高三数学一轮复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系夯基提能1
高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文
考点三 圆的切线方程 已知点 P( 2＋1，2－ 2)，点 M(3，1)，圆 C：(x－1)2
＋(y－2)2＝4． (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程； (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长．
12/11/2021
【解】 由题意得圆心 C(1，2)，半径长 r＝2． (1)因为( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4，所以点 P 在圆 C 上． 又 kPC＝2－2＋21－ －21＝－1， 所以切线的斜率 k＝－k1PC＝1． 所以过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝1×[x－( 2＋ 1)]，即 x－y＋1－2 2＝0．
12/11/2021
【对点通关】 1．若点 P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为________． 解析：因为以原点 O 为圆心的圆过点 P(1，2)，所以圆的方 程为 x2＋y2＝5． 因为 kOP＝2，所以切线的斜率 k＝－12． 由点斜式可得切线方程为 y－2＝－12(x－1)， 即 x＋2y－5＝0． 答案：x＋2y－5＝0
12/11/2021
(1)判断直线与圆的位置关系常见的方法 ①几何法：利用 d 与 r 的关系． ②代数法：联立方程后利用 Δ 判断． ③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可 判断直线与圆相交． (2)当直线与圆相交时，弦长 AB，弦心距 d，半径 R 的关系为 A2B2＋d2＝R2．
第九章 平面解析几何
第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
12/11/2021
1．直线与圆的位置关系 (1)设圆 M：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线 l：Ax＋By＋C＝0， 圆心 M(a，b)到直线 l 的距离为 d． (2)由（Axx＋－Bay）＋2C＋＝（0y－b）2＝r2， 消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为 Δ．
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书 理 新人教版(
2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书理新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书理新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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第九章平面解析几何 9。
4 直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书理新人教版1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法（1）几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．d<r⇔相交；d＝r⇔相切;d>r⇔相离．(2）代数法：错误!错误!2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1）2＋(y－b1）2＝r错误!(r1>0），圆O2:(x－a2)2＋（y－b2）2＝r错误!(r2>0）.方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2｜<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝｜r1－r2｜（r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2｜（r1≠r2)无解【知识拓展】1．圆的切线方程常用结论（1)过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋（y－b)2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为(x0－a）（x－a)＋（y0－b）（y－b)＝r2。
(课标通用版)2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 若 直 线 与 圆 组 成 的 方 程 组 有 解 ， 则 直 线 与 圆 相 交 或 相 切．( ) (2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系 为外切．( ) (3)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的必要 不充分条件．( ) (4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程 是两圆的公共弦所在的直线方程．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
解析：选
B.因为圆心(0，0)到直线
y＝2
22，
而 0< 22<1，所以直线和圆相交，但不过圆心．
圆 Q：x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的切线方程为( )
d＝|r1－r2| (r1≠r2)
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
___一__组__实__数__解____ __无__解___
常用知识拓展 1．过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y ＝r2. 2．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 3．过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切 点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2. 4．直线与圆相交时，弦心距 d，半径 r，弦长的一半12l 满足关 系式 r2＝d2＋12l2.
d
＝
|cos θ－1－cos θ| sin2θ＋cos2θ
高考理数一轮课件9第九章平面解析几何46_第四节直线与圆圆与圆的位置关系
答案 (1)A (2)k∈(- 3, 3)
解析
(1)解法一:由
mx y
x
2
(
y
1 1) 2
m
5
0消, 去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,
则Δ=4m4-4(1+m2)(m2-5)=16m2+20>0,
所以直线l与圆C相交.故选A.
解法二:因为圆心(0,1)到直线l的距离d=
3.两圆公共弦长的求法
求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d,半弦长l ,半径r构成直角三
2
角形,利用勾股定理求解.
3-1 若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m= ( C )
A.21 B.19 C.9 D.-11
答案 C 圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,因为圆C2的方程可化为(x3)2+(y-4)2=25-m,所以圆C2的圆心为C2(3,4),半径r2= 25 m (m<25).从|C1C2|=
程为y-0=k(x+1),即kx-y+k=0,圆心到直线l的距离d= | 2k | =1,∴k=± 3 ,
k2 1
3
∴直线l的方程为y=± 3 (x+1).
3
考点二 圆的切线、弦长问题
典例2 (1)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,
则反射光线所在直线的斜率为 ( D )
两点,且△OAB为正三角形,则实数m的值为 ( D)
A. 3
2
B. 6
2
C. 3 或- 3
22
高考数学一轮复习第九章解析几何4直线与圆圆与圆的位置关系课件新人教A版理
-19考点1
考点2
考点3
对点训练2(1)直线y=kx+3被圆(x-2)2 +(y-3)2=4截得的弦长为2 √3 ,
则直线的倾斜角为( A )
π
5π
6
6
A. 或
π
π
3
3
B.- 或
π
π
6
6
C.- 或
π
D.
6
1
(2)(2020 全国Ⅲ,理 10)若直线 l 与曲线 y=√和圆 x2+y2= 都相切,
9 .4
直线与圆、圆与圆的位置关系
-2知识梳理
双基自测
1
2
3
1.直线与圆的位置关系
设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),
圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的
一元二次方程的判别式为Δ.
位置关系
几何法
代数法
相交
d < r
|-2+1-3|
由题意知
2 +1
=2,
3
4
解得 k= .
∴圆的切线方程为
3
y-1=4(x-3),
即3x-4y-5=0.
故过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.
-17考点1
考点2
考点3
|-2+4|
(2)由题意得
√ 2 +1
4
=2,
解得 a=0 或 a= .
3
(3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为
-14考点1
高三数学复习 第九章 平面解析几何 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系夯基提能作业本 文(2021
2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系夯基提能作业本文2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系夯基提能作业本文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系夯基提能作业本文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系夯基提能作业本文第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础题组1.直线l:x-y+1=0与圆C：x2+y2-4x—2y+1=0的位置关系是（）A。
相离 B.相切C。
相交且过圆心D。
相交但不过圆心2.直线y=x+4与圆(x—a)2+(y-3)2=8相切，则a的值为( ）A.3B.2C。
3或-5 D。
-3或53。
(2014安徽,6,5分)过点P（-,-1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（)A. B.C。
D。
4。
直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0（a〈3）相交于A,B两点，若弦AB的中点为（—2,3），则直线l的方程为( )A。
x+y—3=0 B。
x+y—1=0C.x—y+5=0D.x-y-5=05.过点P（1,）作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长｜AB｜=（）A。
B。
2 C。
D。
46.（2015重庆，12,5分）若点P（1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.7.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与圆（x-2)2+(y—3)2=8相外切，则圆C的方程为.8。
高考数学一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系练习理
【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.(2015·安徽卷改编)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是________.解析 圆方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b |32＋42＝1.解得b ＝2或b ＝12. 答案 2或122.若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝________.解析 圆C 1的圆心C 1(0，0)，半径r 1＝1，圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆心C 2(3，4)，半径r 2＝25－m ，从而C 1C 2＝32＋42＝5.由两圆外切得C 1C 2＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9. 答案 93.(2016·苏北四市模拟)已知过定点P (2，0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S △AOB ＝1时，直线l 的倾斜角为________.解析 由于S △AOB ＝12×2×2sin ∠AOB ＝sin ∠AOB ＝1，∴∠AOB ＝π2，∴点O 到直线l的距离OM 为1，而OP ＝2，OM ＝1，在直角三角形OMP 中∠OPM ＝30°，∴直线l 的倾斜角为150°. 答案 150°4.(2016·青岛一模)过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长AB ＝________.解析 如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线， ∴AB ⊥OP .∵P (1，3)，O (0，0)， ∴OP ＝1＋3＝2.又∵OA ＝1，在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12，∴∠AOP ＝60°， ∴AB ＝2OA sin ∠AOP ＝ 3.答案35.(2015·重庆卷)若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________.解析 点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则圆的方程为x 2＋y 2＝5，设所求直线为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，圆心到直线的距离d ＝|－k ＋2|k 2＋1＝5，解得k ＝－12，∴直线为－12x －y ＋52＝0，即x ＋2y －5＝0.答案 x ＋2y －5＝06.(2016·苏、锡、常、镇模拟)过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝________.解析 法一 由已知得：圆心C (0，2)，半径r ＝5，△ABC 是直角三角形，AC ＝（3－0）2＋（1－2）2＝10，BC ＝5，∴cos ∠ACB ＝BC AC＝510，∴CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|·cos ∠ACB ＝5.法二 CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＋BA →·CB →，由于BC ＝5，AB ⊥BC ，因此CA →·CB →＝5＋0＝5. 答案 57.(2015·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为________.解析 由题意可得△AOB 是以2为直角边长的等腰直角三角形，所以圆心(0，0)到直线AB 的距离为 2.又直线l 的斜率一定存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为y －3＝k (x －5)，即kx －y ＋3－5k ＝0，所以|3－5k |k 2＋1＝2，化简得23k 2－30k ＋7＝0，解得k ＝1或723. 答案 1或7238.已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________.解析 由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9， ∴圆C 的圆心坐标为(－1，2)，半径为3. 由AC ⊥BC ，知△ABC 为等腰直角三角形，所以C 到直线AB 的距离d ＝322，即|－1－2＋a |12＋（－1）2＝322，所以|a －3|＝3，即a ＝0或a ＝6. 答案 0或6 二、解答题9.已知一圆C 的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l ：x －y －1＝0截得的弦长为22，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程.解 设圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)， ∵圆心(2，－1)到直线x －y －1＝0的距离d ＝2，∴r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝4，故圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，（x －2）2＋（y ＋1）2＝4，解得弦的两端点坐标为(2，1)和(0，－1). 所以过弦的两端点的圆的切线方程为y ＝1和x ＝0.10.已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1).解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－4)， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0； (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0； (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2015·宿迁模拟)已知过点(2，5)的直线l 被圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为4，则直线l 的方程为________.解析 圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.直线l 被圆C 截得的弦长为4，则圆心C (1，2)到直线l 的距离为1.当过点(2，5)的直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2适合题意；当斜率存在时，设为k ，则l ：y －5＝k (x －2)，即为kx －y ＋5－2k ＝0，此时|k －2＋5－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，直线l ：43x －y ＋73＝0，即为4x －3y ＋7＝0，综上可得直线l 的方程为x －2＝0或4x －3y ＋7＝0. 答案 x －2＝0或4x －3y ＋7＝012.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有________个. 解析 圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点. 答案 313.若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是________.解析 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为(－1，2)，半径为 2.因为圆关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，所以圆心在直线 2ax ＋by ＋6＝0上，所以－2a ＋2b ＋6＝0，即b ＝a －3，点(a ，b )到圆心的距离为d ＝（a ＋1）2＋（b －2）2＝（a ＋1）2＋（a －3－2）2＝2a 2－8a ＋26＝2（a －2）2＋18.所以当a ＝2时，d 有最小值，18＝32，此时切线长最小，为（32）2－（2）2＝16＝4. 答案 414.已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a ).(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程. (2)若a ＝2，过点M 作圆O 的两条弦AC ，BD 互相垂直，求AC ＋BD 的最大值. 解 (1)由条件知点M 在圆O 上， 所以1＋a 2＝4，则a ＝± 3. 当a ＝3时，点M 为(1，3)，k OM ＝3，k 切＝－33， 此时切线方程为y －3＝－33(x －1).即x ＋3y －4＝0，当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33. 此时切线方程为y ＋3＝33(x －1). 即x －3y －4＝0.所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0. (2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)， 则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又有AC ＝24－d 21，BD ＝24－d 22， 所以AC ＋BD ＝24－d 21＋24－d 22.则(AC ＋BD )2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22) ＝4×[5＋216－4（d 21＋d 22）＋d 21d 22] ＝4×(5＋24＋d 21d 22).因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3，所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时取等号，所以4＋d 21d 22≤52， 所以(AC ＋BD )2≤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×52＝40.所以AC ＋BD ≤210， 即AC ＋BD 的最大值为210.。
2021届高考数学一轮总复习第9章解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系跟踪检测文含解析
第九章解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A级·基础过关|固根基|1.(2020届长春市高三质量监测一)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝( ) A．－3 B．1C．－3或1 D.5 2解析：选 C 由圆的方程知，圆的圆心为(1，b)，半径为 2.由直线与圆相切，得|1＋b|12＋12＝2，解得b＝－3或b＝1，故选C.2．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不能确定解析：选A 由已知得，圆C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，则圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1，2)到直线x ＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A.3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )A．{1，－1} B．{3，－3}C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3}解析：选C 因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．4．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线y－3y ＋3＝0的距离为1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 圆心C(1，0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝2.若圆C上至多有2个点到直线x－3y ＋3＝0的距离为1，则0<r<3，所以p是q的充要条件．5．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝6B．(x－2)2＋(y－1)2＝22C ．(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝36或(x －2)2＋(y －1)2＝32解析：选C 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2(r>0)．因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，所以直线AB 的方程为4x ＋4y ＋r 2－10＝0.圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离d ＝|r 2－14|42，由题意得d 2＋22＝6，即（r 2－14）232＝2，所以r 2－14＝±8，所以r 2＝6或22.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22.6．若直线y ＝－12x －2与圆x 2＋y 2－2x ＝15相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程为________．解析：圆的方程可整理为(x －1)2＋y 2＝16，所以圆心坐标为(1，0)，半径r ＝4，易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而k AB ＝－12，所以k l ＝2.由点斜式方程可得直线l 的方程为y －0＝2(x－1)，即2x －y －2＝0.答案：2x －y －2＝07．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆心C(－1，0)，C 到已知圆圆心(2，3)的距离d ＝32，由两圆相外切可得R ＋22＝d ＝32，即圆C 的半径R ＝2，故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．解析：由题意得∠AOB＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.答案：45π9．已知圆C 经过点A(2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C(a ，－2a)， 则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.所以C(1，－2)，半径|AC|＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2. 所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0， 由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， 所以直线l 的方程为y ＝－34x.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10．已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 解：(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1， 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k<4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12， 解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN|＝2. B 级·素养提升|练能力|11.过坐标轴上一点M(x 0，0)作圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1的两条切线，切点分别为A ，B.若|AB|≥2，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ B ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C 根据题意，圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，半径r ＝1，过点M 作圆的切线，切点为A ，B ，则MA⊥AC，MC⊥AB， 则S △MAC ＝12×|MA|×|AC|＝12×|MC|×|AB|2.又由|AC|＝1，变形可得|AB|＝2×|MA||MC|，则有|MA||MC|≥22.又由M(x 0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则|MC|2＝x 20＋14，|MA|2＝|MC|2－1＝x 20－34，即可得x 20－34x 20＋14≥12， 解得x 0≤－72或x 0≥72， 即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. 故选C.12．(2019届合肥模拟)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB|＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3 或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB|＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0即(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴圆心为C(1，1)，圆的半径r ＝2，易知圆心C(1，1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＝r 2，∴（k ＋2）2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B.13．(2019届洛阳市统考)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r>0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD →＝5DB →，则r ＝________．解析：如图，过O 作OE⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE|＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE|＝|EB|， 不妨令|AD|＝5m(m>0)，由3AD →＝5DB →可得|BD|＝3m ，|AB|＝8m ，则|DE|＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2， ①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m)2， ② 联立①②，解得r ＝10.答案：1014．(2019届湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可设圆心C(a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a>－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB，此时N 点的横坐标恒大于0即可．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，N(t ，0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1）得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4， 所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM 总成立．。
高考数学一轮复习第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件文北师大版
代数法:两圆方程联立组成方 程组的解的情况 无解
一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解
无解
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知识梳理 双基自测 自测点评
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3.常用结论
(1)当两圆相交(切)时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得
公共弦(公切线)所在的直线方程.
(2)①过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. ②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-
几何法 d< r d= r d> r
代数法 Δ> 0 Δ= 0 Δ< 0
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知识梳理 双基自测 自测点评
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方法位置关 系 外离 外切 相交 内切
内含
几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
.
关闭
由题意可知线段 AB 的中点 ������+1 ,2 在直线 x-y+������=0 上,代入得
2
2
m+c=3. 关闭
3解析 答案ຫໍສະໝຸດ -9-知识梳理 双基自测 自测点评
12345
5.在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截
得的弦长为
.
易知圆心坐标为(2,-1),半径 r=2,所以圆心到直线的距离为
A.(√3,2) B.(√3,3)
1+
高考总复习一轮数学精品课件 第9章 平面解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
|2-2+2|
22 +(-1)2
2 -2 =2×
4
4- 5
=
=
2
5
=
8 5
.
5
2 5
,
5
题组三 连线高考
8.(2020·全国Ⅰ,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦
的长度的最小值为( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为 (1-3)2 + (2-0)2 =2 2<3,
40
解析 由题可知圆M的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,即圆是以M(3,4)为圆
心,5为半径的圆.
因为(0-3)2+(4-4)2=9<25,所以点P(0,4)在圆内,所以最短的弦是垂直于MP
的弦,
|| 2
所以 25=
+9,所以|AC|=8.又因为过 P(0,4)的最长的弦
2
1
所以|BD|=10,且 AC⊥BD,故 S 四边形 ABCD= |AC||BD|=40.
例1(1)(2024·安徽蚌埠模拟)直线l:x+my+1-m=0与圆C:(x-1)2+(y-2)2=9的位
置关系是( A )
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
解析 已知直线l:x+my+1-m=0过定点(-1,1),
将点(-1,1)代入圆的方程可得(-1-1)2+(1-2)2<9,可知点(-1,1)在圆内,
A,B两点,则|AB|=__________.
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第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
A组基础题组
1.直线kx+y-2=0(k∈R)与圆x2+y2+2x-2y+1=0的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.与k值有关
2.已知圆的方程是x2+y2=1,则在y( )
D.x=1或
3.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( )
4.(2016山东,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是则圆M与圆
N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
5.已知圆x2+y2=4,点动点M在圆上运动,O为坐标原点,则∠OMA的最大值为( )
6.已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等
于.
7.过点(1,的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段,当其中劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率
k= .
8.已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值
为.
9.(2015湖南,13,5分)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r= .
10.已知点圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过点P的圆C的切线方程;
(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.
11.已知圆C经过点A(2,-1)并和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
B组提升题组
12.若圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条公切线,则a+b的最大值为( )
B.-3
C.3
13.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,且垂足为则四边形ABCD面积的最大值为( )
A.5
B.10
C.15
D.20
14.圆C:(x-3)2+(y-3)2=9上到直线l:3x+4y-11=0的距离为1的点有个.
15.设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围
是.
16.已知以点∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.
(1)求证:△OAB的面积为定值;
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.
17.(2016湖南东部六校联考)已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.
(1)求圆C的方程;
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
A组基础题组
1.D 圆心为(-1,1),所以直线与圆的位置关系和k 值有关,故选D.
2.C 由题意知切线斜率存在,故设切线方程为所以k=±1,故所求切线方程为
3.A 因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,所以直线y=kx与直线
2x+y+b=0垂直,且直线2x+y+b=0过圆心,
4.B 由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为所以圆心M
到直线x+y=0的距离解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以
则所以两圆的位置关系为相交,故选B.
5.C 设|MA|=x(x>0),由题意知当O、M、A共线时,∠OMA为0°角.当O、M、A不共线
时,由余弦定理可知当且仅当x=1时等号成立),所以∠OMA的
6.答案
解析因为点A(1,2)在圆x2+y2=5上,故过点A的圆的切线方程为x+2y=5,令x=0,得令y=0,得x=5,
故所求面积
7.答案
解析∵(1-2)22=3<4,∴点在圆(x-2)2+y2=4的内部,当劣弧所对的圆心角最小时,圆心
(2,0)与点的连线垂直于直线l.
l的斜率
8.答案0或6
解析由x2+y2+2x-4y-4=0,得(x+1)2+(y-2)2=9,∴圆C的圆心坐标为(-1,2),半径为3.
由AC⊥BC,知△ABC为等腰直角三角形,所以C到直线AB的距离所以|a-3|=3,即a=0或a=6.
9.答案 2
解析过O作OC⊥AB于C,则
在Rt△AOC中,∠AOC=60°,
则
10.解析由题意得圆心C(1,2),半径r=2.
22=4,
∴点P在圆C上.
又k PC
∴切线的斜率
∴过点P的圆C的切线方程是即
(2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,
∴点M在圆C外部.。