矩阵思想的形成与发展本科论文
矩阵研究毕业论文
0 引言为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式, 因此我们引进了特征值与特征向量. 特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用, 充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助, 能使复杂的问题变的简单, 化简为易, 化繁为简. 本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨.1. 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论我们知道, 在有限维线性空间中, 取了一组基之后, 线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩阵来研究线性变换, 对于每个给定的线性变换, 我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式. 从现在开始, 我们主要的来讨论, 在适当的选择基之后, 一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式. 为了这个目的, 先介绍特征值和特征向量的概念, 它们对于线性变换的研究具有基本的重要性．定义 1.1 设A 是数域P 上的一个n 阶方阵,若存在一个数P λ∈以及一个非零n 维列向量n x P ∈,使得Ax x λ=则称λ是矩阵A 的一个特征值,向量x 称为矩阵A 关于特征值λ的特征向量． 定义1.2 设A 是数域P 上一n 级矩阵, λ是一个文字. 矩阵A E -λ的行列式nnn n n n a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211，称为A 的特征多项式, 这是数域P 上的一个次多项式.设T 是n 维线性空间V 上的一个线性变换，求解T 的特征值与特征向量的方法可以分成一下三几步：1) 在线性空间V 中取一组基12,,,nξξξ, 写出/A 在这组基下的矩阵A ;2) 求出A 的特征多项式E Aλ-在数域P 中全部的根, 它们也就是线性变换/A 的全部特征值;3) 对于A 的每个特征值,j λ求其次线性方程组()0jI A X λ-=的一组基础解系：12,,,.t ηηη于是A 的属于jλ的全部特征值组成的集合是}{1122,0,1,2,,t t i i k k k k K k i t ηηη+++∈≠=例1 设V 是数域K 上3维线性空间，T 是V 上的一个线性变换，它在在V 的一个基1α，2α，3α下的矩阵A 是222214241A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭，求A 的全部特征值与特征向量. 解: 因为特征多项式为2222214(3)(6)241I A λλλλλλ--⎛⎫ ⎪-=+-=-+ ⎪⎪+⎝⎭所以A 的全部特征值3（二重），-6．对于特征值3，解齐次线性方程组(3)0I A X -=，12312312322024402440x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩得到一个基础解系：210-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此，A 的属于3的两个线性无关的特征向量就是1122ζαα=-+，2132ζαα=+ 而A 的属于3的全部特征向量就是 .{}11221212,,,0k k k k K k k ζζ+∈且不全为对于特征值-6代入, 求出(6)0I A X --=的一个基础解系：122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.因此, A 的属于特征值-6的一个线性无关的特征向量就是312322ζααα=+-，而A 的属于特征值-6的全部特征向量是{}3,0k k K k ζ∈≠且.例2 设T 是复数域上n 维线性空间V 上的一个线性变换()1n >，它在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵A 是1012210000010000001n n A ααααα--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭,求T 的特征值和特征向量. 解 ：1012201221100001000100001000010000100001n n n n I A λλλλααααλαλαλαλαλαλα-------=-+--=--+令01221000100001000001001n n n D λαλαλαλαλα----=--+下面用数学归纳法求解()2n D n ≥当2n =时，22101.1D λαλαλαλα==++-+假设对于上述形式的1n -阶行列式，有012-132000100001000001001n n n D λαλαλαλαλα----=--+n-1n-2n-210=+++λαλαλα，对于n 阶行列式，把它第1行展开，得12102112111210121210000100010010(1)001000100101()(1)(1).n n n n n n n n n n n n D xλαλαλλαλαλαλλλλαλαλααλαλαλαλα+----+----=---+----+-=+++++--=++++根据数学归纳法原理，此命题对一切自然数2n ≥都成立. 故121210.n n n I A λλαλαλαλα---=++++即为T 的特征多项式.设12,,n λλλ 是I A λ-的全部复根. 对于1i n ≤≤，有111122201111,n n n n i i i i i i i ii i i n i A λλλλλλλλλλααλαλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因此12'(1,,,,)n i i i λλλ-(1i n ≤≤)是A 的属于特征值i λ的一个特征向量. 由于()()11,2,,110,2,3,,n i n I A n λ--⎛⎫-=-≠⎪⎝⎭而i I A λ-=，因此()1i rank I A n λ-=-. 从而齐次线性方程组()0i I A X λ-=的解空间的维数为(1)1n n --=. 于是A 的属于特征值i λ的所有特征向量组成的集合是{}21'(1,,,,)|,0.n i i i k k C k λλλ-∈≠从而T 的属于特征值i λ的全部特征向量是{}21'123()|,0.n i i i k k C k αλαλαλ-++++∈≠(1i n ≤≤)例2 在空间[]nP x （n>1)中(P 为实数域), 求微分运算D'()()f x f x ∂= 的 特征多项式，并证明：D 在任何一组基下的矩阵不可能是对角矩阵. 证：在[]nP x 中取一组基()211,,,,2!1!n x x x n --微分运算D 在此基下的矩阵为.0000100001000010⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=DD 的特征多项式是.01000010001n D E λλλλλ=---=-从而D 的特征多项式为nλ. 因此D 的特征值为210n λλλ====.又D 的对应特征值0的奇次线性方程组()0A X -=的系数矩阵的秩为n-1,从而基础解系只含一个向量.它小于[]nP x 的维数n(n>1),故D 不可能同任何对角矩阵相似.所以微分运算D 在任何基下的矩阵都不可能是对角形. 2矩阵特征值与特征向量的五个应用2.1特征值与特征向量判断线性变换可对角化的应用定义2.1.1如果V 中存在一个基，使得线性变换A 在这个基下的的矩阵是对角矩阵，那么A 可对角化.由于线性变换A 在V 的不同基下的矩阵是相似的，因此线性变换A 可对角化当且仅当A 在V 的基下的矩阵A 可对角.定理2.1.1域F 上n 维线性空间V 上线性变换A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量12,,,nξξξ，此时A 在基12,,,nξξξ下的矩阵A 为1000,00n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中i λ是i ξ所属的特征值（即i i i A ξλξ=），1,2,,.i n = 矩阵A 称为线性变换A 的标准形，除了主对角线上元素的排列次序外，A 的标准形是有A 唯一决定的.推论2.1.1 域F 上n 维线性空间V 上线性变换A 可对角化当且仅当V 中存在由A的特征向量组成的一个基.定义2.1.2设A 是域F 上线性空间V 上的一个线性变换，0λ是A 的一个特征值，令 {}00|,defV A V λααλαα==∈ .易验证V λ 是V 的一个子空间，称0V λ是A 的属于特征值0λ的特征子空间. 0V λ中全部非零向量就是A 的属于特征值0λ的全部特征向量. 由于()00000().V A I A Ker I A λααλαλααλ∈⇔=⇔-=⇔∈-因此 00().V Ker I A λλ=-即线性变换A 的属于特征值0λ的特征子空间等于线性变换0I A λ- 的核.设V 是域F 上n 维线性空间，V 上线性变换A 在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵为A,λ是A 的一个特征值. 设σ是V 到nF 的一个同构映射，它把V 中向量对应于它在基12,,,nααα下的坐标，则()0V λσ等于n 元齐次线性方程组()00I A X λ-=的解空间，即矩阵A 的属于特征值0λ的特征子空间. 于是()()00dim V n rank I A λλ=-- .定理2.1.2设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，则A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量⇔V 中存在由A 的特征向量组成的一个基⇔A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n 12,s V V V V λλλ⇔=⊕⊕⊕其中12,,,sλλλ 是A 的所有不同的特征值.例 3 设T 是复数域上n 维线性空间V 上的一个线性变换()1n >，它在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵A 是1012210000010000001n n A ααααα--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭,称它是Frobennis 矩阵. 求T 的特征多项式和属于特征值i λ的全部特征向量(1,2,3,,)i n =；T 是否可对角化？令122221211112111n n n n n n P λλλλλλλλλ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭情形112,,n λλλ两两不等. 此时0.p ≠从而P 的列向量组线性无关. 于是A 有n 个线性无关的特征向量，因此A 可对角化.此时{}112,,n p AP diag λλλ-=从而T 可对角化.情形 212,,n λλλ中有相等的. 此时0.p = 从而P 线性相关. 这时A 没有n 个线性无关的特征向量，因此A 不可对角化, 从而T 不可对角化.例4 设T 是数域K 上n 维线性空间V 上的对合变换（即T 满足2T I =），(1)证明T 有特征值，且它的特征值是1或-1.(2)判断T 是否可对角化；若可以对角化，请写出它的标准形. 解：设T 在V 的一个基12,,,nααα下的矩阵是A ，由2T I =，可得2A I =. 即A 是数域K 上的对合矩阵，设0λ是对合矩阵A 的一个特征值，则有0,α≠使0.A αλα=从而2200.A A αλαλα== 由于2A I =，因此20αλα=，即20(1)0.λα-=由于0,α≠因此2010.λ-= 即01.λ=± 当A I =时，1是A 的特征值，-1不是；当A I =-时，-1是A 的特征值，1不是； 当A I ≠±时，0.I A ±≠由于()()rank I A rank I A n -++=因此 ()().rank I A n rank I A n -=-+< 从而0.I A -=从而1是A 的一个特征值.同理可证，-1是A 的一个特征值.(1)从而，T 有特征值，且它的特征值是1或-1.(2)设().rank I A r +=由于()()rank I A rank I A n -++=，因此().rank I A n r -=- 属于特征值1的特征子空间1W 的维数为1dim ()();W n rank I A n n r r =--=--=属于特征值-1的特征子空间1W -的维数为1dim ()();W n rank I A n rank I A n r -=---=-+=-由于11dim dim (),W W r n r n -+=+-=因此A 可对角化.A 的相似标准形为{},.r n r diag I I --从而T 可对角化，且它的相似标准形为0,0rn r I I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭其中().r rank I A =+2.2 特征值与特征向量在确定可对角化矩阵的应用当矩阵A 可对角化时，可根据A 的特征值和特征向量来确定它的元素.例 5 设3阶方阵A 的特征值1231,0,1,λλλ===-对应的特征向量分别是1231222,2,1.211ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求A .分析：此题给了3阶矩阵A 的3个不相同的特征值及其对应的特征向量，那么矩阵A 可对角化，显然可用A 的特征值和特征向量来确定它的元素.解：由i ξ是方阵A 对应于特征值i λ 的特征向量，于是i i i A ξλξ=()1,2,3.i =令()123122221212P ξξξ-⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，则112212219212P -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪--⎝⎭， ,PA PD =其中100000,001D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 由上式可得：11021012,3220A PDP --⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ 即为所求.2.3特征值与特征向量在n 阶矩阵的高次幂的求解中的应用当n 阶矩阵A 可对角化时，即矩阵A 可与对角阵相似时，可应用矩阵的特征值与特征向量计算其高次幂()k A k N *∈，且比较简单.当n 阶矩阵A 满足下面的四个条件之一时，即可对角化,即1.A PDP -=n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量. n 阶矩阵A 有n 个互不相等的特征值.n 阶矩阵A 的每个特征值的几何重数等于其代数重数. A 为是对称矩阵. 对于(){}11212,,,,,,,,n n A PDP P D diag ξξξλλλ-===其中12,,,nλλλ是A 的n 个互不相等的特征值，i ξ是A 的属于特征值i λ的特征向量()1,2,,.i n =例6 已知矩阵122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，求k A （其中k N *∈）. 分析：矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的，这里因为矩阵A 为实对称矩阵，故可对角化. 可按上面讨论的方法求之.解 因为,T A A =所以矩阵A 为实对称矩阵，故A 可对角化为D .()()212221251221I A λλλλλλ----=---=-+---故A 的特征值为1231,5,λλλ==-=当1λ=-时，解齐次线性方程()0,I A X --=求出一个基础解系：12111,001ηη--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当5λ=时，可求()50A X λ-=的一个基础解系：311,1η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 令111101,011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1001,1,5010005D diag -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪⎪⎝⎭ 则()11,1,5P AP D diag -==--则1A PDP -=于是()()()()()()()()1111111111111()()1001112111101010121301100511121515151152153k kkkkk k k k k k k k k k k A PP APP PP APP PP APP P P AP P AP PAP P -------------==⎛⎫----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+-+-+=-+-+-()()()()111151515215k kk k k k k k---⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪-+-+-+⎝⎭2.4 特征值与特征向量在求一些特殊数列通项公式的应用由一些特殊数列的递推公式，构造关系矩阵A ，并列出递推关系，当关系矩阵A 可对角化时，可利用A 的特征值与特征向量求解这些数列的通项公式.例7 斐波那契（Fibonacci ）数列是0,1,1,2,3,5,8,13,它满足下列递推公式：21,n n n ααα++=+ 0,1,2,n=以及初始条件010, 1.αα== 求Fibonacci 数列的通项公式，并且求1lim.nn n αα→∞+解 由2111,,n n n n n ααααα++++=+⎧⎨=⎩ 可得21111.,10n n n n αααα+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令11,10A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1,0,1,2,n n n D n αα+⎛⎫== ⎪⎝⎭上式可写成1,n n D AD +=又由1001,0D αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以0,.n n D A D n N *=∈于是求Fibonacci 数列的通项公式就只要去计算nA .可利用A 的相似标准形来求简化nA 的计算.211111122I A λλλλλλλ⎛⎫⎛---==--=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭于是A的特征值为12λλ==从而A 可对角化.对于特征值1λ，解奇次线性方程组()10,I A X λ-=求出一个基础解系：11,1λη⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值2λ，可求出()20I A X λ-=的一个基础解系：22,1λη⎛⎫= ⎪⎝⎭ 令12,11P λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则1120,0P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭从而12121121211212112010011101.1nn nn n n n n A P P λλλλλλλλλλλλλλ-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎭⎝-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎭由于110n n n A αα+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此))2121211110.n nn n n n nλαλλλλλ-⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即为Fibonacci 数列的通项公式. 于是211211112212111lim lim lim112nn nnnn nn n nnλλαλλαλλλλλλλ++→∞→∞→∞+⎛⎫- ⎪-⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭==例8已知()11,1,2i ii i ib cc b c--=⎧⎪⎨=+⎪⎩其中2,3,.i =设11,b c已知，求,.n nb c解由题可得1101,2,3,1122i ii ib bic c--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令01,1122B⎛⎫⎪=⎪⎝⎭则111,n nnb bBc c-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下面求1n B-.()111.11222I Bλλλλλ-⎛⎫-==-+⎪--⎝⎭因此B的全部特征值是11,.2-从而B可对角化.对于特征值1，解奇次线性方程组()0,I B X-=得到它的一个基础解系：11,1ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值1,2-解齐次线性方程组10,2I B X ⎛⎫--= ⎪⎝⎭得到它的一个基础解系：22.1ξ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 令12,11P -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则110.102P BP -⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭ 从而1111122111010210121211111130211122213111222n n n n n n n n B P P ---------⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫--⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪= ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此22111111111112,3232111112.3232n n n n n n b b c c b c ----⎧⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++-⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎪⎛⎫⎛⎫=--++-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩2.5特征值与特征向量行列式计算中的应用用矩阵的特征值和特征向量计算三对角形的方法如下:设00000000000n a b c a b c a D a b ca =按第一行展开，得：12,n n n D aD cbD --=- 3,4,n =上式可写成21,n n n D aD cbD ++=- n N +∈由于2111,,n n n n n D aD cbD D D ++++=-⎧⎨=⎩ 令2111,,,10n n n n n n D D a cb d d A n N D D +++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此111,n nn n d Ad d A d +-==()2,3,n =其中2211D a cb d D a ⎛⎫-⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 这样求nD 的问题就转化为nd 的问题，因而转化为求1,n A -即存在可逆矩阵P 使得 1P AP D -=（对角形），就可以算出1.n A -由201a cbI A a cb λλλλλ--==-+=-得A 的特征值12λλ==1) 若24a cb ≠① 若240,a cb -<则A 有两个不相等的复特征值12,,λλ在复数域上对应于12,λλ的特征向量分别为12,.ξξ取()12,P ξξ=则P 可逆 于是就有11111200n n n AP P λλ----⎛⎫=⎪⎝⎭所以111n n n n D d A d D+-⎛⎫== ⎪⎝⎭从而可求出nD .如果A 限制在实数域上，A 有复特征值，这时A 不可对角化.② 若240,a cb ->则A 有两个不同的特征值，则A 可对角化，按在复数域上的情况可求出nD2) 若24,a cb =这时A 有重根.若A 有两个线性无关的特征向量，则A 可对角化；若A 只有一个特征向量，这时可利用相似变换，把A 化若当标准形1100λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可以算出1n A -，即可求出n D .例9 计算n 阶行列式：950004950004900.9500049n D =解：按第一行展开，得：12920,n n n D D D --=-()3,4,n =上式可写成21920,n n n D D D ++=-()n N +∈ 由2111920,,n n n n n D D D D D ++++=-⎧⎨=⎩ 令2111920,,,10n n n n n n D D d d A n N D D +++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得111,n nn n d Ad d A d +-==()2,3,n =其中211619D d D ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由于()()2920920451I A λλλλλλλ--==-+=---因此A 的特征值是124, 5.λλ==对于特征值14,λ=解其次线性方程组()40,I A X -=求出一个基础解系：14,1η⎛⎫= ⎪⎝⎭对于特征值25,λ=解其次线性方程组()50,I A X -=求出一个基础解系：25,1η⎛⎫= ⎪⎝⎭令45,11P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则140,05P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 从而14005A P P-⎛⎫= ⎪⎝⎭111111111400545154011140554 5.4 4.554 5.4 4.5n n n n n n n n n n n n A P P---------⎛⎫= ⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--= ⎪--⎝⎭由于11619n n n D A D +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此()11111161545.44.5549n n n n n n n D ----++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭例10 计算n 阶行列式：2120000121200012120000000210022n D ------=.解：将nD 按第一列展开得：1231232(2)22,n n n n n n n D D D D D D D ------=--+=+- ()4,5,6,n =上式可写成32122,n n n n D D D D +++=+-()n N *∈ 根据321221122,,,n n n n n n n n D D D D D D D D +++++++=+-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 令323121*********,,100,5,0102n n n n n n n n D D D D D A D D D D ααα++++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可得1,n n A αα+=11,n n A αα-=由于()()()2121011201I A λλλλλλλ---=-=-+-- 因此A 的特征值是1231,1, 2.λλλ==-= 对于特征值11,λ= 解其次线性方程组()0,I A X -=得到一个基础解系;111,1η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 同理，分别可求231, 2.λλ=-=的一个特征向量23141,2,11ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令114112,111P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则1100010002P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 于是1100010002A P P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭从而()()()()11111111111000100021001143361112010132611100220211233611121326202112n n n n n n n n n n n A P P -------+--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎝⎭于是()()()1121111123361011121325,62022112n n n n n n n n n D D D -+++--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭从而()()()()()121013123 3.16 2.12562112263n n n nn n n n D -+⎛⎫ ⎪=-+-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭-=-++3.小结本文利用特征值与特征向量的一些命题和性质来探讨特征值与特征向量在一些解题计算中的应用，充分应用命题和性质给我们的解题带来很大的方便.参考文献[1] 大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2003．[2] 同济大学应用数学系. 工程数学- 线性代数(第4版) [M] . 北京:高等教育出版社,2003.[3] 奚传志. 矩阵的特征值与特征向量在行列式计算中的应用枣庄师专学报，1992年2期[4] 李淑花. 关于一类线性代数习题的快速解法[J]. 高等数学研究.[5] 谢国瑞. 线性代数及应用[M]. 北京:高等教育出版社,1999.[6] 戴华. 矩阵特征值反问题的若干进展[J]. 南京航空航天大学学报,1995.[7] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社.[8]邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的研究.菏泽学院.计算机与信息工程系.山东菏泽（274015）[9] 朱凤娟．特征值与特征向量逆问题的研究[J]．滨州学院学报2007.6 .[10] [英]S.巴比特. 科技工作者用矩阵方法[M] .北京：化学工业出版社.1984.126-137.[11]丘维声，高等代数（第二版）下册.北京：高等教育出版社[12] tephen H.Friedbeng等.Linear Algebra(4th Edition) [M].Prentice Hall/Pearson，1998.[13] Verler.W.J.Vectors Structures and Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl;1975.[14]丘维声，高等代数（第二版）上册.北京：高等教育出版社[15] 熊全淹，线性代数[M].北京；高等教育出版社，1987.4.[16]丘维声，高等代数学习指导（下册）.北京：清华大学出版社，2009[17]杨子胥，高等代数习题解（下册）.济南:科学技术出版社，2009[18]丘维声，高等代数学习指导（上册）.北京：清华大学出版社，2009致谢本学位论文是在我的指导老师张宝环老师的亲切关怀与细心指导下完成的.由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周到的地方，从论文的选题、资料的搜集到论文的撰写编排整个过程中，张老师始终都给予了悉心的指导和不懈的支持，并为我指点迷津，帮助我开拓思路，精心点拨，热忱鼓励.张老师的一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人,给我以终生受益无穷之道.感谢老师们对我的教育培养.他们细心指导我的学习与研究.在此，我要向诸位老师深深地鞠上一躬.同时我要感谢同组的同学们，是我们相互的鼓励和支持才使得做论文的过程充满着快乐和感动.在此，我对所有帮助我的老师和同学们表达我衷心的感谢!。
矩阵思想的形成与发展
1.前言 (1)2.早期行列式计算中孕育的矩阵思想 (2)3.矩阵思想的形成 (2)3.1矩阵的基本思想 (3)3.2矩阵运算 (4)4.矩阵的发展 (7)4.1特征值与特征向量 (9)4.2标准形 (10)4.3方程组的解 (11)5.结论 (12)参考文献 (13)致谢 (14)矩阵形式解方程组在中国古代数学著作《九章算术》中已相当成熟，但这部著作并没有建立起独立的矩阵理论，而仅把矩阵看作一种排列形式来解决实际问题。
矩阵在中国古代的萌芽，蕴含了丰富的矩阵算法与程序化等思想。
矩阵概念产生并发展于19世纪的欧洲，欧洲的社会环境与文化背景为矩阵的早期发展提供了适宜的舞台，一大批矩阵理论的奠基者做了大量的工作，使矩阵从零散的知识发展为系统完善的理论体系，为矩阵理论的形成与发展做出了重要的贡献。
从18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在求解线性方程组和行列形式来解决实际问题，本文通过对矩阵理论发展过程中的众多数学家工作的考察，揭示了矩阵思想从萌芽、早期发展到成熟以及进一步完善的全过程。
关键词：矩阵；矩阵发展；凯莱；矩阵思想AbstractThe matrix form solution of equations in Chinese ancient mathematics" arithmetic in nine sections" has been quite mature, but it hasn't established the independent matrix theory, and only the matrix as an arrangement to solve practical problems. Matrix in ancient China budding, contains rich matrix algorithm and programming ideas. Matrix concept originated from the nineteenth Century in Europe, the European social environment and cultural background for the matrix of early development to provide a suitable stage, a large number of matrix theory of the founders did much work, so that the matrix from a fragmented knowledge development for the system of perfect theory, matrix theory's formation and the development has made important contribution. From the late eighteenth Century to the middle of the nineteenth Century, this kind of arrangement form in solving linear equations and the ranks of the form to the solution of practical problems, based on the matrix theory in the process of development of many mathematicians work study, reveals the idea of matrix from bud, early development to mature and perfect the whole process.Key words: Matrix; Matrix development ; Kailai; matrix theory1引言矩阵直接产生于线性方程组并运用于其求解，这方面的工作在我国最早出现在《九章算术》（公元前1世纪）中解方程组的“遍乘直除”法，这与19世纪高斯创立的“高斯消元法”的思想是一致的。
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矩阵数学论文3000字_矩阵数学毕业论文范文模板矩阵数学论文3000字(一)：Pre5G获GSMA双料大奖揭秘：竟是多维矩阵的数学创新论文最受评委认可的是Pre5G的高技术含量，它是通过高超、复杂的数学方法实现的，绝非技术的简单包装。
如果每一年巴塞罗那MWC展会都会树立几个风向标的话，那么“创新加速5G”无疑是本届MWC大会当仁不让的主题。
本届展会的第二天，中国的5G创新再次掀起了MWC的高潮，中兴通讯凭借Pre5GMassiveMIMO荣获全球移动大奖“最佳移动技术突破”（BestMobileTechnologyBreakthrough）以及CTO选择奖（OutstandingoverallMobileTechnology-TheCTO’sChoice2016），一时间被全球广泛关注。
由GSM协会主办的MWC是全球最具影响力的移动通信领域的盛会，全球移动大奖则是目前被业界认可的最高荣誉，被誉为“通信业的奥斯卡奖”。
而CTO选择奖的重量级在于，获奖技术是从6个移动专项获奖中再次选出最佳的一个“奖中奖”，该奖项的评委是由来自全球16家运营商的首席技术官组成的，他们非常看重入选内容的独到创新点，以及是否可以真正改善客户体验、降低成本，真正通过创新提升运营商商业价值。
而且，中兴通讯今年作为惟一的中国企业获此殊荣。
事实上，这也是5G领域第一次获得行业最高奖项并获得CTO的一致认可，两大奖项不仅奠定了中兴通讯在无线宽带领域的领军者形象，更意味着从3G的试探、4G的积极，到5G的超前，中国技术的不断创新已经获得全球认可。
颠覆式创新的核心GSMA大奖评委会给出的获奖点评是“Pre5GMassiveMIMO技术是移动宽带演进上的颠覆性创新”。
从技术上看，Pre5G最主要的技术MassiveMIMO通过128天线阵元，支持多达12到16流的动态beamforming，在不改变空口、不增加频点、不改变终端的前提下，快速实现了频谱效率倍增，三维立体覆盖能力超强，且Pre5G兼容4G终端，使得现网引入Pre5G更加从容。
矩阵的发展史及相关应用2024
引言概述矩阵是数学中一个重要的概念，它在各个领域中有着广泛的应用。
本文将以矩阵的发展史为主线，介绍矩阵的起源、发展过程以及相关应用。
通过对矩阵的详细解析，希望能够帮助读者更好地理解矩阵概念，并掌握其在实际问题中的应用。
1.矩阵的起源1.1古希腊的数理思想1.2矩阵概念的初步形成1.3高斯消元法的发现与矩阵的发展1.4矩阵的正式定义及其特性2.矩阵的发展过程2.1矩阵基本运算的发现与研究2.1.1矩阵的加法与减法2.1.2矩阵的乘法2.1.3矩阵的转置2.2矩阵的性质与定理的研究2.2.1矩阵的逆与行列式2.2.2矩阵的特征值与特征向量2.2.3矩阵的相似性2.3矩阵理论的发展与应用2.3.1线性变换与矩阵2.3.2矩阵在图像处理中的应用2.3.3矩阵在金融数据分析中的应用3.矩阵在物理学中的应用3.1矩阵在力学中的应用3.1.1刚体运动的描述与矩阵3.1.2牛顿运动定律与矩阵3.2矩阵在电路理论中的应用3.2.1电路分析中的矩阵方程3.2.2电路网络的拓扑矩阵3.3矩阵在量子力学中的应用3.3.1波函数与矩阵表示3.3.2矩阵在量子力学中的算符描述4.矩阵在计算机科学中的应用4.1矩阵在图像处理与计算机图形学中的应用4.1.1矩阵变换与图像处理4.1.2矩阵在计算机图形学中的坐标变换4.2矩阵在数据处理与机器学习中的应用4.2.1矩阵在数据压缩与降维中的应用4.2.2矩阵分解与矩阵乘法的优化算法4.3矩阵在密码学中的应用4.3.1线性密码与矩阵4.3.2矩阵在加密算法中的应用5.矩阵在经济学与社会学中的应用5.1矩阵在经济学中的应用5.1.1矩阵在供需模型中的应用5.1.2矩阵在输入输出模型中的应用5.2矩阵在社会学中的应用5.2.1矩阵在社交网络分析中的应用5.2.2矩阵在数据挖掘与社会统计中的应用总结通过对矩阵的发展史及相关应用的探讨，我们可以看到矩阵在各个领域中的重要地位和广泛应用。
矩阵的概念和性质不仅有助于我们理解数学中的抽象思维，还可以帮助我们解决实际生活和工作中的复杂问题。
矩阵理论论文
矩阵分解在信号和图像处理方面的应用矩阵理论是一门发展完善、理论严谨、方法独特的理论基础课程，它对培养学生的逻辑能力、推理能力具有重要作用，但它又能广泛应用于各个领域。
矩阵理论主要内容包括线性空间、线性变换、范数理论；矩阵分析；矩阵分解；广义逆矩阵；特征值的估计以及广义特征值等。
用矩阵的理论和方法来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍。
下面简单介绍一下矩阵的奇异值分解在信号和图像处理方面的简单应用。
此方法近年来在数据降维和压缩,滤波器设网络节点估计、小波变换结果的后续处理等很多领域都获得了重要的应用。
在滤波器设计方面，VOZALIS等将SVD 用于协同滤波，他们的研究结果表明，SVD提高了协同滤波过程中预测的质量和精度。
而在消噪方面，LEHTOLA等利用SVD和数学形态学相结合，对心电信号(Electrocardiogram，ECG)进行处理，消除了噪声的影响，提高了心电图诊断的准确性。
同时奇异值分解已用于从孕妇皮肤测量信号中提取胎儿心电信号。
在另一些研究中SVD则被利用来实现特征提取和弱信号分离，如LIU等利用SVD从背景噪声强烈的振动信号中提取周期性冲击信息。
SVD在神经网络中也获得了应用，如TEOH等利用SVD实现了对隐层空间中模式的线性独立性分析，进而决定了隐层神经元节点的数目。
SVD的正交化特性在对小波和小波包变换结果的后续处理中也得到了有效的应用，如XIE等利用SVD对小波包分解后的肌电信号进行正交化处理，以获得代表肢体运动模式的最优特征，进而对肌电信号进行分类，用于对假肢的控制。
小波多分辨分析的本质就是把信号在一系列不同层次的空间上进行分解，获得相应的近似和细节信号，从而以不同的层次显示信号的各种概貌和细节特征[9]，这种多分辨思想使得小波分析在很多领域获得了极为广泛的应用。
基于这种多分辨分析思想的思考，赵学智在SVD中提出了一种矩阵二分递推构造方法，根据该方法得到的SVD分解结果将分属于不同层次的空间，而且下一层次空间的基矢量是利用上一层次的近似基矢量而获得的，实现了利用SVD以不同的层次来展现信号的概貌和细部特征。
矩阵在数学中的应用本科毕业论文
本科毕业论文（设计）题目矩阵在数学中的应用____________________________________毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解**学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。
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3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。
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图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它目录摘要 (I)Abstract. (II)1 前言 (1)2 有关概念及重要结论 (1)2.1矩阵的概念 (1)2.2矩阵的秩 (2)2.3矩阵的逆 (3)2.4 用矩阵表示二次型 (3)3 矩阵的应用 (6)3.1矩阵的高次幂 (6)3.1.1 矩阵的幂 (6)3.1.2矩阵高次幂的求法 (7)3.2 解线性方程组 (13)3.2.1线性方程组的有解判定定理 (13)3.2.2 线性方程组一般形式的运用 (14)3.3 解矩阵方程 (16)3.4 矩阵对角化方法 (19)3.4.1 讨论对于有n个特征单根的n阶方阵 (19)3.4.2 讨论对于有特征重根的n阶方阵 (21)结论 (24)致谢 (24)参考文献 (24)矩阵及应用杨灿（重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2010级重庆万州 404100）摘要:矩阵理论既是学习经典数学的基础,又是一门很有实用价值的数学理论.随着科学技术的发展,这一理论已成为现代各科技领域处理大量数据的有效工具.本文就是利用矩阵的基本理论,把矩阵作为计算工具,对实际问题如方程组的解、矩阵的幂、二次型进行了较为系统的研究并简化了一些计算.关键词: 矩阵;矩阵的幂;线性方程组Matrix and Its ApplicationYANG Can(Grade 2010, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and statistics, Chongqing Three Gorges University, Wan Zhou, Chongqing 404100 )Abstract:Matrix theory is not only the foundation of learning classical mathematics,but also is a very useful mathematical theory.With the development of science and technology,this theory has become the effective tool for modern technology in the field of large amounts of data.This article is on the undamental theory of matrix,the matrix as a calculation tool,the practical problems such as the solution of the equations,the power of matrix,the two type are systematically studied and some simplified calculation.Keywords:Matrix; The power of matrix; Linear equation2014届数学与应用数学专业毕业设计（论文）1 前言矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的主要研究对象之一,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语.而实际上,矩阵在它的课题诞生之前就已经发展的很好了.18世纪中期,数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题,即二次型的化简.在这一问题的研究中,数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论.1748年,瑞士数学家欧拉(L ．Euler,1707—1783)在将三个变数的二次型化为标准形时,隐含地给出了特征方程的概念.1773年,法国数学家拉格朗日(J ．L ．Lagrange,1736—1813)在讨论齐次多项式时引入了线性变换.1801年德国数学家高斯(C ．F ．Gauss,1777一1855)在《算术研究》中,将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广,给出了两个线性变换的复合,而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积.另外,高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念,在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念.在线性方程组的讨论中,我们看到,线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上,并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外,还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念,并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象,也是处理高等数学很多问题的有力工具.矩阵的秩是一个基本的概念,也是矩阵最重要的数量特征之一,它在初等变换下是一个不变量．矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念,无论是在线性代数中,还是在解析几何中,甚至在概率论中,都有不可忽略的作用．矩阵方幂在高等代数题解、矩阵稳定性讨论及预测、控制等方面有广泛的应用,它的求解原理贯穿于代数教学过程的始终,可以用到矩阵各方面的知识.其计算量往往较大,但方法适当,可大大简化其计算难度.本文将给出六种求矩阵方幂地方法.矩阵方程是矩阵运算的一部分,这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题.掌握简单的矩阵方程的求法,对于求解复杂的矩阵方程有很大帮助.2 有关概念及重要结论2.1矩阵的概念为了便于叙述并考虑以后的应用,我们引进矩阵的概念.由mn 个数排列而成的m 行（横的）n 列（纵的）的表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为一个n m ⨯杨灿：矩阵及其应用矩阵.定义 1 把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为A 的转置矩阵, 记作T A (或A ').即若,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn n n m m Ta a a a a a a a a A 212221212111. 2.2矩阵的秩定义2 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;所谓矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩.引理1 如果齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n sn s s nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211的行秩n r <,那么它有非零解.定理1 矩阵的行秩与列秩相等.定理 2 n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n .推论 1 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211的行列式等于零.2.3矩阵的逆我们知道,n 阶单位矩阵E 单位性质,即对于任意n 阶方阵A 都有A EA AE ==,是否存在n 阶方阵B 使得E AB =呢？即是否与数域P 中数一样的性质:1)0(1=⋅⇒∈≠∀-a a P a .为此,我们引进逆矩阵的概念.定义1 n 阶方阵A 称为可逆的,如果有n 阶方阵B ,使得E BA AB ==. （2.3.1）这里E 是n 级单位矩阵.并且称B 为A 的一个逆矩阵.定义2 如果矩阵B 适合（2.3.1）,那么B 就称为A 的逆矩阵,记为1-A . 定理1 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 非退化,此时,A 的逆矩阵为0,1*1≠==-A d A dA . 定理2 给出了矩阵可逆时逆矩阵的计算公式.下面给出可逆矩阵的一些性质: 性质1 如果n 阶方阵A 可逆,那么0≠=A d ,并且dA 11=-. 性质2 如果矩阵B A ,同级且都可逆,那么T A 与AB 也可逆,且11111)(,)()(-----==A B AB A A T T .性质3 如果n 阶方阵A 可逆,那么kA N k ,∈∀也可逆,并且k k A A )()(11--=. 性质4 如果n 阶方阵A 可逆,那么k A Z k ,∈∀也可逆,并且k k A A )()(11--=.性质5 如果n 阶方阵A 可逆,那么Z l k ∈∀,,有l k l k k l kl l k A A A A A A +===,)()(. 定理3 A 是一个n s ⨯矩阵,如果P 是s s ⨯可逆矩阵,Q 是n n ⨯可逆矩阵,那么)()()(A r AQ r PA r ==.推论1 在定3的假设下有,)()(A r PAQ r =成立.2.4 二次型及矩阵表示定义1 设P 是一个数域,一个系数ij a 在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 jinj i ij i ni ii n xx a x a x x x f ∑∑≤≤≤=+=121212),,,( . （2.4.1）定义2 记ij ji a a =,把n 元二次型（2.4.1）,写成对称形式j i ni nj ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,( . （2.4.2）这样,系数ij a 可以构成一个n n ⨯对称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nn n n n n nn ij a a a a a aa a a a A 212222111211)(, （2.4.3） 称（2.4.3）为n 元二次型（1）的矩阵. 令Tn x x x x ),,,(21 =,则有i n i j nj ij j i n i n j ij n x x a x x a x x x f ∑∑∑∑======111121)(),,,( ,=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑===n j j nj n j j j n j j j n x a xa x a x x x 1121121),,,( ,=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121),,,(,=Ax x T, （2.4.4）这就是二次型的矩阵表示.对确定的n 元二次型（2.4.1）,就确定唯一的对称矩阵（2.4.3）通过（2.4.4）联系起来,即Ax x xx a x x x f T jin i nj ij n ==∑∑==1121),,,( .因此,一个n 元二次型（2.4.1）对应一个n 阶对称矩阵.每个二次型都有一个对称矩阵与之对应;反之,每个对称矩阵也有一个二次型与之对应.二次型与它的矩阵是相互唯一确定的.一般地,关于二次型的矩阵有下列结果.定理1 设B 是n n ⨯矩阵,则Bx x x x x f Tn =),,,(21 是一个二次型,它的矩阵为2BB T +.2.5 特征值与特征向量n 维线性变换空间V 与矩阵空间nn p ⨯是同构关系,可以通过矩阵来研究线性变换的性质,我们希望找到一组基,,,21n ξξξ 使得线性变换A L 在这组基下的矩阵A 的形式最简单.这个问题的一个简单设想是A 是否可以是对角形式？即),,,(,,,3,2,1,21n j j j A a a a diag A n j a L ===ξξ.这个设想可以归结为:对线性空间V 的线性变换ξξk L A =,P k ∈.这就是线性变换的特征值与特征向量.定义1 设A L 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换,如果对于数域P 中一数0λ,存在一个非零向量ξ,使得ξλξ0=A L .那么0λ称为A L 的是一个特征值,而ξ称为A L 的属于特征值0λ的一个特征向量.定义2 设A 是数域P 上一n 级矩阵, λ是一个文字. 矩阵A -E λ的行列式nnn n nn a a a a a a a a a ---------=A -E λλλλ212222111211,称为A 的特征多项式, 这是数域P 上的一个n次多项式.上面的分析说明, 如果0λ是线性变换A L 的特征值, 那么0λ一定是矩阵A 的特征多项式的一个根; 反过来, 如果0λ是矩阵A 的特征多项式在数域P 中的一个根, 即00=-E A λ, 那么齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-----=---+-=----0)(0)(0)(022111222012112121110n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a λλλ (2.5.1)就有非零解. 这时,如果),,,(00201n x x x 是方程组(2.5.1)的一个非零解, 那么非零解向量.n n x x x ζζζζ0202101+++= .满足（2.5.1）式, 即0λ是线性变换A L 的一个特征值, ζ就是属于特征值0λ的一个特征向量．定理1 设A L 是数域P 上n 维线性空间V 的一个变换,则P ∈0λ是A L 的一个特征值当且仅当0λ是A L 的特征多项式)()(λλA L f f A≡的一个根.定理2 设0λ是线性空间V 的线性变换A L 的一个特征值,则集合{}V L V A ∈==ααλααλ,00 (2.5.2)构成V 的一个子空间.在有限维情形,)(dim 00A E R n V --=λλ,其中,V n dim =,A 是A L 在V 在某个基下的矩阵.定义3 设0λ是线性空间V 的线性变换A L 的一特征值,式（2.5.2）定义的V 的子空间称为A L 的对应特征值0λ的特征子空间0λV因此, 确定一个线性变换A 的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步: (1)在线性空间V 中取一组基n ζζζ,,,21 , 写出A L 在这组基下的矩阵A ;(2)求出A 的特征多项式A -E λ在数域P 中全部的根, 它们也就是线性变换A L 的全部特征值;(3)把所得的特征值逐个代入方程组（2.5.1）式, 对于每一个特征值, 解方程组（2.5.1）式,求出一组基础解系, 它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基n ζζζ,,,21 下的坐标, 这样, 我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量．矩阵A 的特征多项式的根有时也称为A 的特征值, 而相应的线性方程组（2.5.1）式的解也就称为A 的属于这个特征值的特征向量．3 矩阵的应用3.1矩阵的高次幂3.1.1 矩阵的幂定义1 设方阵n n ij a A ⨯=)(, 规定.,,0为自然数个k A A A A E A k k⋅⋅⋅==k A 称为A 的k 次幂.方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）: (1) );,(为非负整数n m A A A n m n m +=(2) .)(mn n m A A =注意: 一般地,,)(m m m B A AB ≠ m 为自然数命题1 设B A ,均为n 阶矩阵,,BA AB = 则有,)(m m m B A AB = m 为自然数,反之不成立.3.1.2 矩阵高次幂的求法矩阵方幂在高等代数题解、矩阵稳定性讨论及预测、控制等方面有广泛的应用,它的求解原理贯穿于代数教学过程的始终,可以用到矩阵各方面的知识.其计算量往往较大,但方法适当,可大大简化其计算难度.本文将给出六种求矩阵方幂地方法.3.1.2.1 利用凯莱——哈密尔顿（Cayley —Hamilton ）定理求方阵的幂定理1 （Cayley —Hamilton 定理）设A 是n 阶矩阵,)(λf 是A 的特征多项式,则0)(=λf . 设A 是数域P 上n 阶方阵,其特征多项式为)(λf ,为求A n（n 是正整数）,令n g λλ=)(,做带余除法,)()()()(λλλλr q f g +=.由定理1知,)()(λλr g =,并且)(λr 的次数小于)(λg 的次数,进而可得n r g A =A =A )()(.利用上定理求幂时在计算过程中可分为两种情形:1、所求矩阵的幂指数相对较低,可直接利用定理1及余式定理求出)(λr .例1 已知 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101121002A ,求5A .解 令5)(λλ=g 矩 阵A 的 特 征 多 项 式 为)1()2(11121002)det()(2--=-----=A -I =λλλλλλλf 做带余除法,6811649)1750)(()(225+-+++==λλλλλλλf g 于是,由定理1知I +A -A =I +A -A ++A +A A =A =A 68116496811649)1750)(()(2225f g⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1000100016810112100211610334300449 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10313132310032 2、所求矩阵的幂指数相对较高,不便用上法直接求出余式.此种情形下矩阵的特征多项式有重根和无重根时分别给出下面的解法.(1)矩阵的特征多项式无重根.对于i ni i c q f r q f g λλλλλλλ∑=+=+=1)()()()()()(,以其n 个不同的特征值分别代入此式即可求出)(λr .例2 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A 211110101,求991003A -A .解 令991003)(λλλ-=g .矩阵A 的特征多项式为)3)(1(211110101)det()(--=-------=A -I =λλλλλλλλf .做带余除法,注意到)(λf 的次数是3,即c b a q f g +++=-=λλλλλλλ299100)()(3)(. 以3,1,0=λ分别代入上式得0)0(==c g .2)1(-=++=c b a g .039)3(=++=c b a g . 所以0,3,1=-==c b a .由定理1 ,A -A =I +A +A =A -A =A 33)(2299100c b a g⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0000110112111101013631321312.（3）矩阵的特征多项式有重根.同上法,为获得足够的信息求出)(λr ,可对)()()()(λλλλr q f g +=求导.例3 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=A 210111111,求100A .解 A 的特征多项式是)2()1()det()(2--=A -E =λλλλf 令100)(λλ=g ,做带余除法0122)()()(b b b q f g +++=λλλλλ以2,1=λ分别代入上式,有⎩⎨⎧=++==++=100012012234)2(1)1(b b b g b b b g 为求)2,1,0(=i b i ,就)(λg 对λ求导得10012'2'1002)()()()]1()2)(1(2[)(λλλλλλλλλ=+++-+--=b b q g q g 以1=λ代入上式,有100212=+b b ,从而求得 1000201110022102,3022,2201-=-=-=b b b , 于是 I +A +A =A0122100b b b .3.1.2.2 对于秩为1的n 阶方阵A 有下面定理定理1 对于n 阶方阵A,若1)(=A rank ,那么A 可分解为一个列向量与一个行向量的乘积'αβ=A ,其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n b b b b a a a a .,.321321 βα.例4 已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A 1233321231211,求n A . 解 显然1)(=A rank ,并且⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A 1233321231211⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3121132`1,而331211321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡,所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A ---123332123121133312113213111n n n n .3.1.2.3 可分解为数量矩阵和零幂矩阵之和的情况要点 观察推敲矩阵A ,看其是否可以分解为一个数量矩阵E λ与一个零幂矩阵P 之和,即P +E =λA ,其中O m ≠P ,但O m =P+1,因为数量矩阵E λ和P 可以交换,于是由二项式定理得m m n kn n k k n nk k k n nk nnm n n k n k n A P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++P +=P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P +E =---=-=∑∑λλλλλλ 100)()(.例5 已知矩阵,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2000420000210042A ,求n A . 解 观察矩阵A 的特点,可先将其分块写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O O B A ,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2142B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2042C ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn C OO B A ,下面就先求n B 和nC . 显然1)(=B r ,即pq B =,这里⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12p ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21q ,且4=qp ,所以B B n n 14-=. 至于P +E =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+E =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2004022042C ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P 0040满足O P =2,代入上述给出的二 次项式公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=P +E =P E +E =+E =---nn nn n n nnnn n n P C 2024222)2()2()2(111. 因此本题得解 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅=---n n n n n n n A 2024200004200442111. 3.1.2.4 归纳法例6 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101αβαA ,求其n 次幂. 解 先来计算A 的较低次幂2A 和3A ,由矩阵乘法直接计算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=10021022122αβααA ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=100310333123αβααA ,……由此猜想⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=100102)1(12αβααn n n n n A n. 以下用数学归纳法加以证明. （1）当1=n 时成立.（2）归纳假设结论对k n =时亦成立,即⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=100102)1(12αβααk k k k k A k . 所以当1+=k n 时,A A Ak k =+1,而⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+(++++(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=100)110)1(2)1()11100101100102)1(122αβαααβααβααk k k k k k k k k k A A k , 即当1+=k n 时成立,从而证明结论成立.即⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=100102)1(12αβααk k k k k A k. 3.1.2.5 利用相似变换法要点 若已知矩阵可以经过相似变换化为对角阵时,即存在可逆矩阵P ,使Λ=AP P -1,其中Λ为对角阵,其对角线上元素为矩阵A 的特征值.由上可得1-PΛP =A ,1-P PΛ=A n n .于是求A的方幂就转化为求过渡矩阵P 和对角阵nΛ,而对于P 和阵nΛ,我们应用代数知识要好求得多了,具体如下:例7 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A 122212221,求其n 次幂. 解 经过计算,矩阵A 的特征值1-=λ和5=λ,对于特征值1-=λ有线性无关特征向量T )101(1-=α和()3011Tα=-()T 1102-=α.对于特征值5=λ有特征向量()T 1113=α.令()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==P 111110101,,321ααα,即P 可逆,且有,5000)1(000)1(,5000100011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=Λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=Λ=AP P -n n n n 于是.,11--P PΛ=A PΛP =A nn计算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-+-+-+-+-=A ++++++n n nn n n n n n n nn n n n n nn n 52)1(5)1(5)1(5)1(52)1(5)1(5)1(5)1(52)1(31111111.3.1.2.6 利用Jordan 标准形例8 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=A 411301621,求k A .解 第一步:首先求矩阵A 的若尔当标准形.由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+=A -E 2)1(0001000141131621λλλλλλ.从而初等因子为)1(-λ,2)1(-λ,故A 的若尔当标准形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001J .第二步:求可逆矩阵T 使J AT T =-1,即TJ AT =.设),,(321ααα=T ,所以有332211,,αααααα=A =A =A .由22αα=A 得32)(αα-=A -E ,设()Tx x x 3212,,=α,()Ty y y 3213,,=α,则由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=A -E 3221321000311622311311622)(y y y y y y y , 而32)(αα-=A -E 有解,故32y y =,又33αα=A ,从而0)(3=A -E α即0311311622321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---y y y , 于是有03321=-+y y y ,所以得212y y =.令132==y y ,则21=y .于是T )112(3=α,再解T )001(2-=α.于是求得()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==101100213,,321αααT . 第三步:由第二步得1-=A TJT .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==A -k k k k k k k kk k TTJ k k 31316221010311110100100011011002131.3.2 解线性方程组3.2.1线性方程组的有解判定定理定理1 （克拉默法则） 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （4.2.1）的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211的行列式,0≠=A d 那么线性方程组（4.2.1）有解,并且解是唯一的,解可以通过系数表为,,,,2211dd x d dx d d x n n ===其中j d 是矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式,即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n nj j nj j j==+-+-+- 定理(线性方程组的有解判定定理) 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********有解的充分必要条件为它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211与增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s sns s n n b a a a b a a a b a a a A 21222221111211有相同的秩.3.2.2 线性方程组一般形式的运用例9 求下述齐次线性方程组的一个基础解系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=++-+-=---+-=+-+-0931050320117630426354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x把方程组的系数矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------000000000078100650219131051312111716341263于是方程组的一般解为:⎩⎨⎧+=--=543542178652x x x x x x x 其中542,,x x x 是自由未知量.令0,0,1542===x x x 得)0,0,0,1,2(1=η 0,1,0542===x x x 得)0,1,8,0,5(2-=η 1,0,0542===x x x 得)1,0,7,0,6(3-=η 这里321,,ηηη就是方程组的一个基础解系.例10 解线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-+-=++-+-=---+-=++-+2573431272327225354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 把此方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------000000666100121010875001000000666100545110112111257343112111721132712253从而得到此方程组的一般解为:⎪⎩⎪⎨⎧-+=---=-+=66662875543542541x x x x x x x x x 其中54,x x 是自由未知量. 对于方程个数与未知量个数相等的非齐次线性方程组,如果它的系数行列式不为零,我们还可以用克莱姆法则求解.但是这种方法计算量很大,因此我们一般不用它,只是对少数字母系数的方程组采用克莱姆法来进行求解.例11 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++-=+--=+--321934443522134321432143214321x x x x a x x x x x x x x x x x x 求当a 为何值时方程组有解？此时有多少解？解 把方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------00000340000211001131132211193444352211311a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------00000340000211001131132211193444352211311a a 显然,当34≠a 时,方程组无解;当34=a 时,方程组无解,此时由于阶梯形矩阵的非零行有2行,而未知量有4个,所以方程组有无穷多个解,易求出一般解为⎩⎨⎧+-=+-=27443421x x x x x 其中42,x x 是自由未知量.3.3 解矩阵方程矩阵方程是矩阵运算的一部分,这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题.掌握简单的矩阵方程的求法,对于求解复杂的矩阵方程有很大帮助.简单的矩阵方程有三种形式:.,,C AXB C XA C AX ===如果这里的A 、B 都是可逆矩阵,则求解时需要找出矩阵的逆,注意左乘和右乘的区别.它们的解分别为.,,1111----===B A X CA X C A X例如,求解方程C AC =先考察A 是否可逆,如果A 可逆时,方程两边同时左乘1-A ,得,11C A AX A --=即,1C A X -=这里要注意只能左乘不能右乘,因为矩阵的乘法不满足交换律.同样,对于方程,C XA =只能右乘1-A ,得,11--=CA XAA 即.1-=CA X 而对于方程,C AXB =只能是左乘1-A 而右乘1-B ,得,1111----=CB A ACBBA 即.11--=CB A X看下面解矩阵方程例题:例12 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡315432343122321X 解 先求出1-A ,则,111253232313431223211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332123315432111253232313154321343122321X 例13 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212101343122321X解 先求出1-A ,则,111253232313431223211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-27525120111253232312121013431223212121011X 例14 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3154321325343122321X解 先求出1-A ,则,111253232313431223211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-532113251, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=--532131543211125323231132531543234312232111X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=131148735331332123当矩阵方程C AXB C XA C AX ===,,中的A 、B 不是方阵或者是不可逆的方阵时,前面的方法就不能用了.这时,我们需要用待定元素法来求矩阵方程.设未知矩阵X 的元素为ij x ,即)(ij x X =,然后由所给的矩阵方程列出ij x 所满足的线性方程组,通过解线性方程组求出所有元素ij x ,从而得到所求矩阵)(ij x X =.例15 解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4152102011X解 利用元素法,先确定X 的行数等于左边矩阵的行数3,X 的列数等于积矩阵的列数2,则X 是23⨯的矩阵.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2221y y y x x x X ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41521020112121y y y x x x. 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--4152222111y y x x y y x x ,于是得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-4212522211y y x x y y x x . 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=y y x x y y x x 2421522211,所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=y y y x x x X 245212,其中y x ,为任意实数.例16 解矩阵方程,C AX =其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=031334213A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7577111793C . 解 由于0=A ,所以A 是不可逆矩阵,需要用元素法求解.设,222111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z y x z y x z yxX 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--7577111793031334213222111z y x z y x z y x,即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-+-+-+-+-+-7577111793323334334334232323111212121212121z z y y x x z z z y y y xx x z z z y y y x x x .比较第一列元素得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=+-73133432312121x x x x x x x x ,解得⎩⎨⎧-=-=9537121x x x x 同样,比较第二、三列元素可得对应方程组,分别解得7537,3535121121-=-=-=-=z z z z y y y y ,所以可得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=7573535953711111`1z z y y x x X ,其中111,,z y x 是任意实数. 总之,对于矩阵方程,当系数矩阵是方阵时,先判断是否可逆.如果可逆,则可以利用左乘或右乘逆矩阵的方法求未知矩阵,如果方阵不可逆或是系数矩阵不是方阵,则需要用待定元素法通过解方程确定未知矩阵.3.4 矩阵对角化方法3.4.1 讨论对于有n 个特征单根的n 阶方阵3.4.1.1 基本原理引理1 设A 是秩为r 的n m ⨯阶矩阵,且()n TE A−−−→−行初等变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*--n r n mr n rmP D )()(0 其中D 是秩为r 的行满秩矩阵,则齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系即为矩阵P 所含的r n -个行向量),,2,1(r n i i -= ξ.引理2 矩阵A 的特征矩阵)(λA 经过一系列行初等变换可化为上三角形的λ－矩阵)(λB ,且)(λB 的主对角线上元素乘积的λ多项式的解为矩阵A 的全部特征根.引理3 对于数域P 上的n 阶方阵A ,若A 的特征多项式在P 内有n 个单根,则由特征向量构成的n 阶可逆矩阵T ,使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AT T λλλ211定理1 若数域P 上的n 阶方阵A 的特征多项式)(λf 在P 内有n 个单根,则A 可通过如下方法对角化:设()())()()(,)(λλλλλQ B E A A E A n TT T −−−→−-=行初等变换且)()1λB 为上三角形矩阵,则有方阵A 的特征根i λ即为)(λB 中主对角线上各个元素乘积的解;)2对于方阵A 的每一个特征根i λ,总有)(i B λ中零行向量所对应的)(i Q λ中的行向量i ξ与之对应.3.4.1.2举例说明例17 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210131012A ,问方阵A 是否可以化为对角形,若可以,求出其对角化后的方阵.解 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=100210010131001012)(λλλλE A T−−−−−−→−第一行与第二行互换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------100210001012010131λλλ −−−−−−−−−→−-行上乘以第一行再加到第二)2(λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-+----10021002125500101312λλλλλλ−−−−−−→−第二行与第三行互换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+------02125501002100101312λλλλλλ −−−−−−−−−−→−+-行上乘以第二行再加到第三)55(2λλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----------5521)4)(2)(1(001002100101312λλλλλλλλ =())()(λλQ B由题意知)4)(2)(1(---λλλ=0⇒11=λ,22=λ,43=λ ,此时方阵A 有3个特征单根,故方阵A 可以化为对角形;将11=λ代入)()(λλQ B 和中知)(λB 的第三行为零,由定理1知)(λQ 的第三行向量)1,1,1(-即为属于1λ的特征向量,同理可知)1,2,1(),1,0,1(-分别为属于32λλ和的特征向量.于是可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111T ,使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4211AT T .3.4.2 讨论对于有特征重根的n 阶方阵对于有特征重根的方阵,可以通过上述方法将其化为上三角形矩阵,接着再对上三角形矩阵施行一系列初等变换将其化为对角形矩阵,这样就避免了上三角形矩阵中非零行向量可能不构成行满秩的情形. 3.4.2.1基本定理定理2 设TT A E A -=λλ)(,则()())()()(λλλP D E A T −−−→−初等变换且)(λD 为对角形矩阵,则有)1对于A 的每个特征根i λ,)(i P λ中与)(i D λ的零行对应的行向量即为属于i λ的特征向量;)2设s λλλ ,,21为A 的所有不同的特征根,重数分别为s r r r ,,21,则A 可以化成对角形⇔)(i D λ中的零行数目等于i λ的重数),,2,1(s i r i =.由此我们不难得到对于有特征重根的方阵化为对角形方阵的简单步骤如下:)1作()()())()()()()(λλλλλP D Q B E A T −−−→−−−−→−初等变换行初等变换,其中))(),(),(()(21λλλλn d d d diag D =,则A 的特征根恰为0)()()(21=λλλn d d d 的根;)2若A 的特征根全在P 内,且每个i λ有)(i D λ中零行数目等于i λ的重数,则A 可以化为对角形方阵,否则A 不可以化为对角形方阵;)3对于每个特征根i λ,在)(i P λ中取出与)(i D λ中零行对应的行向量),,,(21im i i P P P 得A属于i λ的特征向量且都是线性无关的. 3.4.2.2 举例说明例18 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110111110)1A ; ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100112001)2B问方阵A 和B 是否可以化为对角形,若可以,试求出其对角化后的方阵.解 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=10011101011100101)()1λλλλE A T−−−−−−→−第一行与第三行互换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------00101010111100111λλλ−−−−−−−−→−-行上乘以第一行再加到第二)1(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0010111020100111λλλλ−−−−−−−→−行上乘以第一行再加到第三λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------λλλλλλλ0110110201001112 −−−−−−−−→−-二行上）乘以第三行再加到第（1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------λλλλλλλ011011110111122−−−−−−−−−→−-三行上）乘以第二行再加到第（1λ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++------------112)1(001111010*******λλλλλλλλλ−−−−−−−−−→−-列上乘以第二列再加到第三)(2λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++----------+--112)1(00111010100111222λλλλλλλλλ−−−−−−−−−−→−-+-列上乘以第一列再加到第三)1(2λλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++----------112)1(0011101010001122λλλλλλλ−−−−−−→−第二行加到第一行上⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++------------112)1(001110101100122λλλλλλλλ())()(λλP D =由题意知0)1(2=-λλ⇒01=λ,)(12二重=λ,因为)(2λD 中零行数目≠1等于2λ的重数,故A 不可以化为对角形方阵.)2 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=100110010010001021)(λλλλE A T2014届数学与应用数学专业毕业（论文）第 23 页 共 24页−−−−−−→−第二行与第三行互换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---010*********001021λλλ −−−−−−−−−→−+行上乘以第二行再加到第三)1(λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----1101001001100010212λλλλ −−−−−−−−−→−-列上乘以第二列再加到第三)1(λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----110100100010001)1(2212λλλλ −−−−−−−−→−-列上乘以第一列再加上第三)2(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---1101001000100010212λλλ −−−−−−−→−行上乘以第二行再加到第一2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---1101001000102010012λλλ())()(λλP D =. 由题意知0)1)(1(2=--λλ⇒)(11二重=λ,12-=λ,此时)(1λD 中零行数等于=21λ的重数,故B 可以化为对角形方阵;将11=λ代人)()(λλP D 和中知)(λD 的第一行和第三行为零,由定理2知)(λP 的第一行向量)2,0,1(和第三行向量)2,1,0(即为属于1λ的特征向量,同理可知)0,1,0(为属于2λ的特征向量.由此可知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=022110001T 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1111BT T .结 论通过以上对矩阵的学习,我们知道,想要在学习过程中灵活应用矩阵思想,首先要理解矩阵思想,在此基础上,遇到难解的数学问题,能发现矩阵是可以解决此类问题的关键,最后能正确无误的利用矩阵思想把数学问题得以解决.矩阵是代数特别是线性代数的一个主要研究对象,他对于研究矩阵的相关运算、解线性与非线性方程组、特征值和特征向量的求解方法、对角化及二次型矩阵、求解矩阵高次幂等重要问题都有极为广泛的应用.杨灿：矩阵及其应用参考文献[1]李志慧,李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].科学出版社,2008.205-211[2]王萼芳,石生明.高等代数（第三版）.高等教育出版社[3] 张禾瑞．高等代数（第五版）[M]．北京:高等教育出版社,2007[4] 吕林根,许道子．解析几何[M]．北京:高等教育出版社,2006[5] 许以超．线性代数与矩阵[M]．北京:高等教育出版社,1992[6] 李师正．高等代数解题方法与技巧［M］.北京:高等教育出版社,2004[7] 徐仲,张凯院,陆全,冷国伟．矩阵论简明教程［M］．北京:科学出版社,2005[8] 贾美娥．矩阵的秩与运算的关系［J］.赤峰学院学报,2010,26(9):3-4[9] 钟成义,肖宏儒．方阵秩与零特征值代数重数相关性探讨[J]．高等数学研究．2009,12(1):96-97[10] 史明仁. 线性代数600证明题详解[M]. 北京科学技术出版社.1985[11] 徐德余.高等代数（第二版）[M].四川大学出版社.2005:175-178[12] 丘维声. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996[13] 赵树嫄. 线性代数(第三版[M]). 北京: 中国人民大学出版社, 2006[14] 程云鹏.矩阵论[M].第二版.西安:西北工业大学出版社,2002[15] 赵树塬.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社,1997[16] 李君文.线性代数理论与解题方法[M].长沙 :湖南大学出版社,2002致谢从上学期选题、收集资料到这学期写开题报告,完成初稿,到定稿,期间几个月历经喜悦、聒噪、痛苦、彷徨,在写论文时心情如此复杂,到今天随着论文的完成,都落下了帷幕.在此论文撰写过程中,要特别感谢我的导师向以华老师的指导与督促,同时感谢他的谅解与包容.没有老师的帮助也就没有今天的这篇论文.求学历程是艰苦的,但又是快乐的．感谢我大学所有教过的老师,谢谢他们在这四年中的教诲．在这四年的学期中结识的各位生活和学习上的挚友让我得到了人生最大的一笔财富.在此,也对他们表示衷心感谢.本文参考了大量的文献资料,在此,向各学术界的前辈们致敬!第24页共24 页。
矩阵发展历史
矩阵发展历史矩阵是数学中的一个重要概念，它在各个学科领域都有广泛的应用。
矩阵的发展历史可以追溯到18世纪，随着数学和科学的发展，矩阵逐渐成为了解决复杂问题的强大工具。
本文将从矩阵的起源、发展、应用等方面详细介绍矩阵的发展历史。
1. 矩阵的起源矩阵的起源可以追溯到18世纪，当时数学家们开始研究线性方程组的解法。
在这个过程中，他们引入了矩阵的概念，用于表示线性方程组的系数和常数项。
最早提出矩阵概念的数学家是日本数学家关孝和。
2. 矩阵的发展19世纪，矩阵的概念逐渐得到了完善和发展。
数学家们开始研究矩阵的性质和运算规则。
其中，德国数学家凯莱布·耶格尔斯（Cayley）和英国数学家西尔维斯特（Sylvester）对矩阵的代数性质做出了重要贡献。
他们研究了矩阵的加法、乘法、逆矩阵等运算规则，并提出了矩阵的特征值和特征向量的概念。
20世纪初，矩阵理论得到了进一步的发展。
俄国数学家列昂季耶夫（Lyapunov）和美国数学家哈特曼（Hartman）等人研究了矩阵的稳定性和控制理论。
他们的研究为控制工程和系统科学的发展奠定了基础。
3. 矩阵的应用矩阵在各个学科领域都有广泛的应用。
在线性代数中，矩阵被用于解决线性方程组、求解特征值和特征向量等问题。
在物理学中，矩阵被用于描述量子力学中的态矢量和算符。
在计算机科学中，矩阵被用于图像处理、机器学习、人工智能等领域。
在经济学中，矩阵被用于描述输入产出模型和线性规划问题。
此外，矩阵还在统计学、生物学、工程学等领域都有重要的应用。
4. 矩阵的发展趋势随着科学技术的不断进步，矩阵的应用领域将进一步扩展。
例如，在量子计算和量子通信领域，矩阵的应用将变得更加重要。
另外，随着大数据时代的到来，矩阵在数据分析和机器学习中的应用也将得到进一步发展。
总结：矩阵作为数学中的一个重要概念，经历了数百年的发展和完善。
从最早的线性方程组解法到现在的各个学科领域的广泛应用，矩阵在科学研究和实际应用中发挥着重要作用。
重庆大学矩阵理论及其应用论文
“矩阵理论及其应用”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：蒋卫生姓名：学号:专业：机械电子工程类别：学术上课时间：2013 年10 月至2013 年12 月考生成绩：阅卷评语：阅卷教师(签名)最小二乘法问题摘要：无论在哪个专业领域，都不可避免的要面对测量所得到的一批数据。
这些数据看似杂乱无章，但对于特定的时间却是符合特定的规律。
而要发现这些规律必须借助一定的手段。
矩阵理论作为一门具有强大功能的学科再此发挥了它重要的作用。
用矩阵论的理论来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍了。
在工程技术中引进矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是不容质疑的，更由于计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了崭新的研究途径。
矩阵理论与方法已成为研究现代工程技术的数学基础。
因此，对于数据的处理采用最小二乘法是最恰当不过的了。
关键词：数据处理，矩阵理论，最小二乘法正文一、引言最小二乘法已有近200年的发展历史，它首先由Gauss K F提出并被应用于天文计算中，现已被广泛地用来解决各种技术问题。
在过去的30多年里，它已被成功地应用到过程控制系统的参数估计领域，数字计算机技术又使最小二乘原理更有实践价值。
参数估计现在模型结构已知时，用实验法所取得的数据来确定表征系统动力学模型中的参数。
最小二乘法原理提供了一个数学程序，通过它可以获得一个在最小方差意义下与实践数据拟合最好的模型，它在稳态系统数学模型的回归分析方面应用已很成熟，在动态系统的参数辨识方面也取得了许多重要成果，其参数估计的收敛性质也得到了深入的研究，可以说在参数估计领域中最小二乘方法已达到了完善的程度。
本文讨论的问题如下：一颗导弹从敌国发射，通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹，具体有如下数据：i0 1 2 3 4我国军情处分析得出该导弹沿抛物线轨道飞行。
问题：预测该导弹在什么水平距离着地。
二、预备知识基本术语解释从整体上考虑近似函数()p x 同所给数据点(),0,1,()i i i m x y = 误差()()0,1,i i i r p x y i m =-= 的大小，常用的方法有以下三种： ∞—范数：绝对值的最大值0max||i i m r ≤≤1—范数：误差绝对值的和m||i i r =∑2—范数(欧式范数)：误差平方和m20i i r =∑的算术平方根。
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矩阵思想的形成与发展本科论文目录1.前言 (1)2.早期行列式计算中孕育的矩阵思想........................................................................(2) 3.矩阵思想的形成 (2)3.1矩阵的基本思想 (3)3.2矩阵运算 (4)4.矩阵的发展 (7)4.1特征值与特征向量 (9)4.2标准形 (10)4.3方程组的解 (11)5.结论 (12)参考文献 (13)致谢 (14)摘要矩阵形式解方程组在中国古代数学著作《九章算术》中已相当成熟，但这部著作并没有建立起独立的矩阵理论，而仅把矩阵看作一种排列形式来解决实际问题。
矩阵在中国古代的萌芽，蕴含了丰富的矩阵算法与程序化等思想。
矩阵概念产生并发展于19世纪的欧洲，欧洲的社会环境与文化背景为矩阵的早期发展提供了适宜的舞台，一大批矩阵理论的奠基者做了大量的工作，使矩阵从零散的知识发展为系统完善的理论体系，为矩阵理论的形成与发展做出了重要的贡献。
从18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在求解线性方程组和行列形式来解决实际问题，本文通过对矩阵理论发展过程中的众多数学家工作的考察，揭示了矩阵思想从萌芽、早期发展到成熟以及进一步完善的全过程。
关键词：矩阵；矩阵发展；凯莱；矩阵思想AbstractThe matrix form solution of equations in Chinese ancient mathematics" arithmetic in nine sections" has been quite mature, but it hasn't established the independent matrix theory, and only the matrix as an arrangement to solve practical problems. Matrix in ancient China budding, contains rich matrix algorithm and programming ideas. Matrix concept originated from the nineteenth Century in Europe, the European social environment and cultural background for the matrix of early development to provide a suitable stage, a large number of matrix theory of the founders did much work, so that the matrix from a fragmented knowledge development for the system of perfect theory, matrixtheory's formation and the development has made important contribution. From the late eighteenth Century to the middle of the nineteenth Century, this kind of arrangement form in solving linear equations and the ranks of the form to the solution of practical problems, based on the matrix theory in the process of development of many mathematicians work study, reveals the idea of matrix from bud, early development to mature and perfect the whole process.Key words: Matrix; Matrix development ; Kailai; matrix theory1引言矩阵直接产生于线性方程组并运用于其求解，这方面的工作在我国最早出现在《九章算术》（公元前1世纪）中解方程组的“遍乘直除”法，这与19世纪高斯创立的“高斯消元法”的思想是一致的。
矩阵作为一个独立的概念是基于行列式的研究基础上，其基本性质在其概念产生之前就因为行列式的工作建立得很完善了。
从逻辑上看，矩阵概念是行列式的前概念，是行列式概念的一般推广，而历史的次序却正好相反。
行列式关注一个方阵所确定出来的一个值，而在很多问题中，并不需要确定这个方阵所确定的一个值，而是这个方阵本身的结构，并且方阵可以变成任意的nm 结构。
这样，行列式向矩阵推广就是很自然的了。
“矩阵”这个名词是西尔维斯特给出的(1850)，不过他仅仅是把矩阵用于表达一个行列式。
把矩阵作为一个独立的对象进行研究，最早的是凯莱。
同样，最初他也是把矩阵作为行列式的推广或者作为线性方程组的表达工具。
不过，在《矩阵论的研究报告》（1855）中就开始把矩阵作为一个独立研究对象。
他从基本的概念开始，定义矩阵的加法、乘法（包括数乘）、矩阵的逆、转置矩阵、方阵的特征方程和特征根（这一术语最早是柯西给出的，见“行列式的发展”）等。
特征方程和特征根的工作被哈密顿、弗罗贝尼乌斯（F.G.Frobenius，1849——1917）等数学家推广了。
矩阵的秩概念是弗罗贝尼乌斯提出的（1896），不变因子和初等因子是从西尔维斯特和魏尔斯特拉斯的工作中产生的，并被弗罗贝尼乌斯用于矩阵中，进一步合乎逻辑地系统化了不变因子和初等因子在矩阵中的理论（1878）。
正交矩阵被赫尔默特（F.R.Helmert，1843——1917）和弗罗贝尼乌斯研究，并引起很多注意。
从魏尔斯特拉斯的行列式工作（1868）中可以直接导出相似矩阵的概念及其性质。
相似矩阵和特征方程的关系被若尔当（M.E.C.Jordan，1838——1922）拓展了，而弗罗贝尼乌斯则用逆变换处理相似变换，并给出合同矩阵概念。
梅茨勒（W.H.Metaler，1863——?）引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式（1892）。
矩阵用来表示二次型和双线性密切关系。
凯莱提出了把超复数当作矩阵来看待的思想。
行列式和矩阵被推广到了无限阶，并与傅里叶级数相联系，这方面的工作在后来的积分方程理论中展示了广泛的天地。
把矩阵和行列式的元素从整数到实数，再到复数是的另一个方向的推广，不过矩阵的性质还与元素的性质相联系，20世纪对矩阵的研究已经完全将元素置于一般的抽象域，并在物理学中发挥了重要作用。
2早期行列式计算中孕育的矩阵思想从数学史看，优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙。
行列式与矩阵的发明就属于这和情形。
行列式出现于线性方程组的求解。
它的名称最先由柯西使用。
现在的两条竖线记法是由凯莱最先给出的（1841）。
柯西给出行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理，得到行列式的乘法定理ijij ijc b a=⋅，其中ija 和ijb代表n 阶行列式，而∑=kkj ik ijb ac ，即在乘积的第i 行第j 列的项是ija 的第i 行和ijb 的第j 列的对应元素和乘积之和。
柯西还改进了拉普拉斯行列式展开定理，并给了一个证明。
行列式理论的另一发展者是英国数学家西尔威斯特（J.J.Sylvester ，1814——1897）。
他改进了从一个n 次的和一个m 次的多项式中消去x 的方法，引入了初等因子概念，还对矩阵理论有所创见。
最先讨论函数行列式的是雅可比。
他于1841年给出函数行列式的求导公式∑=∂∂=∂∂ji ij ij ij ij a A t D A a D ,',其中ija 是t 的函数，ijA 是ija 的余子式，D 是行列式。
他还将行列式应用到多重积分的变数替换中，得出某些结果。
矩阵一词是西尔威斯特于1850年首先使用的，但矩阵理论早已见诸于各种数学论著。
中国古代《九章算术》中的方程组解法实质上就是一种南增广矩阵的运算。
在行列式的研究中也涉及一些矩阵方法。
不过，将矩阵作为一个数学对象来研究是由凯莱开始的，他被认为是矩阵论的创立者。
1855年凯莱引进矩阵以化简线性变换的记号，给出一些基本概念。
1858年他双定义了零矩阵、矩阵的和与积等概念，讨论了特征方程与特征值，得到与特征方程有关的凯莱-哈密顿定理等。
弗罗贝尼乌斯于1879年引入了矩阵的秩的概念，还于1878年将行列式中的不变因子和初等因子理论。
同时他使用了正交矩阵一词，证明了：如果S表示一对称矩阵，T表示一斜对称矩阵，则正交矩阵总能写成(T/()I+-。
他的论述还涉及TIS/())(TS+T-的形式，或简记为)矩阵的相似变换，合同矩阵或同步矩阵的概念等。
现代行列式与矩阵的研究从形式上已推广到无限阶，从内容上已有属于抽象域的元素的矩阵，这些理论都在继续发展之中。
3矩阵思想的形成矩阵思想其实很早就有了，至少可以追溯到汉代中国学者在解线性方程时的应用，《九章算术》中有许多例子，我们举一例。
例1 今有五羊、四犬、三鸡、二兔，直钱一千四百九十六；四羊、二犬、六鸡、三兔，直钱一千一百七十五；三羊、一犬、七鸡、五兔，直钱九百五十八；二羊、三犬、五鸡、一兔，直钱八百六十一。
问羊、犬、鸡、兔价各几何？答曰：羊价一百七十七；犬价一百二十一；鸡价二十三；兔价二十九。
术曰：如方程，以正负术入之。
861958117514961532576331242345用左列第一行数遍乘行中各数，由所得新数减去右列适当倍数，以消去头数为止。
同样的方法消去右边各列头数。
然后消去第二行数，如此下去求得兔价。
其实和今天列方程解是一样的。
今解：设羊、狗、鸡、兔每只钱各为x 、y 、z 、u ，则依据题设条件列方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++8615329585731175362414962345u z y x u z y x u z y x u z y x得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====2923121177u z y x在18世纪或者更早些时候，数的方阵的行列式已被计算和使用了通常是在解线性方程组时使用。
尽管在当时阵列本身并没有单独引起注意。
19世纪的其他工作导致阵列更加形式的计算，并在19世纪中叶导致了矩阵概念的定义以及矩阵代数的发展。
除了这些形式化的工作，还有矩阵论发展中深刻的一面，即从高斯二次型的研究中发展出来的成果，并最终引起了相似、对角化和标准型的矩阵分类。