间(0,?12)上单调递减，在(1

2,?+∞)上单调递增， 所以t(x)min =t(1

2)=ln 2?1<0，

从而t(x)=0有解，即f ′(x)=0存在两根x 0，x 2， 且不妨设f ′(x)在(0,?x 0)上为正、在(x 0,?x 2)上为负、 在(x 2,?+∞)上为正，

所以f(x)必存在唯一极大值点x 0，且2x 0?2?ln x 0=0，

所以f(x 0)=x 02?x 0?x 0ln x 0=x 02?x 0+2x 0?2x 02=x 0?x 02

.

由x 0<1

2可知f(x 0)<(x 0?x 02)max =?1

22+1

2=1

4；

由f ′(1e )<0可知x 0<1e <1

2，

所以f(x)在(0,?x 0)上单调递增，在(x 0,?1

e )上单调递减， 所以f(x 0)>f(1

e )=1

e 2.

综上所述，f(x)存在唯一的极大值点x 0，且e ?2

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

【答案】

解：（Ⅰ）设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0)，

M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0)．

由题设知|OP|=ρ，|OM|=ρ1=4

cosθ

．

由|OM|?|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>0)．

因此C2的直角坐标方程为(x?2)2+y2=4(x≠0)．

（Ⅱ）设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0)．

由题设知|OA|=2，ρB=4cosα，

于是△OAB面积S=1

2

|OA|?ρB?sin∠AOB

=4cosα?|sin(α?π)|

=2|sin(2α?π

3)?√3

2

|≤2+√3．

当α=?π

12

时，S取得最大值2+√3．

所以△OAB面积的最大值为2+√3．

【考点】

圆的极坐标方程

【解析】

本题考查坐标系与参数方程．

【解答】

解：（Ⅰ）设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0)，

M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0)．

由题设知|OP|=ρ，|OM|=ρ1=4

cosθ

．

由|OM|?|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x?2)2+y2=4(x≠0)．（Ⅱ）设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0)．

由题设知|OA|=2，ρB=4cosα，

于是△OAB面积S=1

2

|OA|?ρB?sin∠AOB

=4cosα?|sin(α?π3 )|

=2|sin(2α?π

3)?√3

2

|≤2+√3．

当α=?π

12

时，S取得最大值2+√3．

所以△OAB面积的最大值为2+√3．

[选修4-5：不等式选讲]

【答案】

证明：(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2?2a3b3+ab(a4+b4)

=4+ab(a2?b2)2≥4．

(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

=2+3ab(a+b)

≤2+

3(a+b)2

4

(a+b)

=2+3(a+b)3

4

，

所以(a+b)3≤8，因此a+b≤2．

【考点】

不等式的证明

【解析】

本题考查不等式的证明．

【解答】

证明：(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2?2a3b3+ab(a4+b4)

=4+ab(a2?b2)2≥4．

(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

=2+3ab(a+b)

≤2+

3(a+b)2

4

(a+b)

=2+3(a+b)3

4

，

所以(a+b)3≤8，因此a+b≤2．