历届高考中的导数试题精选
y=xf '(x)
-1
11
-1
o
y x
1．（2004湖北理科）函数1)(3
++=x ax x f 有极值的充要条件是（ ） （A ）0>a （B ）0≥a (C)0 2.（2007全国Ⅱ理）已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为2 1 ,则切点的横坐标为（ ） （A ）3 (B) 2 (C) 1 (D) 1 2 3.(2005湖南理)设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′ (x)，n ∈N ， 则f 2005(x)＝（ ） A 、sinx B 、－sinx Ccos x D 、－cosx 4.(2008广东理)设R a ∈，若函数x e y ax 3+=，R x ∈有大于零的极值点，则（ ） A ．3->a B. 3-a D. 3 1 - 5．(2001江西、山西、天津理科)函数3 31x x y -+=有（ ） （A ）极小值－1，极大值1 （B ）极小值－2，极大值3 （C ）极小值－2，极大值2 (D)极小值－1，极大值3 6．（2004湖南理科）设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时, )()()()(x g x f x g x f '+'＞0.且()03g =-，.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ） (A) ),3()0,3(+∞?- （B ）)3,0()0,3(?- （C ）),3()3,(+∞?--∞ (D))3,0()3,(?--∞ 7.(2007海南、宁夏理)曲线12 e x y =在点2 (4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ． 29e 2 Ｂ．2 4e Ｃ．2 2e D .2 e 8. (2008湖北理)若f(x)=2 1ln(2)2 x b x - ++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞）Ｃ.(]1,-∞- D.（-∞，-1） 9．（2005江西理科）已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示（其中)(x f '是函数))(的导函数x f ，下面四个图 象中)(x f y =的图象大致是 （ ） 31-2 1-1 22-2o y x 1 -2 1-122o y x 4 2 1 -2 o y x 42 2 -2 o y x A B Ｃ D 10.（2000江西、天津理科）右图中阴影部分的面积是（ ） （A ）32 （B ）329- (C)332 （D ）3 35 二、填空题：(每小题5分,计20分) 11.（2007湖北文）已知函数)(x f y =的图象在M （1，f （1））处的切线方程是x y 2 1 = +2， f(1)—f ’(1)=______________. 12．（2007湖南理）函数3 ()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是 ． 13.(2008全国Ⅱ卷理)设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = _____ ． 14．（2006湖北文）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则)r (2 ' ?π＝2πr ○ 1， ○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○ 1的式子： ○2 ○2式可以用语言叙述为： 。 三、解答题：(15,16小题各12分,其余各小题各14分) 15.(2004重庆文)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系 式为：2 1242005 p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）。问该产每月生产多少吨产品才能使利 润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本） 16.(2008重庆文) 设函数32 ()91(0).f x x ax x a =+--p 若曲线y =f (x )的斜率最小的切线与 直线12x +y =6平行，求： （Ⅰ）a 的值; （Ⅱ）函数f (x )的单调区间. 17．(2008全国Ⅰ卷文、理)已知函数3 2 ()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??-- ??? ， 内是减函数，求a 的取值范围． 18．（2004浙江理）设曲线x e y x (-=≥0）在点M （t, t -e ）处的切线l 与x 轴y 轴所围成的三角形面积为S （t ）。 （Ⅰ）求切线l 的方程； （Ⅱ）求S （t ）的最大值。 19．(2007海南、宁夏文)设函数2 ()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）求()f x 在区间3144??-???? ，的最大值和最小值． 20..(2007安徽理)设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）. （Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1. 1—10CACBD DDCCC 11. 3 ； 12．16-； 13. 2 ； 14. 2 3R 4R 34ππ=' ?? ? ??,球的体积函数的导数等于球的表面积函数 15. 解：每月生产x 吨时的利润为)20050000()5 124200()(2 x x x x f +--= ). (200,2000240005 3)() 0(50000240005 1 212 3舍去解得由-===+-='≥-+-=x x x x f x x x 0)(200),0[)(='=+∞x f x x f 使内只有一个点在因，故它就是最大值点，且最大值为： )(31500005000020024000)200(5 1 )200(3元=-?+-=f 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 16. 解：(Ⅰ)因为2 2 ()91f x x ax x =+--, 所以2 ()329f x x ax '=+-2 23()9.33 a a x =--- 即当2 ()9.33 a a x f x '=--- 时，取得最小值 因斜率最小的切线与126x y +=平行，即该切线的斜率为-12， 所以2 2912,9.3 a a --=-=即 解得3,0, 3.a a a =±<=-由题设所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)知32 3,()391,a f x x x x =-=---因此 212()3693(3(1)()0,1, 3. (,1)()0,()(1(1,3)()0,()13()0,()3. ()(,13f x x x x x f x x x x f x f x x f x f x f x f x f x '=--=-+'==-='∈-∞->-∞-'∈-<-'∈∞>+∞-∞-+∞令解得：当时，故在，）上为增函数；当时，故在（，）上为减函数； 当x (3,+)时，故在（，）上为增函数由此可见，函数的单调递增区间为）和（，）； 单调递减区13. -间为（，） 17．解：（1）32()1f x x ax x =+++ 求导：2 ()321f x x ax '=++ 当2 3a ≤时，0?≤，()0f x '≥, ()f x 在R 上递增 当2 3a >，()0f x '= 求得两根为x =即()f x 在?-∞ ??递增 , ?? 递减 , ? +∞???? 递增 （2）要使f(x)在在区间2133??-- ???， 内是减函数，当且仅当，0)(<'x f 在2 133?? -- ??? ，恒成立， 由)(x f '的图像可知，只需??? ????≤??? ??-'≤??? ??-'031032f f ，即???????≤-≤-0 323403 437a a , 解得。a ≥2。 所以，a 的取值范围[)+∞,2。 18.解：（Ⅰ）因为,)()(x x e e x f ---='=' 所以切线l 的斜率为,t --e 故切线l 的方程为).(t x e e y t t --=---即0)1(=+-+--t e y x e t t 。 （Ⅱ）令y= 0得x=t+1, x=0得)1(+=-t e y t 所以S （t ）=)1()1(21+?+-t e t t =t e t -+2)1(2 1 从而).1)(1(2 1)(t t e t S t +-='- ∵当∈t （0，1）时，)(t S '>0, 当∈t （1,+∞）时,)(t S '<0, 所以S(t)的最大值为S(1)=e 2 。 19．解：()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞． （Ⅰ）224622(21)(1) ()2232323 x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当1 2 x >-时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间312??-- ???， ，12??-+ ???，∞单调增加，在区间112? ?-- ???，单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144??-????，的最小值为11ln 224f ?? -=+ ??? ． 又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ???? ??--=+--=+=- ? ? ????? ??0<． 所以()f x 在区间3144??-???? ，的最大值为11 7ln 4162f ??= + ???． 20.（Ⅰ）解：根据求导法则得.0,2In 21)(φx x a x x x f +- =' 故,0,2In 2)()(φx a x x x xf x F +-='= 于是.0,2 21)(φx x x x x F -=-=' x (0,2) 2 (2,+∞) F ′（x ） - 0 + F(x) ↓ 极小值F （2） ↑ （2）＝2-2In2+2a . （Ⅱ）证明：由.022In 22)2()(0φa F x F a +-=≥的极小值知， 于是由上表知，对一切.0)()(),,0(φx xf x F x '=+∞∈恒有 从而当.,0)(,0)(0）内单调增加在（故时，恒有+∞'x f x f x φφ 所以当.0In 2In 1,0)1()(12 φφφx a x x f x f x +--=即时， 故当.1In 2In 12 +-x a x x x φφ时，恒有