人教A版高中数学必修四上学期第一次月考

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）新华中学2011—2012学年度上学期第一次月考高二级数学科（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分,满分150分,考试时间120分钟.一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在正整数100至500之间能被11整除的个数为A ．34B ．35C ．36D ．372.{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9的值是A ．24B ．27C ．30D ．333.设函数f （x ）满足f （n +1）=2)(2nn f +（n ∈N *）且f （1）=2，则f （20）为 A ．95B ．97C ．105D ．1924.设a n =－n 2+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大A ．第10项B ．第11项C ．第10项或11项D ．第12项5．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于 A ．1B ．1-C ．32D ．32-6．等比数列{a n }，a n >0，q ≠1，且a 2、21a 3、a 1成等差数列，则5443a a a a ++等于A ．215+ B ．215- C ．251- D ．215± 7．数列{a n }前n 项和是S n ，如果S n =3+2a n （n ∈N *），则这个数列是A ．等比数列B ．等差数列C ．除去第一项为等比数列D ．除去第一项为等差数列8．在等差数列{a n }中，若S 9=18，S n =240，4n a -=30，则n 的值为A ．14B ．15C ．16D ．179．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2AB C =，则ABC ∆是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形10．数列{a n }满足a 1=1, a 2=32，且n n n a a a 21111=++- (n ≥2)，则a n 等于 A ．12+n B ．(32)n -1 C ．(32)nD ．22+n 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置上.） 11. 已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c ，若62a c ==+且75A ∠=o ，则b =_____________．12．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若n n T S =132+n n，则1111b a =_____________． 13．数列}{n a 满足12 (01),1 (1).n n n n n a a a a a +≤≤⎧=⎨->⎩且167a =,则2010a =_____________．14．数列{a n }中，a n +1=nna a 31+，a 1=2，则a 4=_____________．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分12分)已知｛a n ｝是一个等差数列，且21a =，55a =-。

（Ⅰ）求{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求{}n a 前n 项和n S 的最大值．16.(本小题满分12分)已知数列}{n a 满足：111,2n n a a a n -=-=且.（Ⅰ）求234,a a a ，； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项n a .17.(本小题满分14分)在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =． （Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．18.(本小题满分14分)等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 11b =，且2264,b S =33960b S =．（Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）求和：12111nS S S +++．19.(本小题满分14分)设数列{}n a 满足211233333n n na a a a -++++=…，a ∈*N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20.(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+（Ⅰ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．新华中学2011—2012学年度上学期第一次月考高二理科数学答案及评分标准一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDBCCBABAA二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 2 12.213213.3714. 192三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 解: （方法一）：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件111,45,a d a d +=⎧⎨+=-⎩………………2分 解得13a =，2d =-．………………5分 所以1(1)25n a a n d n =+-=-+．………………8分 （Ⅱ）221(1)44(2)2n n n S na d n n n -=+=-+=--． ………………11分 所以 当2n =时, n S 取得最大值4．………………12分（方法二）：（Ⅰ）设 1(1)n a a n d =+-，则211511,3,45, 2.a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+=-=-⎩⎩3(1)(2)n a n =+-⋅-， ∴52n a n =-.（Ⅱ）520n a n =-≥, 52n ≤. 2n ≤． 要使n S 最大，只有使n a 的各项非负．所以 当2n =时, max 212()314n S S a a ==+=+=．16. 解: (1)2123422,415;1119a a a a a -=⨯∴=+===同理，，………………6分()()()21324312(2)22232421223121221n n n a a a a a a a a n a n n n n n --=⨯-=⨯-=⨯-=⨯=+⨯+++-+=+⨯=+-以上等式相加得：………………9分………………12分17. 解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =， 由3cos 5B =，得4sin 5B =． ··························································· 3分所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=． ·························· 6分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===． ································· 9分 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=． ···········12分18. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=．………………2分 依题意有22233(6)64(93)960S b d q S b d q =+=⎧⎨=+=⎩………………4分解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去) ………………6分故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+ = ………………8分（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+ ………………10分∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-++ ………………14分19. 解：(I)2112333...3,3n n na a a a -+++=221231133...3(2),3n n n a a a a n ---+++=≥1113(2).333n n n n a n --=-=≥………………4分 1(2).3n n a n =≥………………6分 验证1n =时也满足上式，*1().3n n a n N =∈………………7分 (II) 3n n b n =⋅，………………8分23132333...3n n S n =⋅+⋅+⋅+⋅．．．①．．．．②①-②得: 231233333n n n S n +-=+++-⋅………………11分即11332313n n n S n ++--=-⋅-， 111333244n n n n S ++=⋅-⋅+⋅ ………………14分20. 解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a ab a a =+=∴=-=………………2分由142n n S a +=+，．．．①则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．②①－②得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-………………5分又12n n n b a a +=-，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．…7分（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，………………9分23413132333...3n n S n +==⋅+⋅+⋅+⋅113224n n n n a a ++∴-=∴数列{}2n n a 是首项为12，公差为34的等差数列．………12分 ∴1331(1)22444n na n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅ ………………14分。