24章 数学活动与小结
九年级数学上册第24章《圆》整章分析(人教版)
第二十四章“圆”简介与三角形、四边形等一样，圆也是基本的平面图形，是人们生活中常见的图形，也是“图形与几何”的主要研究对象。
本章将在学生前面学习了一些基本的直线形——三角形、四边形等的基础上，进一步研究一个基本的曲线形——圆，探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合一些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。
本章共安排四节和三个选学内容，教学时间大约需要16课时，具体安排如下（仅供参考）：24.1 圆的有关性质5课时24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 5课时24.3 正多边形和圆2课时24.4 弧长和扇形面积 2课时数学活动小结2课时一、教科书内容和本章学习目标1．本章知识结构本章知识结构如下图所示：2．教科书内容本章在学习了直线图形有关性质的基础上，研究一种特殊的曲线图形——圆的有关性质。
圆是常见的几何图形之一，不仅日常生活中有许多圆形物体，而且在工农业生产、交通运输、土木建筑等方面都可以看到圆的形象。
圆的有关性质，也被广泛应用。
圆也是平面几何中基本的图形之一，它不仅在几何中有重要地位，而且是进一步学习数学以及其他科学重要的基础。
圆的许多性质，比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系。
所以本章教学在初中占有重要地位。
本章在小学学过圆的基础上，系统研究圆的概念和性质，圆中有关的角，点与圆、直线与圆、圆与正多边形之间的位置和数量关系。
本章共分四节，第1节是“圆的有关性质”，主要内容是圆的概念和有关性质，圆的概念和性质是进一步研究圆与其他图形位置和数量关系的主要依据，是全章的基础。
这一节包括“圆”“垂直于圆的直径”“弧、弦、圆心角”“圆周角”四小节。
“24.1.1 圆”的主要内容是圆的概念和圆中一些相关概念。
圆的概念是研究圆的性质的基础，在小学，学生接触过圆，对它有一定的认识。
教科书首先结合生活中一些圆的实际例子，在小学画圆的基础上，用“发生法”给出圆的概念。
人教版九上数学第24章 圆 24.1.3 弧 弦 圆心角教案+学案
人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教案【教材内容】1．圆心角的概念；2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．【教学目标】1．了解圆心角的概念;2．掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．【教学重点】通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．【教学难点】弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．【教学过程设计】一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究知识点一：圆心角 【类型一】圆心角的识别例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB 解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．知识点二：圆心角的性质 【类型一】利用圆心角的性质求角例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角例3 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明例4 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．知识点四：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 例5 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？解析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中， 又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt•△COF ，∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CDD∴AE=12AB，CF=12CD∴AB=2AE，CD=2CF∴AB=CD∴AB=CD，∠AOB=∠COD方法归纳：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、教学小结师生一起总结本节学习知识要点：1．圆心角的概念；2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．【板书设计】24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角1.圆心角的识别2.圆心角的性质3.弧、弦、圆心角之间的关系4.运用弧、弦、圆心角的关系进行证明与计算【课堂检测】1．(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也．(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的也相等．2. 如图，在⊙O中，AB=AC∠ACB=60 °，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC3. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦。
第24章圆章末数学活动探究四点共圆的条件(教案)2022-2023学年人教版九年级数学上册
然而，我也注意到，在小组讨论中，有些学生显得比较被动，可能是因为他们对自己的想法不够自信，或者是在小组中缺乏发言的机会。在未来的教学中，我需要更加关注这部分学生，鼓励他们积极参与，增强他们的自信心。
4.培养学生的合作交流能力，在小组讨论与分享中，促进学生对四点共圆条件的理解，学会倾听、表达与协作，形成良好的学习习惯和团队精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-四点共圆的定义及其性质：理解四点共圆的概念，掌握其性质，如圆内接四边形对角互补、圆外接四边形对角相等。
-四点共圆的判定方法：掌握利用圆内接四边形、圆外接四边形的性质来判定四点共圆的方法。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与四点共圆相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示四点共圆的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“四点共圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于四点共圆的概念和性质的理解整体上是积极的。他们在课堂上能够跟随我的思路，对于我提出的案例和问题也能够给出恰当的回应。我尝试通过生动的例子引入新课，这样做的效果不错，学生们明显对于这个话题产生了兴趣。
在讲授过程中，我注意到了一些学生对于四点共圆判定方法的掌握还不够熟练。这可能是因为这个部分需要较强的逻辑思维和空间想象能力。我意识到，对于这样的难点，仅仅通过理论讲解是不够的，还需要结合更多的图形展示和实际操作来帮助他们理解。
九年级数学下册第24章圆24.6正多边形与圆教案新版沪科版
24.6 正多边形与圆二、师生互动，探究新知师：将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正五边形吗？如果是，证明你的结论•如果是六、七……等份呢？生：小组合作探索分析、总结结论•将一个圆分成n等份,依次连接各分点得到一个正n边形•[教师根据学生的回答进行引导、补充和总结•]师：以五边形为例，引导学生证明•已知：如图，点A B、C、D E在o O上，且A B =Be = C D = DE = E A.求证：五边形ABCD是O O的内接正五边形•证明：（1）由A B = Be = C D = D E = ?A，得________ = _________ = _________ =•••B CE = C DA = 3A B，AZ i = z 2.让学生通过等分圆后，观察得出结论，体现一种研究方法一一由特殊推广到一般•同理可得/ 2=Z 3=Z 4=Z 5.又因为顶点A、B CD E都在O O上，所以五边形ABCD是O 0的内接正五边形.生：思考完成填空•师：将一个圆分成n等份,经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形吗？用课件出示下列证明.已知：如图，点A B、C D E在O 0上,且A B=Be = C D = D E = E A,TP PQ QR RSST分别是以点A B、C、D E为切点的O 0 的切线•求证：五边形PQRS是O 0的外接正五边形.证明：连接OA OB OC则/ OAB=Z OB= / OB=Z OCB•/ TP PQ QF分别是以点A、B、C为切点的O0的切线，•••/ 0AP=Z 0BP=Z 0B(=Z 0CQ•••/ PAB=Z PBA=Z QBC=Z QCB又••• A B = Be , ••• AB= BC• △ PAB 也厶QBC•••/ P=Z Q PQ= 2PA同理可得/ Q=Z R=Z S=Z T,QF= RS= ST= TP= 2PA•••五边形PQRS的各边都与O 0相切，•••五边形PQRS是O 0的外切正五边形.生：观察理解证明过程，得出结论.将一个圆分成n等份，经过各分点作圆的切线，以相邻I教学小结I【板书设计】正多边形与圆1.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形•2.正多边形与圆的关系：把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.3.画正多边形24.6 正多边形与圆第2课时正多边形的性质生：思考回答师：（1）正方形有外接圆吗？若有，外接圆的圆心在哪？（正方形对角线的交点.）⑵ 根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？生：小组讨论回答•接OA OB OC OD 0E•/ OB= OC •••/ 1 = Z 2.又•••/ ABC=Z BCD•/ 3=Z 4.•/ AB= DC ODC• OA= OD 即点D在O O上.同理，点E在O O上.所以正五边形ABCD有一个外接圆O O. 因为正五边形ABCD的各边是O O中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以点O为圆心，以弦心距（OH为半径的圆与正五边形的各边都相切.可见正五边形ABCD还有一个以O为圆心的内切圆.师：引导学生归纳.正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线采用开展活动，小组讨论的方法，培养学生互助，协作的精神，通过引导学生自主合作，探究验证，培养学生分析问题和解决问题的意识和能力.它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径•其他两个顶点到圆心的距离都等于半径•正五边形的各顶点共圆•正五边形有外接圆•圆心到各边的距离相等•正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心,半径是圆心到任意一边的距离•照此法证明，正六边形、正七边形、…、正n 边形都有一个外接圆和内切圆•定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆• 正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距•正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等•正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角•正n边形的每个中心角都等于---------- •n师：正多边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？生：小组讨论得出正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心•边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心• 师：讲解例题•例求边长为a的正六边形的周长和面积•五、布置作业，巩固提升 教材习题24.6第4〜8题.I 教学小结I正多边形的性质巩固认识，提高应用水平【板书设计】 ,并且这两个圆是同心。
第二十四章圆教材分析
A
B 0
3.如图，AB为⊙O的直径，弦 CD⊥AB，E为 B C 上一点，若 ∠CEA=28°，
则∠ABD= 28 °. 变换图形,抓本质 的东西,圆周角定 理,垂径定理.
⌒⌒ 4.如图，CD是⊙O的弦,AC=BD,OA、OB
分别交CD于E、F.
求证：△OEF是等腰三角形.
O
两种方法:垂径定理
五、教学建议 24.２与圆有关的位置关系（6课时）
一．点与圆的位置关系： 4．明确三角形与圆的内接、外接关系，知道 三角形的外心的有关知识.
五、教学建议 24. 2 与圆有关的位置关系（6课时）
二．直线与圆的位置关系：
１．探究直线与圆的位置关系可从图形的运动变 化中发现； ２．揭示直线和圆的位置与数量关系； ３．切线：这是圆这一章中除了圆周角之外研究的 较全面的知识,要重视；
五、教学建议 24.1 圆（5课时）
圆的有关概念： 1.关于圆的定义的
弧和等弧
A′ B
只在同圆或等圆中
2.关于弦、弧、圆心角、圆周角
B′
O
·
A
圆的对称性
1．圆的轴对称性：
垂径定理及其推论．
C 利用轴对称性可得到的相等元素；
.
A
图形中存在等腰三角形； 图形中的直角三角形的三边分别 B 与圆的元素：弦、弦心距、半径有着一 定的数量关系．
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O 分 别交AC、AB于点D、 E，点F在AC的延长线上， ∠CBF=1/2∠CAB． 求证：BF与⊙O的切线
基本图形，知识整合，专题 例5 与全等三角形整合
M
如图，AB为⊙O的直径，点C在 ⊙O上， CF⊥OC，且CF=BF. 证明BF是⊙O的切线
新人教版九年级数学上册第24章《圆》单元教学设计
第二十四章圆单元要点分析教学内容1．本单元数学的主要内容．（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系．（3）正多边形和圆．（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．2．本单元在教材中的地位与作用．学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．教学目标1．知识与技能（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．2．过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，•让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，•使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．（5）探索弧长、扇形的面积、•圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．教学重点1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用．3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用．5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．6．直线L 和⊙O 相交⇔d<r ；直线L 和圆相切⇔d=r ；直线L 和⊙O 相离⇔d>r 及其运用．7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．10．两圆的位置关系：d 与r 1和r 2之间的关系：外离⇔d>r 1+r 2；外切⇔d=r 1+r 2；相交⇔│r 2-r 1│<d<r 1+r 2；内切⇔d=│r 1-r 2│；内含⇔d<│r 2-r 1│．11．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．12．n °的圆心角所对的弧长为L=180n R π，n °的圆心角的扇形面积是S 扇形=2360n R π及其运用这两个公式进行计算．13．圆锥的侧面积和全面积的计算．教学难点1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，•并运用它解决一些实际问题．3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．4．点与圆的位置关系的应用．5．三点确定一个圆的探索及应用．6．直线和圆的位置关系的判定及其应用．7．切线的判定定理与性质定理的运用．8．切线长定理的探索与运用．9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．10．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ的关系的应用．11．n 的圆心角所对的弧长L=180n R π及S 扇形＝2360n R π的公式的应用． 12．圆锥侧面展开图的理解．教学关键1．积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、•性质、“三个”位置关系并推理证明等活动．2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高．3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，•发展学生有条理的思考能力及语言表达能力．单元课时划分本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：24．1 圆 3课时24．2 与圆有关的位置关系 4课时24．3 正多边形和圆 1课时24．4 弧长和扇形面积2课时教学活动、习题课、小结3课时。
九年级数学上册第24章圆教案(共23套新人教版)
九年级数学上册第24章圆教案（共23套新人教版）第二十四章圆1圆的有关性质1.1圆※教学目标※【知识与技能】探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别.【过程与方法】体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．【情感态度】在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性．【教学重点】圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题．【教学难点】圆的集合定义方法．※教学过程※一、情境导入观察下列图形，从中找出共同特点．学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形．二、探索新知圆的定义观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作界定：在一个平面内，线段oA绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点o叫做圆心，线段oA叫做半径．以点o为圆心的圆，记作“⊙o”，读作“圆o”．同时从圆的定义中归纳：圆上各点到定点的距离都等于定长；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．于是得到圆的第二定义：所有到定点o的距离等于定长r的点的集合．思考为什么车轮是圆的？把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与地面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．圆的有关概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧：大于半圆的弧叫做优弧.劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等.等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧.三、巩固练习如何在操场上画一个半径是5的圆？说出你的理由.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚地看出树木生长的年龄,如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23c,这棵红杉树的半径平均每年增加多少?如图,一根5长的绳子,一端拴在柱子上,另一端拴着一只羊,请画出羊的活动区域.答案：1.首先确定圆心,然后用5米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆.23÷2÷20=0.575,故这棵红衫树的半径每年增加0.575c.四、归纳小结师生共同回顾圆的两种定义，弦，弧，等圆等知识点．通过这节课的学习，你还有那些收获？※布置作业※从教材习题24.1中选取．※教学反思※本节课是从学生感受生活中圆的应用开始，到通过学生动手画圆，培养学生动手、动脑的习惯，在操作过程中观察圆的特点，加深对所学知识的认识吗，并运用所学知识解决实际问题，体验应用知识的成就感，激发他们的学习兴趣.24．1.1 圆01教学目标．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．．理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．02预习反馈阅读教材P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．．如图，在一个平面内，线段oA绕它固定的一个端点o 旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点o叫做圆心，线段oA叫做半径．2．圆心为o、半径为r 的圆可以看成是所有到定点o的距离等于定长r的点的集合．．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．．以点A为圆心，可以画无数个圆；以已知线段AB的长为半径，可以画无数个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画1个圆．【点拨】确定圆的两个要素：圆心和半径．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．．到定点o的距离为5的点的集合是以o为圆心，5为半径的圆．03新课讲授例1 矩形ABcD的对角线Ac，BD相交于点o.求证：A，B，c，D四个点在以点o为圆心的同一个圆上．【思路点拨】要求证几个点在同一个圆上，即需要证明这几个点到同一个点的距离相等．【解答】证明：∵四边形ABcD为矩形，∴oA＝oc＝12Ac，oB＝oD＝12BD，Ac＝BD.∴oA＝oc＝oB＝oD.∴A，B，c，D四个点在以点o为圆心，oA为半径的圆上．例2 △ABc中，∠c＝90°.求证：A，B，c三点在同一个圆上．【解答】证明：如图，取AB的中点o，连接oc.∵在△ABc中，∠c＝90°，∴△ABc是直角三角形．∴oc＝oA＝oB＝12AB．∴A，B，c三点在同一个圆上．【跟踪训练1】在图中，画出⊙o的两条直径；依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：作图略．矩形．理由：因为该四边形的对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．【思考】由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？例3 已知⊙o的半径为2，则它的弦长d的取值范围是0<d≤4．【点拨】直径是圆中最长的弦．例4 在⊙o中，若弦AB等于⊙o的半径，则△AoB的形状是等边三角形．【点拨】与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．【跟踪训练2】如图，点A，B，c，D都在⊙o上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．04巩固训练．如图，图中有1条直径，2条非直径的弦，圆中以A 为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条．【点拨】这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．．如图，⊙o中，点A，o，D以及点B，o，c分别在一条直线上，图中弦的条数为2．．点P到⊙o上各点的最大距离为10c，最小距离为8c，则⊙o的半径是1或9c.【点拨】这里分点在圆外和点在圆内两种情况．．如图，已知AB是⊙o的直径，点c在⊙o上，点D是Bc的中点．若Ac＝10c，则oD的长为5__c．【点拨】圆心o是直径AB的中点．．如图，cD为⊙o的直径，∠EoD＝72°，AE交⊙o于B，且AB＝oc，则∠A的度数为24°．【点拨】连接oB构造三角形，从而得出角的关系．05课堂小结．这节课你学了哪些知识？．学会了哪些解圆的有关问题的技巧？。
九年级数学上册 第24章 圆数学活动—圆的探究活动教案 (新版)新人教版
数学活动——圆的探究活动一、活动导入1.导入活动:日常生活中同学们经常见到的汽车、摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的？请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢？能否做成长方形或正方形？（板书课题）2.活动目标:（1）通过活动理解车轮做成圆形的数学道理.（2）探究能过四边形的四个顶点作圆的条件.（3）以圆和正多边形为基本图形设计图案.3.活动重、难点：重点：探究能过四边形的四个顶点作圆的条件；以圆和正多边形为基本图形设计图案.难点：设计图案.二、活动过程活动1 车轮做成圆形的数学道理1.活动指导：（1）活动内容：教材第118页活动1.（2）活动时间：6分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①按照课本活动1的要求，用笔画出下面两个图形中圆和正方形运动时的中心的运动轨迹.②车辆在平坦的路面行驶时，圆形车轮的中心经过的路线是直线，正方形车轮的中心经过的路线是曲线.③坐在圆形车轮的车上会很平稳.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生画圆和正方形的中心的运动轨迹等方面的情况.②差异指导：对困难学生制作纸板和跟踪图形中心的运动轨迹等方面进行指导.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：（1）圆在直线上滚动时，圆心的轨迹是直线.（2）正方形在直线上翻滚时，其中心的轨迹是一段段以对角线长的一半为半径，90°的弧连接而成的曲线.活动2 探究四点共圆的条件1.活动指导：（1）活动内容：教材第119页活动2.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①怎样作三角形的外接圆？找其外心，再以外心到顶点的长为半径作圆即可.②过平行四边形，矩形，正方形，菱形的四个顶点能作圆吗？如果能，这个四边形相对的两个内角之间有何关系？过平行四边形、菱形的四个顶点不能作圆，过矩形和正方形的四个顶点可以作圆.相对的两个内角和为180°.③如果过四边形的四个顶点不能作圆，那么这个四边形的对角和与180°之间有何关系？试用教材第119页图4分两种情况给予证明.④如果一个四边形对角互补，那么过这个四边形的四个顶点可以作一个圆.⑤请自己查找资料，归纳证明四点共圆的方法.证明：如图，(1)连接对角两点，以其中一个三角形(ABC)作圆.(2)分别连接对的两(上述)点与圆心，根据圆心角等于圆周角两倍.则∠2=2∠A,∠1+∠2=360°∠1=360°-∠2,因为∠D=180°-∠AA,所以∠1=2∠D,所以，∠D是∠1.对应的圆周角，即PD也在圆上.命题得证.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学:（1）师助生：①明了学情：明了学生是否会表示四个顶点不共圆的四边形的对角和与180°之间的不等关系.②差异指导：根据学情分类指导.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：四点共圆的条件和证明方法.活动3 设计图案1.活动指导：（1）活动内容：教材第119页至第120页的活动3.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①通过等分圆周设计图案(仿照图6).②利用正多边形平面镶嵌的性质设计图案.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生是否会等分圆周，是否了解哪些正多边形组合可以平面镶嵌.②差异指导：为困难学生提供等分圆周、正多边形组合平面镶嵌等方面的知识和方法.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：等分圆周的方法，正多边形组合平面镶嵌的条件.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有什么收获？有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生回答问题，课堂的注意力等方面进行评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时设计了三个活动，分别探究了车轮做成圆形的数学道理、四点共圆的条件、设计与圆有关的图案，能够激发学生的探究兴趣，教师给予适当的引导，让学生知道从哪里入手，运用什么具体知识.设计图案活动则要鼓励学生大胆动手操作，培养他们思维的灵活性与空间想象能力.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠B∶∠C=7∶6∶3，则∠D等于(B)A.36°B.72°C.144°D.54°2.（10分）下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（D）A B C D3.（10分）现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等.同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（B）A.2种B.3种C.4种D.5种4. （10分）如图（1）是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图（2）所示，ABCD是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA、BE为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图（1）中的圆与扇环的面积比为4∶9.5.（10分）如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为4πcm.6.（10分）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为 8 .第6题图 第7题图 7.（10分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为 2π-4 .二、综合应用（20分）8. （20分）如图，在△ABC 中， AD ⊥BC ， DE ⊥AB ， DF ⊥AC.求证： B 、E 、F 、C 四点共圆.证明：∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,∴∠AED+AFD=180°.∴A 、E 、D 、F 四点共圆.∴∠DEF=∠DAF.又AD ⊥DC,∴∠DAF+∠C=90°.∴∠DEF+∠C=90°.∴∠BEF+∠C=∠BED+∠DEF+∠C=180°.∴B 、E 、F 、C 四点共圆.三、拓展延伸（10分）9.（10分）如图， E 、F 、G 、H 分别是菱形ABCD 各边的中点.求证： E 、F 、G 、H 四点共圆.证明：连接OE 、OF 、OG 、OH.∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD.又∵E 、F 、G 、H 分别是菱形ABCD 的各边中点,∴OE=OF=OG=OH=12AB=12BC=12CD=12DA. ∴E 、F 、G 、H 四点共圆.。
人教版九年级数学上册《24章 圆 小结 习题训练》优质课教案_3
《圆习题课》教案【教学目标】1．知识和技能掌握圆的有关概念和性质，熟练运用垂径定理和圆周角定理及推论进行相关的证明与计算；会利用基本图形进行解题．2．过程和方法通过圆的有关概念的学习，提高辨析能力；引导学生参解题思路的分析，进一步体会和理解研究几何图形的方法，领悟分类思想和方程思想．3．情感态度与价值观通过观察、分析、思考等数学活动，感受成功，体验数学学习的快乐，感受同伴交流、互助的喜悦，激发学习兴趣．【教学重点】圆的有关概念及性质的应用．【教学难点】引导学生正确分析基本图形及解题中的基本思路，及时总结解题规律．【教法】启发式教学，引导探究法，小组合作学习．【学法】自主探索、合作交流．【教具准备】教学课件、练习资料．【教学过程】一、考情分析圆的基本性质部分考查的重点是：1.垂径定理的灵活应用；2.弧、弦、圆心角定理的应用；3.圆周角定理及推论的应用；4.圆内接四边形的性质的应用；本部分在中考题中常以选择题或填空题的形式出现。
二、知识梳理1.圆的有关概念(1)圆：平面上到________的距离等于_______的所有点组成的图形叫做圆.定点叫圆心，定长叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫______；连接圆上任意两点的线段叫______ .经过圆心的弦叫直径，直径是最长的弦.(3)圆心角：顶点在______，角的两边与圆相交的角叫圆心角.(4)圆周角：顶点在______，角的两边与圆相交的角叫圆周角.(5)等弧：在同圆或等圆中，能够完全________的弧叫等弧.2.圆的有关性质(1)圆的对称性：①圆是轴对称图形，其对称轴是______________________.②圆是中心对称图形，对称中心是________.③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合.(2)垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径_____弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过_______，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，_______弦，并且平分弦所对的另一条弧.(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦也________.②推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_______，所对的弦________.在在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角_______,所对的弧______.(4)圆周角定理及推论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的_______ .圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________；②半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是_________ .(5)圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角________．②圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的_______.三、考点剖析考点1 与圆有关的概念例1：下列说法中，正确的是()A. 直径是弦.B. 弧是半圆.C. 长度相等的弧是等弧.D. 弦是圆上两点间的部分.方法归纳：解答这类试题的关键是结合图形理解圆的有关概念的内涵。
24章圆小结教案
相互转化，找出所求量与已知量的关系，化未知为已知，解决问题）
切线的判定：
① 定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。
② 数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。
③ 判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：
①、切线和圆只有一个公共点。
②、切线和圆心的距离等于半径。
1、知识框架图 2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（构造垂 径定理模型：弦长一半、弦心距、半径）
批注修改
圆周角定理：同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、两条圆心角所对
的弦中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。（弧、弦、角之间的
C
C
C
O
O
D
A 5、如B图：圆 O 中弦 AAB 等
B
半径 R，则这条弦所对的圆心角是＿60
O
B
O
B
于
A
A
C
度＿,圆周角是＿30 或 150 度
＿.
三、典例分析
1、如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足 P 是 OB 的中点，CD＝6 cm，求直径 AB
的长．
连接OC， 设OP为x， 则OC为2x， AB为4x， 由垂径定理得CP = 1 CD = 3 cm.
l
2 R 360
n n R 180
S全 =S侧
S l
n R2
36r02
1 2
lR
（涉及考点内容： 求扇形的弧长，面积，圆锥侧面积，圆锥侧面展开图的圆心角 度数，求阴影部分面积等） 二、巩固练习 1、已知∠AOB＝75°，求： ∠ACB（37.5°） 2、已知∠AOB＝120°，求： ∠ACB（60°） 3、已知∠ACD＝30°，求： ∠AOB （120°） 4、已知∠AOB＝110°，求： ∠ACB （125°）
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大连市第七十六中学数学学科教学设计
第24单元第课时授课人：毕娜授课时间：2011 年10月日课题24章数学活动与小结主备人毕娜课型复习
教学目标基础知识了解用圆进行图案设计，归纳整理本章知识，用相关知识解决实际问题。
基本技能会进行图案设计，灵活运用本章知识解决实际问题。
基本思想
方法
在探索过程中，体会转化的思想，数形结合思想。
基本活动
经验
重点了解图案设计，会初步设计，运用圆的知识解决实际问题。
难点分析问题，选择恰当的办法并运用圆的知识解决实际问题。
教学关注1.关注学生在图案设计中的思维过程
2.体会用旋转知识解决问题的方便性
教学准备
教师准备教材
学生准备教材，练习本
教学过程（教学环节、教师活动、学生活动、设计意图）
自备
补充
集备
补充
一、课前反馈，明确目标
活动1：阅读赏析，图案设计（阅读教材117页）1 观察其中图形的画法
上图中都是把圆周几等分？
2.平面镶嵌
P'
1
第一个图的平面镶嵌把圆几等分？为什么正三、正四、正六边形可以进行平面镶嵌的组合？
二、独立思考，探究展示
二、活动2：阅读与探究
阅读教材118页思考四点共圆的条件，在我们学过的四边形中，那些四边形的是圆内接四边形？他们都有什么特征？内角有什么关系？
思考1：菱形各边中点是否在同一个圆上？为什么？（122页第9题）归纳：四点共圆的判定方法1：四点到某一定点的距离相等则四点共圆。
思考2：平行四边形、矩形、菱形、正方形、中那些四边形可以四点共圆？四点共圆四边形的对角有什么特征？
归纳：四点共圆的判定方法2：对角互补的四边形四点共圆。
为什么？
其余判定四点共圆的方法略
有若线段同旁张等角，则四点共圆
若四边形的外角等于内对角，则四点共圆（不必讲或带一句即可）
练习；梯形四个顶点共圆吗？为什么？等腰梯形呢？
三、评价反思，整理归纳
1、在同圆或等圆中的弧、弦、圆心角、有什么关系？
2、一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？
3、垂径定理的内容是什么？推论是什么？
4、点与圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？圆和圆呢？怎样判断这
些位置关系？请你举出这些位置关系的实例？
5、圆的切线有什么性质？如何判断一条直线是圆的切线？
6、正多边形和圆有什么关系？你能用正多边形和等分圆周设计一些
图案吗？
7、举例说明如何计算弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积？
四、强化训练，拓展提升
典型例题（A层）
1、121页第7题
6、如图，⊙A、⊙B、⊙C、两
两不相交，且半径都是0.5cm，
则图中三个扇形(即阴影部分
的面积)之和
为。
思考：该题还能怎么问？
2、121页第4题、6题
五、总结反馈，布置作业
将学过的知识归类，体会用旋转知识解决问题的
体会多种方法解决问题
A：复习题24第1题、2-4题、10-15题导航
B: ：复习题24第1题、2-4题、10-15题
板书
设计
围绕本课达成目标、教学方式、学习方式、课程资源的开发与利用等进行反思
课后
反思。