专题：三角形的有关计算与证明

专题：三角形的有关计算与证明

三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系.

例如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB 交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF ＝∠CBG.

求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.

【思路点拨】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；

(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF=BG，则只要证明BG=2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE，故证明DG=BG即可.

【解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.

∴∠BCG＝∠CAB＝45°.

又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，

∴△ACF≌△CBG(ASA),

∴CF＝BG，AF＝CG.

(2)延长CG交AB于点H.

∵AC＝BC，CG平分∠ACB，

∴CH⊥AB，H为AB中点.

又∵AD⊥AB，∴CH∥AD,

∴G为BD中点，∠D＝∠EGC.

∵E为AC中点，∴AE＝EC.

又∵∠AED＝∠CEG，

∴△AED≌△CEG(AAS),

∴DE＝EG,∴DG＝2DE,∴BG＝DG＝2DE.

由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.

方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解.

1.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.

(1)求证：△AOE≌△COD；

(2)若∠OCD=30°，AB=3,求△AOC的面积.

2.如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′.写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程.

3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E，F为BC中点，BE 与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE.

(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；

(2)求证：BG2-GE2=EA2.

4.在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED.

(1)当BE=AE时，求证：BD=AE；

(2)当BE≠AE时，“BD=AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出BD与AE数量关系式，若你认为成立，请给予证明.

5.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC 于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.

(1)求证：BE=CF；

(2)在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.

求证：①ME⊥BC；②DE=DN.

参考答案

1.(1)证明：由折叠的性质可得：AE ＝AB,∠E ＝∠B ＝90°.

∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB,∠D ＝90°.

∴AE ＝CD ，∠E ＝∠D ＝90°.

在△AOE 和△COD 中，

,,

,AOE COD E D AE CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩

＝＝＝ ∴△AOE ≌△COD(AAS).

(2)在Rt △OCD 中，∠OCD ＝30°，∴OC=2OD.

∵AB ＝CD

OD 2+CD 2=OC 2，

∴OD 2

2=4OD 2,解得OD ＝1.

∴OC ＝2.

由折叠知：∠BCA ＝∠ACO.

∵AD ∥BC ，∴∠OAC ＝∠BCA ，

∴∠OAC ＝∠ACO ，∴OA ＝OC ＝2，

∴S △AOC=12·OA ·CD=12

×2

2.图中的所有的等腰三角形有：△DCC ′，△DAC ′，△ABC ′，△BCC ′，理由如下： ∵正方形ABCD ，

∴CD=AD=AB=BC ，

∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°.

∵边DC 绕D 点顺时针旋转30°到DC ′处，

∴DC ′=DC=AD=AB ，

∠DCC ′=∠DC ′C=12

(180°-30°)=75°， 即△DCC ′是等腰三角形.

∵∠ADC=90°，∠CDC ′=30°，∴∠ADC ′=60°.

∵DC ′=AD ，∴△DAC ′为等边三角形.

∴AC ′=AD=AB ，∠DAC ′=∠DC ′A=60°,

∴△ABC ′为等腰三角形，∠BAC ′=90°-60°=30°,

∴∠ABC ′=∠AC ′B=12

(180°-30°)= 75°, ∴∠C ′BC=90°-75°=15°，

∠C ′CB=90°-75°=15°,

∴∠C ′BC=∠C ′CB,

∴△BCC′是等腰三角形.

3.(1)BH=AC.

证明：∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°,

∠ABC=45°,

∴∠BCD=45°=∠ABC,∴DB=DC.

又∵∠BHD=∠CHE,∴∠DBH=∠DCA.

∴△DBH≌△DCA,∴BH=AC.

(2)证明：连接GC.则GC2-GE2=EC2.

∵F为BC中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC,

∴BG=GC.

∴BG2-GE2=EC2.

∵∠ABE=∠CBE,∠CEB=∠AEB,BE=BE,

∴△BCE≌△BAE.

∴EC=EA,

∴BG2-GE2=EA2.

4.(1)证明：如图1，在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°.∵BE=AE，∴∠ACE=∠ECB=30°.

又∵CE=DE，∴∠D=∠ECD=30°.

∴∠DEB=30°，∴BE=BD，∴BD=AE.

(2)BD=AE还成立.

证明：如图2，过点E作EF∥AC交BC于F，

易证△EFB为等边三角形，

∴EF=FB=BE.∴∠EFB=∠EBF.

∴∠CFE=∠EBD.

∵CE=DE，∴∠ECD=∠D.

∴△ECF≌△EDB，∴CF=BD.

∵AB=BC，AB-BE=BC-BF，即AE=CF.

∴AE=BD.

5.证明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°.