中考复习——特殊四边形的动态探究题
09专题五 特殊四边形的动态探究题(PPT课件)
方法指导
把所求线段转化到直角三角形中，再结合已知条件，求出 相关线段的长度，利用勾股定理或锐角三角函数建立等量 关系式进行求解；④检验所求线段的长度是否满足题意； 二是：先判断动点在什么位置时几何图形为特殊图形；再 结合题干信息和特殊图形判定，证明动点在该位置时是特 殊图形；最后根据特殊图形的性质进行求解．
10.又∵BD＝CD，∴CD＝5.在Rt△DFC中，CF＝CD·cos60°
＝5 .
2
②解：100.
【解法提示】∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝ 1 2
BC＝2
5，
∴AD＝ AB2BD2=4 5，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝
∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠ACB＝∠ACB，
∴△ACD∽△BCE，∴
•10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/122021/9/122021/9/129/12/2021 10:30:56 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/122021/9/122021/9/12Sep-2112-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/122021/9/122021/9/12Sunday, September 12, 2021
09专题五 特殊四边形的动态探究题word版习题
专题五特殊四边形的动态探究题(2019、2019、2019.18、2019、2019.17；2019.22；2019.19；2009.21)试题演练1. 如图，在△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心的⊙O经过AB的中点C，直线︵、CFCE、P是DF的中点，连接，E、D，OB交⊙O于点FAO与⊙O相交于点. BP的切线．是⊙O(1)求证：AB，则＝4(2)若OA︵OECF是菱形；DP长为________时，四边形①当︵________时，四边形OCBP是正方形．②当DP长为题图第1A重合的一个动点，延长P是⊙O上不与A，BO2. 如图，AB是⊙的直径，点P 延交PBAD∥PB，射线CD＝到点C，使ACAP，点D为⊙O上一点，且满足.长线于点E；求证：△PAB≌△ACD(1) 填空：(2) ；，则四边形ABED的最大面积为____________6①若AB＝________则当∠PAB的度数为，②若射线CD与⊙O的另一个交点为F，连接OF D，F为顶点的四边形为菱形．时，以O，A，题图第2出发，A＝BD12 cm.点P从点＝＝?3.如图，已知ABCD中，AD8 cm，AB10 cm，设D运动．出发以相同的速度向点同时点1 cm/s以的速度向点B运动，Q从点C.t运动时间为；＝，求证：、连接(1)DPBQDPBQ页 1 第(2)填空：PBQD是矩形；t为______s时，四边形①当是菱形．时，四边形t 为______s PBQD②当题图第3交⊙DOBC于点D，延长ABC内接于⊙O，AB是直径，OD⊥4.如图，已知△. AFF，连接OC，O于点；COD≌△BOD(1)求证：△填空：(2) 是菱形；________时，四边形OCAF①当∠1＝.2＝OD2②当∠1＝________时，AB题图第4与为直径的⊙O°，以ACB＝90AC5. (2019濮阳模拟)如图，在Rt△ABC中，∠. 边的中点，连接DE，E为BC斜边AB交于点D O的切线；求证：DE是⊙(1) (2)填空：23，则DE＝＝30°，AC________；①若∠B＝②当∠B＝________时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．第5题图6.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一动点，过点C作半圆O的切线l，过点B作BD⊥l，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC、CE、AE，AE交OC 于点F.(1)求证：△CDE≌△EFC；(2)若AB＝4，连接AC.①当AC＝________时，四边形OBEC为菱形；页 2 第②当AC＝________时，四边形EDCF为正方形．第6题图7.如图，在△ABD中，AB＝AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G.(1)求证：GC是⊙F的切线；(2)填空：①若△BCF的面积为15，则△BDA的面积为________；②当∠GCD的度数为________时，四边形EFCD是菱形．第7题图8.如图，在⊙S中，AB是直径，AC、BC是弦，D是⊙S外一点，且DC与⊙S 相切于点C，连接CS，DS，DB，其中DS交BC于点E，交⊙S于点F，F为弧BC的中点．(1)求证：△DCS≌△DBS；(2)若AB＝10，AC＝6，点P是线段DS上的动点．①连接PC、PB，当PD＝_________时，四边形PCSB是菱形；②当PD＝_________时，△PAC的周长最小．第8题图9. 如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以1 cm/s的速度匀速运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA 方向匀速运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点3M和点N，已知⊙O的半径为cm，AC＝8 cm，设运动时间为t秒．2(1)求证：NQ＝MQ；(2)填空：①当t＝________时，四边形AMQN为菱形；页 3 第相切．与⊙Ot＝________时，NQ②当题图第9的平分线交是半圆上的一个动点，∠BAC是半圆ABO的直径，点C10.如图，. 交于点E在点D处的切线与直线AC圆弧于点D，半圆O ABD；(1)求证：△ADE ∽△(2)填空：＝3∶2，则AE∶∶DBAB＝________；①若ED②连接OC、CD，当∠BAC的度数为________时，四边形BDCO是菱形．第10题图11. 如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的圆上，射线DC切⊙O于点D.已知点E是圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED＝45°.(1)求证：CD∥AB；(2)填空：①当∠DAE＝________时，四边形ADFP是菱形；②当∠DAE＝________时，四边形BFDP是正方形．第11题图12.如图，BC是⊙O的直径，BP＝BO，过点P作⊙O的切线交⊙O于点A，点D为劣弧AC上一点，连接OA，AC，AD，CD，AB.(1)求证：△OAP≌△BAC；(2)填空：①若BP＝3，则△APC的面积为________；︵AOCD为菱形．l②在①的条件下，当＝________时，四边形AD 12题图第页 4 第13.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E.(1)求证：△OBD≌△OED；(2)填空：①当∠BAC＝________时，CA是半圆O的切线；②当∠BAC＝________时，四边形OBDE是菱形．第13题图14.如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC.(1)求证：BC∥OP；(2)填空：若半圆O的半径等于2，①当AP＝________时，四边形OAPC是正方形；②当AP＝________时，四边形BODC是菱形．第14题图15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上的一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线m于点E，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)填空：当D是AB的中点时，①四边形BECD是________；②当∠A＝________时，四边形BECD是正方形．第15题图16.如图，⊙O的半径为4 cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A、D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF、DC向终点F、C运动．连接PB、PE、QB、QE，设运动时间为t(s)．页 5 第PEQB为平行四边形；(1)求证：四边形(2)填空：PEQB为菱形；t＝________ s时，四边形①当PEQB为矩形．＝________ s时，四边形②当t题图第16 答案试题演练的中点，是ABOA＝OB，C1. (1)证明：∵在△ABO中，.ABOC⊥∴的半径，为⊙O∵OC O的切线；是⊙∴ABπ解：①；(2)3OC，＝CF＝OF【解法提示】要使四边形OECF为菱形，则OE＝＝CE OCE是等边三角形，∴△°，60∴∠AOC＝，OC⊥AC又∵11 ，＝2°＝OA＝×4cos60∴OC＝OA·22︵的中点，P是DF°，＝BOD180°－∠AOC－∠BOC＝60又∵∠＝30°，＝∠∴∠DOPFOP︵π2?30?π. DP∴的长＝＝31802.π②2 BOCOCBP【解法提示】要使四边形为正方形，则∠＝∠°，45BOP＝BOCAOC又∵∠＝∠，页 6 第＝90°，AOB∴∠⊥AB，又∵OA＝OB，OC21 2，＝OC＝AB2＝OA∴22︵是DF的中点，又∵P︵︵，∴DP＝PF︵222?π?45π.＝的长＝∴DP21802. (1)证明：如解图①，连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝∠ADB＝90°，∵AD∥PB，∴∠CAD＝∠APB＝90°，∴∠PAD＝90°，第2题解图①∴∠APB＝∠ADB＝∠PAD＝90°，∴四边形ADBP是矩形，∴AD＝PB，在△PAB和△ACD中，∴△PAB≌△ACD；(2)解：①18；11【解法提示】①由(1)知，AD＝PB，∵AD∥PB，AC＝AP，∴AD＝PE＝(PB＋22BE)，∴PB＝EB，∴AD＝BE，∵AD∥PB，∴四边形ADEB是平行四边形，∵AB是⊙O的直径，其长度不变，∴直线CD和⊙O相切时，即点D到直径AB的距离等于半径时，四边形ABED的面积最大，∵AB＝6，∴S＝AB ABED最大四边形页 7 第118. ＝×AB2.°30°或②60︵︵为⊙PD时，如解图②，连接A＞PBPD，则【解法提示】分两种情况考虑：当P和＝＝FOOD，∴△ADOO的直径，∵四边形ADFO为菱形，∴OA＝AD＝DF1°；∠AOD＝30＝△ODF为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵OAOP，∴∠PAB＝2︵︵AODF的直径，∵四边形<当PAPB时，如解图③，连接PD，AF，则PD为⊙O为等边三角形，∴∠＝为菱形，∴OA＝AFDF＝FO＝OD，∴△AOF和△DOFAB＝120°，∴∠AOP为等边三角形，∴∠P＝OP，∴△AOP＝60°，∵OAAOD. 60°＝第2题解图③2第题解图②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，3. (1). BCAD∴∠A＝∠C，＝，又∵AP ＝CQ＝t中，在△APD和△CQB APD≌△CQB(SAS)，∴△；DP＝BQ∴1；解：①(2)∴是矩形，PBQD边形【解法提示】如解图①，要使四2222222＝8－DP＝BP，即－tABDP⊥，∴AD－APBD＝221. ＝t－)t，解得12－(102.②DH作，如解图②，过点为菱形，则【解法提示】要使四边形PBQDBP＝DPDBH ＝＝BH10－1DBH＝∠，＝9cos由①知OBD，连接HAB⊥于，PQ与相交于.BD3933OB6，Rt.＝在△，即＝＝PBO∠＝DBH∠，＝PBO cos中，BOP∠coscos4PB1244t10?页 8 第2.＝解得t题解图第3 ，⊥BC，OB＝OC4. (1)证明：∵OD OBD90°，∠OCD＝∠，∴∠ODC＝∠ODB＝在△COD和△BOD中，∴△COD≌△BOD；(2)解：①30°；，＝AC＝OC【解法提示】如解图，要使四边形OCAF是菱形，则OF＝AF＝OA是等边三角形，和△OAC即△AOF°，＝60∴∠2＝∠3 O的直径，AB∵是⊙90°，∴∠ACB＝30°，∴∠1＝是菱形．∴当∠1＝30°时，四边形OCAF题解图第4.°②45 AB＝2OB，【解法提示】∵2 OD，＝OB∴要使AB＝，则22OD22OD＝，＝∠∴在Rt△ODB中，sin12OB°，＝45∴∠1＝22ABOD. °时，∴当∠1＝455. (1)证明：如解图，连接OD.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，页 9 第＝90°，∴∠CDB为BC边的中点，又∵E DCB斜边的中线，Rt∴DE为△1. ＝BC∴DE＝CE 2. ＝∠CDE∴∠DCE OD，∵OC＝ODC，∴∠OCD＝∠°，＝∠ACB＝90∴∠ODC＋∠CDE＝∠OCD＋∠DCE. °∴∠ODE＝90 的直径，OD为⊙O ∵的切线．DE是⊙O∴第5题解图解：①3；(2) °，＝90＝23，∠BCA【解法提示】∵∠B＝30°，AC3AC32＝°＝∴tan30，＝3BC BC解得：BC ＝6，1则DE＝BC＝3. 2②45°.【解法提示】∵四边形ODEC为正方形，∴∠DEC＝∠ACB＝90°，DE＝EC，又∵BE＝DE，∴△DBE是等腰直角三角形，∴∠B＝45°.页 10 第＝90°，(1)6. 证明：由题意可知，∠D为半圆O的直径，∵AB＝90°，∴∠AEB为半圆O的切线，又∵l＝90°，∴∠DCO∴四边形CFED为矩形，CD，＝DE，EF＝∴CF CE，又∵CE＝(SSS)；∴△CDE≌△EFC 2；(2)解：①1EAB，∴∠＝CE＝AB【解法提示】若四边形OBEC是菱形，则OC＝OB＝BE2AB 为等边三角形，∵OA，∴△AOC＝∠EBA＝60°，∵OC＝＝30°，∴∠COA2. ，∴AC＝＝42.②2重合，EB与与EDCF为正方形，则OF重合，【解法提示】如解图，若四边形2＝2.2OC＝，∴ACAOC∠＝90°，∵OA＝第6题解图7. (1)证明：∵AB＝AD，FB＝FC，∴∠B＝∠D，∠B＝∠BCF.∴∠D＝∠BCF，∴CF∥AD.∵CG⊥AD，∴CG⊥CF，又∵FC为⊙F的半径，页 11 第∴GC是⊙F的切线；(2)解：①60；BF1【解法提示】∵CF∥AD，∴△BCF∽△BDA，∵＝，S∶S＝1∶4，BDABCF2BA△△∴S＝4S＝4×15＝60. BCFBDA△△②30°.【解法提示】∵四边形EFCD为菱形，∴EF∥BD，∵点F为AB的中点，AB＝AD，∴AE＝AF，∵AF＝EF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，∴∠D＝60°，∴∠GCD＝180°－90°－60°＝30°.8. (1)证明：∵点F是弧BC的中点，SF为⊙S的半径，∴SF⊥BC，且E为BC的中点，∴DS是BC的垂直平分线，∴DC＝DB.在△DCS和△DBS中，∴△DCS≌△DBS(SSS)；7(2)解：①；3【解法提示】如解图，四边形PCSB是菱形，∴PE＝SE，BE ＝CE，PS⊥BC.∵AB是⊙S的直径，∴AC⊥BC，∵AB＝10，AC＝6，在Rt△ABC 中，由勾股定理可得BC＝8，∴BE＝4，∵BS＝5，∴在Rt△BES中，由勾股定理可得ES＝3，页 12 第∴PS＝6，∵由(1)可得DB是⊙S的切线，∴BS⊥DB，∴∠SEB＝∠SBD＝90°，SBSE3255∵∠BSE＝∠DSB，∴△EBS∽△BDS，∴＝，即＝，∴SD＝，∴PD 3SBSD5SD2577＝SD－PS＝－6＝，∴当PD＝时，四边形PCSB是菱形．333第8题解图25②.3【解法提示】∵DS是BC的垂直平分线，∴PC＝PB，∴△PAC的周长＝AC＋PA＋PC＝6＋PA＋PC＝6＋PA＋PB，当P、A、B三点共线时，PA＋PB最小，即点P与点S重合时，△PAC的周长最小，即周长的最小值为6＋10＝16，此时PD2525＝SD，由①知SD＝，∴当PD＝时，△PAC的周长最小．339. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，AB⊥MN，∴PM＝PN，∴AB垂直平分MN，∴NQ＝MQ；8(2)解：①；3【解法提示】AP＝t，CQ＝t，则PQ＝8－t－t＝8－2t，∵AQ ⊥MN，PM＝PN，8∴当AP＝PQ时，四边形AMQN为菱形，即t＝8－2t，解得t ＝. 3②2.313【解法提示】如解图，作OH⊥QN于H，OQ＝AC－AO－CQ＝8－－t＝－t，223OP＝t－，当ON⊥QN时，QN为⊙O的切线，∵∠NOQ＝∠PON，∠OPN＝233313∠ONQ，∴△ONP∽△OQN，∴OP∶ON＝ON∶OQ，即(t－)∶＝∶(－t)，22222－8t＋12＝0，解得t＝2，t＝6(舍去)，t整理得21∴t＝2时，NQ与⊙O相切．第9题解图页 13 第OD，10. (1)证明：如解图①，连接BAC的平分线，∵AD是∠DAB，∴∠EAD ＝∠，∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EAD＝∠ODA，∴OD∥AE的切线，∵DE是半圆O OD∴⊥DE，E＝90°，∴∠AB是半圆O的直径，∵＝90°，∴∠ADB＝∠ADB，∴∠EAD＝∠DAB，∠E ABD；∴△ADE∽△10题解图①第；4(2)解：①3∶AEED，∽△ABD，∴＝(1)【解法提示】由得△ADE ADBD，3∶2∵ED∶DB＝，3∶∶∴AEAD2＝°，＝30∴∠EAD 30°，DAB∴∠＝＝3∶2，AB∴AD∶∴AE∶AB＝3∶4.②60°.页 14 第【解法提示】如解图②，连接OC，CD，OD，当四边形BDCO是菱形时，OD＝BD，∴△ODB为等边三角形，∴∠DOB＝60°，由(1)得，OD∥AC，∴∠BAC＝60°. 第10题解图②11. (1)证明：如解图，连接OD，∵射线DC切⊙O于点D，∴OD⊥CD，即∠ODF＝90°，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝2∠AED＝90°，即∠ODF＝∠AOD，∴CD∥AB；第11题解图(2)解：①67.5°；【解法提示】∵四边形ADFP是菱形，∴AD＝AP，∵在Rt△AOD中，OA＝OD，180°－45°∴∠DAO＝45°，∴∠ADP＝∠APD＝＝67.5°，∴在△ADE中，2∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝180°－67.5°－45°＝67.5°.②90°.【解法提示】当四边形BFDP是正方形，由题意可知，DE⊥AB时DE经过⊙O的圆心，∴DE是⊙O的直径，∴∠DAE＝90°.12. (1)证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OAP＝∠BAC，页 15 第，Rt△OAP中，BP＝BO∵在的中点，∴点B为PO，∴AB＝PB＝BO＝∵OAOB，OA＝OB＝AB，∴∴△ABO为等边三角形，＝∠ABC＝60°，∴∠AOP在△OAP 和△BAC中，∴△OAP；≌△BAC327 解：①；(2)4 BC于点E，⊥【解法提示】如解图，过点A作AE OB＝OC，∵BP＝3，9. ＝＋OC∴PC＝BP＋OB中，△AOE 在Rt 60°，∵∠AOE＝333.×°＝＝3·＝∴AEOA·sin∠AOE＝OA sin60223327113＝×S∴＝×AE＝9. PC·APC4222△第12题解图②π.【解法提示】如解图，连接OD.∵四边形AOCD为菱形，∴AO＝AD，∵＝OA360π?︵. AOD为等边三角形，∴∠＝60＝π°，∴l＝AODOD，∴△AD180AD13. (1)证明：如解图，连接，题解图13第页 16 第∵AB是半圆O的直径，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，︵︵. ED∴BD＝，∴BD＝ED中，在△OBD和△OED；≌△OED(SSS)∴△OBD°；(2)解：①90 为⊙O的直径，90【解法提示】当∠BAC＝°，∵AB是半圆O的切线．∴CA.②60°OBDE为菱形，【解法提示】∵四边形BD，∴OB＝OD，∵OB＝是等边三角形，∴△OBD°，∴∠ABC＝60 ，AB＝AC∵∴△ABC为等边三角形，.＝60°∴∠BAC，AC14. (1)证明：如解图，连接OC，ABAM⊥，AB∵是直径，是半圆的切线，APBC∴⊥AC，，COPC∵切半圆于点页 17 第＝PC，∴PA＝OC，又∵OA⊥AC，∴OP∥OP；∴BC 14题解图第2；(2)解：①AP，【解法提示】若四边形OAPC是正方形，则OA＝2，∵OA＝2. AP＝∴3.2②＝＝OD是菱形，则CB＝BO【解法提示】如解图，连接CD，若四边形BODC DC，90°，，∠ACB＝∵AB＝2OB BC，AB＝2∴°，ABC＝60∴∠BAC＝30°，∠，BC∥OP∵°，＝60∴∠AOP＝∠ABC 2，＝＝90°，OA又∵∠OAP 30°，∴∠OPA＝4，∴OP＝22222?42＝∴AP＝＝3. OAOP?15. (1)证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，∵直线m∥AB，页 18 第∴四边形ACED为平行四边形，∴CE＝AD；(2)解：①菱形；【解法提示】∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，BD＝CD＝DA，由(1)知，CE＝AD，∴CE＝CD.∵BD＝CD，DE⊥BC，∴CF＝BF，∴BE＝CE，∴BD＝CD＝CE ＝BE，∴四边形BECD是菱形．②45°.【解法提示】要使四边形BECD为正方形，则BD＝CD，BD⊥CD，∴∠CBD＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°.16. (1)证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P、Q同时分别从A，D两点出发，速度1 cm/s，运动时间为t(s)，∴AP＝DQ＝t，在△ABP和△DEQ中，∴△ABP≌△DEQ(SAS)．∴BP＝EQ，同理可证，PE＝QB，∴四边形PEQB是平行四边形；(2)解：①2；【解法提示】当四边形PBQE为菱形时，PB＝PE＝EQ＝QB，∴△ABP≌△DEQ ≌△FEP≌△CBQ，∴AP＝PF＝DQ＝QC，即t＝4－t，得t＝2.②0或4.【解法提示】如解图，连接OB，OP.要使四边形PBQE为矩形，则OB＝OP.故页19 第点P在点A或点F处，即t的值为0或4.第16题解图页 20 第。
中考专题数学解答组特殊四边形的动态探究
故答案为2 .
特殊四边形
1.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60∘,点E是AD边的中点.点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN.
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形.
解答：
∴△ABE≌△CDF(ASA).
(2)当BC=6 时，四边形AECF是菱形.
理由：在Rt△ADC中,∵AD=BC=6 ，DC=6，
∴tan∠DAC=CD:AD= ，
∴∠DAC=30∘,∠ACD=60∘，
∴∠ACF=∠DCF=30∘，
∴DF=CD·tan30∘=2 ，
∴CF=2DF=4 ,AF=AD−DF=6 −2 =4 ，
③∠EFD=90∘时，此种情况不存在.
故当t= 秒或4秒时，△DEF为直角三角形.
3.矩形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，CF平分∠ACD交AD于点F，连接EF，点M为EC的中点，N点为AE上的一个动点，AB=6.
(1)证明：△ABE≌△CDF；
(2)填空：①当BC=时，四边形AECF为菱形；
∴AF=CF，
∵△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，
∵AD=BC，
∴AF=CE,
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AF=FC,
∴四边形AECF是菱形.
故答案为6 .
(3)当AN=NE时，∵四边形AECF是菱形，
∴OA=OC，
∴ON∥EC，
∵AN=NE，EM=CM，
∴NM∥AC，
∴四边形ONMC是平行四边形，
题型五 特殊四边形的动态探究题
题型五 特殊四边形的动态探究题试题演练1. 如图，AD 是⊙O 的直径，AD ＝2BD ，点C 是ACD ︵上的不与A 、D 重合的动点，连接BC ，BA ，AC .(1)求∠ACB 的度数； (2)填空：已知⊙O 半径为4.①当l CD ︵＝________时，四边形OBDC 是菱形； ②当l CD ︵＝________时，四边形ABDC 是矩形．2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A ，交AB 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点E 作EF ∥AB 交⊙A 于点F ，连接AF ，BF ，DF . (1)求证：△ABC ≌△ABF ； (2)填空：①当∠CAB 等于______时，四边形ACBF 为正方形； ②当∠CAB 等于________时，四边形ADFE 为菱形．3. (’15郑州模拟)如图，扇形OAB 的半径OA ＝3，圆心角∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵上异于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连接DE ，点G 、H 在线段DE 上，且DG ＝GH ＝HE .(1)当点C 在AB ︵上运动时，在CD 、CG 、DG 中，长度不变的线段是________，该线段的长度是________；(2)求证：四边形OGCH 是平行四边形； (3)当OD ＝________时，四边形OGCH 是菱形．4. 如图，CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点，CF ∥AB . (1)求证：CF ＝AD ；(2)若已知AB ＝10，AC ＝6，填空：①当BC 长为________时，四边形BFCD 是矩形； ②当BC 长为________时，四边形BFCD 是菱形．5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝13 cm，AD＝4 cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以1 cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t(s)．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．(2)填空：①当t为________s时，四边形EGFH是菱形；②当t为________s时，四边形EGFH是矩形．6. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm.点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，P，Q运动速度均为2 cm/s.以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E.设运动的时间为t (单位：s)(0≤t≤4)解答下列问题：(1)在点P，Q运动过程中，平行四边形AQPD的面积是否具有最大值，若有，请求出它的最大值；否则，请说明理由．(2)填空：①当t的值为________s时，平行四边形AQPD为矩形；②当t的值为________s时，平行四边形AQPD为菱形．7. (’15平顶山模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.(1)求证：BE＝DG；(2)填空：①若∠B＝60°，当BC＝________AB时，四边形ABFG是菱形；②若∠B＝60°，当BC＝________AB时，四边形AECG是正方形．8. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD＝8 cm，AC＝4 cm，点E从点B出发沿BD方向以1 cm/s的速度向点D运动，同时点F从点D出发沿DB方向以同样的速度向点B运动，设点E、F运动的时间为t(s)，其中0＜t＜8.(1)求证：△BEC≌△DF A；(2)填空：①以点A、C、E、F为顶点的四边形一定是________形；②当t的值为________时，以点A、C、E、F为顶点的四边形为矩形．【答案】1. 解：(1)∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ABD ＝90°， ∵AD ＝2BD ，∴在Rt △ABD 中，cos ∠D ＝BD AD ＝BD 2BD ＝12， ∴∠D ＝60°， ∴∠ACB ＝∠D ＝60°；(2)①4π3；②8π3.【解法提示】①当BC ⊥OD 时，∵OB ＝OD ＝BD ，∴OE ＝DE ，∵OD 是半径，BC 是弦，∴BE ＝CE ，∴四边形OBDC 是菱形，则OD ＝CD ＝OC ，∴∠COD ＝60°，∴lCD ︵＝60 π×4180＝4π3；②当BC 经过圆心O 时，易得四边形ABDC 是矩形，△AOC 为等边三角形，∴∠COD ＝180°－60°＝120°，∵l CD ＝120 π×4180＝8π3.2. 【思路分析】(1)首先利用平行线的性质得到∠F AB ＝∠CAB ，然后利用SAS 证得两三角形全等即可；(2)①当∠CAB ＝45°时，四边形ACBF 为正方形．∠F AB ＝∠CAB ＝45°，进而∠F AC ＝∠AFB ＝∠ACB ＝90°，四边形ACBF 为矩形，再由邻边AC ＝AF 得其为正方形；②当∠CAB ＝60°时，四边形ADFE 为菱形．根据∠CAB ＝60°，得到∠F AB ＝∠AFE ＝∠CAB ＝∠AEF ＝60°，从而得到EF ＝AD ＝AE ，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断．解：(1)证明：∵EF ∥AB ， ∴∠E ＝∠CAB ，∠EF A ＝∠F AB ， ∵∠E ＝∠EF A ， ∴∠F AB ＝∠CAB ， 又∵AF ＝AC ，AB ＝AB ， ∴△ABC ≌△ABF (SAS)； (2)①45° ②60°【解法提示】①当∠CAB ＝45°时，由(1)知，∠F AB ＝∠CAB ＝45°，∠F AC ＝∠AFB ＝∠ACB ＝90°，故四边形ACBF 为矩形，又∵AC ＝AF ，∴四边形ACBF 为正方形．②当∠CAB ＝60°时，易得∠F AB ＝∠AFE ＝∠CAB ＝∠AEF ＝60°，从而得到△AEF 和△ADF 均为等边三角形，∴EF ＝AD ＝AE ＝DF , ∴四边形ADFE 为菱形．3. 【思路分析】(1)由于四边形ODCE 是矩形，而矩形的对角线相等，所以DE ＝OC ，而CO 是圆O 的半径，这样DE 的长度不变，也就DG 的长度不变；(2)连接OC ，容易根据已知条件证明四边形ODCE 是矩形，然后利用其对角线互相平分和DG ＝GH ＝HE ，可以知道四边形CHOG 的对角线互相平分，从而判定其是平行四边形；(3)若四边形OGCH 是菱形，必有OC 与GH 垂直，即可推得DE 、OC 垂直、平分且相等，故得到四边形CDOE 是正方形，在Rt △OCD 中，利用OC ＝OA ＝3，OD ＝CD 运用勾股定理即可求出OD 的长．解：(1)DG ，1.【解法提示】在矩形ODCE 中，DE ＝OC ＝3，∵DG ＝GH ＝HE ，∴DG ＝13DE ＝1.(2)连接OC 交DE 于M .由矩形得OM ＝CM ，EM ＝DM .∵DG ＝HE ，∴EM －EH ＝DM －DG ，∴HM ＝MG .∴四边形OGCH 是平行四边形． (3)32 2. 【解法提示】∵四边形OGCH 是菱形，∴OC ⊥GH ，∴OC ⊥DE ，又∵OC ＝DE ，CM ＝OM ＝EM ＝DM ，∴四边形CDOE 是正方形．∴CD ＝OD ，∠CDO ＝90°，∵OA ＝OC ＝3，∴OD 2＋CD 2＝9，2OD 2＝9，OD ＝322.4. 【思路分析】(1)易得DE 是△ABF 的中位线，进而DE //BF ，结合CF ∥AB ，证得四边形BFCD 是平行四边形，从而得到CF ＝BD ＝AD ；(2)①当CD ⊥AB ，即CD 是AB 的中垂线时，平行四边形BFCD 有一个角为直角是矩形，此时AC ＝BC ＝6；②当∠ACB ＝90°，CD是直角三角形斜边上的中线，可得CD ＝AD ＝BD ，从而平行四边形BFCD 的邻边相等是菱形，此时由勾股定理易得BC 的长．解：(1)证明：∵CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点， ∴AD ＝BD ，AE ＝FE ， ∴DE ∥BF ， ∵CF ∥AB ，∴四边形BFCD 是平行四边形， ∴CF ＝BD ， ∴CF ＝DA . (2)①6 ②8【解法提示】①当CD ⊥AB ，即CD 是AB 的中垂线时，∠CDB ＝90°，平行四边形BFCD 有一个角为直角是矩形，此时AC ＝BC ＝6；②当∠ACB ＝90°时，CD 是直角△ABC 斜边上的中线，∴CD ＝AD ＝BD ，从而平行四边形BFCD 的邻边相等是菱形，此时由勾股定理易得BC ＝8.5. 【思路分析】(1)易证△ADE ≌△CBF ，进而易得GE ∥HF ，且GE ＝HF ，所以四边形EGFH 是平行四边形．(2)①四边形EGFH 是菱形，G 是AE 的中点，则GF ＝GE ＝GA ＝12AE ，得到∠AFE ＝90°，根据DE ＝AF ，列方程求解；②四边形EGFH 是矩形，易得△ADE ∽△EHC ，则根据AE EC ＝DECH列方程求解即可．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，AD ＝CB ，∵点E 、F 同时分别从D 、B 两点出发，以1 cm/s 的速度沿DC 、BA 向终点C 、A 运动， ∴DE ＝BF ，∴△ADE ≌△CBF (SAS)， ∴AE ＝CF ，∠DEA ＝∠EAF ＝∠CFB ， ∵点G 、H 分别为AE 、CF 的中点， ∴GE ∥HF ，且GE ＝HF ，∴四边形EGFH 是平行四边形．(2)① 132；②8或23.【解法提示】连接EF ，∵四边形EGFH 是菱形，G 是AE 的中点．∴GF ＝GE ＝GA ＝12AE ，∴EF ⊥AB ，∴DE ＝AF ，∴t ＝13－t ，∴t ＝132.②∵四边形EGFH 是矩形，∴∠D ＝∠EHC ＝∠AEH ＝90°，∴∠AED ＋∠HEC ＝∠ECH ＋∠HEC ＝90°，∴∠AED ＝∠ECH ，∴△ADE ∽△EHC ，∴AE EC ＝DE CH ，∴42＋t 213－t ＝t 1242＋t 2，解得：t 1＝8，t 2＝23. 6. 【思路分析】(1)首先利用勾股定理求得AB ＝10，然后表示出AP ，过P 作PH ⊥AC 于H ，利用△APH ∽△ABC ，利用相似三角形对应边的比相等，表示出AH 的长，然后由平行四边形面积公式，得到平行四边形AQPD 的面积的二次函数表达式，用配方法求最值；(2)①利用矩形的性质得到△APQ ∽△ABC ，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t 值；②利用菱形的性质得到△AEQ ∽△ACB ，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t 值．解：(1)∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ， ∴AB ＝10cm ， ∵BP ＝2t cm ，∴AP ＝AB －BP ＝10－2 t ，过P 作PH ⊥AC 于H ，则PH ∥BC ， ∴△APH ∽△ABC ，∴PH BC ＝AP AB ，即PH 6＝10－2t 10， ∴PH ＝35(10－2t )．∵S ▱AQPD ＝AQ ·PH ＝2t ·35·(10－2t )＝－125t 2＋12t ＝－125(t －52)2＋15，∴当t ＝52s 时，平行四边形AQPD 的面积具有最大值，为15.(2)①209；②2513. 【解法提示】①当▱AQPD 是矩形时，PQ ⊥AC ，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AQ AP＝AC AB ，即2t 10－2t ＝810，解得t ＝209.∴当t ＝209时，▱AQPD 是矩形；②当▱AQPD 是菱形时，DQ ⊥AP ，则 △AEQ ∽△ACB ，∴AE AQ ＝AC AB ，即5－t 2t ＝810，解得t ＝2513.∴当t ＝2513时，▱AQPD是菱形．7. 【思路分析】(1)根据平行四边形和平移的性质得到AB ＝CD ，AE ＝CG ，再证明Rt △ABE ≌Rt △CDG 可得到BE ＝DG ；(2)①要使四边形ABFG 是菱形，须使AB ＝BF ；根据条件找到满足AB ＝BF 时，BC 与AB 的数量关系即可； ②当四边形AECG 是正方形时，AE＝EC ，由AE ＝32AB ，可得EC ＝32AB ，再有BE ＝12AB 可得BC ＝3＋12AB .解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ＝CD .∵AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成， ∴CG ⊥AD ，AE ＝CG ， ∴∠AEB ＝∠CGD ＝90°.∵在Rt △ABE 与Rt △CDG 中，AE ＝CG ，AB ＝CD ， ∴Rt △ABE ≌Rt △CDG (HL)， ∴BE ＝DG .(2)①32；②3＋12.【解法提示】①当BC ＝32AB 时，四边形ABFG 是菱形．证明：∵AB ∥GF ，AG ∥BF ，∴四边形ABFG 是平行四边形．∵Rt △ABE 中，∠B ＝60°，∴∠BAE ＝30°，∴BE ＝12AB ，∵BE ＝CF ，BC ＝32AB ，∴EF ＝12AB .∴AB ＝BF .∴四边形ABFG 是菱形．②BC ＝3＋12AB 时，四边形AECG 是正方形．∵AE ⊥BC ，GC ⊥CB ，∴AE ∥GC ，∠AEC ＝90°，∵AG ∥CE ，∴四边形AECG 是矩形，当AE ＝EC 时，矩形AECG 是正方形，∵∠B ＝60°，∴EC ＝AE ＝AB ·sin60°＝32AB ，BE ＝12AB ，∴BC ＝3＋12AB .8. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴∠EBC ＝∠FDA .在△BEC 和△DF A 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠EBC ＝∠FDA ，BC ＝DA ，∴△BEC ≌△DF A . (2)①平行四边形；②2或6.【解法提示】①平行四边形，理由如下：连接CF ，AE ，由(1)得：∠BEC ＝∠DF A ，EC ＝AF ，∴∠FEC ＝∠AFE ，即EC ∥AF ，∴以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形一定是平行四边形.②2或6，理由如下：∵四边形AECF 为矩形，∴AC ＝EF ，∵BD ＝8cm ，AC ＝4cm ，∴EF ＝4，BE ＝2cm 或6cm. ∵速度为1cm/s ，∴t ＝2或6.。
2020中考数学33_专题一 特殊四边形的动态探究
∴AC=
=2 2.
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类型二 利用动点运动时间判定特殊四边形
例2 (2017河南中招标准模拟(一))如图,在▱ABCD中,∠B=60°,AB=4,AD=6,动 点F从点D出发,以每秒1个单位长度的速度从点D向点A运动,同时点E从点C出 发,以相同速度沿BC方向在BC的延长线上运动,设运动时间为t (s),连接DE,CF. (1)求证:△DFC≌△CED; (2)探究: ①当t= 4 s时,四边形DFCE是菱形; ②当t= 2 s时,四边形DFCE是矩形.
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专题一 特殊四边形的动态探究
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特殊四边形的动态探究题目是近几年全国各地中考命题的常见题,也是近 三年的河南中考中的必考题.呈现类型均为解答题,分值一般为9分或10分.内容 涉及三角形的全等与相似,等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边 形、矩形、正方形的判定定理和性质以及圆的知识.
∴∠BAD=∠BDA.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODB=∠BAO=90°,
即OD⊥BC,
∴BD是☉O的切线.
(2)① 2π ② π 或π
3
3
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6.(2019罗山一模)如图,AB是半圆O的直径,C,D为半圆O上的点,过点D作☉O的 切线交AC的延长线于点E,AE∥OD,M为弦AC的中点. (1)填空:四边形ODEM的形状是 矩形 ;
︵
2π
①当 AE 的长度是 3 时,四边形ABDE是菱形;
题型五特殊四边形的动态探究题
题型五特殊四边形的动态探究题试题演练1.如图.初是00的直径，AD=2BD、点C是忌9上的不与乩〃重合的动点，连接处胡,AC.(1)求①的度数；(2)填空：已知00半径为4.①当兀=_ _ —时，四边形处Z疋是菱形;②当龙= ________ 时，四边形力宓是矩形.1)第1题图2.如图，在RtA/l^r中，Z/16»=90o,以点力为圆心，/1C为半径作0儿交/仿于点0交0的延长线于点呂过点F作济'〃.個交O力于点尸，连接力尸，BF, DF.(1)求证：'ABC仝HABF；(2)填空：①当矽等于时，四边形川物为正方形；②当A CAB等于—时，四边形皿应为菱形.第2题图3. C 15模拟)如图，扇形。
矽的半径创=3,圆心角Z/k刃=90°，点C是壶上异于小B 的动点，过点C作CDLOA于点、D,作CE丄OB于点、E,连接甌，点0、〃在线段处上，且DG= GH= HE.(1)当点C在舫上运动时，在⑵CG、加中，长度不变的线段是 ___________ ,该线段的长度是(2)求证：四边形切/是平行四边形；⑶当「时，四边形宓7是菱形.第3题图4.如图.09是△/!%的中线，点E是仰的中点，CF//AB.(1)求证：CF=AD；(2)若已知丿仿=10, /亿、=6,填空：①当腮长为时，四边形以d是矩形；②当腮长为时，四边形刃乙9是菱形.B F第4题图5.如图，在矩形/怡仞中，初=13 cm, AD=4 cm,点£尸同时分别从〃、〃两点出发，以1 cm/s的速度沿化、朋向终点G M运动，点G、〃分别为处；倂'的中点，设运动时间为“s).(1)求证：四边形财〃是平行四边形.(2)填空：①当r为s时，四边形财〃是菱形；②当r为s时，四边形昭〃是矩形.第5题图6.如图，已知RtZkM%中，ZC=90° , AC=8 cm,仇=6 cm.点戶由〃出发沿胡方向向点月匀速运动，同时点0由月出发沿月C方向向点C匀速运动，P、0运动速度均为2 cm/s. 以力0、〃为边作平行四边形AQPD、连接他，交/矽于点£设运动的时间为七(单位:s)(0£W4)解答下列问題：(1)在点只0运动过程中，平行四边形力旳的面积是否具有最大值，若有，请求出它的最大值；否则，请说明理由.(2)填空：①当r的值为s时，平行四边形月如为矩形；②当r的值为s时，平行四边形/K溜为菱形.第6题图7. C 15模拟)如图，在平行四边形丽仞中，处是腮边上的高，将△/!滋沿腮方向平移,使点E与点C重合，得△矶(1)求证：BE=DG；(2)填空:①若ZB=60。
中考专题复习总结：特殊四边形动态探究题.doc
特殊四边形的动态探究题1.如图，在/XO/IB中，OA = OB,以点0为圆心的。
0经过如？的中点C,直线40与OO相交于点E、D, 0B交©0于点、F, P是丽的中点，连接CE、CF、BP.(1)求证：是OO的切线.(2)若0A=4,贝I」①当丽长为________ 时，四边形OECF是菱形；②当丙长为________ 时，四边形OCBP是正方形.A C B第1题图2.如图，AB是OO的直径，点P是上不与A, 3重合的一个动点，延长到点C,使AC=AP,点D为OO上一点，且满足AD//PB,射线CD交”延长线于点E.(1)求证：△B4B9 △/!(?£＞；⑵填空：①若AB=6,则四边形ABED的最大面积为 _____________ ；②若射线CD与的另一个交点为F,连接OF,则当ZPAB的度数为_______________ 吋，以0, A, D, F为顶点的四边形为菱形.第2题图3・如图，已知口ABCD中，AD=8cm, AB=10cm, BD=12cm.点P 从点A 出发,以1 cm/s 的速度向点B 运动，同时点0从点C 出发以相同的速度向点D 运动•设 运动时间为 ⑴连接DP 、BQ,求证：DP=BQ ；⑵填空：① 当/为 _____ s 时，四边形PBQD 是矩形;② 当/为 _____ s 时，四边形PBQD 是菱形.4. 如图，已知△ ABC 内接于是直径，ODVBC 于点D 延长DO 交。
O 于点F,连接OC, AF.(1)求证：△COD 竺△BOD (2)填空:① 当Zl= ________ 时，四边形OC4F 是菱形;② 当Zl= ________ 时，AB=2y[iOD.第4题图5. (2017濮阳模拟)如图，在RtAABC 中，ZACB=90° ,以AC 为直径的(DO 与 斜边交于点D, E 为3C 边的中点，连接DE.(1)求证:DE 是OO 的切线;⑵填空：① 若ZB=30° , AC=2书,则 DE= ____________ ；② 当ZB= _______ 时，以O, D, E, C 为顶点的四边形是正方形.第3题图第5题图6.如图，AB为半圆0的肓径，C为半圆上一动点，过点C作半圆0的切线/, 过点B作BD丄/,垂足为D BD与OO交于点E,连接OC、CE、AE, AE交0C于点F.(1)求证：\CDEQ\EFC；⑵若AB=4,连接AC.①当AC=_______ 时，四边形OBEC为菱形；②当AC=_______ 时，四边形EDCF为正方形.第6题图7.如图，在△ABD中，AB=AD,以AB为直径的OF交BD于点C,交AD于点、E, CG丄AD于点G.(1)求证:GC是OF的切线;⑵填空：①若ABCF的面积为15,则△BD4的面积为__________ ；②当ZGCD的度数为时，四边形EFCD是菱形.8.如图，在OS中，AB是直径，AC. BC是弦，D是OS外一点，且DC与。
人教版八年级数学下册-难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题
难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题◆类型一特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB>6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．二、图形的变换问题2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型二四边形间的综合性问题3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)参考答案与解析1．解：(1)如图①，过点P 作PG ⊥EF 于点G ，H 为PE 的中点，连接GH ，∴∠PGE＝90°，GH ＝PH ＝HE ＝12PE ＝3.∵PF ＝PE ，∴∠FPG ＝∠EPG ，FG ＝GE ＝12EF ＝3 3.在Rt △PGE 中，由勾股定理得PG ＝PE 2－GE 2＝62－（33）2＝3.∴PG ＝GH ＝PH ，即△GPH 为等边三角形，∴∠GPH ＝60°，∴∠FPE ＝∠FPG ＋∠GPE ＝2∠GPE ＝2×60°＝120°.(2)如图①，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ⊥AD 于点N ，∴∠ANP ＝∠AMP ＝90°.∵AC为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝30°，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴ME ＝NF .∵∠P AM ＝30°，AP＝10，∴PM ＝12AP ＝5.由勾股定理得AM ＝P A 2－PM 2＝5 3.在△ANP 和△AMP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NAP ＝∠MAP ，∠ANP ＝∠AMP ＝90°，AP ＝AP ，∴△ANP ≌△AMP ，∴AN ＝AM ＝5 3.∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＋ME －NF ＝10 3.(3)如图②，△EFP 的三个顶点分别在AB ，AD ，AC 上运动，点P 在P 1，P 之间运动．P 1O ＝PO ＝12PE ＝3，AE ＝EF ＝63，AO ＝AE 2－EO 2＝9.∴AP 的最大值为AO ＋OP ＝12，AP 的最小值为AO －OP 1＝6.2．(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H .∵四边形ABCD 与OEFG 均为正方形，∴OA ＝OD ，OG ＝OE ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°，∴Rt △AOG ≌Rt △DOE ，∴∠AGO ＝∠DEO .∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°，∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°，∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG ；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：a ．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O ＝30°，∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求的∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°. 3．(1)证明：如图①中，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)解：四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD .在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG .∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)解：四边形EFGH 是正方形．理由如下：如图②中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。
中考数学压轴题重难点突破七 与特殊四边形有关的证明与计算(动态探究问题)
(2)在 AB 上取 AF＝EC，连接 EF， 由(1)同理可得∠CEP＝∠FAE， ∵AF＝EC，AE＝EP， ∴△FAE≌△CEP(SAS)，∴∠ECP＝∠AFE， ∵AF＝EC，AB＝BC，∴BF＝BE， ∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°， ∴∠ECP＝135°，∴∠DCP＝45°.
【模型应用】 (2)如图②，F 是 DE 延长线上一点，FB⊥BE，EF 交 AB 于点 G. Ⅰ)判断△FBG 的形状并说明理由； Ⅱ)若 G 为 AB 的中点，且 AB＝4，求 AF 的长；
(2)解：Ⅰ)△FBG 为等腰三角形，理由： ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠GAD＝90°， ∴∠AGD＋∠ADG＝90°，由(1)知△ABE≌△ADE， ∴∠ADG＝∠EBG，∴∠AGD＋∠EBG＝90°， ∵FB⊥BE，∴∠FBG＋∠EBG＝90°， ∴∠AGD＝∠FBG，∵∠AGD＝∠FGB， ∴∠FBG＝∠FGB，∴FG＝FB， ∴△FBG 是等腰三角形．
FH AD ∴GH＝AG＝2，∴FH＝2GH＝2， 在 Rt△AHF 中，AF＝ AH2＋FH2＝ 13.
【模型迁移】 (3)如图③，F 是 DE 延长线上一点，FB⊥BE，EF 交 AB 于点 G，BE＝BF. 求证：GE＝( 2－1)DE.
(3)证明：∵FB⊥BE，∴∠FBE＝90°， 在 Rt△EBF 中，BE＝BF，∴EF＝ 2BE， 由(1)知 BE＝DE，由(2)知 FG＝BF， ∴GE＝EF－FG＝ 2BE－BE＝ 2DE－DE＝( 2－1)DE.
类型二：与特殊四边形有关的证明与计算(动态探究问题) (省卷 2021T27，2019T27，2015T27，2014T27；兰州 2021T27)
(2022·兰州)综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，AE⊥EP，EP 与正方形的外角∠DCG 的平分线交 于 P 点．试猜想 AE 与 EP 的数量关系，并加以证明； 【思考尝试】(1)同学们发现，取 AB 的中点 F，连接 EF 可以解决这个问 题．请在图①中补全图形，解答老师提出的问题；
中考数学总复习《(特殊)平行四边形的动点问题》专题训练(附答案)
中考数学总复习《（特殊）平行四边形的动点问题》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知，矩形ABCD 中，AB =4cm ，BC =8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；（2）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b （单位：cm ，ab ≠0），已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式．2．（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，PF=6，AEP △的面积为1S ，CFP 的面积为2S ，则12S S +=________；（2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21S S >），求PBD △的面积（用含1S 、S的代数式表示）；2（3）如图3，点P为ABCD内一点（点P不在BD上）过点P作//EF AD，HG//AB与各边分别相交于点E、F、G、H设四边形AEPH的面积为1S，四边形PGCF的面积为2S（其中21），S S求PBD△的面积（用含1S、2S的代数式表示）；（4）如图4 点A B C D把O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC BD 上）设PB PC BC围成的封闭图形的面积为1S PA PD AD围成的封闭图形的面积为2S PBD△的面积为3S PAC△的面积为4S．根据你选的点P的位置直接写出一个含有1S2S3S4S的等式（写出一种情况即可）．3．已知直线y=x＋4与x轴y轴分别交于A B两点∠ABC=60°BC与x轴交于点C．（1）试确定直线BC的解析式.（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A C重合）同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C A重合) 动点P的运动速度是每秒1个单位长度动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S P点的运动时间为t秒求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围.（3）在（2）的条件下当△APQ的面积最大时y轴上有一点M 平面内是否存在一点N 使以A Q M N为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出N点的坐标；若不存在请说明理由.4．如图在等腰梯形ABCD中AB∥DC AB＝8cm CD＝2cm AD＝6cm．点P 从点A出发以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发以1cm/s的速度沿CD DA向终点A运动（P Q两点中有一个点运动到终点时所有运动即终止）．设P Q同时出发并运动了t秒．（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时求t的值；（2）试问是否存在这样的t 使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在求出这样的t的值若不存在请说明理由．5．如图在平面直角坐标系中以坐标原点O为圆心2为半径画⊙O P是⊙O上一动点且P在第一象限内过点P作⊙O的切线与轴相交于点A与轴相交于点B．(1)点P在运动时线段AB的长度也在发生变化请写出线段AB长度的最小值并说明理由；(2)在⊙O上是否存在一点Q使得以Q O A P为顶点的四边形时平行四边形？若存在请求出Q点的坐标；若不存在请说明理由．6．如图已知长方形ABCD中AD＝6cm AB＝4cm 点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动同时点Q在线段BC上由点B向点C运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等经过1秒后△AEP与△BPQ是否全等请说明理由并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等运动时间为t秒设△PEQ的面积为Scm2请用t的代数式表示S；(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等当点Q的运动速度为多少时能够使△AEP与△BPQ全等？7．如图长方形ABCD中5cm,8cm==现有一动点P从A出发以2cm/s的速度沿AB BC----返回到点A停止设点P运动的时间为t秒．长方形的边A B C D At=时BP=___________cm；(1)当2(2)当t为何值时连接,,△是等腰三角形；CP DP CDP(3)Q为AD边上的点且6DQ=P与Q不重合当t为何值时以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与DCQ全等．8．如图平行四边形ABCD中6cmB∠︒G是CD的中点E是BC==60AB=8cm边AD上的动点EG的延长线与BC的延长线交于点F连接CE DF．(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)①AE=______时四边形CEDF是矩形；②AE=______时四边形CEDF是菱形．9．在平面直角坐标系中点A在第一象限AB⊥x轴于点B AC⊥y轴于点C已知点B（b0）C（0 c）其中b c满足|b﹣8|6+-=0．c(1)直接写出点A坐标．(2)如图2 点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动同时点E从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线BA运动过点E作GE⊥y轴于点G设运动时间为t 秒当S四边形AEGC＜S△DEG时求t的取值范围．(3)如图3 将线段BC平移使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上点C的对应点为N连接BN交y轴于点P当OM＝4OP时求点M的坐标．10．如图在平面直角坐标系中点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动同时动点C从点B出发沿12．在四边形ABCD中//,90,10cm,8cm∠=︒===点P从点A出发沿折线AB CD BCD AB AD BCABCD方向以3cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发沿线段DC方向以2cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发当一个点到达终点时另一点也停止运动设运动时间为()s t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时求四边形PBQD的周长；（3）在点P Q的运动过程中是否存在某一时刻使得BPQ的面积为220cm若存在请求出所有满足条件的t的值；若不存在请说明理由．13．在平面直角坐标系中矩形OABC的边OA任x轴上OC在y轴上B（4 3）点M从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CO运动设△AOM的面积为S 点M运动的时间为t．（1）当0＜t＜3时AM＝当7＜t＜10时OM＝；（用t的代数式表示）（2）当△AOM为等腰三角形时t＝；（3）当7＜t＜10时求S关于t的函数关系式；（4）当S＝4时求t的值．14．如图1 在平面直角坐标系中正方形OABC的边长为6 点A C分别在x y 正半轴上点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点且OP＝t连结PC将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ连结CQ取CQ中点M．（1）当t＝2时求Q与M的坐标；（2）如图2 连结AM以AM AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM 的面积为S．①用含t的代数式表示S（0<t<6）．②当N落在△CPQ的直角边上时求∠CPA的度数；（3）在（2）的条件下连结AQ记△AMQ的面积为S'若S＝S'则t＝（直接写出答案）．15．如图平面直角坐标系中矩形OABC的顶点B的坐标为（7 5）顶点A C 分别在x轴y轴上点D的坐标为（0 1）过点D的直线与矩形OABC的边BC交于点G 且点G不与点C重合以DG为一边作菱形DEFG 点E在矩形OABC的边OA 上设直线DG的函数表达式为y=kx+b（1）当CG=OD时求直线DG的函数表达式；（2）当点E的坐标为（5 0）时求直线DG的函数表达式；（3）连接BF 设△FBG的面积为S CG的长为a 请直接写出S与a的函数表达式及自变量a 的取值范围．16．如图 在四边形ABCD 中 //AD BC 3AD = 5DC = 42AB = 45B ∠=︒ 动点M 从点B 出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动 设运动的时间为s t .（1）求BC 的长.（2）当//MN AB 时 求t 的值（3）试探究：t 为何值时 MNC ∆为等腰三角形？参考答案：1．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠CAD =∠ACB ∠AEF =∠CFE∵EF 垂直平分AC 垂足为O∴OA =OC∴△AOE ≌△COF∴OE =OF∴四边形AFCE 为平行四边形又∵EF ⊥AC∴四边形AFCE 为菱形设菱形的边长AF =CF =x cm 则BF =（8﹣x ）cm在Rt △ABF 中 AB =4cm由勾股定理得42+（8﹣x ）2=x 2解得x =5iii ）如图3 当P 点在AB 上 Q 点在CD 上时 AP =CQ 即12﹣a =b 得a +b =12． 综上所述 a 与b 满足的数量关系式是a +b =12（ab ≠0）．2．（1）过P 点作AB∥MN∵S 矩形AEPM +S 矩形DFPM =S 矩形CFPN +S 矩形DFPM =S 矩形ABCD -S 矩形BEPN又∵11,,22AEP CFP AEPM CFPN SS S S ==矩形矩形 ∴1==26=62AEP CFP S S ⨯⨯， ∴1212.S S +=（2）如图 连接PA PC在APB △中 因为点E 是AB 中点可设APE BPE S S a ==同理 ,,BPF CPF CPG DFG DPH APH S S b S S c S S d ======所以APE APH CPF AEPH PFCG CPG S S SS a b d S S c =+++=++++四边形四边形 BPE BPF DPH DPH EDFP HPGD S S S S S S a b c d +=+++=+++四边形四边形．所以12EBFP HPGD AEPH PFCG S S S S S S +++=+四边形四边形四边形四边形所以1212ABD ABCD SS S S ==+ 所以1DPH APH S S S a ==-． ()()()1121121PBD ABD BPE PDH S S S S S S S S a S a S S =-++=+-++-=-．（3）易证四边形EBGP 四边形HPFD 是平行四边形．EBP SHPD S ．()()121211122222ABD ABCD EBF HPD EBP HPD SS S S S S S S S S ==+++=+++ ()()12112FBD ABD EBP HPD S S S S S S S =-++=-． （4）试题解析：（1）由已知得A 点坐标（﹣4﹐0） B 点坐标（0﹐43﹚ ∵OB=3OA ∴∠BAO=60° ∵∠ABC=60° ∴△ABC 是等边三角形 ∵O C=OA=4 ∴C 点坐标﹙4 0﹚ 设直线BC 解析式为y kx b =+∴ ∴直线BC 的解析式为343y x =-+； ﹙2﹚当P 点在AO 之间运动时 作QH⊥x 轴 ∵QH CQ OB CB= ∴2843QH t = ∴QH=3t ∴S △APQ =AP•QH=132t t ⋅=232t ﹙0＜t≤4﹚ 同理可得S △APQ =t·﹙833t -﹚=23432t t -+﹙4≤t<8﹚∴223(04)2{343?(48)2t t S t t t <≤=-+≤<； （3）存在 如图当Q 与B 重合时 四边形AMNQ 为菱形 此时N 坐标为（4 0） 其它类似还有（﹣4 8）或（﹣4 ﹣8）或（﹣4 ）．4．（1）53（2）存在 使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 面积的一半．（1）过D 作DE⊥AB 于E 过C 作CF⊥AB 于F 通过Rt ADE Rt BCF ∆≅∆ 得AE BF = 若四边形APQD 是直角梯形 则四边形DEPQ 为矩形 通过AP AE EP =+ 代入t 值 即可求解（2）假设当时 通过点Q 在CD 上或在AD 上 两种情况进行讨论求解5．（1）线段AB 长度的最小值为4理由如下：连接OP如图② 设四边形APQO 为平行四边形因为OQ PA ∥ 90APO ︒∠=所以90POQ ︒∠= 又因为OP OQ =所以45PQO ︒∠= 因为PQ OA ∥所以PQ y ⊥轴．设PQ y ⊥轴于点H在Rt △OHQ 中 根据2,45OQ HQO ︒=∠= 得Q 点坐标为（2,2-）所以符合条件的点Q 的坐标为（2,2-）或（2,2-）．6．(1)∵长方形ABCD∴∠A =∠B =90°∵点E 为AD 的中点 AD =6cm∴AE =3cm又∵P 和Q 的速度相等可得出AP =BQ =1cm BP =3 ∴AE =BP在△AEP 和△BQP 中∴y=xy 3=4-y⎧⎨⎩ 解得：x=1y=1⎧⎨⎩ (舍去). 综上所述,点Q 的运动速度为32cm /s 时能使两三角形全等.7．(1)1(2)54t =或4或232 (3) 3.5t = 5.5或10（1）解：动点P 的速度是2cm/s∴当2t =时 224AP =⨯=∵5cm AB =∴BP =1cm ；（2）解：①当点P 在AB 上时 CDP △是等腰三角形∴PD CP =在长方形ABCD 中 ,90AD BC A B =∠=∠=︒∴()HL DAP CBP ≌∴AP BP =∴1522AP AB ==∵动点P 的速度是2cm/s∵90D5DP CD == 2AB CB CD t ++=∴要使一个三角形与DCQ 全等①当点P运动到1P时16△≌△DCQ CDPCP DQ==此时1∴点P的路程为：1527AB BP+=+=∴72 3.5t=÷=；②当点P运动到2P时26△≌△CDQ ABPBP DQ==此时2∴点P的路程为：25611+=+=AB BP∴112 5.5t=÷=③当点P运动到3P时35△≌△CDQ BAP==此时3AP DQ∴点P的路程为：3585220AB BC CD DP+++=+++=∴20210t=÷=④当点P运动到4P时即P与Q重合时46△≌△CDQ CDPDP DQ==此时4∴点P的路程为：4585624+++=+++=AB BC CD DPt=÷=此结果舍去不符合题意∴24212综上所述t的值可以是： 3.5t= 5.5或10．8．（1）四边形ABCD是平行四边形∥∴BC AD∴∠=∠FCG EDGG是CD的中点∴=CG DG△中在CFG△和DEGCFG∴≅(ASA)DEGFG EG∴=又CG DG=∴四边形CEDF是平行四边形．2）①当5AE=如图过60B∠=12BM∴=5AE=DE AD∴=在MBA△BM DEB=⎧⎪∠=∠⎨⎪(SAS)MBA EDC∴≅CED AMB∴∠=∠四边形CEDF是平行四边形∴平行四边形CEDF②当2AE cm =时 四边形CEDF 是菱形 理由如下：四边形ABCD 是平行四边形8AD ∴= 6CD AB == 60CDE B ∠=∠=︒2AE =6DE AD AE ∴=-=DE CD ∴=CDE ∴∆是等边三角形CE DE ∴=四边形CEDF 是平行四边形∴平行四边形CEDF 是菱形故答案为：2；9．（1）解：∵|b ﹣8|6c +-=0∴b -8=0 c -6=0∴b =8 c =6∵B （b 0） C （0 c ）∴B （8 0） C （0 6）又∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴∴A (8 6)；（2）∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴 GE ⊥y 轴∴四边形AEGC 是矩形设运动时间为t 秒∴OD =t AE =2t DG =6+2t-t =6+t∴S 四边形AEGC =8×2t =16t S △DEG =12×（6+t ）×8=4t +242∵OM＝4OP∴-m=-4×62m解得m=-12综上所述m的值为-4或-12．10．（1）∵点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）∴OA=4 OB=8∵点C运动到线段OB的中点∴OC=BC=12OB=4∵动点C从点B出发沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动∴2t=4解之：t=2；∵PE=OA=4 动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6∴点E（6 0）（2）证明：∵四边形PCOD是平行四边形∴OC=PD OC∥PD当点C在y轴的负半轴上时③如果点M在DE上时24163(3)22t tt--=++解得423t=+④当N在CE上时28(3)8214tt tt-⋅++-=-+解得12t=综上分析可得满足条件的t的值为：t1＝28﹣16 3t2＝2 t3＝4+2 3t4＝12．11．(1) ()30D，,()1,3E;(2)933022933222572222t tS t tt t⎧⎛⎫-+≤≤⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩＜（3）198s解：（1）3922y x=-+当y=0时39=022x-+则x=3 即点()30D，当y=3时39=322x-+则x=1 故点()1,3E故：()30D，,()1,3E；（2）如图1 ①当点P在OD段时此时0≤t＜32119()2223233S PD OC t t=⨯⨯=⨯-⨯=-+；②当点P在点D时此时t=32此时三角形不存在0S=；''6ADP BEP S S -=-30232t t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭⎫<≤⎪；即当点P 在边AB 上运动 且PD PE +的值最小时 运动时间t 为198s ． 12．（1）16cm ；（2）(8813)cm +；（3）53t =秒或395秒 解：（1）如图1过A 作AM DC ⊥于M在四边形ABCD 中 //AB CD 90BCD ∠=︒//AM BC ∴∴四边形AMCB 是矩形10AB AD cm == 8BC cm =8AM BC cm ∴== 10CM AB cm ==在Rt AMD ∆中 由勾股定理得：6DM cm =10616CD DM CM cm cm cm =+=+=；（2）如图2当四边形PBQD 是平行四边形时 PB DQ =即1032t t -=解得2t =此时4DQ = 12CQ = 22413BQ BC CQ =+=所以()28813PBQD C BQ DQ =+=+；1003t 14(102BPQ BP BC ==解得53t =；P 在BC 上时 63t1(32BP CQ t =此方程没有实数解；CD 上时：在点Q 的右侧54(34PQ BC =6< 不合题意若P 在Q 的左侧 如图6 即3485t <14(534)202BPQ S PQ BC t ∆==-= 解得395t =； 综上所述 当53t =秒或395秒时 BPQ ∆的面积为220cm ． 13．（1）t 10-t ；（2）5；（3）S =20-2t ；（4）2或8． 解：（1）当0<t <3时 点M 在线段AB 上 即AM =t 当7＜t <10时 点M 在线段OC 上 OM =10-t故填：t 10-t ；（2）∵四边形ABCO 是矩形 B （4 3）∴OA =BC =4 AB =OC =3∵△AOM 为等腰三角形∴只有当MA =MO 此时点M 在线段BC 上 CM =BM =2 ∴t =3+2=5故填：5；（3）∵当7<t <10时 点M 在线段OC 上∴114(10)20222S OA OM t t =⋅⋅=⨯⨯-=-；（4）①当点M 在线段AB 上时 4=12×4t 解得t =2；②当点M 在线段BC 上时 S =6 不符合题意；当点M 在线段OC 上时 4=20-2t 解得t =8．∴OD ＝OP +PD ＝8∴Q （8 2）∵M 是CQ 的中点 C （0 6）∴M （4 4）；（2）①∵△COP ≌△PDQ∴OP ＝OQ ＝t OC ＝PD ＝6∴OD ＝t +6∴Q （t +6 t ）∵C （0 6）∴M （62t + 62t +） 当0＜t ＜6时 S ＝AP ×y M ＝（6﹣t ）×62t +＝2362t -； ②分两种情况：a 当N 在PC 上时 连接OB PM 如图2﹣1所示：∵点M 的横 纵坐标相等∴点M 在对角线BD 上∵四边形OABC 是正方形∴OC ＝OA ∠COM ＝∠AOM∴∠MPA ＝12（180°﹣45°）＝67.5° ∴∠CPA ＝67.5﹣45＝22.5°；综上所述 当点N 在△CPQ 的直角边上时 ∠CPA 的度数为112.5°或22.5°；（3）过点M 作MH ⊥x 轴于点H 过点Q 作QG ⊥x 轴于点G∵AMQ AHM AGQ MHGQ S S S S =--△△△梯形∴S '＝12（62t ++t ）•62t +﹣12（6﹣62t +）•62t +﹣12t •t ＝3t ①当0＜t ＜6时 即点AP 在点A 左侧时 如图3所示：∵S ＝S '∴2362t -＝3t 解得：t ＝﹣3+35 或t ＝﹣3﹣35（舍去）；②当t ＞6时 即点P 在点A 右侧时 如图4所示：S ＝AP ×y M =（t ﹣6）×62t +＝2362t - ∵S ＝S '将D （0 1）G （10 5）代入y=kx+b 得：1105b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：21051k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴当CG=OD 时 直线DG 的函数表达式为y=2105x+1．（3）设DG 交x 轴于点P 过点F 作FM⊥x 轴于点M 延长MF 交BC 于点N 如图所示．∵DG∥EF∴∠FEM=∠GPO．∵BC∥OA∴∠DGC=∠GPO=∠FEM．在△DCG 和△FME 中90DCG FME DGC FEMDG FE⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△DCG≌△FME（AAS ）∴FM=DC=4．∵MN⊥x 轴∴四边形OMNC 为矩形在Rt△CDH 中 由勾股定理可得： HC=22543-=∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10；（2）如图② 过D 作DG∥AB 交BC 于G 点 则四边形ADGB 为平行四边形 ∴BG=AD=3∴GC=BC−BC=10−3=7由题意得 当M N 运动t 秒后 CN=t CM=10−2t∵AB∥DG MN∥AB∴DG∥MN∴∠NMC=∠DGC又∵∠C=∠C∴△MNC ~△GDC∴CN CM CD CG=, ∴10257tt -=解得t=5017； （3）第一种情况：当NC=MC 时 如图③22∵∠C=∠C∠MFC=∠DHC=90°∴△MFC~△DHC∴FC MCHC DC=即：1 102253tt-=解得：t=6017；综上所述当t=103t=258或t=6017时△MNC为等腰三角形.。
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中考复习——特殊四边形的动态探究题
1. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E.
(1)求证：△OBD≌△OED；
(2)填空：
①当∠BAC＝________度时，CA是半圆O的切线；
②当∠BAC＝________度时，四边形OBDE是菱形．
2. 如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD⊥BC于点D，延长DO交⊙O于F，连接OC，AF.
(1)求证：△COD≌△BOD；
(2)填空：
①当∠1＝________时，四边形OCAF是菱形；
②当∠1＝________时，AB＝.
3. 如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交BA、DC 的延长线于点E、F，且AE＝CF，连接DE、BF.
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)若∠ABD＝30°，AB⊥AC，
①当AE与AB的数量关系为________时，四边形BEDF是矩形；
②当AE与AB的数量关系为________时，四边形BEDF是菱形．
4. 如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC.
(1)求证：BC∥OP；
(2)若半圆O的半径等于2，填空：
①当AP＝________时，四边形OAPC是正方形；
②当AP＝________时，四边形BODC是菱形．
5. 如图，点C是半径长为2的⊙O上任意一点，AB为直径，AC＝2，过点C作⊙O的切线DC，点P为⊙O优弧AC上不与A、C重合的一个动点，点P从点C出发以每秒 个单位的速度顺时针匀速运动，到达点A停止运动．
(1)求∠DCA的度数；
(2)填空：
①当t＝_________ s时，四边形OBPC是菱形；
②当t＝_________ s时，由点A、P、C三点构成的三角形与△ABC全等．
6.如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以1 cm/s 的速度匀速运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向匀速运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为1，设运动时间为t秒．
(1)若AC＝5 cm，则当t＝________时，四边形AMQN为菱形；当t＝________时，NQ 与⊙O相切；
(2)当AC的长为多少时，存在t，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值．。