初中数学《整体思想的求值运用》公开课优质课PPT课件
初中数学思想方法的与应用 PPT课件 图文
教学体现
•二次函数求最值 •解直角三角形的相关问题 •最大利润问题 •最佳分配方案问题 •空间与图形的相关问题 •根据相关信息求函数关系式
应用
1、 如图，ABC中，BC＝4， A C23， A C B60
P为BC上一点，过点P作PD//AB，交AC于D。连结AP，问点P 在BC上何处时， ⊿APD 面积最大？
O
x
2t4
S41(4t)2 2
• (江苏连云港2019) 如图，在平面直角坐标系xOy 中的，一抛个物交线点为L1：A，过且点点C(A0的，横﹣坐3)，标与为抛2，物点线PL、2：Q分 别是抛物线L1、抛物线L2上的动点．
• （1）求抛物线L1对应的函数表达式； • （2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平
A
D
B
PH
C
２、某学校有一段25米长的旧围栏，（如图用AB表示），现打 算利用该围栏（或它的一部分）为一边，围成一块面积为100 ㎡的长方形草坪，如图，其中CD＜CF。已知整修旧围栏的费 用为每米1.75元，建造新围栏的价格为每米4.5元，设利用旧围 栏CF的长度为x米，修建草坪围栏的总费用为y元。 （1）求出y与x之间的函数关系式。 （2）若计划修建费用只有150元，则应利用旧围栏多少米？ （3）若计划修建费用只有120元，能否完成该草坪的围栏修建 任务？请说明理由。
教学体现
•|a |= ———— •实数的分类 •三角形的分类 •与圆有关的位置关系 •三角形判定方法的探索 •一元二次方程的解的情况 •二次函数中存在性问题
应用
1、等腰三角形的一个角等于30°，腰长为20cm， 求等腰三角形腰上的高的长；
2、已知直角三角形两边x、y的长满足
x24 y25y60 ，则第三边长为
初中数学北师大七年级上册第三章整式及其加减-利用整体思想求代数式的值PPT
要利用等式基本性质或者提公因数方式先变形，再 整体代入。
典例分析例4、已知代数式 a b 6的值
等于5，那么 1 a 1 b 1 22
1 2
解： a b 6 5 a b 1
1 a 1b 1 22 2
原式 1 1 1 22
小组交流，归纳方法：
当已知条件告诉一个代数式的值，但我们 无法具体求出代数式中每个字母的值时， 我们应该想到采用整体思想解决问题。
解： a2 bc 14, 3a2 3bc 42 b2 2bc 6 4b2 8bc 24
3a2 3bc 4b2 8bc 42 24 3a2 5bc 4b2 18
配凑法
拔高训练： 已知x2 x 1 0, 试求代数式 x3 x2 x - 2020的值。
-2020
一、等式性质法
二、提公因数法
实战演练
例5、当x 1时，ax3 bx 4的值为0，当x 1时，ax3 bx 4的值为
8
解： 当x 1时 ab40 a b 4
当x 1时
ab4
a b 4 4 4
8
例5、已知a2 bc 14,b2 2bc 6,则3a2 4b2 5bc 18
一、教学目标
• 1、了解整体思想。 • 2、利用整体思想求代数式的值 • 3、养成细心观察的品质。
典例分析
例1、如果a - b -1,那么a - b2 2a - b 3
将a - b看作整体
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例分析
例2、当代数式 a - b的值为 -1
时，代数式1 2a 4b的值为 ﹣1
2a 4b是a 2b的2倍
期末专题复习--利用整体思想求值+课件+-2024-2025学年人教版数学七年级上册+
D4
跟踪练习
2、若代数式4x2-2x+5的值为7,那么代数式2x2-x+1的值等于( A)
A2
B3
解：由题意得:4x2-2x+5=7,
∴4x2-2x=2, 2x2-x=1,
C -2
D4
∴2x2-x+1
=1+1
=2.
跟踪练习
3、如果2a-b=3,那么代数式9+2a-b的值是
。
跟踪练习
3、如果2a-b=3,那么代数式9+2a-b的值是 12
解析：因为 4x2+8x+5=13 所以 4x2+8x=8 所以 x2+2x=2
【方法应用】 已知x2-3x-12的值是0，试求-3x2+9x+5的 值。
【方法应用】 已知x2-3x-12的值是0，试求-3x2+9x+5的 值。
分析： 因为 x2-3x-12=0 所以 x2-3x=12 所以-3x2 +9x= -36 所以 -3x2 +9x+5= -36+5= -31
跟踪练习
1、如果2a-b=4,那么代数式a-1 b-9的值是
。
2
跟踪练习
1、如果2a-b=4,那么代数式a-1 b-9的值是 -7
。
2
1
解：a- 2 b-9 = 1（2a-b）-9
2
=2-9
=-7
跟踪练习
2、若代数式4x2-2x+5的值为7,那么代数式2x2-x+1的值等于( )
A2
ห้องสมุดไป่ตู้B3
C -2
。
解：9+2a-b =9+(2a-b) =9+3 =12
七年级数学下册《利用整体思想解题》讲义 (新版)苏科
利用整体思想解题一、整体代入一类求代数式值的问题，若利用常规方法计算往往很复杂，甚至有时求不出具体的数值，这时若将条件和结论从一个整体的角度去分析，挖掘已知式子和待求式子的整体结构特征，将已知条件进行适当的变形，或把已知关系式作为整体代入，便可能使得求值问题变得“柳暗花明”．例1 已知a 是方程x 2－2014x ＋1＝0的一个根，试求a 2－2013a ＋220141a +的值． 解 由已知得a 2－2014a ＋1＝0．则得a 2－2013a ＝a －1，a 2＋1＝2014a ．显然a ≠0，所以两边同除以d ，得 a ＋12014a=， ∴a 2－2013a ＋220141a + ＝a －1＋20142014a＝a ＋1120141a-=-， ＝2013．评析 当已知方程的解时，通常把解代入方程，然后再对等式进行移项、因式分解、配方等变形，构造出待求式子的部分或整体．二、整体约减整体约减思想包含整体相减和整体约分两种，在利用整体思想变形时，须掌握一些变形公式．例2 观察下列等式： 第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第2个等式：2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第3个等式：3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第4个等式：4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭；……请回答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝_______；(2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝_______＝_______；(3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．评析 本题是一道规律探究题，考查学生的观察能力、计算能力、由特殊到一般的数学思想等，解决问题的关键是发现等式中变化的数与序数的对应规律．三、整体换元整体换元思想是指将题目中的条件或结论看作一个整体，并用一个新量去替代，使问题转化为对这个新量的研究，从而起到化繁为简、化难为易的作用．例3 计算： 11111111111232014232013232014⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯++++-++++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L 111232013⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L ． 解 仔细观察式子，发现四个括号中的式子都含有式子111232013+++L ． 不妨令a ＝111232013+++L ，则评析把111232013+++L看成一个整体，并用一个新字母a来代替，使待求的式子变成一个含有字母a的代数式，大大地简化了运算，起到了化繁为简的作用．四、整体补形整体补形思想是指根据已知图形的特点，将不规则或不完整的图形，通过简单的拼接，补充成规则的或完整的图形，再进行求解．例4 如图1，六边形ABCDEF的六个角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_______．解分别作线段AB、CD、EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G、H、P，如图2．∵六边形ABCDEF的六个角都等于120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC＝BC＝3，DP＝DE＝2，GH＝GP＝GC＋CD＋DP＝3＋3＋2＝8．FA＝HA＝GH－AB－BG＝8－1－3＝4．EF＝PH－HF－EP＝8－4－2＝2．所以，六边形的周长为：1＋3＋3＋2＋2＋4＝15．评析对于不规则的图形，我们常用割补法，将其转化为规则图形加以解决．五、整体改造当所求的式子不易入手时，可对已知或结论进行整体改造（如因式分解、配方等），寻求它们之间的联系，当图形比较复杂时，可对图形进行分解、平移、旋转、翻折、相似变换等．利用整体改造思想时，常用的改造途径有：数向形的改造，代数式结构的改造，条件和结论的改造，特殊和一般的改造，动和静、正和反的改造等．例5 如图3，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是_______cm2．解连结AC，因为弧OA与弧OC关于点O成中心对称，所以点O为AC的中点．所以，AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积为S△ABC＝12×2×2＝2(cm2)．评析本题根据中心对称的性质，把所求的不规则图形通过中心对称变换改造为规则图形，即△ABC的面积，这是问题解决的关键．六、整体合并解答代数问题时，有时代数式、方程或不等式进行合并，合并之后往往能凑整、消元等，这样的解题思想叫整体合并．应用整体合并思想应根据题目的特征，合理地进行合并，常用的合并方法有首尾合并、错位合并、配方合并、根据数字特征合并等．例6 已知x，y满足方程组2100821005x yx y+=⎧⎨+=-⎩，则x2－y2的值为_______．解由于x2－y2＝（x＋y）(x－y)，因此只要求出x＋y、x－y这两个整体的值即可．将两个方程相减，得x－y＝2013；将两个方程相加整理，得3x＋3y＝3，化简得x＋y＝1．∴x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝2013．评析若直接解方程组求出x，y的值，再代入代数式进行计算，则计算量很大．这里采用整体合并的思想，取得了事半功倍的效果．七、整体操作整体操作是指从操作性问题的整体性质出发，注重对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些对象看做一个整体，从而有慝的地整体处理．解答操作性问题，关键是要善于运用“集成”的眼光，进行有意识的整体操作，解决这类问题一般要经历观察、思考、想象、交流、推理、操作、反思等活动过程，需要利用已有的生活经验和感知发现结论，从而解决问题．例7 有七只茶杯，杯口朝上放在桌子上，请你把它们全部转成杯口朝下，现在要求每一次同时翻转四只茶杯，使得杯口与杯底相反．问能否经过有限次翻转后，使得所有茶杯的杯口向下？给出你的结论并加以证明．解这是不可能做到的，我们用赋值法加以证明．把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1．这样，问题就变为＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1七个数，每次翻动，就是改变其中四个数的符号，看能否经过有限次的翻动，把它们全部改为－1．改变一个数的符号，也就是把这个数乘以－1．在一次翻动中，有四个数乘以－1，七个数的乘积经过一次翻动后，应当乘以(－1)4．所以七个数的乘积经过翻动，仍然保持不变，原来的七个数的乘积是＋1，不管经过多少次翻动，七个数的乘积始终是＋1，而七个－1的乘积是－1，不可能把七个数都变成－1．评析此题若进行逐一尝试，是难以完成的，采用了赋值法——把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1，从奇偶性方面做出判断，便能使问题快速得到解决．本题如果把杯子的个数改为偶数，或者每次翻动奇数个杯子，也可以用这种方法加以解决．整体化思想是解决数学问题的一种思维方法，掌握整体化思想方法有利于培养学生的直觉思维能力和发展学生的思维品质，在教学过程中，教师应该培养学生的整体化思想，寻求潜在规律，用整体化思想去解决数学问题．。
2022七年级数学上册专题5整体思想课件新版新人教版20221124110
解：(1)∵a2＋a＝0，∴a2＋a＋2019＝0＋2019＝
2019； (2)∵a－b＝－3，∴3(a－b)－a＋b＋5＝3×(－3) －(－3)＋5＝－1； (3)∵a2＋2ab＝－2，ab－b2＝－4，∴2a2＋5ab －b2＝2a2＋4ab＋ab－b2＝2×(－2)＋(－4)＝－8.
11．学习《乘法公式》时可以发现：用两种不同的 方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式， 进而可以利用得到的等式解决问题．
②已知a＋b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所 得等式，求代数式a3＋b3的值．
解：(1)(a＋b)(2a＋b)＝2a2＋3ab＋b2；
(2)①(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3. ②由(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3得，a3＋b3＝ (a＋b)3－3a2b－3ab2＝73－3×48－3×36＝91.
8．已知 a＋b＝7，ab＝10，求式子(5ab＋4a＋7b) －(4ab－3a)的值．
解：原式＝5ab＋4a＋7b－4ab＋3a ＝ab＋7a＋7b ＝ab＋7(a＋b)， 把 a＋b＝7，ab＝10 代入，得原式＝10＋7×7＝59.
9．如图，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD，∠ MON＝95°，∠BOC＝60°，求∠AOD 的度数．
6．已知 3x2－4x＋6 的值为 9，求 x2－4 x＋6. 3
解：3x2－4x＋6＝9， 两边同除 3，得 x2－4x ＝9－6 ＝1，
33 原式＝1＋6＝7.
7．已知 M＝2a－3b，N＝－2a－3b，求 M－N.
解：∵M＝2a－3b，N＝－2a－3b， ∴M－N＝(2a－3b)－(－2a－3b) ＝2a＋2a－3b＋3b ＝4a.
(1)如图 1，是由边长为 a，b 的正方形和长为 a， 宽为 b 的长方形拼成的大长方形，由图 1 可得等式： ______________； (2)知识迁移： ①如图 2，是用 2 个小正方体和 6 个小长方体拼成 的一个大正方体，类比(1)，用不同的方法表示这 个大正方体的体积，可得等式：______________；
中考数学复习第二部分题型研究题型一数学思想方法类型五整体思想课件
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程 详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后 复习30分钟。
.
5
2x2 3x
解：将2x2＋3x整体看作y，
则原方程变形为y－4＝ ，即y2－5 4y－5＝0，
解得y1＝5，y2＝－1，
y
∴2x2＋3x＝5或2x2＋3x＝－1，
解得x1＝－ ，x2＝1，x3＝－ ，x4＝－1，
经检验x1，x2，x3，x4都是原方程的解．
51ຫໍສະໝຸດ 22【思维教练】可把2x2＋3x看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解
2019/5/23
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2019/5/23
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题过程；也可以设y＝2x2＋3x－4，将方程变形为y＝
来解．
5 y4
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已经 离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍 自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对 讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
整体代入思想的应用PPT课件
4．化简求值： (1)－6(a－b)3＋7(a－b)2－4(b－a)2，其中 a＝4，b＝3； (2)15a2－{－4a2＋[5a－8a2－(2a2－a)]＋9a2－3a}，其中 a 1 ＋7(a－b)2－4(a－b)2 ＝－6(a－b)3＋3(a－b)2 ∵a＝4，b＝3，∴a－b＝1.. ∴原式＝－6＋3＝－3. (2)原式＝15a2－{－4a2＋[5a－8a2－2a2＋a＋9a2－3a]} ＝15a2－{－4a2＋5a－8a2－2a2＋a＋9a2－3a} ＝15a2＋4a2－5a＋8a2＋2a2－a－9a2＋3a ＝20a2－3a. 1 1 3 1 故当 a＝－2时，原式＝20×4＋2＝62.
【规律总结】当所给条件无法直接或比较难求出所含字母 的取值时，可应用“整体代入法”，把“整体”当成一个新的
字母，再求关于这个新的字母的代数式的值．
1．下面说法正确的是( C ) A．0 不是单项式 B．32xy 是单项式，且其系数是 9，次数是 1 C．二次多项式与一次多项式的和一定是二次多项式
D．多项式 3xyz＋2x2＋4yz 的次数是 2
n(n＋1) S＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝____________.
6．如图 2－2 的规律摆下去，用 S 表示相应的图中的点数，
第 8 个图中点数 S 是________ ，第 2 012 个图中的点数 S 是 24 ________ 6 036 ．
图 2 －2 解析：观察图形可以发现，第 1 个图有 3 个点，第 2 个图 有 3×2 个点，第 3 个图有 3×3 个点，第 4 个图有 3×4 个点．
专题二
用整式表示图形变化规律
例 2：观察图 2－1 所示的图形(每个正方形的边长均为 1) 和相应的等式，探究其中的规律：
中考数学总复习专题四整体思想省公开课一等奖百校联赛赛课微课获奖PPT课件
1
第9页
第8页
1．(·温州)我们知道方程x2＋2x－3＝0解是x1＝1， x它2＝解－是3( ，现)D给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，
A．x1＝1，x2＝3
B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝3
D．x1＝－1，x2＝－3
2．(·十堰)若a－b＝1，则代数式2a－2b－1值为__．
专题四 整体思想
第1页
所谓整体思想，就是当我们碰到问题时，不着眼于问 题各个部分，而是有意识地放大考虑问题视角，将所 需要处理问题看作一个整体，经过研究问题整体形式、 整体结构、整体与局部内在联络来处理问题思想．
第2页
淄博市近几年中考题中，年第6，14，16等题都表达了整体思想问题主要方法．
第4页
典例 (·淄博)在边长为4等边三角形ABC中，D为BC边上任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足 分别为E，F，则DE＋DF＝ ．
第5页
【分析】 本题是教材中一道习题改编，在学生曾经证 明等腰三角形底边上任意一点到两腰距离和等于底边 端点到任意一腰距离，借助是面积求法，然后把 等腰三角形底边上任意一点到两腰距离和看成一个整 体，求得该等腰三角形底边端点到任意一腰距离就可 得到所求．
第3页
用整体思想解题时，是把一些彼此独立，但实质上又 相互紧密联络量作为整体来处理，一定要善于把握求值 或求解问题内在结构、数与形之间内在结构，要敏 锐地洞察问题本质，有时也不要放弃直觉作用，把注 意力和着眼点放在问题整体上．常见情形：整体代 入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体 变形与补形；整体改造与合并；整体结构与操作等．
第6页
【自主解答】 如图，连接AD.
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练一练
班级
问题 内容
七 （7）
出题者
陈凯航
班 级 七 （7） 出题者 林钊如
问题 内容 已知a-b=2，b-c=1，求(a b)2 (b c)2 (a c)2 的值.
3、转化所求式后再代入
班 级 七 （7）
出题者
林钊如
问题 内容
设a-b=-Байду номын сангаас，求
a2
b2
2
ab
的值.
练习：
已知a+b=-5，ab=7，求a2b ab2 a b 的值.
做一做
4、同时转化已知式和所求式， 寻找共同式子
班级
问题 内容
七 （7） 出题者 陆洋洋
当x=3时，代数式 ax3 bx 3 的值为5， 求当x=-3时，代数式 ax3 bx 3 的值.
想一想
班级
问题 内容
七 （7） 出题者 夏章豪陈静怡王素素
班 级 七 （7） 出题者
问题 内容
林钊如
思考： （1）你能确定a、b的值吗？
（2）整体思想求值有何特点？
班 级 七 （7） 出题者 林钊如
问题 内容
归纳 1、直接代入
有的代数式求值往往不直接给出字母的取值， 而是通过告知一个代数式的值，且已知代数式 中的字母又难以确定，这时可以采用整体思想 解决问题，用整体思想求值时，关键是如何确 定整体。
已知 x2 3x 1 0 ，求下列各式的值：
（1） 3x2 9x 2 _______;
（2）x3 4x2 2x 2018 _______;
（3）x2
1 x2
______;
x4
x2 x2
1
_______ .
整体思想的求值问题：
1、直接代入； 2、转化已知式后再代入；
练一练
班 级 七 （7） 出题者
王瑶
问题 内容
1、已知ab=2,求ab-[2ab-3(ab-1)] 的值.
班 级 七 （7） 出题者
林钊如
问题 2、如果a-b=2，那么
内容
2a b2 a b ______ .
说一说
2、转化已知式后再代入
班 级 七 （7） 出题者
问题 内容
林钊如
3、转化所求式后再代入； 4、同时转化所求式和已知式，
寻找共同式子.
？ 试一试
拓展提升
班 级 七 （7） 出题者
滕盛凯
问题 内容
已知 1 1 4,求 a 2ab b 的值.
ab
2a 7ab 2b