涉及中点的几何证明题
2023年数学中考试题精选：几何综合证明(一)
1.（2023.营口24题）在平行四边形ABCD中，∠ADB=90°,点E在CD 上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG, ∠FED=∠ADG，ADBD =DG EF=k.（1）如图1，当k=1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系________；（2）如图2，当k=√(3)时，写出线段AD，DE和DF之间的数量关系,并说明理由；（3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值2.（2023.本溪铁岭辽阳25题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G.（1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF 的数量关系；（2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=√2BC；（3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值.3.(2023.大连25题)综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质。
已知AB=AC，∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折，同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB.”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长.”补足探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A>90°，△BDE由△ABE翻折得到.（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4，CD=3，求BE的长.问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以问题进一步拓展.问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°，AB=AC=BD=4，2∠D=∠ABD.若CD=1，则求BC的长.4.(2023.牡丹江26题)平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF.（1）当点E在线段BC上，∠ABC=45°时，如图1，求证：AE+EC=BF；（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC=45°时，如图2，当点E在线段CB延长线上，∠ABC=135°时，如图3，请猜想并直接写出线段AE，EC,BF的数量关系；（3）在（1）、（2）的条件下，若BE=3，DE=5，则CE=______.5.（2023.贵州省25题）如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°,过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上.（1）【动手操作】如图2，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为______度；（2）【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图3，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD将于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由.6.(2023.沈阳24题)如图1.在平行四边形纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将平行四边形ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C`，D`，射线C`E与射线AD将于点F.（1）求证：AF=EF；（2）如图2，当EF⊥AF时，DF的长为______;（3）如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM 交C`D`于点N，连接AN，EN，求△ANE的面积。
七年级数学典型几何证明50题
初一典型几何证明题1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=22、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴△BCF ≌△EDF (S.A.S)ADBCA BC DEF 21∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE在△BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在△ABF 和△AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ABF ≌△AEF 。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
3、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG∥EF 交AD 的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE ＝DC∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD EF ＝CG ∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2∴△AGC 为等腰三角形， AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC4、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠CBA CDF2 1 EA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C5、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE6、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
初一几何证明题
初一几何证明题比如说，有这么一道题：已知三角形ABC，AB = AC，D是BC边上的中点，要证明AD垂直于BC。
这就好比是在探索一个小小的几何世界里的秘密法则。
咱们先来分析分析哈。
AB = AC，这意味着啥呢？这就说明三角形ABC是个等腰三角形呀，就像是一个两边长得一样长的“对称小房子”。
等腰三角形有个很特别的性质，那就是两腰所对的角相等，也就是∠B = ∠C。
再看看这个D点，它可是BC边上的中点哦，这就好比是把BC这条“小路”从正中间给截断了，BD和DC的长度是一样的。
那接下来怎么证明AD垂直于BC呢？咱们可以通过证明三角形ABD和三角形ACD 全等的方法来解决这个问题。
就像是在比较两个差不多的小物件，看看它们是不是完全一样。
在三角形ABD和三角形ACD中，AB = AC，这是题目一开始就告诉咱们的，就像给了咱们一个已知的“小线索”。
BD = CD，因为D是中点嘛，这又是一个稳稳的“证据”。
还有AD这条边，它是两个三角形共用的，就像是两个人共用一把雨伞一样，这就是所谓的公共边。
根据“边边边”（SSS）全等判定定理，这两个三角形就全等啦！就像两个一模一样的拼图块，能完美地重合在一起。
既然这两个三角形全等，那么对应的角也相等，也就是∠ADB = ∠ADC。
又因为∠ADB和∠ADC组成了一个平角，平角是180°，那这两个相等的角加起来是180°，所以每个角都是90°。
这就说明AD垂直于BC啦，就好像是给这个等腰三角形的“小房子”竖了一根直直的“支撑柱”。
再举个例子哈，已知两条平行线AB和CD，被第三条直线EF所截，要证明同位角相等。
想象一下，AB和CD就像是两条永远不会碰面的“铁轨”，EF呢，就像是一根横在铁轨中间的“木棍”。
咱们可以通过平移的方法来理解这个问题。
把其中一条直线沿着EF的方向平移，让它和另一条直线重合。
就像是把一条铁轨沿着“木棍”的方向慢慢挪动，最后和另一条铁轨叠在一起。
热点突破-与中点有关的联想(初中几何证明)
.
例2题图
模型解读
遇到直角三角形斜边的中点：连中线构造斜边上的中线.
结论：出现两个等腰三角形.
变式2
如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于点D，
CE⊥AB于点E，M，N分别是BC，DE的中点.若BC＝
10，DE＝6，则△MDE的面积为 12
变式2题图ຫໍສະໝຸດ .类型三见多个中点，联想到中位线
A.3
B.4
第4题图
C.2
B ）
D.3 ��
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC
的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是
第5题图
.
6.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG
上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长
是 .
第6题图
2MN＝6.∴AC＝AD＋DC＝16.
类型四
见中线
联想
倍长中线
典例精讲
例4 如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，
BD⊥BC，∠ABC＝120°，AB＝8，则BC的长为
（
B ）
例4题图
A.3
B.4
C.5
D.6
变式4
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC
的中点，点E，F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD，
的中点，且S△ABC＝16，则S△DEF＝（
A.2
B.8
第1题图
C.4
A
D.1
）
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CE＝
2，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则AE
中考数学系统复习第五单元四边形方法技巧训练二几何中与中点有关的计算与证明练习
方法技巧训练(二) 几何中与中点有关的计算与证明方法指导1 有关中点的常见考法 (1)直角三角形斜边上的中线如图,在Rt △ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,则BD ＝12AB,AD ＝CD ＝DB.反过来,在△ABC 中,点D 在AB 边上,若AD＝BD ＝CD ＝12AB,则有∠ACB ＝90°.解题通法：直角＋中点⇒直角三角斜边上的中线．(1)图 (2)图 (3)图(2)等腰三角形“三线合一”如图,在△ABC 中,若AB ＝AC,通常取底边BC 的中点D,则AD ⊥BC,且AD 平分∠BAC.解题通法：事实上,在△ABC 中：①AB ＝AC ；②AD 平分∠BAC ；③BD ＝CD ；④AD ⊥BC.对于以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出另两条结论,即“知二得二”．(3)线段垂直平分线如图,直线l 是线段BC 的垂直平分线,则可以在直线l 上任意取一点A,得到AB ＝AC,即△ABC 是等腰三角形． 解题通法：遇到垂直平分线⇒线段相等⇒等腰三角形． (4)倍长中线在△ABC 中,M 为BC 的中点．①如图1,连接AM 并延长至点E,使得AM ＝ME,连接CE,则△ABM ≌△ECM.②如图2,点D 在AB 边上,连接DM 并延长至点E,使得ME ＝DM,连接CE,则△DMB ≌△EMC.解题通法：遇到三角形一边上的中点,常常倍长中线,利用“8”字形全等将题中条件集中,以达到解题的目的．图1 图2(5)构造三角形的中位线在△ABC 中,D 为AB 边的中点．①如图1,取AC 边上的中点E,连接DE,则DE ∥BC,且DE ＝12BC.②如图2,延长BC 至点F,使得CF ＝BC,连接CD,AF,则DC ∥AF,且DC ＝12AF.解题通法：三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来,通常需要再找一个中点来构造中位线,或倍长某段线段构造中位线．拓展：如果已知中点的边不在一个三角形中,则需先添加辅助线构造中点,然后构造三角形的中位线解题．如在四边形ABCD 中,点E,H 分别为AB,CD 边的中点,则先连接AC,然后取AC 边的中点F,连接EF,FH,则EF 为△ABC 的中位线,FH 为△ACD 的中位线．图1 图2(6)中点四边形如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是四边形的边AB,BC,CD,AD的中点．结论：①连接EF,FG,GH,EH,则中点四边形EFGH是平行四边形．②若对角线AC和BD相等,则中点四边形EFGH是菱形．③若对角线AC与BD互相垂直,则中点四边形EFGH是矩形．④若对角线AC与BD互相垂直且相等,则中点四边形EFGH是正方形．方法指导2中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半；④圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半．题组11．如图,在△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB＝2,AC＝1,DE＝32,则∠CDE＋∠ACD＝(C)A．60°B．75°C．90°D．105°2．如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB＝AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF＝2,则AC的长是(B) A．3 B．4 C．5 D．63．如图,在四边形ABCD中,∠DAB＝90°,∠DCB＝90°,E,F分别是BD,AC的中点,AC＝6,BD＝10,则EF的长为(B) A．3 B．4 C．5 D.74．如图,在钝角△ABC中,已知∠A为钝角,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.若BD2＋CE2＝DE2,则∠A的度数为135°．5．(青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE＝DF＝2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为342．题组26．如图,在△ABC 中,两条中线BE,CD 相交于点O,则S △DOE ∶S △DCE ＝(B)A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．2∶37．(陕西)如图,在菱形ABCD 中,点E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD 和DA 的中点,连接EF,FG,GH 和HE.若EH ＝2EF,则下列结论正确的是(D)A ．AB ＝2EF B ．AB ＝2EFC ．AB ＝3EFD ．AB ＝5EF8．(苏州)如图,在△ABC 中,延长BC 至D,使得CD ＝12BC,过AC 中点E 作EF ∥CD(点F 位于点E 右侧),且EF ＝2CD,连接DF.若AB ＝8,则DF 的长为(B)A ．3B ．4C ．2 3D ．3 29．如图,在△ABC 中,AB ＝10,AC ＝6,则BC 边上的中线AD 的取值范围是2＜AD ＜8．10．(武汉)如图,在△ABC 中,∠ACB ＝60°,AC ＝1,D 是边AB 的中点,E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC 的周长,则DE 的长是32．11．(1)如图1,在四边形ABCD 中,F,E 分别是BC,AD 的中点,连接FE 并延长,分别与BA,CD 的延长线交于点M,N,已知∠BME ＝∠CNE,求证：AB ＝CD ；(提示：取BD 的中点H,连接FH,HE 作辅助线)(2)如图2,在△ABC 中,点O 是BC 边的中点,D 是AC 边上一点,E 是AD 的中点,直线OE 交BA 的延长线于点G.若AB ＝DC ＝5,∠OEC ＝60°,求OE 的长度．图1 图2解：(1)证明：连接BD,取DB 的中点H,连接EH,FH. ∵F,E 分别是BC,AD 的中点, ∴EH ∥AB,EH ＝12AB,FH ∥CD,FH ＝12CD.∴∠BME ＝∠HEF,∠CNF ＝∠HFE.∵∠BME ＝∠CNE, ∴∠HEF ＝∠HFE.∴HE ＝HF.∴AB ＝CD.(2)连接BD,取DB 的中点H,连接EH,OH. ∵O,E 分别是BC,AD 的中点,∴EH 平行且等于12AB,OH 平行且等于12CD.∵AB ＝CD,∴HO ＝HE.∴∠HEO ＝∠HOE ＝∠OEC. ∵∠OEC ＝60°,∴∠HEO ＝∠HOE ＝60°. ∴△OEH 是等边三角形． ∵AB ＝DC ＝5,∴OE ＝52.。
图形的中点问题
2012中考数学专题复习5图形的中点问题一.知识要点：线段的中点是几何图形中的一个特殊点，与中点有关的问题很多，添加适当的辅助线、恰当地利用中点是处理中点问题的关键。
涉及中点问题的几何问题，一般常用下列定理或方法：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(2)三角形中位线定理；(3)等腰三角形三线合一的性质；(4)倍长中线，构造全等三角形（或平行四边形）；(5)平行四边形的性质与判定.二.例题精选1、若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三形底边的中点，则常过中点作中线，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质或“等腰三角形三线合一”的性质。
例1. 如图，已知△ABC中，∠B =90°，AB=BC,D在AB上,E在BC上，BD=CE , M是AC的中点，求证：△DEM是等腰直角三角形.提示：连结BM,证明ΔBDM≌ΔCEM,得DM=ME，∠DMB=∠EMC,则∠DME=,得ΔMDM为等腰直角三角形2、三角形中遇到两边的中点，常应用“三角形的中位线定理”,若有一点是三角形一边的中点或梯形一腰的中点，则常过中点作中位线。
例2.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别交MN的延长线于E、F．求证：∠DEN＝∠F．提示：连结AC，作AC中点G，连结MG，NG。
则MG=NG，MG∥BC，NG∥AD。
∴∠MGN＝∠F ,∠GNM=∠DEN,∠MGN=∠GNM. ∴∠DEN＝∠F．3、若有三角形的中线或过中点的线段，则通常加倍延长中线或过中点的线段，以构造两个三角形全等。
例3. 已知：如图2，AD为△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF提示：延长AD至G，使DG=AD，连结BG，则ΔBDG≌ΔCDA，∴AC=BG=BF4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想或构造“X字型”全等三角形.例4. 如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为．提示：延长AD、FM交于点H，则AH=EF=3，DH=1=DF，∴FH=MF=5、有关面积的问题中遇到中点，常用“等底等高的两个三角形面积相等”的性质。
高考数学立体几何专题：中点证明
EA EB AB 1，PA 3 ，连接CE并延长交 AD于F，AD GF。证明： G是PD的中点。
P
2 EA EB AB ABE是正三角形 ABE AEB 600
G DAB DCB AB BC BC EB BCE是等腰三角形
AB EB
A
F
D
DAB DCB CBE ABE 600
BC AD
ME 1 AD 2
立体几何中点证明
MN // AD PME PAD PM ME
PA AD PM 1 PM 1 PA
ME 1 AD ME 1
PA 2
2
2
AD 2
M是PA的中点。
立体几何中点证明
跟踪训练二：如图，四 棱锥P ABCD，PA 底面ABCD，E为BD的中点， DAB DCB，
正三棱锥P ABC PA PB PAB是等腰三角形 G是AB的中点。
AB PG
立体几何中点证明
跟踪训练一：如图，在 四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是菱形， M在PC上，
N是BC的中点， MN // 平面PCD。证明： M是PA的中点。
P
过点M作AD的平行线交PD于点E，连接CE。
PA AD
AD 底面ABCD
PA// GF
GF AD
在PAD中：PA// GF GF是PAD的中位线 G是PD的中点。
F是AD的中点
顶点P在平面ABC内的正投影为点D PD 平面ABC AB 平面ABC
PD AB
D在平面PAB内的正投影为点E DE 平面PAB AB 平面PAB
DE AB
立体几何中点证明
PD AB
DE AB AB 平面PDG AB PG
PD, DE 平面PDG PG 平面PDG
【中考几何模型压轴题】专题19《中点模型》
中考几何压轴题（几何模型30讲）最新讲义专题19《中点模型》破解策略1．倍长中线在△ABC中．M为BC边的中点．M E CBAE MCABD图1 图2（1）如图1，连结AM并延长至点F，使得ME＝AM．连结CE．则△ABM≌△ECM．（2）如图2，点D在AB边上，连结DM并延长至点E．使得MF＝DM．连结CE，则△BDM ≌△CEM，遇到线段的中点问题，常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字形全等将题中条件集中，达到解题的目的，这种方法是最常用的也是最重要的方法．2．构造中位线在△ABC中．D为AB边的中点，AB D EC C FABD图1 图2（1）如图1，取AC边的中点E，连结DE．则DE∥BC，且DF＝12B C．（2）如图2．延长BC至点F．使得CF＝B C．连结CD，AF．则DC∥AF，且DC＝12 AE．三角形的中位线从位置关系和数量关系两方面将将图形中分散的线段关系集中起来．通常需要再找一个中点来构造中位线，或者倍长某线段构造中位线，3．等腰三角形“三线合一”如图，在△ABC中，若AB＝A C．通常取底边BC的中点D．则AD⊥BC，且AD平分∠BA C．事实上，在△ABC中：①AB＝AC；②AD平分∠BAC；③BD＝CD，④AD⊥B C．对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”．AB DC4.直角三角形斜边中线如图，在△ABC看，∠ABC＝900，取AC的中点D，连结BD，则有BD＝AD＝CD＝12 AC．反过来，在△ABC中，点D在AC边上，若BD＝AD＝CD＝12AC，则有∠ABC＝900例题讲解例1 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F 作CD的垂线，两垂线交于点G，连结AG、BG、CG且∠AGD＝∠BGC，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值解由题意可得△AGB和△DGC为共顶点等顶角的两个等腰三角形，所以△AGD≌△BGC，△AGD∽△EGF．方法一：如图1，连结CE并延长到H，使EH＝EC，连EH、AH，则AH∥BC，AH＝BC，而AD＝BC，AD⊥BC所以AD＝AH，AD⊥AH，连结DH，则△ADH为等腰直角三角形，又因为E、F分别为CH、CD的中点，所以=212AD ADEFDH=方法二：如图2，连结BD并取中点H，连结EH，FH．则EH＝12AD，且EH∥AD，FH＝12BC，而AD＝BC，AD⊥BC，所以△EHF为等腰直角三角形，所以2=2AD EHEF EF=例2如图，在△ABC中，BC＝22，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于E，F、G分别是BC、DE的中点，若ED＝10，求FG的长．解：连结EF、DF，由题意可得EF、DF分别为RT△BEC，RT△BDC斜边的中线，所以DF＝EF ＝12BC＝11，而G为DE的中点，所以DG＝EG＝5，FG⊥DE，所以RT△FGD中，FG22DF DG-＝6例3 已知：在RT△ACB和RT△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝900，若P是BF的中点，连结PC、PE（1）如图1，若点E、F分别落在边AB、AC上，请直接写出此时PC与PE的数量关系．（2）如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．解（1）易得PC＝PE＝12BF，即PC与PE相等．（2）结论成立．理由如下：如图4，延长CP交EF的延长线于点D，则BC∥FD，易证△BPC≌△FPD，所以PC＝PD，而∠CED＝900，所以PE＝12CD＝PC（3）结论仍成立，理由如下：如图5，过点F作FD∥BC，交CP的延长线于点D，易得PD＝PC，FD＝BC所以AE EF EF AC BC FD==而∠AFE＝∠PBC＝∠PFD，所以∠EAC＝1800－2∠AFE＝∠EFD，如图，连结CE，ED，则△EAC∽△EFD，所以∠AEC＝∠FED，∠CED＝∠AEF＝900，所以PE＝12CD＝PC例4已知：△ABC是等腰三角形，∠BAC＝900，DE⊥CE，DE＝CE＝12AC，连结AE，M是AE的中点（1）如图1，若D在△ABC的内部，连结BD，N是BD的中点，连结MN，NE，求证：MN⊥AE （2）如图2，将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝300，连结BD，N是BD的中点，连结MN，求MN AC解：（1）如图3，延长EN至点F，使得NF＝NE，连结FB，易证△DEN≌△BFN，从而可得BF∥DE，BF＝DE，延长FB，CE交于点G，则∠G＝900，从而A、B、G、C四点共圆所以∠ABF＝∠ACE，连结AF，所以△ABF≌△ACE（SAS），所以AF＝AE，AF⊥AE，而MN∥AF所以MN＝12AE，MN⊥AE（2）如图4，同（1）可得，MN＝12AE，MN⊥AE，由题意可得AC＝2CE，作EH⊥AC于H，则∠ECH＝600，所以CH＝12EC＝14AC，EH＝3AC，从而AE＝227AH EH AC+=，所以7MNAC=进阶训练1．如图，△ABD和△ACE都是直角三角形，其中∠ABD ＝∠ACE＝90°，且点C在AB上，连结DE，M为DE的中点，连结BM，CM，求证：BM＝CM．MCDEAB【答案】略【提示】延长CM，DB交于点F，则∠CBF＝90°，△CME≌△FMD，从而BM＝12CF＝CM．MCDEB2．我们把两条中线互相垂直的三角形称为”中垂三角形”．如图1，AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．（1）猜想a 2，b2，c2三者之间的关系，并加以证明；（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E，F，G分别是AD，BC，CD上的中点．BE⊥EG，AD＝5AB＝3．求AF的长．图1A图2A【答案】（1） a 2＋b 2＝5c 2，证明略；（2） AF ＝4．【提示】（1）如图，连结EF ，由中位线定理可得PE PB ＝PF PA ＝EF BA ＝12．在Rt △APB ，Rt △APE 和Rt △BPF 中，利用勾股定理即可得到a 2＋b 2＝5c 2；（2） 如图，取AB 的中点H ，连结FH ，AC ，由中位线定理可得FH ∥AC ∥EG ，从而FH ⊥BE ，易证△APE ≌△FPB ，所以AP ＝FP ，所以△ABF 是“中垂三角形”从而利用（1）中结论求得AF 的长．DEBA3．巳知：△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ADE ＝90°，F 为BE 的中点．连结DF ，CF ．图3图2图1EE（1）如图，当点D 在AB 上，点E 在AC 上时，请直接写出此时线段DF ，CF 的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2．在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转45°．请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3．在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转角α，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，井证明你的判断．【答案】（1）DF ＝CF ，DF ⊥CF ；（2）成立；（3）成立．【提示】（2）延长DF 交BC 于点G ，则△DEF ≌△GBF ，从而得DF ＝GF ，CD ＝CG ，即得证．E（3）延长CF 至点G ，使得FG ＝CF ，连结EG ，则GE ＝CB ＝CA ，GE ⊥AC ，可得∠CAD ＝∠GE D ．连结DG ，CD ，从而△ADC ≌△EDG （SAS ）．即得证．E4．巳知：P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为E ，F ，O 为AC 的中点，如图1．将直线BP 绕点B 逆时针旋转，当∠OFE ＝ 30°时，如图2所示，请你猜想线段CF ，AE ，OE 之间有怎样的数量关系，并给予证明．图1图2【答案】图1中OE ＝CF －AE ；图2中OE ＝CF ＋AE ．【提示】如图1，延长EO 交FC 于点G ，易证OE ＝OG ，AE ＝CG ，从而Rt △GFE 中，OF ＝OG ＝OE ．而∠OFE ＝30°，所以OE ＝CF －AE ．图1如图2，同理可得OE＝CF＋AE．图2。
初三几何证明练习题100
初三几何证明练习题1001、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点，DE 的延长线交BC 的延长线于点F ，EF=5，∠B 的正切值为21 〔1〕求证：△BDF ∽△DCF ；〔2〕求BC 的长2、：如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，EC 和BD 相交于点O ，联接DE ． 〔1〕求证：△EOD ∽△BOC ；〔2〕假设S △EOD ＝16，S △BOC ＝36，求AEAC的值．3、如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交 AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为点G ，BG 交AE 于点H ． 〔1〕求证：△ABE ∽△ECF ；〔2〕找出与△ABH 相似的三角形，并证明；〔3〕假设E 是BC 中点，BC =2AB ，AB =2，求EM 的长．4、如图，点D 是Rt △ABC 斜边AB 上一点，点E 是直线AC 左侧一点，且EC ⊥CD ，∠EAC =∠B . 〔1〕求证：△CDE ∽△CBA ； 〔2〕如果点D 是斜边AB 的中点，且23tan =∠BAC ， 试求CBACDES S ∆∆的值. 〔CDE S ∆表示△CDE 的面积,CBA S ∆表示△CBA 的面积〕5、在△ABC 中，∠BAC = 90°，∠EAF = 90°，AB AF AC AE ⋅=⋅． 〔1〕求证：△AGC ∽△DGB ；〔2〕假设点F 为CG 的中点，AB = 3，AC = 4，1tan 2DBG ∠=，求DF 的长． GFE D CB AEOD ABCEDAF A B D CE G 6、：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．〔1〕求证：BD DG AD ⋅=2；〔2〕联结CG ，求证：∠ECB ＝∠DCG ．7、如图E 为正方形ABCD 边BC 延长线上一点，AE 交DC 于F ，FG ∥BE 交DE 于G ． 〔1〕求证：FG FC =；〔2〕假设1FG =，3AD =，求tan GFE ∠的值．8、如图，△ABC 中，点D 、E 分别在BC 和AC 边上，点G 是BE 边上一点，且∠BAD ＝∠BGD ＝∠C ，联结AG 。
与中点有关的问题
∴∠BDE=90°
∵∠3+∠4=90°，∠2+∠5=90°
∴∠4=∠5
∴DF=EF
∴BF=EF
∴ DF为BC边上的中线
∴ DF= 1 BE
2
第二部分的证明过程
证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
∵DF∥AB
∴∠ABC=∠6
∴∠6=∠C
∴DF=CD
∴
CD=
1 2
BE
第三、四部分的证明过程
从结论出发
分析方法2
∵AD平分∠BAC
∴D为BF的中点， E为BC的中点
例1：已知Rt△ABC,∠BAC=90°作
∠BAC的角平分线，过点B作BD垂直 该角平分线交于点D，取BC的中点E， 连接DE.(AB<AC) 求证：DE//AC
∴DE为△BFC 的 中位线
∴DE//AC
例1：已知Rt△ABC,∠BAC=90°作
线构造结论中所需要的2CE，即做CF=2CE, 目标就改为通过证明△CBF≌△CBD得到
3 B
C
CD=CF.由于AC=AB=BD，借助倍长中线
构造全等三角形可得AC=BF,所以BD=BF,
且BC=BC,现在留下的问题是如何证明
∠FBC=∠DBC.
D
F
A
延长CE至 F使EF=CE， 连结FB
△AEC≌△BEF { 3=A
BD=CD S△ABD=S△ACD AD⊥BC
AD平分∠BAC
3.直角三角形斜边的中线
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D
为AC的中点，则BD为Rt△ABC斜边的
中线
1
BD= 2 AC
AD=BD=CD
S△ABD=S△BCD
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关于中点的题型
1．（巴蜀月考二）已知∆ABC 是等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，E 为ABC ∆外一点，,CE FE CE FE ⊥=，连接AE 、BF ，点M 为AE 中点，点N 为BF 中点。
（1）若BC =FC =30ECA ∠=︒，求ACE S ∆
（2）求证：MN AE ⊥
2.（巴蜀月考一）如图，在Rt BCE ∆中，90BCE ∠= 。
以BC 为斜边作等腰直角三角形ABC ，点D 为BE 中点，连接AD ，过点E 作AC 的垂线交AC 于点H ，交BC 于点F 。
（1）若2,CE AB ==CD 的长；
（2）求证：2BF AD =
3．（一中半期）在菱形ABCD 中，∠BAD =60°.
（1）如图1，点E 为线段AB 的中点，连接DE 、CE ，若AB =4，求线段EC 的长；
（2）如图2，M 为线段AC 上一点（M 不与A ，C 重合），以AM 为边，构造如图所示等边三角形AMN ，线段MN 与AD 交于点G ，连接NC ，DM ，Q 为线段NC 的中点，连接DQ ，MQ ， 求证：DM =2DQ .
4.（三中月考）已知，在□ABCD 中，连接对角线AC ，
CAD ∠平分线AF 交CD 于点F ，ACD ∠平分线CG 交AD 于点G ，AF 、CG 交于点O ，点E 为BC 上一点，且BAE GCD ∠=∠。
（1）如图1，若ACD ∆是等边三角形，2OC =，求□ABCD 的面积；
（2）如图2，若ACD ∆是等腰直角三角形，90CAD ∠= ，求证：2CE OF AC +=。
5．（三中半期）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 、E 分别为斜边AC 上两点，且AD ＝AB ，CE ＝CB ，连接BD 、BE 。
（1）求∠EBD 的度数；
（2）如图2，过点D 作FD ⊥BD 于点D ，交BE 的延长线于点F ，在AB 上选取一点H ，使得BH ＝BC ，连接CH ，在AC 上选取一点G ，使得GD ＝CD ，连接FH 、FG 。
求证：FH ＝FG 。
6．(西师一模)如图，等腰直角三角形∆ABC 中，∠ACB ＝90"，AC=BC ,点D 是AC 边上一点，∠CBD = 30 ，点E 是BD 边上一点，且CE ＝
12AB ，
(1)如图①，若AB ＝CBE S ∆
（2）如图②，过点E 作EQ ⊥BD 交BC 于点Q ，求证：AC =
12
BD + 2EQ ·
(八中月考)
(西师月考)
（育才期末）。