随机变量的期望与方差练习
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1 1 C3 C2 2 +2× C5
个数的数学期望是
Eξ =0×
CC +1× 2 C5
0 3 2 2
.
0 C32C2 C52
=1.2
4．在一次试验中，事件A发生的概率为p，
现进行N次独立试验，则A至少发生一次的
N 1 － (1 － p ) 概率为
； 而A至多发
N+Np(1－p)N－1 (1 － p ) 生一次的概率为 .
1 ． 6
提示：P(ξ≤4)=P(ξ=2)＋P(ξ=3)+P(ξ=4)
1 2 3 1 = 36 36 36 6
4．同时抛掷两枚均匀硬币100次，设两
枚硬币同时出现正面的次数为ξ， 则
Eξ= 25 ；Dξ= 18.75 .
提示：ξ～B(100，p)，p是在一次抛掷中两 枚硬币同时出现正面的概率，p=0.25． Eξ=np=25, Dξ=npq=18.75
二、例题
1．掷一枚硬币，出现正面的概率为p (0<p<1)，设ξ为直到正、反面都出现为止的 投掷次数，求ξ的分布列．
解: P(ξ=k)=P(前k－1次均为反面，第k次为正 面；或前k－1次均为正面，第k次为反面)=(1
－p)k－1p+pk－1(1－p)，k=2，3，4，…….
2．袋中有2个白球，3个黑球，从中任意摸一 球，猜它是白球还是黑球，猜对得1分，猜 错不得分．从期望得分最大的角度，你应猜
=0.82－0.36=0.46．
8．一个口袋中放有若干个球，每个球上标
有1～n中间的一个整数，设标有数 k 的球
有k个，现从中任取一球，ξ为取的球上所
标数字，求ξ的分布列、Eξ及Dξ．
解：P(ξ=2)=P(前2次均取到次品)= 2 1 1；
6 5 15
P(ξ=3)=P(前2次1只正品1只次品，第3次取到
次品)=
1 1 C4 C2 1 2 2 C6 4 15
P(ξ=4)=P(前3次2只正品1只次品，第4次取到 次品，或前4次均为正品)=
2 1 C4 C2 1 1 4 4 3 C6 3 C6 15
什么颜色有利？
解：设ξ为得分数，若猜白球，其概率分布 为：
得分期望为Eξ=0×
3 2 ＋ 1× = 5 5
2 ； 5
若猜黑球，其概率分布为：
得分期望为Eξ=1×
3 3 2 ＋ 0× 5 = 5 ； 5
所以从期望得分最大的角度应猜黑球．
3．某厂每天生产大批产品，其次品率为0.l， 检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品 检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整 设备．以ξ表示一天中调整设备的次数，试求 ξ的分布列及Eξ． 解：ξ～B( 4，p)，p是在一次检验中检验结果 为需调整设备的概率，即10件产品中次品数多 于 1件的概率，
P(ξ=5)=P(前4次3只正品1只次品，第5次取到 次品或正品)=
3 1 C4 C2 8 4 C6 15
7．一台设备由三大部件组成，在设备运转 中，各部件需要调整的概率相应为0.10、 0.20和0.30．假设各部件的状态相互独立， 以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的 数学期望Eξ和方差Dξ.
解：设Ai={部件i需要调整}（i=1，2，3）， 则 P(A1)=0.l，P(A2)=0.2，P(A3)=0.3
由题意，ξ有四个可能值0，1，2，3；由于 A1，A2，A3相互独立，可得
P(ξ=0)=P( A1 A2 A)=0.9 ×0.8×0.7=0.504； 3 P(ξ=1)=P( A1 A2 A )+ 3 P( P(ξ=2)=P(
随机变量的期望与方差 习题课
一、基础训练题
1．下列随机变量中，不是离散型随机变量的 是（ C ） （A）从 10只编号的球（0号到 9号）中任 取一只，被取出的球的号码ξ （B）抛掷两个骰子，所得的最大点数ξ （C）[0，10)区间内任一实数与它四舍五入 取整后的整数的差值ξ （D）一电信局在未来三日内接到的电话呼 叫次数ξ
2．某批数量较大的产品的次品率为10%，
从中任意地连续取出4件，则其中恰含有3
件次品的概率是（ B ）
（A） 0.0001
（C）0.0486
3 4
（B）0.0036
（D）0.2916
3
P( A) C (0.1) (0.9) 0.0036
3．一个袋子中装有大小相同的3个红球和2
个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球 1.2
A1 A2 A )+ )=0.398 ； A1 A2 A 3 3 P(
A1 A2 A A1 A2 A )+ )+ )=0.092 ； 3 P( 3 P( A 1 A2 A 3
P(ξ=3)=P( A1 A2 A)=0.006 ； 3
∴ Eξ=1×0.398+2×.092+3×0.006=0.6，
Dξ=Eξ2－(Eξ)2 =1×0.398＋4×0.092＋9×0.006－0.62
故 p=1－0.910－10×0.1×0. 99=0.2639．
p=0.2639
k 于是，P(ξ=k)= C4 0.2639k 0.73614k，k=0，
1，2，3，4；
Eξ=4p=1.0556．
三、练习题
1．设ξ是一个离散型随机变量，则下列命题 中假命题是（ D ） （A）ξ取每一个可能值的概率是非负数 （B）ξ取所有可能值的概率之和为1 （C） ξ取某两个值的概率等于分别取其中每个值 的概率之和 （D）ξ在某一范围内取值的概率小于它取 这个范围内各个值的概率之和
2．某服务部门有N个服务对象，每个服务
对象是否需要服务是独立的，若每个服务
对象一天中需要服务的可能性是p，则该部
门一天平均需服务的对象个数是（ B ）
（A）Np(1－p) （B）Np
（C） N
来自百度文库
（D）p(1－p)
提示：一天需服务的对象个数服从二项分 布，其期望是Np，故选（B）．
3．抛掷两颗均匀骰子，所得点数之和ξ是一 个随机变量，则P(ξ≤4)＝
5．己知ξ的分布列为
则Eξ=
1 提示：由M+ 3
29 12
.
1 6
+
+ M=1
1 得M= 4
，
29 ． 12
故Eξ=1×
1 1 1 1 +2× +3× +4× = 4 6 4 3
6．已知有6只电器元件，其中有2只次品
和4只正品．每次随机抽取一只测试，不放
回，直到2只次品都找到为止．设需要测试
的次数为ξ，求ξ的分布列．
个数的数学期望是
Eξ =0×
CC +1× 2 C5
0 3 2 2
.
0 C32C2 C52
=1.2
4．在一次试验中，事件A发生的概率为p，
现进行N次独立试验，则A至少发生一次的
N 1 － (1 － p ) 概率为
； 而A至多发
N+Np(1－p)N－1 (1 － p ) 生一次的概率为 .
1 ． 6
提示：P(ξ≤4)=P(ξ=2)＋P(ξ=3)+P(ξ=4)
1 2 3 1 = 36 36 36 6
4．同时抛掷两枚均匀硬币100次，设两
枚硬币同时出现正面的次数为ξ， 则
Eξ= 25 ；Dξ= 18.75 .
提示：ξ～B(100，p)，p是在一次抛掷中两 枚硬币同时出现正面的概率，p=0.25． Eξ=np=25, Dξ=npq=18.75
二、例题
1．掷一枚硬币，出现正面的概率为p (0<p<1)，设ξ为直到正、反面都出现为止的 投掷次数，求ξ的分布列．
解: P(ξ=k)=P(前k－1次均为反面，第k次为正 面；或前k－1次均为正面，第k次为反面)=(1
－p)k－1p+pk－1(1－p)，k=2，3，4，…….
2．袋中有2个白球，3个黑球，从中任意摸一 球，猜它是白球还是黑球，猜对得1分，猜 错不得分．从期望得分最大的角度，你应猜
=0.82－0.36=0.46．
8．一个口袋中放有若干个球，每个球上标
有1～n中间的一个整数，设标有数 k 的球
有k个，现从中任取一球，ξ为取的球上所
标数字，求ξ的分布列、Eξ及Dξ．
解：P(ξ=2)=P(前2次均取到次品)= 2 1 1；
6 5 15
P(ξ=3)=P(前2次1只正品1只次品，第3次取到
次品)=
1 1 C4 C2 1 2 2 C6 4 15
P(ξ=4)=P(前3次2只正品1只次品，第4次取到 次品，或前4次均为正品)=
2 1 C4 C2 1 1 4 4 3 C6 3 C6 15
什么颜色有利？
解：设ξ为得分数，若猜白球，其概率分布 为：
得分期望为Eξ=0×
3 2 ＋ 1× = 5 5
2 ； 5
若猜黑球，其概率分布为：
得分期望为Eξ=1×
3 3 2 ＋ 0× 5 = 5 ； 5
所以从期望得分最大的角度应猜黑球．
3．某厂每天生产大批产品，其次品率为0.l， 检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品 检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整 设备．以ξ表示一天中调整设备的次数，试求 ξ的分布列及Eξ． 解：ξ～B( 4，p)，p是在一次检验中检验结果 为需调整设备的概率，即10件产品中次品数多 于 1件的概率，
P(ξ=5)=P(前4次3只正品1只次品，第5次取到 次品或正品)=
3 1 C4 C2 8 4 C6 15
7．一台设备由三大部件组成，在设备运转 中，各部件需要调整的概率相应为0.10、 0.20和0.30．假设各部件的状态相互独立， 以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的 数学期望Eξ和方差Dξ.
解：设Ai={部件i需要调整}（i=1，2，3）， 则 P(A1)=0.l，P(A2)=0.2，P(A3)=0.3
由题意，ξ有四个可能值0，1，2，3；由于 A1，A2，A3相互独立，可得
P(ξ=0)=P( A1 A2 A)=0.9 ×0.8×0.7=0.504； 3 P(ξ=1)=P( A1 A2 A )+ 3 P( P(ξ=2)=P(
随机变量的期望与方差 习题课
一、基础训练题
1．下列随机变量中，不是离散型随机变量的 是（ C ） （A）从 10只编号的球（0号到 9号）中任 取一只，被取出的球的号码ξ （B）抛掷两个骰子，所得的最大点数ξ （C）[0，10)区间内任一实数与它四舍五入 取整后的整数的差值ξ （D）一电信局在未来三日内接到的电话呼 叫次数ξ
2．某批数量较大的产品的次品率为10%，
从中任意地连续取出4件，则其中恰含有3
件次品的概率是（ B ）
（A） 0.0001
（C）0.0486
3 4
（B）0.0036
（D）0.2916
3
P( A) C (0.1) (0.9) 0.0036
3．一个袋子中装有大小相同的3个红球和2
个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球 1.2
A1 A2 A )+ )=0.398 ； A1 A2 A 3 3 P(
A1 A2 A A1 A2 A )+ )+ )=0.092 ； 3 P( 3 P( A 1 A2 A 3
P(ξ=3)=P( A1 A2 A)=0.006 ； 3
∴ Eξ=1×0.398+2×.092+3×0.006=0.6，
Dξ=Eξ2－(Eξ)2 =1×0.398＋4×0.092＋9×0.006－0.62
故 p=1－0.910－10×0.1×0. 99=0.2639．
p=0.2639
k 于是，P(ξ=k)= C4 0.2639k 0.73614k，k=0，
1，2，3，4；
Eξ=4p=1.0556．
三、练习题
1．设ξ是一个离散型随机变量，则下列命题 中假命题是（ D ） （A）ξ取每一个可能值的概率是非负数 （B）ξ取所有可能值的概率之和为1 （C） ξ取某两个值的概率等于分别取其中每个值 的概率之和 （D）ξ在某一范围内取值的概率小于它取 这个范围内各个值的概率之和
2．某服务部门有N个服务对象，每个服务
对象是否需要服务是独立的，若每个服务
对象一天中需要服务的可能性是p，则该部
门一天平均需服务的对象个数是（ B ）
（A）Np(1－p) （B）Np
（C） N
来自百度文库
（D）p(1－p)
提示：一天需服务的对象个数服从二项分 布，其期望是Np，故选（B）．
3．抛掷两颗均匀骰子，所得点数之和ξ是一 个随机变量，则P(ξ≤4)＝
5．己知ξ的分布列为
则Eξ=
1 提示：由M+ 3
29 12
.
1 6
+
+ M=1
1 得M= 4
，
29 ． 12
故Eξ=1×
1 1 1 1 +2× +3× +4× = 4 6 4 3
6．已知有6只电器元件，其中有2只次品
和4只正品．每次随机抽取一只测试，不放
回，直到2只次品都找到为止．设需要测试
的次数为ξ，求ξ的分布列．