人教版初中数学九年级上册期末考点大串讲解一元二次方程含解析新版
人教版初中数学九年级上册期末考点大串讲二次函数和一元二次方程含解析新版
二次函数和一元二次方程知识网络重难突破知识点一二次函数与一元二次方程之间的联系已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解.例如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3,求自变量x 的值.就是求方程3=-x2+4x(即x2-4x+3=0)的解。
反过来，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0,求自变量x的值.典例1 （2018·辽宁初三期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（）A．−1<x<5 B．x>5 C．x<−1且x>5 D．x＜－1或x＞5【答案】D【解析】由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）。
由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，∴x＜－1或x＞5。
故选D。
典例2 （2018·山东初三期末）关于x的方程x2﹣2mx+4＝0有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于3，则实数m的取值范围为（）A．m＞52B．m＜﹣52C ．m ＜﹣2 或 m ＞2D ．m ＞136【答案】A【详解】∵x 2﹣2mx+4=0有两个不同的实根， ∴△=4m 2-16>0,解得：m 2>或m <-2,∵二次函数开口向上,有一个根小于1，另一个根大于3，即表明当x=1和x=3是都出现在x 轴下方, ∴1-2m+40<且9-6m+40<,解得：m 52>, 综上, m ＞52故选A典例3 （2017·陕西初三期中）根据下面表格中的对应值：判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的范围是( ) A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24 C ．3.24＜x ＜3.25 D ．3.25＜x ＜3.26【答案】C【解析】分析：根据函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程ax 2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax 2+bx+c=0一个解的范围．解答：解：函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程ax 2+bx+c=0的根， 函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的纵坐标为0； 由表中数据可知：y=0在y=-0.02与y=0.03之间， ∴对应的x 的值在3.24与3.25之间即3.24＜x ＜3.25． 故选C ．知识点二 抛物线与x 轴的交点情况二次函数x =xx 2+xx +x 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程xx 2+xx +x =0的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔x>0⇔抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）⇔x=0⇔抛物线与x轴相切；③没有交点⇔x<0⇔抛物线与x轴相离.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：典例1（2018·湖北初三期末）已知二次函数y=x2﹣x+4m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m≤5B．m≥2C．m＜5 D．m＞2【答案】A【详解】∵二次函数y=x2﹣x+14m﹣1的图象与x轴有交点，∴△=(-1) 2-4×1×(14m-1)≥0，解得：m≤5，故选A．典例2 （2018·辽宁初三期中）二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（﹣6，0）【答案】B【详解】解：由二次函数x=x2−6x+x得到对称轴是直线x=3，则抛物线与x轴的两个交点坐标关于直线x=3对称，∵其中一个交点的坐标为(1,0)，则另一个交点的坐标为(5,0)，故选：C．巩固训练一、单选题（共10小题）1．（2018春福州市期末）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2【答案】A=-1，【详解】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-2a2a而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜-4或x＞2时，y＜0．故选A．【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．2．（2018春宿州市期末）二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（﹣6，0）【答案】B【详解】解：由二次函数y=x2−6x+m得到对称轴是直线x=3，则抛物线与x轴的两个交点坐标关于直线x=3对称，∵其中一个交点的坐标为(1,0)，则另一个交点的坐标为(5,0)，故选：C．【名师点睛】考查抛物线与x轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质．3．（2018春南昌市期末）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m-1=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为( )A．0 B．-1 C．1 D．2【答案】A【详解】一元二次方程ax2＋bx＋m－1＝0有两个不相等的实数根，可以理解为y＝ax2＋bx和y＝1－m有交点，可见1－m＜2，∴m＞－1，∴m的最小值为0，故答案选A.【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程的基本性质，解此题的要点在于理解“ax2＋bx＋m－1＝0有实数根，可以理解为y＝ax2＋bx和y＝1－m有交点”这句话的意义.4．（2018春广州市期末）已知m，n（m<n）是关于x的方程（x–a）（x–b）=2的两根，若a<b，则下列判断正确的是A．a<m<b<n B．m<a<n<bC．a<m<n<d D．m<a<b<n【答案】D【详解】解：∵（x-a）（x-b）=2，∴m、n可看作抛物线y=（x-a）（x-b）与直线y=2的两交点的横坐标，∵抛物线y=（x-a）（x-b）与x轴的两交点坐标为（a，0），（b，0），如图，∴m＜a＜b＜n．故选：D．【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、根与系数的关系；根据题意得出m、n可看作抛物线y=（x-a）（x-b）与直线y=2的两交点的横坐标是解决问题的关键．5．（2018春大连市期末）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=-2x2 B．y=2x2 C．y= - 12x2 D．y=12x2【答案】C【解析】抛物线顶点为（0,0），所以设抛物线方程为y=ax2(a<0);（2，-2）是图像上的点，所以−2=a×22,∴a=−12;故选C6．（2018春常德市期末）已知一元二次方程1–（x–3）（x+2）=0，有两个实数根x1和x2（x1<x2），则下列判断正确的是( )A．–2<x1<x2<3 B．x1<–2<3<x2C．–2<x1<3<x2D．x1<–2<x2<3【答案】B【详解】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）∵y=0时，x=-2或x=3，∴y=-（x﹣3）（x+2）的图像与x轴的交点为（-2，0）（3，0），∵1﹣（x﹣3）（x+2）=0，∴y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1，与x轴的交点的横坐标为x1、x2，∵-1<0，∴两个抛物线的开口向下，∴x1＜﹣2＜3＜x2，故选B.【名师点睛】本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.7．（2019春大东区期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴一个交点为(−2,0)，对称轴为直线x=1，则y<0时x的范围是()A ．x >4或x <−2B ．−2<x <4C ．−2<x <3D ．0<x <3 【答案】B【解析】因为抛物线与x 轴的一个交点为（−2，0），对称轴为直线x=1，所以抛物线另一个与x 轴的交点为（4，0），∴y ＜0时，−2＜x ＜4.故选B ．8．（2019春 宝鸡市期末）已知函数y=（k ﹣3）x 2+2x+1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．k≤4且k≠3 B．k ＜4且k≠3 C．k ＜4 D ．k≤4 【答案】D【解析】（1）当k=3时，函数y=2x+1是一次函数， ∵一次函数y=2x+1与x 轴有一个交点， ∴k=3；（2）当k≠3时，y=（k-3）x 2+2x+1是二次函数， ∵二次函数y=（k-3）x 2+2x+1的图象与x 轴有交点， ∴b 2-4ac≥0，∵b 2-4ac=22-4（k-3）=-4k+16， ∴-4k+16≥0，∴k≤4且k≠3，综合（1）（2）可知，k 的取值范围是k≤4， 故选D.【名师点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点及根的判别式，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 9．（2018春 黄石市期末）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可估计关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是1 1.6x =，2x =A．-1.6 B．3.2C．4.4 D．5.2【答案】C【详解】由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4．故选C．【名师点睛】此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与x轴交点坐标，是一道较为简单的试题．10．（2017春石家庄市期末）已知二次函数y＝x2－2x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(－1，0)，则关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根是( )A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝3C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝3【答案】D【详解】将(－1，0)代入y＝x2－2x＋m得, 0=1+2+m,解得m=−3,则得方程为: x2－2x-3=0,解得(x+1)(x−3)=0,x1=−1,x2=3.所以D选项是正确的.故选：D.【名师点睛】本题考核知识点：本题考查了抛物线与x轴的交点,要知道,抛物线上的点符合函数的解析式,同时要知道一元二次方程的解法.二、填空题（共5小题）11．（2017春 泸州市期中）已知二次函数y=x 2﹣4x+k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】k ＜4【详解】∵二次函数y=x 2﹣4x+k 中a=1＞0，图象的开口向上， 又∵二次函数y=x 2﹣4x+k 的图象的顶点在x 轴下方， ∴抛物线y=x 2﹣4x+k 的图象与x 轴有两个交点， ∴△>0，即（-4）2-4k>0， ∴k ＜4， 故答案为：k ＜4.【名师点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，由题意得出抛物线与x 轴有两个交点是解题的关键. 12．（2018春 芜湖市期中）已知抛物线y=3x 2﹣4x+c 的顶点在x 轴上方，则c 应满足的条件_____． 【答案】c ＞43【详解】抛物线y=3x 2﹣4x+c 的开口向上， 其顶点的纵坐标为：4ac −b 24a=4×3c −(−4)24×3=3c −43，由于抛物线的顶点在x 轴上方， 所以3c −43＞0，解得：c ＞43， 故答案为：c ＞43.【名师点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，本题中的抛物线开口向上，因此也可以通过根的判别式小于0来求解..13．（2019春 黔东南区期末）若函数y ＝(a －1)x 2－4x ＋2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为_____．【答案】－1或2或1【解析】∵函数y=(a-1)x 2-4x+2a 的图象与x 轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b 2-4ac=16-4(a-1)×2a=0， 解得：a 1=-1，a 2=2，当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1. 故答案为：-1或2或1.14．（2018秋 常州市期末）二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x =−1，与x轴的一个交点为(1 ， 0)，与y轴的交点为(0 ， 3)，则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的解为__________．【答案】x 1=1，x 2=−3【详解】解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的一个交点是（1，0），对称轴为直线x=-1， ∴抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的另一个交点是（-3，0）， ∴方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解为：x 1=1，x 2=-3． 故答案为：x 1=1，x 2=-3．【名师点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，正确得出抛物线与x 轴的交点坐标是解题关键． 15．（2018春 汕头市期末）如图为二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线1x =.若其与x 轴一交点为A(3，0)则由图象可知，不等式20ax bx c ++<的解集是_______.【答案】﹣1＜x ＜3【解析】试题分析：由图象得：对称轴是x=1，其中一个点的坐标为（3，0） ∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0） 利用图象可知：ax 2+bx+c ＜0的解集即是y ＜0的解集， ∴-1＜x ＜3．三、解答题（共2小题）16．（2018春 武清区期中）已知二次函数y =2(x −1)(x −m −3)（m为常数）. （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？【答案】（1）证明见解析；（2）m>−3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.【解析】分析：（1）首先求出与x轴交点的横坐标x1=1，x2=m+3,即可得出答案;(2)求出二次函数与y轴的交点纵坐标.根据交点纵坐标大于0即可求出.详解：（1）证明：当y=0时，2(x−1)(x−m−3)=0.解得x1=1，x2=m+3.当m+3=1，即m=−2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m≠−2时，方程有两个不相等的实数根.所以，不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点.（2）解：当x=0时，y=2m+6，即该函数的图像与y轴交点的纵坐标是2m+6.当2m+6>0，即m>−3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标,熟练掌握抛物线与x轴的交点的证明方法，求出抛物线与y轴交点的纵坐标是解决问题（2）的关键.17．（2019春长沙市期末）二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题．(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】（1）x＝1或x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；（2）l＜x＜3；（3）当x＞2时，y随x的增大而减小；（4）k＜2．【解析】1）图中可以看出抛物线与x轴交于(1，0)和(3，0)，∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1 或x=3；（2）不等式ax2+bx+c>时，通过图中可以看出：当1<x<3时，y 的值>0，∴不等式ax2+bx+c>0的解集为(1，3)；（3）图中可以看出对称轴为x=2，∴当x>2时，y随x的增大而减小；（4）∵抛物线y=ax2+bx+c经过(1，0)，(2，2)，(3，0)，∴0 {422 930a b ca b ca b c++=++=++=，解得：a=−2，b=8，c=−6，∴−2x2+8x−6=k,移项得−2x2+8x−6−k=0，△=64−4(−2)(−6−k)>0，整理得：16−8k>0，∴k<2时,方程ax2+bx+c=k有2个相等的实数根。
人教版九上数学一元二次方程知识点和考点精析
一元二次方程知识点及考点精析一、知识结构： 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法二、考点精析考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。
二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。
⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
针对练习：★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
人教版初中数学同步讲义九年级上册第03讲 解一元二次方程——公式法(解析版)
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣11，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣11）＝60．
故选：D．
【即学即练 2】
D．60
4．下列方程中，以 x＝ 5 25 4c 为根的是（ ） 2
A．x2﹣5x﹣c＝0 B．x2+5x﹣c＝0
C．x2﹣5x+4c＝0
D．x2+5x+c＝0
【解答】解：A．此方程的根为 x＝
②若 b2 4ac 0 方程有两个相等的实数根 。
③若 b2 4ac＜0 方程没有实数根 。
题型考点：①计算根的判别式的值判断方程的根的情况。②根据方程的根的情况求值
【即学即练 1】
1．一元二次方程 x2+3x﹣1＝0 的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根
②计算 b2 4ac 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把 a，b，c 的值带入相应的求根公式求解。
题型考点：①根据求根公式确定 a，b，c 的值。②利用公式法解一元二次方程。
【即学即练 1】
3．用公式法解方程 x2﹣4x﹣11＝0 时，Δ＝（ ）
A．﹣43
B．﹣28
C．45
【解答】解：x2﹣4x﹣11＝0，
第 03 讲 解一元二次方程——公式法
课程标准
①根的判别式 ②公式法解一元二次方程 ③根与系数的关系
学习目标 1. 学会利用根的判别式判断根的情况，同时根据根的 情况利用根的判别式求值。 2. 掌握公式法解一元二次方程。 3. 掌握根与系数的关系。
知识点 01 根的判别式
1. 根的判别式：
用配方法解一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 ，可将方程化成
人教版九年级数学解一元二次方程讲义(含解析)
第2讲解一元二次方程∣⅛∣知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是- 元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法, 为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。
特殊的一元二次方程的解法特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解：（1）解一元二次方程——直接开平方法形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±Jp ；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0的形式，那么nx+m=± Jp .注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数；①降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程；①方法是根据平方根的意义开平方.(2)解一元二次方程——因式分解法通过将一元二次方程因式分解成(X-P) (x-q) =O的形式，进而将一元二次方程的求解过程转化成求解两个一元一次方程的方法叫因式分解法。
因式分解法的一般步骤：①移项，将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解•一般的一元二次方程的解法■ 9HrIB≡WI9≡HB99VWBS SWB9*mBBWaB9⅞-nB≡nB≡9HB9SVWB9*HraB≡PnB≡WI99T,VB9SVWB9S l HB!l'(VaB≡'1一般的一元二次方程的解法主要有两种即配方法和公式法：(1)解一元二次方程一一配方法将一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点(含答案解析)
一、选择题1．方程()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值为（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．4B 解析：B【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义解答．【详解】∵()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，∴240,20m m -=-≠，∴m=-2，故选：B ．【点睛】此题考查二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．2．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x ，根据题意列方程为（ ）．A ．()40012900x +=B ．()40021900x ⨯+=C ．()24001900x +=D ．()()240040014001900x x ++++=C 解析：C【分析】设月平均增长率为x ，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设月平均增长率为x ，根据题意得：400（1+x ）2=900．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．3．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7＝0，可变形为（ ）A ．（x+2）2＝3B ．（x+2）2＝11C ．（x ﹣2）2＝3D ．（x ﹣2）2＝11D 解析：D【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可．【详解】解：x 2﹣4x ﹣7＝0，移项得：247x x -=配方得：24474x x -+=+ ，即2()211x -=故答案为：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．4．关于x 的一元二次方程()2230x a a x a +-+=的两个实数根互为倒数，则a 的值为（ ）A ．-3B ．0C ．1D ．-3或0C 解析：C【分析】根据方程两个实数根互为倒数，得到两根之积为1，利用根与系数的关系求出a 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-3a ）x+a=0的两个实数根互为倒数，∴x 1•x 2=a=1．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a≠0，b 2-4ac≥0）的两根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 5．方程22x x =的解是（ ）A ．0x =B ．2x =C ．10x =，22x = D ．10x =，2x = 解析：C【分析】移项并因式分解，得到两个关于x 的一元一次方程，即可求解．【详解】解：移项，得220x x -=，因式分解，得()20x x -=，∴0x =或20x -=，解得10x =，22x =，故选：C ．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．6．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）A ．a ≠2B ．a=2C ．a=-3D ．a=-3或a=2B 解析：B【分析】将x=0代入方程中，可得关于a 的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．【详解】解：将x=0代入（a+2）x 2- 2+a-6=0中，得： a 2+a-6=0，解得：a 1=﹣3，a 2=2，∵a+2≠0且a ﹣2≥0，即a≥2，∴a=2，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．7．若m 是方程220x x c --=的一个根，设2(1)p m =-，2q c =+，则p 与q 的大小关系为（ ）A ．p ＜qB ．p ＝qC ．p ＞qD ．与c 的取值有关A 解析：A【分析】结合m 是方程220x x c --=的一个根，计算p-q 的值即可解决问题．【详解】解：∵m 是方程220x x c --=的一个根，∴220m m c --=∵2(1)p m =-，2q c =+，∴222(1)(2)212211p q m c m m c m m c -=--+=-+--=---=-，∴p ＜q故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键．8．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x ⨯+=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=D解析：D【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积的年平均增长率为x ，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均增长率为x ，根据题意可列出方程为：2000（1+x ）2=2880．故选：D ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a （1+x ）2=b （a ＜b ）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a （1-x ）2=b （a ＞b ）．9．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．210x x +=B ．ax 2+bx +c ＝0C ．(x ﹣1)(x ﹣2)＝0D ．3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2C 解析：C【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A 、是分式方程．错误；B 、当a ＝0时不是一元二次方程，错误；C 、是，一元二次方程，正确；D 、3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误；故选：C ．【点睛】考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．10．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（ ）A ．x ＝5B ．x ＝1C ．x 1＝5，x 2＝﹣5D ．x 1＝1，x 2＝5D解析：D【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：∵（x ﹣3）2﹣4＝0，∴（x ﹣3）2＝4，则x ﹣3＝2或x ﹣3＝﹣2，解得x 1＝5，x 2＝1，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，掌握解法是关键.二、填空题11．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x 个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解解析：1+x+x 2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．【详解】解：依题意得支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，那么根据题意可列出方程为：1+x+x 2=91，故答案为：1+x+x 2=91．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．12．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键解析：12x 0x -3==，【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x ( x +3)＝0，x ＝0或 x +3＝0，12x 0x -3==，；故答案为：12x 0x -3==，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．13．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得又∵该方程为一元二次方程且故答案为：且【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义属于解析：1k -＞且0k ≠．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，()224241440b ac k k ∴∆=-=-⨯-=+>，解得1k >-．又∵该方程为一元二次方程，0k ∴≠，1k ∴>-且0k ≠．故答案为：1k >-且0k ≠．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．14．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析：4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15．将方程2630x x +-=化为()2x h k +=的形式是______．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上9左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】考查了解一元二次方程-配方法利用此方法解方程时首先将二次项系数化为1常数解析：()2312x +=【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．【详解】∵2630x x +-=∴263x x +=∴26939x x+++=∴()2312x+= 故答案为：()2312x+=【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．16．若关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，则k =______．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解解析：4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，∴224440b ac k ∆=-=-=，解得：4k =；故答案为：4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．17．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0有一根为x ＝﹣1，则a +b ＝_____．2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx ﹣2016＝0得到a+b ﹣2016＝0然后将a+b 当作一个整体解答即可【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016＝0得：a+b ﹣2016＝解析：2016．【分析】将x=-1代入ax 2﹣bx ﹣2016＝0得到a +b ﹣2016＝0，然后将a+b 当作一个整体解答即可．【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0得：a +b ﹣2016＝0，即a +b ＝2016．故答案是2016．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键． 18．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______．2【分析】先将方程整理为x2-2x-3=0再根据根与系数的关系可得出x1+x2即可【详解】解：一元二次方程整理为∵x1x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根∴x1+x2=2故答案为：2【点睛】解析：2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a-是解题的关键． 19．用因式分解法解关于x 的方程 260x px --=，将左边分解因式后有一个因式为3x -，则的p 值为_______1【分析】方法一：根据题意因式分解得到再展开去括号根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将代入方程可得一个关于p 的一元一次方程解方程即可得【详解】方法一：由题意得解得则；方法二：由题意得是关于x 的方程的解析：1【分析】方法一：根据题意因式分解得到26(3)()x px x x a --=-+，再展开去括号，根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将3x =代入方程可得一个关于p 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】方法一：由题意得，226(3)()(3)3x px x x a x a x a --=-+=+--， 3p a ∴-=-，36a -=-，解得2a =，则1p =；方法二：由题意得，3x =是关于x 的方程260x px --=的一个解，则将3x =代入得：23360p --=，解得1p =，故答案为：1．【点睛】本题考查了多项式因式分解的方法、利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握多项式的运算法则和方程的解法是解题关键．20．将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a ，b 为常数）的形式，则b ＝_____．21【分析】先把常数项移到等号的右边再等号两边同时加上16即可【详解】解：∵x2﹣8x ＝5∴x2﹣8x+16＝5+16即（x ﹣4）2＝21故答案为：21【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方掌握完全解析：21【分析】先把常数项移到等号的右边，再等号两边同时加上16，即可．【详解】解：∵x 2﹣8x ＝5，∴x 2﹣8x +16＝5+16，即（x ﹣4）2＝21，故答案为：21．【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．三、解答题21．用配方法解方程：22510x x -+=解析：154x =+，254x = 【分析】依据配方法的基本步骤解方程即可．【详解】解：22510x x -+=，系数化为1得：251022x x -+=，配方得：2255251()024162x x -+--+=， 即：2517()416x -=，两边同时开平方得：54x -=，即154x =254x =-． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．配方法的关键步骤在于配完全平方公式，此步需熟练掌握完全平方公式及各部分之间的关系．22．已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0．（1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．解析：（1）证明见解析；（2）k 的值为2或1或3．【分析】（1）先计算出△＝4（k ﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，然后分类讨论：当AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值．【详解】解：（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k 2+4k +12）＝4（k ﹣2）2≥0，∴无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0，（x +k ﹣6）（x ﹣k ﹣2）＝0，解得：x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，当AB ＝AC 时，﹣k +6＝k +2，则k ＝2；当AB ＝BC 时，﹣k +6＝5，则k ＝1；当AC ＝BC 时，则k +2＝5，解得k ＝3，综合上述，k 的值为2或1或3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．23．解方程：2410y y --=．解析：12y =22y =【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简，开方即可得到答案．【详解】解：2410y y --= 24=1y y -24+4=5y y -2(2)=5y -2=y -±解得，12y =22y =【点睛】此题主要考查了解一元二次方程---配方法，熟练掌握各种解法是解答此题的关键． 24．解下列方程：（1）2410x x --=；（2）(4)123x x x -=-．解析：（1）12x =22x =2）x 4=或x 3=-【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用因式分解法解方程.【详解】（1）2410x x --=2445x x +=-2(2)5x -=则2x -=解得12x =22x =（2）解：(4)3(4)0x x x -+-=，(4)(3)0x x -+=，则40x -=或30x +=，解得x 4=或x 3=-.【点睛】此题考查解一元二次方程：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.25．如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD ，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD 的面积为96平方米，求AB 和BC 的长．解析：AB=8米，BC=12米．【分析】设AB 为x 米，然后表示出BC 的长为（36-3x ）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．【详解】解：设AB 为x 米，则BC 为（36-3x ）米，x （36-3x ）=96，解得：x 1=4，x 2=8，当x=4时，36-3x=24＞22（不合题意，舍去），当x=8时，36-3x=12．答：AB=8米，BC=12米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．26．解下列方程：（1）2810x x --=；（2）2(2)6(2)80x x ---+=．参考答案解析：（1）1417x =，2417x =；（2）16x =，24x =．【分析】（1）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可；（2）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可．【详解】解：（1）2810x x --=281x x -=281617x x -+=()2417x -=417x -=±1417x =，2417x =（2）2(2)6(2)80x x ---+=[]2(2)31x --=51x =±，16x =，24x =．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，正确的对原方程配方成为解答本题的关键． 27．某地为刺激旅客来旅游及消费，讨论5月至9月推出全城推广活动．杭州某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？解析：30名【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用54000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x 名员工去旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x-25）人，每人降低20元，共降低了20（x-25）元．实际每人收了[1000-20（x-25）]元，列出方程求解．【详解】解：设该单位这次共有x 名员工去旅游．因为2000×25=50000＜54000，所以员工人数一定超过25人．根据题意列方程得：[2000-40（x-25）]x=54000．解得x 1=45，x 2=30．当x 1=45时，2000-40（x-25）=1200＜1700，故舍去；当x 2=30时，2000-40（x-25）=1800＞1700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去旅游．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的应用，一元二次方程的解法的运用，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题应注意的地方有两点：1、确定人数的范围；2、用人均旅游费用不低于1700元来判断，得到满足题意的x 的值． 28．阅读下列材料：对于任意的正实数a ，b ，总有2a b ab +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．例如：若0x >，求式子1x x +的最小值． 解：∵0x >，∴112212x x x x+≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．（1）若0x >，求9x x+的最小值； （2）已知1x >，求2251x x x -+-的最小值． （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．解析：（1）6；（2）4；（3）25．【分析】（1）将原式变形为99x x x x+≥⋅ （2）结合阅读材料将原式变形为()411x x -+-后即可确定最小值； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出36AOD S x =△，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】 解：（1）∵0x >，∴99x x x x+≥⋅又∵296=，∴96x x+≥ ∴9x x +的最小值为6；（2）∵1x >∴10x ->， ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-≥∵∴22541x x x -+≥- ∴2251x x x -+-的最小值为4． （3）设(0)BOC S x x =>△，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AODS S S S =△△△△ ∴49AOD x S =△，即36AOD S x=△， ∴四边形ABCD 面积364913x x =+++≥， ∵13=25，当且仅当x=6时，取等号， ∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．。
人教版初中数学-学年九年级上学期期末专题复习 专题1：一元二次方程 解析版
人教版初中数学2019-2020学年九年级上学期期末专题复习专题1：一元二次方程一、单选题1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A. x2+2y=1B. ﹣2=0C. ax2+bx+c=0D. x2+2x=12.一元二次方程x2-x-4=0的一次项系数和常数项分别是（）A. 1，-1B. 1，-4C. -1，-4D. -1，43.将一元二次方程化为一般形式，正确的是（）A. B. C. D.4.方程的解是（）A. B. C. ， D.5.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根,则k的取值范围是( )A. k>-1或k≠0B. k≥-1C. k≤-1或k≠0D. k≥-1且k≠06.一元二次方程x2+4x+2=0的根的判别式的值为（）A. 8B. 24C.D.7.已知x1、x2、是一元二次方程x2+x-2=0的两个根，则x1+x2+x1x2的值为（）A. 1B. -3C. 3D. -2二、填空题8.方程x2-2ax+3=0有一个根是1，a的值是________。
9.若代数式可化为，则=________，=________.10.定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a，如：min{1，-2）=-2，min{-3，-2）=-3，则方程min{x，-x}=x2-1的解是________.三、计算题11.解下列方程。
（1）x2-5x+6=0（2）(2x＋1)(x－4)＝5.12.（1）先化简，再求值：（x-2y）2-x（x+3y）-4y2，其中x=-4，y= .（2）已知：x+y=6，xy=4，求下列各式的值x2+y213.按要求解一元二次方程（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）（4）x2﹣2x﹣8=0．（5）(6x－1)2＝25；四、解答题14.如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450 ，求道路的宽．15.要组织一次篮球邀请比赛，参赛的队伍每两个队都要比赛一场.赛程安排7天,每天比赛4场,问组织者应该邀请多少个队参赛?五、综合题16.已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．（1）当m＝0时，求方程的实数根．（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．17.在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．（1）若参加聚会的人数为3，则共握手________次；若参加聚会的人数为5，则共握手________次；（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手________次；（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．答案解析部分一、单选题1. D解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；C、当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元二次方程，故本选项符合题意；故答案为：D．【分析】一元二次方程是指含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，根据定义判断即可．2. C解：一元二次方程x2-x-4=0的一次项系数时-1，常数项是-4，故C正确。
2019-2020学年人教版九年级数学上册期末考点大串讲：一元二次方程及其一般式(含答案解析)
一元二次方程及其一般式知识网络重难突破知识点1：一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
【注意】1）只含有一个未知数； 2）所含未知数的最高次数是2； 3）整式方程。
典例1 下列属于一元二次方程的是（ ）. A ．2213y x +-= B ．2x x = C ．21120x x--= D ．3x ＋1＝0【答案】BA. 不是一元二次方程，有两个未知数，故此选项错误；B. 是一元二次方程，故此选项正确；C. 不是一元二次方程，是分式方程，故此选项错误；D. 不是一元二次方程，是一元一次方程，故此选项错误； 故选：B.典例2（2019春 左贡县期末）2230px x p q -+-=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．1p = B ．0p > C ． 0p ≠ D ． p 为任意实数【答案】C【详解】∵方程2230px x p q -+-=是关于x 的一元二次方程， ∴二次项系数p≠0， 故选C.典例3 若22ax x x -=是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是（ ） A ．0a > B ．1a ≠ C ．1a ≠- D ．0a ≠【答案】B【详解】由题意得：a-1≠0 解得a≠1 故选B ．知识点二 一元二次方程的解概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
典例1（2019春 赣州市期末）关于x 的方程x 2+（m 2﹣2）x ﹣15＝0有一个根是x ＝3，则m 的值是（ ）A.0B.2C.2或﹣2D.﹣2【答案】C【详解】把x ＝3代入方程x 2+（m 2﹣2）x ﹣15＝0得9+3m 2﹣6﹣15＝0，解得m ＝±2． 故选C ．典例2（2019春 武汉市期末）已知 1 是关于 x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +1=0 的一个根，则 m 的值是（ ） A.1 B.0 C.﹣1 D.无法确定【答案】C【详解】解：∵1是关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+1=0的一个根， ∴（m-1）×12+1+1=0，且m-1≠0，解得：．故选择：C.典例3 （2019市 重庆市期末）已知a 是方程的一个根，则代数式的值是（ ）A.6B.5C.D.【答案】B【详解】解：∵a是方程x2-3x-1=0的一个根，∴a2-3a-1=0，整理得，a2-3a=1，∴2a2-6a+3=2（a2-3a）+3=2×1+3=5，故选：B．巩固训练一、选择题（共10题）1．（2019春青岛市期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝1必有一根为（）A．12019B．2020 C．2019 D．2018【答案】B【详解】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，设t=x-1，所以at2+bt-1=0，而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019，所以at2+bt-1=0有一个根为t=2019，则x-1=2019，解得x=2020，所以一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．故选：B．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（2019春青岛市期末）观察下列表格，一元二次方程x2-x=1.2的一个近似解是（）A ．0.11B ．1.69C ．1.79D ．1.19【答案】C【详解】∵x=1.7时，x 2-x=1.19；x=1.8时，x 2-x=1.44， ∴一元二次方程x 2-x=1.2的一个解为1.7＜x ＜1.8．故选C ．【名师点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解．3．（2019春 济南市期末）已知m 是方程好x 2－2x －1＝0的一个根，则代数式2m 2－4m ＋2019的值为( )A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019【答案】B【详解】∵m 是方程x 2−2x −1=0的一个根， ∴m 2−2m −1=0， ∴m 2−2m=1，∴2m 2−4m+2017=2(m 2−2m)+2017=2×1+2019=2021.故选B【名师点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则4．（2019春 桂林市期末）方程x 2+2x ﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A ．1，2，3B ．1，2，﹣3C ．1，﹣2，3D ．﹣1，﹣2，3【答案】B【详解】方程x 2+2x ﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2，﹣3，故选：B ．【名师点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax 2+bx+c ＝0(其中a ，b ，c 为常数，且a≠0)．解题关键在于找出系数及常熟项5．（2019春 荣成市期末）关于x 的方程221(3)60m m m x mx ----+=是一元二次方程，则它的一次项系数是( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．3或－1【答案】B【详解】解：由题意得：m 2-2m-1=2，m-3≠0，解得m=-1或m=3． m=3不符合题意，舍去， 所以它的一次项系数-m=1． 故选：B ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 6．（2019春 蚌埠市期末）一元二次方程(a -3)x 2-2x +a 2-9=0 的一个根是 0, 则 a 的值是( )A ．2B ．3C ．3 或-3D ．-3【答案】D【详解】把x =0代入方程（a -3）x 2-2x +a 2-9=0，得：a 2﹣9=0，解得：a =±3．∵a －3≠0，∴a =－3． 故选D ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不能为0，难度不大．7．（2018春 苏州市期末）若关于x 的方程（a +1）x 2-3x -2=0是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≠B ．1a ≠-C ．1a >-D ．1a <-【答案】B【详解】解：根据题意，得 a+1≠0， 解得，a≠-1． 故选：B ．【名师点睛】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．8．（2018春 赣州市期末）将一元二次方程﹣3x 2﹣2＝﹣4x 化成一般形式ax 2+bx+c ＝0（a ＞0）后，一次项和常数项分别是（ ） A ．﹣4，2 B ．﹣4x ，2 C ．4x ，﹣2D ．3x 2，2【答案】B【详解】解：把一元二次方程-3x 2-2=-4x 化成一般形式ax 2+bx+c=0得：-3x 2+4x-2=0，∵a ＞0，∴3x 2-4x+2=0，∴一次项和常数项分别是：-4x ，2， 故选：B ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．9．（2018秋 重庆市期中）若()2a 1x x 10-+-=是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是( )A ．a 0≠B ．a 0≥C ．a 1≠D ．a 1≥【答案】C【详解】根据题意得：10a -≠，解得：1a ≠， 故选C ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．10．（2019春 北京市期中）已知2是关于x 的方程3x 2﹣2a ＝0的一个解，则a 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】D【详解】解：把x ＝2代入方程3x 2﹣2a ＝0得3×4﹣2a ＝0，解得a ＝6． 故选：D ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．二、填空题（共5题）11．（2019春 北京市期末）如果a 是一元二次方程2350x x --=的一个根，那么代数式283a a -+=__________.【答案】3【详解】解：把x=a 代入x 2-3x-5=0得a 2-3a-5=0， 所以a 2-3a=5，所以8-a 2+3a=8-（a 2-3a ）=8-5=3．故答案为：3．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．（2019春 乌兰察布市期末）方程(31)(23)1x x +-=中，二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.【答案】6 -7 -4【详解】方程整理得：6x 2 −7x −4=0，其中二次项系数是6，一次项系数为−7，常数项为−4， 故答案为： 6，−7，−4【名师点睛】此题考查一元二次方程的性质，解题关键在于将方程整理为一般形式13．（2019春 东营市期末）已知关于x 的一元二次方程()222340m x x m +-+-=的一根为0，则m 的值为__________． 【答案】2【详解】把x=0代入方程得 m 2-4=0∴m 1=2，m 2=-2，∵一元二次方程的二次项系数不为0， ∴m+2≠0，即m≠-2， ∴m=2． 故答案为：2．【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的根，把方程的根代入方程求出字母系数的值，对不合题意的值要舍去．14．（2019春 长春市期中）如果5x =是一元二次方程230x x n -+=的一个根,则常数n 的值为______. 【答案】-10.【详解】把5x =代入230x x n -+=可得25350n -⨯+=解得：x=-10 故答案为：-10【名师点睛】考核知识点：一元二次方程的根.理解方程的根的意义.15．（2019春 温州市期末）若3x =是一元二次方程230x ax b ++=的解，则代数式+a b 的值是_______【答案】-3【详解】解：3x =是一元二次方程230x ax b ++=的一个根， 23330a b ∴++=， 3a b ∴+=-．故答案为：3-．【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的解（根)的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．三、解答题（共2题）16．（2019春 北京市期中）关于x 的方程x 2+mx ﹣1＝0的一个根是x ＝2，求m 的值．【答案】m ＝﹣32． 【详解】解：把x ＝2代入方程x 2+mx ﹣1＝0得4+2m ﹣1＝0，解得m ＝﹣．【名师点睛】本题考核一元二次方程的根的意义.17．（2018春 北京市期末）已知x ＝n 是关于x 的一元二次方程mx 2﹣4x ﹣5＝0的一个根，若mn 2﹣4n+m ＝6，求m 的值． 【答案】1【详解】依题意，得2450mn n --=． ∴245mn n -=． ∵246mn n m -+=， ∴56m +=．∴1m =．【名师点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
上册一元二次方程期末知识点复习人教版九年级数学全一册精品系列PPT
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
解：(1)设该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为x. 根据题意，得5 000(1＋x)2＝7 200， 解得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． ∴x＝0.2＝20%. 答：该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为20%. (2)7 200×(1＋20%)＝8 640(万元)． 答：预算2019年该地区投入教育经费为8 640万元．
7．如果关于x的一元二次方程(k＋2)x2－3x＋1＝0有实数根，
那么k的取值范围是 k≤14且k≠－2 .
8．关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数 根． (1)求k的取值范围； (2)当k＝4时，求一元二次方程的根．
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
(4)3x(x－2)＝2(x－2)； x1＝2，x2＝23 (5)5x2＋2x－1＝0. x1＝－1＋5 6，x2＝－1－5 6
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
上册第21章 一元二次方程期末知识点复习-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共2 9张PPT )
知识点2 解一元二次方程 3．一元二次方程x2＋2x＝0的根是 x1＝0，x2＝－2.
4．用配方法解方程x2－8x＋2＝0，则方程可变形为( C )
A．(x－4)2＝5
B．(x＋4)2＝21
人教版九年级上册期末专题复习：一元二次方程全章热门考点与重点题型解题技巧整理((含答案解析)
一元二次方程全章热门考点与重点题型解题技巧整理（解析） 考点1：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值考点分析：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在：利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等． 题型1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值1．已知(m －3)x 2＋m ＋2x ＝1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( D )A ．m ≠3B ．m ≥3C ．m ≥－2D ．m ≥－2且m ≠3点拨：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －3≠0，m ＋2≥0，解得m ≥－2且m ≠3.2．已知关于x 的方程(m ＋1)xm 2＋1＋(m －2)x －1＝0.(1)m 取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；(2)m 取何值时，它是一元一次方程？解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1＝2，m ＋1≠0时，它是一元二次方程，解得m ＝1. 当m ＝1时，原方程可化为2x 2－x －1＝0.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m －2≠0，m ＋1＝0或者当m ＋1＋(m －2)≠0且m 2＋1＝1时，它是一元一次方程．解得m ＝－1或m ＝0.故当m ＝－1或m ＝0时，它是一元一次方程．题型2 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值1．若一元二次方程(2a －4)x 2＋(3a ＋6)x ＋a －8＝0没有常数项，则a 的值为___8___．点拨：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －8＝0，2a －4≠0.解得a ＝8. 2．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－1＝0的常数项为0，求m 的值．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m －1≠0，解得m ＝－1.题型3 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值1．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为(A) A．－1 B．0 C．1 D．2点拨：∵关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，∴a2－ab＋a＝0. ∴a(a－b＋1)＝0. ∵a≠0，∴a－b＝－1.2．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0的一个根为0，求k的值．解：把x＝0代入(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0，得k2－16＝0，解得k1＝4，k2＝－4. ∵k＋4≠0，∴k≠－4，∴k＝4.3．已知实数a是一元二次方程x2－2 016x＋1＝0的根，求代数式a2－2 015a－a2＋1 2 016的值．解：∵实数a是一元二次方程x2－2 016x＋1＝0的根，∴a2－2 016a＋1＝0.∴a2＋1＝2 016a，a2－2 016a＝－1.∴a2－2 015a－a2＋12 016＝a2－2 015a－2 016a2 016＝a2－2 015a－a＝a2－2 016a＝－1题型4 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题1．已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两个根，是否存在实数a使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：由题意可知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，∴(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝[7(m2－2m)＋a][3(n2－2n)－7]＝(7＋a)(3－7)＝－4(a ＋7)，由－4(a＋7)＝8得a＝－9，故存在满足要求的实数a，且a的值等于－9.考点2：一元二次方程的解法归类考点分析：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果．类型1 限定方法解一元二次方程方法1 形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1．方程4x 2－25＝0的解为( C )A ．x ＝25B ．x ＝52C ．x ＝±52D ．x ＝±252．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( C )A ．x 2－5＝5B ．－3x 2＝0C ．x 2＋4＝0D ．(x ＋1)2＝0方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解1．用配方法解方程x 2＋3＝4x ，配方后的方程变为( C )A ．(x －2)2＝7B ．(x ＋2)2＝1C ．(x －2)2＝1D ．(x ＋2)2＝22．解方程：x 2＋4x －2＝0.解：x 2＋4x －2＝0，x 2＋4x ＝2，(x ＋2)2 ＝6，x ＋2 ＝±6，x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.3．已知x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，求x y的值． 解：x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，(x 2－10x ＋25)＋(y 2－16y ＋64) ＝0，(x －5)2＋(y －8)2 ＝0，∴x ＝5，y ＝8，∴x y ＝58.方法3 能化成形如(x ＋a )(x ＋b )＝0的一元二次方程用因式分解法求解1．一元二次方程x (x －2)＝2－x 的根是( D )A ．－1B ．0C ．1和2D ．－1和22．解下列一元二次方程：(1)x 2－2x ＝0；(2)16x 2－9＝0；(3)4x 2＝4x －1.解：(1)x 2－2x ＝0，x (x －2)＝0，x 1＝0，x 2＝2.(2)16x 2－9＝0，(4x ＋3)(4x －3)＝0，x 1＝－34，x 2＝34. (3)4x 2＝4x －1，4x 2－4x ＋1＝0，(2x －1)2＝0，x 1＝x 2＝12. 方法4 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解1．用公式法解一元二次方程x 2－14＝2x ，方程的解应是( B ) A ．x ＝－2±52 B ．x ＝2±52C ．x ＝1±52D ．x ＝1±322．用公式法解下列方程．(1)3(x 2＋1)－7x ＝0；(2)4x 2－3x －5＝x －2.解：(1)3(x 2＋1)－7x ＝0，3x 2－7x ＋3＝0，∴b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×3＝13，∴x ＝7±132×3＝7±136.∴x 1＝7＋136，x 2＝7－136. (2)4x 2－3x －5＝x －2，4x 2－4x －3＝0，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64，∴x ＝4±642×4， ∴x 1＝32，x 2＝－12.类型2 选择合适的方法解一元二次方程1．方程4x 2－49＝0的解为( C )A ．x ＝27B ．x ＝72C ．x 1＝72，x 2＝－72D ．x 1＝27，x 2＝－272．一元二次方程x 2－9＝3－x 的根是( C )A ．3B ．－4C ．3和－4D ．3和43．方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是( B )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ．x 1＝4，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－4，x 2＝24．解下列方程．(1)3y 2－3y －6＝0；(2)2x 2－3x ＋1＝0.解：(1)3y 2－3y －6＝0，y 2－y －2＝0，y 2－y ＋14－94＝0，⎝⎛⎭⎫y －122＝94，y －12＝±32， ∴y 1＝2，y 2＝－1.(2)2x 2－3x ＋1＝0，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1，∴x ＝3±12×2，即x 1＝1，x 2＝12. 类型3 用特殊方法解一元二次方程方法1 构造法1．解方程：6x 2＋19x ＋10＝0.解：将原方程两边同乘6，得(6x )2＋19×(6x )＋60＝0.解得6x ＝－15或6x ＝－4.∴x 1＝－52，x 2＝－23. 2．若m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn ＋p 2＋16＝0，求m ＋n ＋p 的值．解：因为m －n ＝8，所以m ＝n ＋8.将m ＝n ＋8代入mn ＋p 2＋16＝0中，得n (n ＋8)＋p 2＋16＝0，所以n 2＋8n ＋16＋p 2＝0，即(n ＋4)2＋p 2＝0.又因为(n ＋4)2≥0，p 2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋4＝0，p ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4，p ＝0.所以m ＝n ＋8＝4， 所以m ＋n ＋p ＝4＋(－4)＋0＝0.方法2 换元法a ．整体换元1．若(a ＋b )(a ＋b ＋2)－8＝0，则a ＋b 的值为( A )A ．－4或2B ．3或－32C ．－2或4D ．3或－22．已知x 2－2xy ＋y 2＋x －y －6＝0，则x －y 的值是( B )A ．－2或3B ．2或－3C ．－1或6D ．1或－63．解方程：(x －2)2－3(x －2)＋2＝0.解：(x －2)2－3(x －2)＋2＝0.设x －2＝y ，原方程化为y 2－3y ＋2＝0，解得y 1＝1，y 2＝2.当y ＝1时，x －2＝1，x ＝3，当y ＝2时，x －2＝2，x ＝4.∴原方程的解为x 1＝3，x 2＝4.4．解方程：(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝48.解：原方程即[(x －1)(x －4)][(x －2)(x －3)]＝48，即(x 2－5x ＋4)(x 2－5x ＋6)＝48.设y ＝x 2－5x ＋5，则原方程变为(y －1)(y ＋1)＝48.解得y 1＝7，y 2＝－7.当x 2－5x ＋5＝7时，解得x 1＝5＋332，x 2＝5－332； 当x 2－5x ＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．∴原方程的根为x 1＝5＋332，x 2＝5－332.b ．降次换元1．解方程：6x 4－35x 3＋62x 2－35x ＋6＝0.解：经验证x ＝0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋6x 2＝0， 即6⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－35⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋62＝0. 设y ＝x ＋1x ，则x 2＋1x 2＝y 2－2， 原方程可变为6(y 2－2)－35y ＋62＝0.解得y 1＝52，y 2＝103. 当x ＋1x ＝52时，解得x 1＝2，x 2＝12； 当x ＋1x ＝103时，解得x 3＝3，x 4＝13. 经检验，均符合题意．∴原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13.c ．倒数换元1．解方程：x －2x －3x x －2＝2.解：设x －2x ＝y ，则原方程化为y －3y＝2， 整理得y 2－2y －3＝0，∴y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x －2x＝3，∴x ＝－1. 当y ＝－1时，x －2x＝－1，∴x ＝1. 经检验，x ＝±1都是原方程的根，∴原方程的根为x 1＝1，x 2＝－1.方法3 特殊值法1．解方程：(x －2 013)(x －2 014)＝2 015×2 016.解：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝2 016，x －2 014＝2 015的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029. 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 013＝－2 015，x －2 014＝－2 016的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2.∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x1＝4 029，x2＝－2.点拨：解本题也可采用换元法．设x－2 014＝t，则x－2 013＝t＋1，原方程可化为t(t ＋1)＝2 015×2 016，先求出t，进而求出x.考点3：根的判别式的四种常见应用考点分析：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．题型1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是(C)A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解点拨：当k＝0时，方程为一元一次方程，解为x＝1；当k≠0时，因为Δ＝(1－k)2－4k·(－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，所以当k＝1时，Δ＝4，方程有两个不相等的实数解；当k＝－1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数解；当k≠0时，Δ≥0，方程总有两个实数解．故选C.2．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．解：∵x2－2x－m＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m＋1)＝－4m>4，∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．题型2 利用根的判别式求字母的值或取值范围1已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．解：(1)根据题意得b2－4ac ＝4－4(2k －4)＝20－8k>0，解得k<52. (2)由k 为正整数，可得k ＝1或k ＝2.利用求根公式可求出方程的根为x ＝－1±5－2k ，∵方程的根为整数，∴5－2k 为完全平方数，∴k 的值为2.2．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2) x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m .∴x 1＝2m ，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.题型3 利用根的判别式求代数式的值1．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m －1（2m －1）2＋2m的值．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114；当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.2.已知关于x 的一元二次方程mx 2＋nx －2＝0(m ≠0)有两个相等的实数根，求mn 2（m ＋4）2＋n 2－16的值． 解：由题意可知，b 2－4ac ＝n 2＋8m ＝0，∴8m ＝－n 2，∴mn 2（m ＋4）2＋n 2－16＝mn 2m 2＋8m ＋16＋n 2－16＝mn 2m 2＋8m ＋n 2＝mn 2m 2－n 2＋n 2＝mn 2m 2. ∵m ≠0，∴mn 2m 2＝n 2m＝－8.题型4 利用根的判别式确定三角形的形状1.已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(b －c )x 2＋2(a －b )x ＋b －a ＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状解：∵一元二次方程(b －c )x 2＋2(a －b )x ＋b －a ＝0有两个相等的实数根， ∴[2(a －b )]2－4(b －c )·(b －a )＝0，∴4(a －b )(a －c )＝0，∴a ＝b 或a ＝c ，∴此三角形是等腰三角形2．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．解：∵方程(a ＋c)x2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4(a ＋c)·a －c 4＝b2－(a2－c2)＝0， 即b2＋c2＝a2，∴此三角形是直角三角形．考点4：一元二次方程与三角形的综合考点分析：一元二次方程是初中数学重点内容之一，常常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用、一元二次方程的解法及与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的综合运用．题型1 一元二次方程与三角形三边关系的综合1．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为(C)A．3B．4C．3或4D．无法确定2．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm，第三边长为a cm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求三角形的周长．解：由已知可得4<a<10，则a可取5，6，7，8，9.(第一步)当a＝5时，代入a2－10a＋21＝52－10×5＋21≠0，故a＝5不是方程的根．同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．(第二步)∴△ABC的周长是3＋7＋7＝17(cm)．上述过程中，第一步是根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，第二步应用的数学思想是__分类讨论_，确定a值的大小是根据_方程根的定义__．题型2 一元二次方程与直角三角形的结合1．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－17x＋60＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为____13____．2．已知a，b，c分别是△ABC的三边，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2m ax＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：△ABC 是直角三角形．理由如下： 原方程可化为(b ＋c )x 2－2m ax ＋cm －bm ＝0， Δ＝4ma 2－4m (c －b )(c ＋b )＝4m (a 2＋b 2－c 2)． ∵m >0，且原方程有两个相等的实数根，∴a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形．3．已知△ABC 的三边a ，b ，c 中，a ＝b －1，c ＝b ＋1，又已知关于x 的方程4x 2－20x ＋b ＋12＝0的根恰为b 的值，求△ABC 的面积．解：将x ＝b 代入原方程，整理得4b 2－19b ＋12＝0，解得b 1＝4，b 2＝34.当b 1＝4时，a＝3，c ＝5，∵32＋42＝52，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°.∴S △ABC ＝12ab ＝12×3×4＝6；当b 2＝34时，a ＝34－1<0，不合题意，舍去．因此，△ABC 的面积为6.题型3 一元二次方程与等腰三角形的综合1．等腰三角形一条边的长为3，另两条边的长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋k ＝0的两个根，则k 的值是( B )A ．27B ．36C ．27或36D ．182．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 的三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由如下：把x ＝－1代入原方程，得a ＋c －2b ＋a －c ＝0，所以a ＝b ，故△ABC 是等腰三角形． (2)△ABC 是直角三角形．理由如下：方程有两个相等的实数根，则Δ＝(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0，所以b 2－a 2＋c 2＝0，所以a 2＝b 2＋c 2，故△ABC 是直角三角形．(3)如果△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，所以方程可化为2ax 2＋2ax ＝0，所以2ax (x ＋1)＝0，所以方程的解为x 1＝0，x 2＝－1.考点5：根与系数的关系的四种应用类型考点分析：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a ≠0.题型1 利用根与系数的关系求代数式的值1．设方程4x 2－7x －3＝0的两根为x 1，x 2，不解方程求下列各式的值． (1)(x 1－3)(x 2－3)；(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1；(3)x 1－x 2.1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有 x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝－34.(1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝－34－3×74＋9＝3.(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1＝x 2（x 2＋1）＋x 1（x 1＋1）（x 2＋1）（x 1＋1）＝ x 12＋x 22＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＋（x 1＋x 2）x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝⎝⎛⎭⎫742－2×⎝⎛⎭⎫－34＋74－34＋74＋1＝10132.(3)∵ (x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫742－4×⎝⎛⎭⎫－34＝9716， ∴x 1－x 2＝±9716＝±1497.题型2 利用根与系数的关系构造一元二次方程1．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数． 解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－25，x 1x 2＝－35.设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，其两根为y 1，y 2， 令y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2.∴p ＝－(y 1＋y 2)＝－⎝⎛⎭⎫－1x 1－1x 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23，q ＝y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－1x 1⎝⎛⎭⎫－1x 2＝1x 1x 2＝－53. ∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0，即3y 2＋2y －5＝0.题型3 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围1．已知关于x 的一元二次方程2x 2－mx －2m ＋1＝0的两根的平方和是294，求m 的值．．解：设方程两根为x 1，x 2，由已知得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝m2，x 1x 2＝－2m ＋12.∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294， 即⎝⎛⎭⎫m 22－2×－2m ＋12＝294， ∴m 2＋8m －33＝0. 解得m 1＝－11，m 2＝3.当m ＝－11时，方程为2x 2＋11x ＋23＝0， Δ＝112－4×2×23<0，方程无实数根， ∴m ＝－11不合题意，舍去；当m ＝3时，方程为2x 2－3x －5＝0，Δ＝(－3)2－4×2×(－5)>0，方程有两个不相等的实数根，符合题意．∴m 的值为3.2.已知关于x 的方程x2＋2x ＋a －2＝0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； (2)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根． 解：(1)∵22－4×1×(a －2)＝12－4a>0，解得a<3. ∴a 的取值范围是a<3.(2)设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x1＝－2，1·x1＝a －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，x1＝－3.题型4 巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根， ∴k ≠0，且Δ＝(－4k )2－4×4k (k ＋1)＝－16k ≥0， ∴k ＜0.∵x 1，x 2是方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k. ∴(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝－k ＋94k .又∵(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32，∴－k ＋94k ＝－32，∴k ＝95.又∵k <0，∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立．方法总结：对于存在性问题，先根据方程根的情况，利用根的判别式确定出未知字母的取值范围，再利用根与系数的关系求出已知式子中字母的值，验证字母的值是否在其取值范围内．考点6：可化为一元二次方程的分式方程的应用考点分析：可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解分式方程的基本思路就是化归，去掉分母后转化为一元二次方程，但最后一定要验根，有时可能会产生增根或不符合题意的根．题型1 营销问题1．某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？(说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价)1．解：方法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具(x －10)件，由题意得100x －10＋0.5＝150x.整理得x 2－110x ＋3 000＝0， 解得x 1＝50，x 2＝60，经检验x 1＝50，x 2＝60都是原方程的解．当x ＝50时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，高于玩具的售价，不合题意，舍去；当x ＝60时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，低于玩具的售价，符合题意， 因此第二次采购玩具60件．方法二：设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具(x ＋10)件，由题意得100x ＋0.5＝150x ＋10， 整理得x 2－90x ＋2 000＝0， 解得x 1＝40，x 2＝50，经检验，x 1＝40，x 2＝50都是原方程的解．第一次采购40件时，第二次采购40＋10＝50(件)，批发价为150÷50＝3(元)，不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次采购50＋10＝60(件)，批发价为150÷60＝2.5(元)，符合题意． 因此第二次采购玩具60件．2．小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出45时，出现滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？2．解：设小明的爸爸购乙种水果x 千克，则购甲种水果(x －10)千克，所以甲种水果的批发价为每千克100x －10元，乙种水果的批发价为每千克150x 元．根据题意得150x －100x －10＝0.5.方程两边同乘以x (x －10)，整理得x 2－110x ＋3 000＝0， 解之得x 1＝50，x 2＝60.经检验，x 1＝50，x 2＝60都是方程的根．当x ＝50时，乙种水果的批发价为每千克15050＝3(元)，高于水果零售价，不合题意，舍去．当x ＝60时，乙种水果的批发价为每千克15060＝2.5(元)，符合题意；甲种水果的批发价为每千克10060－10＝2(元)，也符合题意．因此，小明的爸爸购进乙种水果60千克，购进甲种水果60－10＝50(千克)，小明的爸爸这一天卖水果盈利：⎝⎛⎭⎫50×45×2.8＋50×15×2.8×12＋60×2.8－(100＋150)＝44(元)．∴小明的爸爸这一天卖水果赚钱了，赚了44元．题型2 行程问题3．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？3．解：设慢车每小时行驶x 千米，则快车每小时行驶(x ＋12)千米，依题意得150x －150x ＋12＝2560. 解得x 1＝－72(不合题意，舍去)，x 2＝60. 所以x ＋12＝72. ∴快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米．应用3 工程问题4．某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程．(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；(2)若甲工程队单独施工a 天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含a 的代数式表示)可完成此项工程；(3)如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？解：(1)设乙工程队单独施工x 天完成此项工程，则甲工程队单独施工(x ＋30)天完成此项工程，由题意得20⎝⎛⎭⎫1x ＋1x ＋30＝1，整理，得x 2－10x －600＝0， 解得x 1＝30，x 2＝－20.经检验x 1＝30，x 2＝－20都是分式方程的解，但x 2＝－20不符合题意，应舍去，故x ＝30，x ＋30＝60. 故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天，30天．(2)⎝⎛⎭⎫20－a 3 (3)由题意得1×a ＋(1＋2.5)⎝⎛⎭⎫20－a3≤64，解得a ≥36. 故甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元．考点7：几种常见的热门考点考点分析：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．题型1 一元二次方程的根1．若一元二次方程ax 2－bx －2 015＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝________． 2．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1，且a ＝4－c ＋c －4－2，求（a ＋b ）2 0162 015c的值．1．2 015 点拨：把x ＝－1代入方程中得到a ＋b －2 015＝0，即a ＋b ＝2 015. 2．解：∵a ＝4－c ＋c －4－2，∴c －4≥0且4－c ≥0，即c ＝4，则a ＝－2.又∵－1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a －b ＋c ＝0，∴b ＝a ＋c ＝－2＋4＝2.∴原式＝（－2＋2）2 0162 015×4＝0.题型2 一元二次方程的解法1．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( D ) A ．(x ＋1)2＝0 B ．(x －1)2＝0 C ．(x ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＝22．一元二次方程x 2－2x －3＝0的解是( A ) A ．x 1＝－1，x 2＝3 B ．x 1＝1，x 2＝－3 C ．x 1＝－1，x 2＝－3 D ．x 1＝1，x 2＝3 3．选择适当的方法解下列方程： (1)(x －1)2＋2x (x －1)＝0； (2)x 2－6x －6＝0；(3)6 000(1－x )2＝4 860； (4)(10＋x )(50－x )＝800； (5)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7. 3．解：(1)(x －1)2＋2x (x －1)＝0， (x －1)(x －1＋2x ) ＝0， (x －1)(3x －1) ＝0， x 1＝1，x 2＝13.(2)x 2－6x －6＝0， ∵a ＝1，b ＝－6，c ＝－6， ∴b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－6)＝60. ∴x ＝6±602＝3±15， ∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. (3)6 000(1－x )2＝4 860， (1－x )2＝ 0.81， 1－x ＝ ±0.9， x 1＝1.9，x 2＝0. 1. (4)(10＋x )(50－x )＝800， x 2－40x ＋300＝ 0， x 1＝10，x 2＝30. (5)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7， 4x 2－4x ＋1 ＝3x 2＋2x －7， x 2－6x ＋8 ＝0， x 1＝2，x 2＝4.题型3 一元二次方程根的判别式1．若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是( B ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1 D ．a ≥12．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有两个实数根，则m 的取值范围是( B ) A ．m ≥－34 B ．m ≥0C ．m ≥1D ．m ≥23．在等腰三角形ABC 中，三边长分别为a ，b ，c .其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b )＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．解：∵关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b )＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(b ＋2)2－4(6－b )＝0，∴b 1＝2，b 2＝－10(舍去)．当a 为腰时，△ABC 周长为5＋5＋2＝12.当b 为腰时，2＋2＜5，不能构成三角形．∴△ABC 的周长为12.题型4 一元二次方程根与系数的关系1．已知方程x 2－32x ＋1＝0，构造个一元二次方程使它的根分别是原方程两根的倒数，则这个一元二次方程是( )A ．x 2＋32x ＋1＝0B ．x 2＋32x －1＝0C ．x 2－32x ＋1＝0D ．x 2－32x －1＝02．已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m 的值是( A ) A ．3 B ．1C ．3或－1D ．－3或13．已知关于x 的一元二次方程(x －1)(x －4)＝p 2，p 为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)p 为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)．(1)证明：化简方程，得x 2－5x ＋4－p 2＝0.Δ＝(－5)2－4(4－p 2)＝9＋4p 2.∵p 为实数，则p 2≥0，∴9＋4p 2＞0.即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：当p 为0，2，－2时，方程有整数解．(答案不唯一)点拨：(1)先将一元二次方程化为一般形式，由题意得，一元二次方程根的判别式b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×(4－p 2)＝9＋4p 2，易得，9＋4p 2＞0，从而得证．(2)一元二次方程的解为x ＝5±9＋4p 22，若方程有整数解，则9＋4p 2必须是完全平方数，故当p ＝0、2、－2时，9＋4p 2分别对应9、25、25，此时方程的解分别为整数．4．关于x 的方程ax 2－(3a ＋1)x ＋2(a ＋1)＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且有x 1＋x 2－x 1x 2＝1－a ，求a 的值．解：由题意，得x 1＋x 2＝3a ＋1a ，x 1x 2＝2（a ＋1）a ，∴3a ＋1a －2（a ＋1）a＝1－a ，∴a 2－1＝0，即a ＝±1.又∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(3a ＋1)]2－4a ·2(a ＋1)＞0，即(a －1)2＞0，∴a ≠1，∴a ＝－1.5．设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋a 2＋4a －2＝0的两个实数根，当a 为何值时，x 12＋x 22有最小值？最小值是多少？解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝(2a )2－4(a 2＋4a －2)≥0，∴a ≤12. 又∵x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝a 2＋4a －2，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝2(a －2)2－4.∵a ≤12，且2(a －2)2≥0，∴当a ＝12时，x 12＋x 22的值最小． 此时x 12＋x 22＝2⎝⎛⎭⎫12－22－4＝12，即最小值为12. 点拨：本题中考虑Δ≥0从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略．题型5 一元二次方程的应用1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？解：设每件商品降价x 元，则售价为每件(60－x )元，每星期的销量为(300＋20x )件． 根据题意，得(60－x －40)(300＋20x )＝6 080.解得x 1＝1，x 2＝4.又要顾客得实惠，故取x ＝4，即销售单价为56元．答：应将销售单价定为56元．2．小林准备进行如下操作实验：把一根长为4 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.”他的说法对吗？请说明理由．解：(1)设剪成的较短的一段为x cm ，则较长的一段为(40－x ) cm ，由题意，得⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫40－x 42＝58，解得x 1＝12，x 2＝28.当x ＝12时，较长的一段为40－12＝28(cm )，当x ＝28时，较长的一段为40－28＝12＜28(舍去)．∴较短的一段为12 cm ，较长的一段为28 cm .(2)小峰的说法正确．理由如下：设剪成的较短的一段为m cm ，则较长的一段就为(40－m ) cm ，由题意得⎝⎛⎭⎫m 42＋⎝⎛⎭⎫40－m 42＝48，变形为m 2－40m ＋416＝0.∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数解，∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.3．某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个图形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A ，B 出发，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动．甲运动的路程l (cm )与时间t (s )满足关系：l ＝12t 2＋32t (t ≥0)，乙以4 cm /s 的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm .(1)甲运动4 s 后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？解：(1)当t ＝4时，l ＝12t 2＋32t ＝12×42＋32×4＝14. 答：甲运动4 s 后的路程是14 cm .(2)设它们运动了m s ，根据题意，得12m 2＋32m ＋4m ＝21. 解得：m 1＝3，m 2＝－14(不合题意，舍去)．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s .(3)设它们运动了n s 后第二次相遇，根据题意，得⎝⎛⎭⎪⎫12n 2＋32n ＋4n ＝21×3. 解得n 1＝7，n 2＝－18(不合题意，舍去)．答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s .4．如图，某海关缉私艇在C 处发现正北方向30海里的A 处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行．缉私艇随即调整方向，以75海里/时的速度航行，这样可同时到达B 处进行拦截．缉私艇从C 处到达B 处航行了多少小时？解：设缉私艇航行了x 小时到达B 处．根据题意，得302＋(60x )2＝(75x )2，解得x 1＝23，x 2＝－23(不符合题意，舍去)． 答：缉私艇从C 处到达B 处航行了23小时． 点拨：本题是根据速度、时间、路程之间的关系和勾股定理等有关知识列方程解答，把几何知识、代数知识有机结合来进行解答．题型6 新定义问题1．若x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，且|x 1|＋|x 2|＝2|k |(k 是整数)，则称方程x 2＋bx ＋c ＝0为“偶系二次方程”．如方程x 2－6x －27＝0，x 2－2x －8＝0，x 2＋3x －274＝0，x 2＋6x －27＝0，x 2＋4x ＋4＝0都是“偶系二次方程”． 判断方程x 2＋x －12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由．解：不是．理由如下：解方程x 2＋x －12＝0，得x 1＝－4，x 2＝3.|x 1|＋|x 2|＝4＋3＝2×|3.5|.∵3.5不是整数，∴方程x 2＋x －12＝0不是“偶系二次方程”．。
九年级数学上册期末考点大串讲解一元二次方程含解析新版新人教版
解一元二次方程知识网络重难突破方法一：配方法（最基础的解法）配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤➢ 移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；➢ 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；➢ 配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；【注意】1）当0n <时，方程无解2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”➢ 求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
典例1 （2018春 青岛市期末）下列用配方法解方程2260x x --=的步骤中，开始出现错误的步骤是（） 226x x -=，①2132x x -=，②21113244x x -+=+，③2113()24x -=．④ A ．①B ．②C ．③D ．④ 【答案】C【详解】步骤③，配方时，方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方，即方程的左、右两边应同时加上116． 故选C ．典例2 （2018春 南昌市期末）用配方法解下列方程，其中应在方程的左、右两边同时加上1的是（ ）A ．2225x x +=B ．2445x x +=C ．245x x +=D ．225x x -=【答案】B【详解】A. ∵ 2225x x +=， ∴252x x +=， ∴211144x x ++=，故不符合题意； B. ∵2445x x +=，∴()2245x x +=，∴()22416x x ++=，∴()2216x +=，故符合题意；C. ∵245x x +=，∴2449x x ++=，故不符合题意；D. ∵225x x -=， ∴21522x x -=， ∴2114121616x x -+=，故不符合题意. 故选B.典例3 （2018春 运城市期末）用配方法解方程2850x x -+=，将其化为2()x m n +=的形式，正确的是（ ）A ．2(4)11x +=B ．2(4)21x +=C ．2(8)11x -=D ．2(4)11x -= 【答案】D 【详解】2850x x -+=，移项得285x x -=-，配方得2816516x x -+=-+，即2(4)11x -=．故选D ．方法二：直接开平方法（最基础的解法）概念：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=x a +=，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解一元二次方程知识网络重难突破方法一：配方法（最基础的解法）配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤➢ 移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；➢ 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；➢ 配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；【注意】1）当0n <时，方程无解2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”➢ 求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
典例1 （2018春 青岛市期末）下列用配方法解方程2260x x --=的步骤中，开始出现错误的步骤是（） 226x x -=，①2132x x -=，②21113244x x -+=+，③2113()24x -=．④ A ．①B ．②C ．③D ．④ 【答案】C【详解】步骤③，配方时，方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方，即方程的左、右两边应同时加上116． 故选C ．典例2 （2018春 南昌市期末）用配方法解下列方程，其中应在方程的左、右两边同时加上1的是（ ）A ．2225x x +=B ．2445x x +=C ．245x x +=D ．225x x -=【答案】B【详解】A. ∵ 2225x x +=， ∴252x x +=， ∴211144x x ++=，故不符合题意； B. ∵2445x x +=，∴()2245x x +=，∴()22416x x ++=，∴()2216x +=，故符合题意；C. ∵245x x +=，∴2449x x ++=，故不符合题意；D. ∵225x x -=， ∴21522x x -=， ∴2114121616x x -+=，故不符合题意. 故选B.典例3 （2018春 运城市期末）用配方法解方程2850x x -+=，将其化为2()x m n +=的形式，正确的是（ ）A ．2(4)11x +=B ．2(4)21x +=C ．2(8)11x -=D ．2(4)11x -= 【答案】D 【详解】2850x x -+=，移项得285x x -=-，配方得2816516x x -+=-+，即2(4)11x -=．故选D ．方法二：直接开平方法（最基础的解法）概念：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=x a +=，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
【注意】1)若b ≥0，方程有两个实数根。
（若b >0，方程有两个不相等的实数根；若b =0，方程有两个相等的实数根）2)若b<0，方程无解。
典例1 （2018春 汕头市期末）如果一个一元二次方程的根是122x x ==，那么这个方程是（ ）A ．24x =B ．240x +=C ．2(2)0x -=D ．2(2)0x += 【答案】C【详解】A. ∵24x =，∴x 1=2，x 2=-2，故不符合题意；B. ∵240x +=，∴2=-4x ，∴原方程没有实数根，故不符合题意；C. ∵2(2)0x -=，∴x-2=0，∴x 1=x 2=2，符合题意；D. ∵2(2)0x +=，∴x+2=0,∴x 1=x 2=-2，故不符合题意；故选C.典例2 （2018秋 银川市期中）方程25200x -=的根是（ ）A ．2x =B ．2x =-C ．1222x x ==-，D ．4x = 【答案】C【详解】原方程可化为24x =，直接开平方得2x =±，所以12x =，22x =-．故选C ．方法三：公式法（常用解法）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ∆=-⏹ 0∆>⇔方程有两个不相等的实根:x =（240b ac -≥）⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点⏹0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点 ⏹ 0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点 用公式法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤：➢ 把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);➢ 求出b 2-4ac 的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;➢ 如果b 2-4ac≥0, 将a 、b 、c 的值代入求根公式：x = ➢ 最后求出x 1，x 2典例1 （2018春 重庆市期末）若关于x 的方程x 2+4x+a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值为( )A ．﹣4B ．2C ．4D ．8【答案】C【详解】∵关于x 的方程x 2+4x+a ＝0有两个相等的实数根，∴△＝42﹣4×1×a＝0，解得：a ＝4，故选：C ．典例2 （2019春 长春市期末）下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．22520x x -+=B ．23+40x x -=C ．2210x x -+=D ．2220x x --= 【答案】B【详解】当a=2，b=-5，c=2时，△=b 2-4ac=25-16=9＞0，方程有两个不相等的实数根，故选项A 不合题意； 当a=1，b=3，c=4时，△=b 2-4ac=9-16=-7＜0，方程没有实数根，故选项B 符合题意；当a=1，b=-2，c=1时，△=b 2-4ac=4-4=＞0，方程有两个相等的实数根，故选项C 不合题意；当a=1，b=-2，c=-2时，△=b 2-4ac=4+8=12>0，方程有两个不相等的实数根，故选项D 不合题意； 故选B.典例3（2019·辽宁中考模拟）若关于x 的一元二次方程kx 2﹣x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞14且k≠0B ．k ＜14且k≠0C ．k≤14且k≠0D ．k ＜14【答案】D【详解】∵关于x 的一元二次方程kx 2-x+1=0有实数根，∴k≠0且△=（-1）2-4k≥0， 解得：14k ≤且k≠0． 故选C ．典例4 （2018春 恩施市期末）一元二次方程2210x x +-=根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个正实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个负实数根 【答案】C【详解】解：∵在方程x 2+2x-1=0中，△=22-4×1×（-1）=8＞0，∴方程x 2+2x-1=0有两个不相等的实数根．故选：C ．方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）用因式分解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤：➢ 将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；➢ 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；➢ 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；➢ 求解归纳：右化零，左分解，两因式，各求解典例1 （2018春 太原市期末）一元二次方程(3)0x x +=的根为（ ）A ．0B ．3C ．0或﹣3D ．0或3 【答案】C【详解】方程x(x+3)=0，可得x=0或x+3=0，解得：x 1=0,x 2=−3.故选C.典例2 （2018春 海口市期末）方程2(3)5(3)x x x -=-的根是（ ）A ． 2.5x =B ．3x =C ． 2.5x =或3x =D ．以上答案都不正确 【答案】C【详解】移项得：解:移项得:2(3)5(3)0x x x ---=, (3)(25)0x x ∴--=,解得30x -=或250x -=,13x ∴=，2 2.5x =故选C.典例3 （2018春 六盘水市期末）已知 是一元二次方程 的一个根，则m 的值是（ ）A ．12或1-B ．12-C ．12或1D ．12【答案】B【详解】解：把x=1代入方程（m2 -1）x 2 -mx+m 2 =0得：（m 2 -1）-m+m 2 =0， 即2m 2 -m-1=0，（2m+1）（m-1）=0，解得：m=- 12或1， 当m=1时，原方程不是二次方程，所以舍去．故选B ．方法五：韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0（a ≠0，Δ≥0）之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a -； 1x •2x ＝c a典例1 （2018春 西宁市期末）关于x 的一元二次方程2320x x --=的两根为x 1，x 2，则1212x x x x +-的值为（ ）A ．-5B ．-1C ．1D ．5 【答案】D【详解】∵一元二次方程2320x x --=的两根为x 1，x 2， ∴12-3=-=-=31b x x a +，12-2===-21c x x a ∴1212x x x x +-=3-（-2）=5，故选：D.典例2 （2018春 张家口市期末）若01+02=3，012+022=5，则以01，02为根的一元二次方程是（ ） A ．02−30+2=0B ．02+30−2=0C ．02+30+2=0D ．02−30−2=0【答案】A【详解】∵012+022=5，∴(01+02)2−20102=5，而01+02=3，∴9−20102=5，∴0102=2，∴以01，02为根的一元二次方程为02−30+2=0．故选：A ．典例3 （2018春 北京市市期末）若a b ，是方程220180x x =＋－的两个实数根，则22a a b ++= ( )A ．2018B ．2017C ．2016D ．2015【答案】B【详解】∵a 是方程220180x x =＋－的根，∴220180a a -=＋，∴22018a a =-＋，∴22201822018a a b a a b a b ++=-+++=++.∵a b ，是方程220180x x ＋－＝的两个实数根，∴1a b +=-，∴22201812017.a a b +=-=＋故选B.巩固训练一、单选题（共10小题）1．（2018春 钱江市期末）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则202+300+50的值为（ ）A ．-13B ．12C ．14D ．15【答案】B【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可知2α2﹣5α﹣1=0，α+β=-00=52，α·β=00=−12，因此可得2α2=5α+1，代入2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1=5×52+3×（-12）+1=12. 故选：B.【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是利用一元二次方程的一般式，得到根与系数的关系x 1+x 2=-00，x 1·x 2=00，然后变形代入即可.2．（2017春 东营市期中）关于x 的一元二次方程2ax x 10-+=有实数根，则a 的取值范围是A ．1a a 04≤≠且B ．1a 4≤C ．1a a 04≥≠－且D ．1a 4≥－ 【答案】A【解析】试题分析：根据一元二次方程的意义，可知a≠0，然后根据一元二次方程根的判别式，可由有实数根得△=b 2-4ac=1-4a≥0，解得a≤14，因此可知a 的取值范围为a≤14且a≠0. 【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是根据一元二次方程根的个数判断△=b 2-4ac 的值即可.注意：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的十数根；当△＜0时，方程没有实数根.3．（2018春 惠民县期中）已知α，β是一元二次方程x 2+x ﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣3【答案】B【详解】∵α，β是方程x 2+x ﹣2=0的两个实数根，∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，故选B ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣00、两根之积等于00是解题的关键．4．（2018春 苏州市期末 ）已知实数x 满足()()2224120x x x x ----=，则代数式21x x -+的值是( ) A ．7B ．-1C ．7或-1D ．-5或3【答案】A 【详解】∵(x 2﹣x)2﹣4(x 2﹣x)﹣12＝0，∴(x 2﹣x+2)(x 2﹣x ﹣6)＝0，∴x 2﹣x+2＝0或x 2﹣x ﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程无实数解；当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7，故选A．【名师点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体．5．（2018春周口市期末）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( ) A．q<16 B．q>16C．q≤4 D．q≥4【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，∴△>0，即82-4q>0，∴q<16，故选 A.6．（2019春平原县期中）一元二次方程(0+1)(0−3)=20−5根的情况是（）A．无实数根 B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3【答案】D【解析】分析：直接整理原方程，进而解方程得出x的值．详解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+√2＞3，x2=2﹣√2，故有两个正根，且有一根大于3．故选D．【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．7．（2019·春洛阳市期中）用配方法解方程x2﹣23x﹣1＝0时，应将其变形为( )A．(x﹣13)2＝89B．(x+13)2＝109C．(x﹣23)2＝0 D．(x﹣13)2＝109【答案】D【解析】分析：本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．详解：∵x2﹣23x﹣1=0，∴x2﹣23x=1，∴x2﹣23x+19=1+19，∴（x﹣13）2=109．故选D．【名师点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8．（2018春南京市期末）用配方法解方程x2+3x+1＝0，经过配方，得到（）A．（x+32）2＝134B．（x+32）2＝54C．（x+3）2＝10 D．（x+3）2＝8 【答案】B【详解】∵x2+3x+1＝0，∴x2+3x＝﹣1，∴x2+3x+(32)2＝﹣1+(32)2，即(x+32)2＝54，故选B．【名师点睛】本题考查了解一元二次方程--配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．9．（2018·春惠民县期末）若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为( ) A．1 B．﹣1 C．±1D．0【答案】A【详解】把x=0代入方程得：210a -=，解得：a 1=±， ∵()22110a x x a -++-=是关于x 的一元二次方程，∴a-10≠，即a 1≠， ∴a 的值是-1. 故选B【名师点睛】本题考查一元二次方程的解， 一元二次方程的定义.10．（2018·春 包河区期末）若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx+b 的大致图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根， ∴△=4﹣4（kb+1）＞0， 解得kb ＜0，A ．k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 不正确；B ．k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故B 不正确；C ．k ＞0，b ＜0，即kb ＜0，故C 正确；D ．k ＜0，b=0，即kb=0，故D 不正确， 故选C ．【名师点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．二、填空题（共5小题）11．（2018春泰兴市期末）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____．【答案】4【详解】∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，∵x12+x22=4，∴（x1+x2）2-2x1x2=4，（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，2k2+2k﹣4=0，k2+k﹣2=0，k=﹣2或1，∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，k≥0，∴k=1，∴x1•x2=k2﹣k=0，∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4，故答案为：4．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．12．（2018春宿迁市期中）已知a、b、c为△000的三边长，且a、b满足02−60+02−40+13=0，c为奇数，则△000的周长为______．【答案】8【详解】∵a2+b2−4a−6b+13=0，∴(a2−4a+4)+(b2−6b+9)=0，∴(a−2)2+(b−3)2=0，∴a=2，b=3，∴边长c 的范围为1<c <5． ∵边长c 的值为奇数， ∴c =3，∴△ABC的周长为2+3+3=8． 故答案为：8． 【名师点睛】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．13．（2018春 响水县期末）已知：m 2﹣2m ﹣1=0，n 2+2n ﹣1=0且mn≠1，则1mn n n++的值为_____． 【答案】3 【先理解再解答】将n 2+2n-1=0变形为21210n n --=.据此可得m ，1n是方程x 2-2x-1=0的两根，由一元二次方程的根与系数的关系可得m+1n=2，代入111mn n m n n ++=++可得． 【详解】由n 2+2n-1=0可知n≠0．∴1+2n -21n =0． ∴21210n n--=， 又m 2-2m-1=0，且mn≠1，即m≠1n． ∴m ，1n 是方程x 2-2x-1=0的两根． ∴m+1n=2．∴111mn n m n n++=++=2+1=3， 故答案为：3． 【名师点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m ，1n是方程x 2-2x-1=0的两根． 14．（2017春 宿州市期中）设m ，n 是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个根，则m 2＋3m ＋n ＝_______. 【答案】5【解析】试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m 是方程的根，所以可得m 2+2m ﹣7=0，最后可将m 2+3m+n 变成m 2+2m+m+n ，最终可得答案． ∵设m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2， ∵m 是原方程的根， ∴m 2+2m ﹣7=0，即m 2+2m=7， ∴m 2+3m+n=m 2+2m+m+n=7﹣2=515．（2019春 南开区期中）关于x 的一元二次方程（m ﹣5）x 2+2x+2=0有实根，则m 的最大整数解是__． 【答案】m=4．【解析】分析：若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b 2﹣4ac≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．详解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣5）x 2+2x+2=0有实根， ∴△=4﹣8（m ﹣5）≥0，且m ﹣5≠0， 解得m≤5.5，且m≠5， 则m 的最大整数解是m=4． 故答案为：m=4．【名师点睛】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．三、解答题（共2小题）16．（2018春 张家港市期中）阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=， 0,40m n n ∴-=-=， 4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值. （3） 若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值. 【答案】（1）2（2）6（3）7 【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x 与y 的值，即可求出x ﹣y 的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a 与b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由a ﹣b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a ﹣b +c 的值． 【详解】（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0 ∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0 ∴（x +y ）2+（y +1）2=0 ∴x +y =0 y +1=0 解得：x =1，y =﹣1 ∴x ﹣y =2；（2）∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0 ∴（a 2﹣6a +9）+（b 2﹣8b +16）=0 ∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2=0 ∴a ﹣3=0，b ﹣4=0 解得：a =3，b =4∵三角形两边之和＞第三边∴c ＜a +b ，c ＜3+4，∴c ＜7．又∵c 是正整数，∴△ABC 的最大边c 的值为4，5，6，∴c 的最大值为6； （3）∵a ﹣b =4，即a =b +4，代入得：（b +4）b +c 2﹣6c +13=0，整理得：（b 2+4b +4）+（c 2﹣6c +9）=（b +2）2+（c ﹣3）2=0，∴b +2=0，且c ﹣3=0，即b =﹣2，c =3，a =2，则a ﹣b +c =2﹣（﹣2）+3=7． 故答案为：7． 【名师点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．17．（2019春 临淄区期中）己知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+3）x+k 2=0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若1211x x =﹣1，求k 的值．【答案】（1）k ＞﹣34；（2）k=3． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k 的不等式，解之即可得出k 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣2k ﹣3、x 1x 2=k 2，结合1211x x +=﹣1即可得出关于k 的分式方程，解之经检验即可得出结论．【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k+3）x+k 2=0有两个不相等的实数根， ∴△=（2k+3）2﹣4k 2＞0， 解得：k ＞﹣34； （2）∵x 1、x 2是方程x 2+（2k+3）x+k 2=0的实数根， ∴x 1+x 2=﹣2k ﹣3，x 1x 2=k 2，∴12212121123x x k x x x x k +--+===﹣1， 解得：k 1=3，k 2=﹣1，经检验，k 1=3，k 2=﹣1都是原分式方程的根， 又∵k ＞﹣34， ∴k=3． 【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合1211x x +=﹣1找出关于k 的分式方程．。