最新椭圆双曲线知识点总结教学文案
椭圆知识点
【知识点1】椭圆的概念:
椭圆的第一定义 在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；
若)(2121
F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
椭圆的第二定义:在平面内，满足到定点的距离与到定直线的距离之比是等于一个常数的动点的轨迹叫做椭圆。其中这个定点叫做椭圆的焦点，这条定直线叫做相应于该焦点的准线。注：定义中的定点不在定直线上。 如果将椭圆的中心与坐标原点重合，焦点放在X 轴上，准线方程是： 焦点放在Y 轴上，准线方程是：
【知识点2】椭圆的标准方程
焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()22
2210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)
焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()22
2210x y a b b a
+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )
【知识点3】椭圆的几何性质:
规律:
(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.
(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .
标准方程
()2
2
22
10x y
a b a b += >> ()22
22
10x y a b b a += >> 图形
性质
范围 a x a -≤≤
b y b -≤≤
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A 1(－a,0)， A 2(a,0)
B 1(0，－b )，B 2(0，b )
A 1(0，－a )，A 2(0，a )
B 1(－b,0)，B 2(b,0)
轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b
焦距 ∣F 1F 2 |=2c
离心率 e=
c
a
∈(0,1) a ，b ，c 的关系
c 2＝a 2－b 2
(3)在椭圆中，离心率2
2
222221a b a b a a c a c e -=-===
(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆；
椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。
解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3.
所以椭圆的标准方程是y 24＋x 2
3＝1.
2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52
－1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 2
24
＝1.
二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例：1. 椭圆的一个顶点为()02，
A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当()02，
A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11
42
2=+y x ； （2）当()02，
A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：
116
42
2=+y x ；
三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。
例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2
4
＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
解：因为c 2
＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a 2＋4
a 2－5
＝1，
所以a 2
＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210
＝1.
四、求椭圆的离心率问题。
例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
解：31222??=c a c ∴223a c =，∴3331-=e ． 例2 已知椭圆
19822=++y k x 的离心率2
1
=e ，求k 的值． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12
-=k c ．由2
1
=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92
=a ，82+=k b ，得k c -=12
．
由21=e ，得4191=-k ，即4
5-=k ． ∴满足条件的4=k 或4
5
-=k ．
双曲线知识点
【知识点1】双曲线的概念:
在平面内到两定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫双曲线．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}
12|2M MF MF a -= 注意：若)(2121F F MF MF =-，则动点P 的轨迹为两条射线；
若)(2121F F MF MF >-，则动点P 的轨迹无图形。
【知识点2】双曲线的标准方程
焦点在x 轴上双曲线的标准方程: ()22
2210,0x y a b a b -= >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)
焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为：()22
2210,0y x a b b a
-= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )
【知识点3】双曲线的几何性质
标准方程
x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2
b 2
＝1(a >0，b >0) 图 形
性 质
范 围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R
x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )
渐近线 y ＝±b a x y ＝±a b x
离心率
e ＝c
a
，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；
线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；
a 叫做双曲线的实半轴长，
b 叫做双曲线的虚半轴长
a 、
b 、
c 的关系
c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)
规律:
1.双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e ＝2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
2.区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.
(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．
(3)在双曲线中，离心率c e a ====(4)双曲线的离心率e 越大,开口越阔.
双曲线典型例题
一、根据双曲线的定义求其标准方程。
例 已知两点()051，-F 、()052，
F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．
∵5=c ，3=a
∴164352
2
2
2
2
2
==-=-=a c b
∴所求方程
116
92
2=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 例 P 是双曲线136642
2=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值． 解：在双曲线
136
6422=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ．
又22=-≥a c PF ，得332=PF ．
二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点??? ??4153，P ，??
?
??-
5316，Q 且焦点在坐标轴上． （2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．
（3）与双曲线
14
162
2=-y x 有相同焦点，且经过点()
223， 解：（1）设双曲线方程为
12
2=+n
y m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，
∴???????=+=+1259256116225
9n m n m 解得???=-=916n m
∴所求双曲线方程为19
162
2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=
c ，
∴设所求双曲线方程为：
162
2
=--λ
λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164
25
=--
λ
λ
∴5=λ或30=λ（舍去）
∴所求双曲线方程是15
22
=-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．
（3）设所求双曲线方程为：
()16014162
2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()
223，
，∴144
1618=++-λ
λ
∴4=λ或14-=λ（舍）
∴所求双曲线方程为
18
122
2=-y x 抛物线
抛物线典型例题
一、求抛物线的标准方程。
例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42
= （2）)0(2
≠=a ay x
解：（1）2=p ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a
y 1
2
=
，a p 12=∴
①当0>a 时，
a p 41