【学练优】2016秋九年级数学上册 21.1 二次根式课件 (新版)华东师大版
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华师大版九年级数学上册课件：21.1 二次根式 (共14张PPT)
名师讲解
考点一：二次根式有意义的条件 【例1】当x是多少时， 3x 1在实数范围内有意义？ 【分析】 由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于
或等于0，所以当3x-1≥0时， 3x 1 才有意义. 【解答】 由3x-1≥0,得x≥ 1 .
3
名师讲解
【例2】若x、y满足关系式y= 的值.
，试求2x+y
【分析】本题要求2x+y的值，首先要分别求出x、y的值，而 要求出x、y的值就必须以x-1≥0且1-x≥0为突破口.
【解答】依题意得x-1≥0且1-x≥0，故有x-1=0，所以x=1, 所以y=3，因此2x+y=5.
名师讲解
考点二：利用二次根式的两个性质进行化简 【例3】化简 x2 6x 9 +|2-x|，其中2<x<3. 【分析】 记清二次根式的两个性质，然后准确运用即可. 【解答】
跟踪训练
D C
跟踪训练
A 0
ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
解：（1）3.（2）4.（3）-9. （4）6.（5）2.
名师讲解
考点三：二次根式性质的综合运用
【例4】已知 27m是整数，求满足条件的最小正整数m的值. 【分析】正确解答本题需准确理解有理数和无理数的概念. 【解答】∵ 27m 是整数，
∴27m是一个完全平方数. 又∵27m=9×3m=32×3m， ∴最小正整数m的值为3. 此时， 27m 27 3 81 =9.
（2）
a2
a -a
a 0, a 0.
轻松预习
3. a 2 与 a2 的区别 （1）a的取值范围不同： a 2中的a必须满足 a≥0 ，而
秋九年级数学上册第21章二次根式21.1二次根式1二次根式课件新版华东师大版
是非负数． [点拨] 若 a和 －a都有意义，则 a＝0.
第1课时 二次根式
当 a 是怎样的实数时， a3－a－3 1在实数范围内有意义？
解：由题意，得 3a－1≥0，解得 a≥13.
即当 a≥13时，
3a－1 a－3 在实数范围内有意义．
请说出以上解答错在哪里，并给出正确的解答过程．
第1课时 二次根式
第21章 二次根式
21.1 二次根式
第21章 二次根式
第1课时 二次根式
知识目标 目标突破 总结反思
第1课时 二次根式
知识目标
1．通过忆平方根和算术平方根的意义，讨论 a中 a 满
足的条件，概括出二次根式的概念，能准确识别二次根式． 2．在理解概念的基础上，能够探究出二次根式有意义的条
件，并能求出被开方数所含字母的取值范围．
第1课时 二次根式
总结反思
知识点一 二次根式的概念
形如____a____(a≥0)的式子叫做二次根式． [点拨] 当 a≥0 时， a有意义，是二次根式；而当 a＜0 时， a没有意义. a中的 a 可以是数、字母或含字母的式子．
知识点二次根式有意义的条件
在 a中，a 的取值必须满足___a_≥__0__，即二次根式的被开方数必须
第1课时 二次根式
【归纳总结】 判断二次根式需“两看”：
1.看形式 2.看内容
含有二次根号“ ”，而不能 是三次根号“ ������ ”等
被开方数必须是非负数，注意被 开方数可以是数、字母或含字母 的式子
第1课时 二次根式
目标二 会求二次根式中被开方数所含字母的取值范围
例 2 教材例题针对训练当 x 是怎样的实数时，下列二次根
第1课时 二次根式
第1课时 二次根式
当 a 是怎样的实数时， a3－a－3 1在实数范围内有意义？
解：由题意，得 3a－1≥0，解得 a≥13.
即当 a≥13时，
3a－1 a－3 在实数范围内有意义．
请说出以上解答错在哪里，并给出正确的解答过程．
第1课时 二次根式
第21章 二次根式
21.1 二次根式
第21章 二次根式
第1课时 二次根式
知识目标 目标突破 总结反思
第1课时 二次根式
知识目标
1．通过忆平方根和算术平方根的意义，讨论 a中 a 满
足的条件，概括出二次根式的概念，能准确识别二次根式． 2．在理解概念的基础上，能够探究出二次根式有意义的条
件，并能求出被开方数所含字母的取值范围．
第1课时 二次根式
总结反思
知识点一 二次根式的概念
形如____a____(a≥0)的式子叫做二次根式． [点拨] 当 a≥0 时， a有意义，是二次根式；而当 a＜0 时， a没有意义. a中的 a 可以是数、字母或含字母的式子．
知识点二次根式有意义的条件
在 a中，a 的取值必须满足___a_≥__0__，即二次根式的被开方数必须
第1课时 二次根式
【归纳总结】 判断二次根式需“两看”：
1.看形式 2.看内容
含有二次根号“ ”，而不能 是三次根号“ ������ ”等
被开方数必须是非负数，注意被 开方数可以是数、字母或含字母 的式子
第1课时 二次根式
目标二 会求二次根式中被开方数所含字母的取值范围
例 2 教材例题针对训练当 x 是怎样的实数时，下列二次根
第1课时 二次根式
华东师大版数学九年级上册-21.1 二次根式 课件 最新课件
解：由x 1 0，解得 x 1
因此，当x 1时，x 1在实数范围内有意义。
对于非负实数a由于 a 是a的一个平方根，因 此
a
2
aa 0
归纳
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练一练
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
21.1二次根式
如图所示的值表示正方形的面
积，则正方形的边长是 b 3
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2500
s
b3
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
课后反思：我的收获，我的困惑
a 2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
3
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
2a+2b+2c
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
例
因此，当x 1时，x 1在实数范围内有意义。
对于非负实数a由于 a 是a的一个平方根，因 此
a
2
aa 0
归纳
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练一练
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
21.1二次根式
如图所示的值表示正方形的面
积，则正方形的边长是 b 3
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2500
s
b3
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
课后反思：我的收获，我的困惑
a 2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
3
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
2a+2b+2c
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
例
华师大版九年级数学上册ppt课件-21.1二次根式
须满足什么条件？
分析：要使式子 x 有1意义，必须x -1≥0，
即x ≥1。
解: ∵被开方数 x-1≥0,
∴x≥1
x是怎样的数时,下列各式在实数范 围内有意义?
(1) x 3; (2) 2 4 x ; (3) 5x ; (4) 2
x 1
计算： (1) 9 3 (2) 64 8
(3) 4 2 93
(4) (6)2 6
性质2：
a2
| a |
a(a 0), a(a 0).
课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你 有哪些新的认识和体会？
获得哪些解决二次根式问题的方法？ 你还有哪些问题？请与同伴交流。
再见
请关注本店
为你提供各种获奖优质课件
课前小测
1. 16的平方根是 ±4; 2. 9的算术平方根是 3 ; 3. 25 的平方根是 ± 5 ;
进入新课
1. a表示什么?
2.a需要满足什么条件?为什么?
当a是正数时， a表示a的算术平方根，即正数a的
正的平方根；
当a是零时， a等于0，也叫零的算术平方根； 当a是负数时， a没有意义.
( 16)2 16
(
1 )2 3
1 3
( 7)2 7
二次根式概念
形如 （a a的式0）子叫二次根式.
【说明】 二次根式必须具备以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0。
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5, a (a 0), 3 8, a (a 0)
➢例 要使式子 x 1 有意义，字母x的取值必
a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零.
a a 0是一个非负数，即 a 0a 0
分析：要使式子 x 有1意义，必须x -1≥0，
即x ≥1。
解: ∵被开方数 x-1≥0,
∴x≥1
x是怎样的数时,下列各式在实数范 围内有意义?
(1) x 3; (2) 2 4 x ; (3) 5x ; (4) 2
x 1
计算： (1) 9 3 (2) 64 8
(3) 4 2 93
(4) (6)2 6
性质2：
a2
| a |
a(a 0), a(a 0).
课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你 有哪些新的认识和体会？
获得哪些解决二次根式问题的方法？ 你还有哪些问题？请与同伴交流。
再见
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课前小测
1. 16的平方根是 ±4; 2. 9的算术平方根是 3 ; 3. 25 的平方根是 ± 5 ;
进入新课
1. a表示什么?
2.a需要满足什么条件?为什么?
当a是正数时， a表示a的算术平方根，即正数a的
正的平方根；
当a是零时， a等于0，也叫零的算术平方根； 当a是负数时， a没有意义.
( 16)2 16
(
1 )2 3
1 3
( 7)2 7
二次根式概念
形如 （a a的式0）子叫二次根式.
【说明】 二次根式必须具备以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0。
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5, a (a 0), 3 8, a (a 0)
➢例 要使式子 x 1 有意义，字母x的取值必
a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零.
a a 0是一个非负数，即 a 0a 0
秋九年级数学华师大版上册课件：21.1 二次根式 (共14张PPT)
【例 2】已知 a＋3＋(b－2)2＝0，则(a＋b)2015 的值为( A )
A．－1
B．1
C．52014
D．－52014
【思路分析】因为 a＋3≥0，(b－2)2≥0，且这两个非负数的和为 0，所以每
a＋3＝0
a＝－3
个非负数都等于 0，即b－2＝0 ，解得b＝2 ，所以(a＋b)2015＝(－3＋2)2015.
19．化简： (1)(－13 3)2＋ －532； 解：原式＝(－13)2×( 3)2＋53 ＝19×3＋53 ＝2
(2) 49－ 52－(2 2)2＋( 12)0.
解：原式＝7－5－8＋1 ＝－5
20．已知 a2＋ b－2＝4a－4.求 ab的值．
解：因为 a2＋ b－2＝4a－4，所以 a2－4a＋4＋ b－2＝0.又因为(a－2)2≥0， b－2≥0，所以ab－ －22＝ ＝00， ， 所以ab＝ ＝22， ， 所以 ab＝ 2×2＝ 22＝2
1．若二次根式 a－2有意义，则 a 的取值范围是( A )
A．a≥2
B．a≤2
C．a＞2
D．a≠2
2．计算：(1)(
32)2＝
2 3
；(2)(12
2)2＝
1 2
.
3．计算：(1) －72＝ 7 ；(2) 3－22＝ 2－ 3 .
4．如果n m－n是二次根式，那么 m、n 应满足的条件是 m≥n且n＝2 .
5．式子 x1－1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是( C )
A．x＜1
B．x≤1
C．x＞1
D．x≥1
6．下列各式中，正确的是( B )
A. －32＝－3
B．－ 32＝－3
C. ±32＝±3
华东师大版数学九年级上册-21.1 二次根式 课件 _2优秀课件PPT
• 例1 当x取什么值时，下列各式在实数 范围内有意义？
(1) x 3 (2) 3 2 x
(3) 1 x 2
(4) b2
(5) ( x 1)2 (6) x x
a 0（a 0）性质的应用
例2（1）若 a - 5 b 2 0，求a、b的值； （2）若 2x 3 y 5 x 2 y 3 0，
比较分析
• 计算下列各式的值：
(1) 22 __2__，(2)2 __2__； (2) 32 __3__，(3)2 __3__； (3) 02 __0__ .
观察分析：() a2中a的取值有没有限制？
（2）当a 0时，a2 __a__； 当a 0时，a2 __-_a_ .
知识点概括
功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
(1) x2 4x 4 (x 2)；
(2)当2 x 3时，化简： x2 4x 4 x2 6x 9.
例7 化简：
实数a、b在数轴上的位置如图所 示，
化简 a2 a b .
a
0b
课堂小结
• 1、二次根式的概念； • 2、二次根式的性质； • 3、二次根式的 化简.
a2
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
华东师大版九年级数学上册21.1二次根式课件 (共54张PPT)
拓展练习 深化新知
1 1.当 x 是多少时， 2 x 3 在实数范 x +1 围内有意义？ x 3 且x 1 2 x 2.已知 y 2 x x 2 5 ，求 的 y 2
值.
5
3.若 a 1 b 1 0 ，求 a 值.
0
2009
b
2009
2
2
2
-5 3
2
16
.
-30
做一做
填空：
0.01 ； 2 22 = _______ ；0.012 = _______ 1 2 2 2 1 2 10 ； = _______; 3 10 = _______ 3 3 2 3 2 0 ； = _______. 0 = _______ 7 7
解：二次根式有：
2， x x 0 , 0, 2, x y x 0, y 0 ；
不是二次根式的有：
3
1 4 1 3， , , 2, . x x y
交流归纳
从形式上看，一个代数式是二次根式必
须具备以下两个条件： （1）必须有二次根号； （2）被开方数不能小于0.
例2：x 取何值时，下列二次根式有意义？
a +1 是不是二次根式？
的式子叫做
不是
a +1 呢?
是
议一议
二次根式 a 1 表示什么意义？ 此算术平方根的被开方数是什么？ a 1 被开方数必须满足什么条件时二次根式才 有意义？ 被开方数大于或等于零.
其中字母 a 需满足什么条件？为什么？
a -1
总结
二次根式根号内字母的取值范围必须满 足被开方数大于或等于零.
a0 . 2. a 2 a成立的条件是_______
华东师大版九年级上册 数学 课件 21.1 二次根式(21张PPT))
21.1 ， 5a b 2 ，4 等是 整式，
像 2x ，1 ， 2
y z a
x 6
等是分式 ，
那么 x ， 2x 3y ， 1 等既不是
6
整式也不是分式，那么它们是什么呢？
教学目标：
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子 是不是二次根式；
2、掌握二次根式有意义的条件； 3、掌握二次根式的基本性质； 4、通过计算、观察、类比、归纳、猜想，经
练习2、下列各式是二次根式吗?
(1) 32,
(4) 12
(2) 6,
(3) 1,
2
(5) 3
(6) - m
m 0
(8) x y x,y异号 ,
21.1 二次根式
新知梳理
知识点2:二次根式有意义的条件
在 a中，a 的取值必须满足 a≥0，即 二次根式的被开方数必须是非负数．
课堂练习3
归纳：当 a >0 时， a2＝________．
4
(2)计算： （－4）2＝____4____， －452＝___5_____.
归纳：当 a <0 时， a2＝________．
(3)计算： 02＝ ____0____． 归纳：当 a＝0 时， a2＝____0____．
综上，试概括你发现的结论．
x取何值时,下列二次根式有意义?
x0
(3) 4 x 2 x 为 全 体 实 数 (4) 1 x
(5) x3 x 0
1 (6) x2
你有什么收获？
①被开方数不小于零；
x0
x0
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2合1.1作二探次究根一式
知识点三.计算与归纳: a2＝|a|
4
像 2x ，1 ， 2
y z a
x 6
等是分式 ，
那么 x ， 2x 3y ， 1 等既不是
6
整式也不是分式，那么它们是什么呢？
教学目标：
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子 是不是二次根式；
2、掌握二次根式有意义的条件； 3、掌握二次根式的基本性质； 4、通过计算、观察、类比、归纳、猜想，经
练习2、下列各式是二次根式吗?
(1) 32,
(4) 12
(2) 6,
(3) 1,
2
(5) 3
(6) - m
m 0
(8) x y x,y异号 ,
21.1 二次根式
新知梳理
知识点2:二次根式有意义的条件
在 a中，a 的取值必须满足 a≥0，即 二次根式的被开方数必须是非负数．
课堂练习3
归纳：当 a >0 时， a2＝________．
4
(2)计算： （－4）2＝____4____， －452＝___5_____.
归纳：当 a <0 时， a2＝________．
(3)计算： 02＝ ____0____． 归纳：当 a＝0 时， a2＝____0____．
综上，试概括你发现的结论．
x取何值时,下列二次根式有意义?
x0
(3) 4 x 2 x 为 全 体 实 数 (4) 1 x
(5) x3 x 0
1 (6) x2
你有什么收获？
①被开方数不小于零；
x0
x0
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2合1.1作二探次究根一式
知识点三.计算与归纳: a2＝|a|
4
新华师大版九年级上册初中数学 21-1 二次根式 教学课件
4
3全体实数； 4 x 4 .
3
当堂小练
2.化简
1 9； 3 25；
2 42； 4 32
解：（1）3； （2）4； （3）5； （4）3；
拓展与延伸
若–3 ≤ x ≤ 2 时，试化简 x 2 x 32 .
解： x 2 x 32
x2 x3 由 –3 ≤ x ≤ 2 可得
x–2≤ 0 x+ 3 ≥ 0= 5 ∴原式= –(x – 2)+(x + 3)
新课讲解
二次根式知应识点满足两个条件： 1.含有二次根号“ ”； 2.被开方数是正数或 0 . 特别地：形如 b a (a≥0) 的式子也是二次根 式，它表示b与 a 的乘积，当b是带分数时， 要写成假分数的形式 .
新课讲解
求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法： (1)如果一知个识式点子含有多个二次根式，那么各个二次根
意义？
(1) 2x 6 x 50
；
(2)
1 3x 7
；
(3) x 2 5 x ；
(4)
x4 x2
；
导引：紧扣二次根式 的定义求式子有意义 时字母的取值范围.
新课讲解
解： （知1）识欲点使 2x 6 x 50 有意义，
则必有
2x 6 0,
x
5
0,
∴x≤－3，且x≠－5 .
式中的被开方数都必须是非负数. (2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么
二次根式中的被开方数（式）是非负数，分式的分 母不等于0. (3)如果一个式子中既含有二次根式又含有零指数幂或 负整数指数幂，那么二次根式中的被开方数（式） 是非负数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等0.
新课讲解 例 2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有
3全体实数； 4 x 4 .
3
当堂小练
2.化简
1 9； 3 25；
2 42； 4 32
解：（1）3； （2）4； （3）5； （4）3；
拓展与延伸
若–3 ≤ x ≤ 2 时，试化简 x 2 x 32 .
解： x 2 x 32
x2 x3 由 –3 ≤ x ≤ 2 可得
x–2≤ 0 x+ 3 ≥ 0= 5 ∴原式= –(x – 2)+(x + 3)
新课讲解
二次根式知应识点满足两个条件： 1.含有二次根号“ ”； 2.被开方数是正数或 0 . 特别地：形如 b a (a≥0) 的式子也是二次根 式，它表示b与 a 的乘积，当b是带分数时， 要写成假分数的形式 .
新课讲解
求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法： (1)如果一知个识式点子含有多个二次根式，那么各个二次根
意义？
(1) 2x 6 x 50
；
(2)
1 3x 7
；
(3) x 2 5 x ；
(4)
x4 x2
；
导引：紧扣二次根式 的定义求式子有意义 时字母的取值范围.
新课讲解
解： （知1）识欲点使 2x 6 x 50 有意义，
则必有
2x 6 0,
x
5
0,
∴x≤－3，且x≠－5 .
式中的被开方数都必须是非负数. (2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么
二次根式中的被开方数（式）是非负数，分式的分 母不等于0. (3)如果一个式子中既含有二次根式又含有零指数幂或 负整数指数幂，那么二次根式中的被开方数（式） 是非负数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等0.
新课讲解 例 2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有
华东师大版九年级上册第21章《二次根式》全章课件(共99张PPT)
(2)∵3.14＜π，∴3.14-π＜0，
∴ (3.14-π)2 = |3.14-π |=π-3.14.
评析：在计算时，为确保计算的正确性，计算
形如 a2 的二次根式时,先要写成 a2 =|a|的形式, 再看底数a的符号，防止出现当a<0时， a2 =a
这样的错误。
巩固认识
1、化简下列各式: (1) ( 3 2 )2 + ( 2 3 )2
小结
本节课要掌握：
1、 a b ab (a≥0,b≥0)
2、 ab a b (a≥0,b≥0)
对于二次根式的乘法及积的算 术平方根的化简要灵活运用
课后练习
认真完成导学案的“课后练习题案”.
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.2二次根式的乘除法
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
3、设a、b、c为△ABC的三边，化简：
(a+b+c)2 + (a-b-c)2 + (c-b+a)2
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.1二次根式的乘除法
学而不疑则怠，疑而不探则空
知识回顾
1、二次根式 a(a≥0)是非负数，
a
2
a
.当a≥0时， a2
=
a
；
当a＜0时， a2 = -a .
1 x
※拓展应用
已知 2 a，3 b， 用含a、b的代数式表示 96.
2 a, 3 b, 96 16 6 4 6 4 2 3 4ab.
比一比，看谁更快！
一、计算：
(1) 8 27 ; 6 6 (2) (3) 1 54 1 6 3
125
1 20
5 2
∴ (3.14-π)2 = |3.14-π |=π-3.14.
评析：在计算时，为确保计算的正确性，计算
形如 a2 的二次根式时,先要写成 a2 =|a|的形式, 再看底数a的符号，防止出现当a<0时， a2 =a
这样的错误。
巩固认识
1、化简下列各式: (1) ( 3 2 )2 + ( 2 3 )2
小结
本节课要掌握：
1、 a b ab (a≥0,b≥0)
2、 ab a b (a≥0,b≥0)
对于二次根式的乘法及积的算 术平方根的化简要灵活运用
课后练习
认真完成导学案的“课后练习题案”.
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.2二次根式的乘除法
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
3、设a、b、c为△ABC的三边，化简：
(a+b+c)2 + (a-b-c)2 + (c-b+a)2
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.1二次根式的乘除法
学而不疑则怠，疑而不探则空
知识回顾
1、二次根式 a(a≥0)是非负数，
a
2
a
.当a≥0时， a2
=
a
；
当a＜0时， a2 = -a .
1 x
※拓展应用
已知 2 a，3 b， 用含a、b的代数式表示 96.
2 a, 3 b, 96 16 6 4 6 4 2 3 4ab.
比一比，看谁更快！
一、计算：
(1) 8 27 ; 6 6 (2) (3) 1 54 1 6 3
125
1 20
5 2
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解： （1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. （2）由题意知1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2015, 所以x+2y=1+2×2015=4031.
课堂小结
（1）二次根式的概念
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根 式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是
b 3
.
b-3
你认为下列各代数式有哪些共同特点？
a 2500
2
s π
b3
表示一些正数的算术平方根．
知识归纳 二次根式的定义
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根 式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
两个必备特征 理解要点： ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开数a ≥0
4
2
4
2
2
2
2 0
1 3
1 3
0
2
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，
2 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2） 2
归纳 一般地，有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下：a2, ︱a︱,
三 二次根式的性质2及应用
32 9 3 , 类似地，计算： 7 5 = 02 0 又如
2
7 5
0.52 0.5
3
2
2
再计算： = 9=3= 3，
7 7 = 5 5
0.5
2
= 0.5
归纳 一般地，有
a
性质 2： a 2 a
( a ≥0 )
(a＜ 0)
-a
知识要点 1.从运算顺序来看,
a
2
先开方,后平方
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看,
a
2
a≥0
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a =a
2
a (a≥0)
-a(a＜0)
( a )2 与 a 2 有区别吗 ?
a
2
=∣a∣ =
练一练 化简
(1) 16
（2）根号内字母的取值范围 抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
（3）二次根式的值
定义 二 次 根 式
a （a≥0）
a 0(a 0)
性质 （即 a 表示一个非负数）
a
2
a a 0 ;
a2 （ a a 0）
x 1
的值.
当x=5时，
x 1 5 1 4 2.
思考：当x是怎样的实数时， x2在实数范围内有意义？ x为全体实数.
2.（1）若
a 2 b 3 (c 4) 2 0,
则a-b+c=___ ；
(2)设y 1 x + x 1+2015,试求x 2 y的值.
12, xy (x,y 异号) ，
3
5.
2
（1）、（4）、（6）均是二次根式，其中a +1属于 解析： “非负数+正数”的形式一定大于零.而（5）中xy<0,
（7）根指数不是2，是3.而（3）不是，是因为在实
数范围内，负数没有平方根.
二 二次根式的性质1及应用
1.根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据．
(3) ( 7) 2
(2) ( 5) 2
(4) 72
解： (1)
16 42 4
2
(2) (5) 2 52 5
2
(3) ( 7) 7
(4) 7
1 7
当堂练习
1. 当x取何值时, 解：由x-1≥0，得
x 1 二次根式有意义?
x≥1
当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义. 试求当x=5时，二次根式
第21章 二次根式
21.1 二次根式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解二次根式的概念; 2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围; (重点)
3.探索二次根式的性质; (难点) 4.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点)
导入新课
观察与思考 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. a的平方根是 a . 问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0. 用 a (a≥0)表示.
a 文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数.
练一练 计算
1 2 (1)( ) 2
2 (2)( 5) 2 3
（2）用到了
（ab）2=a2b2这个 结论.
解： (1)(
1 2 1 ) 2 2
2 2 2 4 20 2 2 (2)( 5) ( ) ( 5) 5 3 3 9 9
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 a 的认识！ 1. a 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
2.二次根式实质上是非负数的算术平方根.
3. a既可以是一个数，也可以是一个式子.
典例精析 例 下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) (4) - m (m≤0), (6) (5) (7) a2 1 ,
问题3 平方根的性质： 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根. 问题4 所有实数都有算术平方根吗？ 正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根.
S
S π 圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为__________.
讲授新课
一 二次根式的定义及有意义的条件
课堂小结
（1）二次根式的概念
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根 式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是
b 3
.
b-3
你认为下列各代数式有哪些共同特点？
a 2500
2
s π
b3
表示一些正数的算术平方根．
知识归纳 二次根式的定义
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根 式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
两个必备特征 理解要点： ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开数a ≥0
4
2
4
2
2
2
2 0
1 3
1 3
0
2
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，
2 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2） 2
归纳 一般地，有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下：a2, ︱a︱,
三 二次根式的性质2及应用
32 9 3 , 类似地，计算： 7 5 = 02 0 又如
2
7 5
0.52 0.5
3
2
2
再计算： = 9=3= 3，
7 7 = 5 5
0.5
2
= 0.5
归纳 一般地，有
a
性质 2： a 2 a
( a ≥0 )
(a＜ 0)
-a
知识要点 1.从运算顺序来看,
a
2
先开方,后平方
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看,
a
2
a≥0
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a =a
2
a (a≥0)
-a(a＜0)
( a )2 与 a 2 有区别吗 ?
a
2
=∣a∣ =
练一练 化简
(1) 16
（2）根号内字母的取值范围 抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
（3）二次根式的值
定义 二 次 根 式
a （a≥0）
a 0(a 0)
性质 （即 a 表示一个非负数）
a
2
a a 0 ;
a2 （ a a 0）
x 1
的值.
当x=5时，
x 1 5 1 4 2.
思考：当x是怎样的实数时， x2在实数范围内有意义？ x为全体实数.
2.（1）若
a 2 b 3 (c 4) 2 0,
则a-b+c=___ ；
(2)设y 1 x + x 1+2015,试求x 2 y的值.
12, xy (x,y 异号) ，
3
5.
2
（1）、（4）、（6）均是二次根式，其中a +1属于 解析： “非负数+正数”的形式一定大于零.而（5）中xy<0,
（7）根指数不是2，是3.而（3）不是，是因为在实
数范围内，负数没有平方根.
二 二次根式的性质1及应用
1.根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据．
(3) ( 7) 2
(2) ( 5) 2
(4) 72
解： (1)
16 42 4
2
(2) (5) 2 52 5
2
(3) ( 7) 7
(4) 7
1 7
当堂练习
1. 当x取何值时, 解：由x-1≥0，得
x 1 二次根式有意义?
x≥1
当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义. 试求当x=5时，二次根式
第21章 二次根式
21.1 二次根式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解二次根式的概念; 2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围; (重点)
3.探索二次根式的性质; (难点) 4.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点)
导入新课
观察与思考 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. a的平方根是 a . 问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0. 用 a (a≥0)表示.
a 文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数.
练一练 计算
1 2 (1)( ) 2
2 (2)( 5) 2 3
（2）用到了
（ab）2=a2b2这个 结论.
解： (1)(
1 2 1 ) 2 2
2 2 2 4 20 2 2 (2)( 5) ( ) ( 5) 5 3 3 9 9
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 a 的认识！ 1. a 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
2.二次根式实质上是非负数的算术平方根.
3. a既可以是一个数，也可以是一个式子.
典例精析 例 下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) (4) - m (m≤0), (6) (5) (7) a2 1 ,
问题3 平方根的性质： 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根. 问题4 所有实数都有算术平方根吗？ 正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根.
S
S π 圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为__________.
讲授新课
一 二次根式的定义及有意义的条件