孙子定理的发展应用
孙子定理解同余方程组
孙子定理解同余方程组（最新版）目录1.同余方程组的概念及孙子定理的背景2.孙子定理的概述3.同余方程组的求解方法4.中国剩余定理的证明5.孙子定理的应用及意义正文一、同余方程组的概念及孙子定理的背景同余方程组是数论中的一个重要概念，它是指一组包含多个同余方程的方程组。
例如，"物不知数"问题就是一道典型的同余方程组问题。
中国古代数学家孙子在《孙子算经》中提出了著名的"物不知数"问题，从而引出了同余方程组和孙子定理的研究。
二、孙子定理的概述孙子定理，又称中国剩余定理，是数论中的一个重要定理。
它是指对于一个同余方程组，如果其中某一个方程的解已知，则可以求出其他所有方程的解。
这个定理在我国古代数学中被誉为"孙子定理"，是中国古代数学的一项重要成果。
三、同余方程组的求解方法同余方程组的求解方法主要有两种，一种是基于孙子定理的解法，另一种是基于代数的解法。
基于孙子定理的解法是先求出其中一个方程的解，然后利用孙子定理求出其他方程的解。
而基于代数的解法则是利用代数的方法，通过一系列的运算和推导，求出同余方程组的解。
四、中国剩余定理的证明中国剩余定理的证明是基于数学归纳法的。
首先，对于一个简单的同余方程组，可以通过直接求解得到它的解。
然后，假设对于任意的 n-1 个同余方程，都可以通过孙子定理求出它的解，接下来需要证明当有 n 个同余方程时，也可以通过孙子定理求出它的解。
五、孙子定理的应用及意义孙子定理在数学中有着广泛的应用，它不仅被用于解决同余方程组问题，还被用于解决代数方程组、数论问题等领域。
2 孙子定理
§2 孙子定理孙子定理是数论中的一个重要定理，在数论中的应用非常广泛。
孙子定理给出了在一定条件下同余式组()()()1122mod ,mod ,,mod .k k x b m x b m x b m ≡≡≡ （1）的解的个数，以及求解的方法。
在公元四、五世纪的《孙子算经》中的“物不知数”问题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”答案为：“23”。
这个问题也就是求解同余式组()()()2mod3,3mod5,2mod7.x x x ≡≡≡明朝程大位根据孙子算经里所用的方法用歌谣给出了该题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。
”即解为()27032121523323mod105.x ≡⨯+⨯+⨯≡≡在西方，与《孙子算经》同类的算法，最早见于1202年意大利数学家斐波那契的《算经》。
1801年，德国数学家高斯的《算术探究》中，才明确写出了这一问题的求法。
把孙子算经给出的结果加以推广，就得到了如下定理。
定理1（孙子定理）设12,,,k m m m 是k 个两两互质的正整数，12,,1,2,,,k i i m m m m m m M i k ===则同余式组（1）的解是()111222mod ,k k k x M M b M M b M M b m '''≡+++ （2）其中()1mod ,1,2,,.i i i M M m i k '≡=证 因12,,,k m m m 两两互质，故(),1,1,2,,i i M m i k ==于是，对每一个i M ，必有整数i M '使得()1mod .i i i M M m '≡另外，因,,i j m m i j ≠故()1mod ,1,2,,.kjjji i i i i j M M bM M b b m i k =''≡≡=∑即（2）为（1）的解。
4.2 孙子定理
1 mod 2 的一个整数c5 1, 则 373065c5 70468 443533. 易知373065 2 746130.，故由补充定理得，所给同余式 组的解为x 443533 mod746130 .
习题
1.试解下列各题：
（ⅰ）十一数之余三，七二数之余一，十三数之余一，
1பைடு நூலகம்
数M1.因462 5 92 2,5 2 2 1,2 1 2, 故 1 5 2 2 5 462 5 92 2 462 2 5 185,
于是
462 2 5 185,462 2 1 mod5 ,462 3 1 mod5 . 取M1 3. 因385 6 64 1, 故385 1 1 mod6 .取M 1.
的k 1个整数. 例3 解同余式组 x 1 mod 2 , x 1 mod 7 , x 2 mod11 , x 2 mod15 , x 3 mod17 , x 3 mod19 .
5
x通过m个整数.下面证明这m个整数对模m两两不同余.若 M M b M M b M M b
1 1 1 2 2 2 k k k
M1M1b1 M 2M 2b2
M kM k bk mod m ,
其中M i , M i都是bi所通过的模mi的完全剩余系中的数，i 1, 2, , k，则M M b M M b mod m , i 1,2, , k.
解 因2,7,11,15,17,19两两互质，故可以用补充定理来解 该同余式组.为方便，我们把同余式组（5）改写为 x 3 mod19 , x 3 mod17 , x 2 mod15 , 6 x 2 mod11 , x 1 mod 7 , x 1 mod 2 .
孙子定理
《孙子定理》及对它的推广我国古代数学名著《孙子算经》中记有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 这就是千百年来在数学界甚至在民间广泛流传的“物不知数”问题，也称为“孙子问题”。
该问题书中不但给出了答案，并且记述了解法，其解法经历代中国数学家的研究推广，就形成了通常所说的《孙子定理》（外国称中国剩余定理）。
此定理用现代数学语言叙述，一般都用数论中的同余理论，但从研究的问题类型上看，用“带余除法算式”（指：被除数=除数×商数+余数）表述更为自然易懂，因此，《孙子定理》也可叙述为：设m 1,m 2,...,m k 是k 个两两互质的正整数（k ≥2）;b 1,b 2,...,b k , 为任意整数，得方程组：显然，应用《孙子定理》关键是先要求出F i 的值，由（2）式x=m 1y 1+b 1x=m 2y 2+b … x=m k y k +b k 取M==Ki 1i 整数F i 满足：F i M i =m i q i +1（q i 为整数），i=1，2,...k (2)如果i i Ki i b M F ∑=1=Mq+r （q,r 均为整数，0＜r ＜M ），则方程组（1）的解 x=r+nM （n 取任意整数）可知，因M i与m i互质，根据两数最大公约数的性质可知，存在整数F i和q i满足（2）式，并且能求出这两个值（在应用定理时只需要F i的值）求（2）式中F i的值一般情况可以分两步：1.首先利用辗转相除的思路对（2）式中M i与m i辗转相除，因M i与m i互质故必有余数是+1或-1。
2.当得到余数+1或-1时，再由辗转相除的等式，结合（2）是求出F i的值。
例如，求整数F满足：〈1〉19F=7q+1, 〈2〉3F=11q+1解：〈1〉对19与7辗转相除；因为19=7×2＋5(第一个余数是5)7=5×1+2(第二个余数是2)5=2×2+1(第三个余数是1)所以，1=5-2×2=5-(7-5×1)×2=5×3–7×2=(19–7×2)×3–7×2=19×3–7×8即: 19×3=7×8+1故，F=3〈2〉因为11=3×4–1(余数是-1)所以3×4=11×1+1故F=4注意:对（2)式中M i与m i辗转相除，当第一个余数不是(+1)或(-1)时，可先将(2)化为与其等价的(M i-m i t)F i=m i Ri+1式中t取适当整数，使得（M i-m i t）的绝对值与m i辗转相除尽快得到余数是（+1）或(-1)。
孙子定理的探讨与应用
孙子定理的探讨与应用尹国成;石函早;叶扩会【摘要】阐述了孙子定理的证明,对孙子定理问题的几种解法,不定方程解法、同余解法、周期序列解法、孙子定理解答进行比较;探讨了孙子定理的常见应用,在古典问题、数学奥林匹克、初等数学、公务员考试、生活中等诸多方面都适用.【期刊名称】《保山学院学报》【年(卷),期】2015(034)002【总页数】4页(P61-64)【关键词】孙子定理;证明;解法;应用【作者】尹国成;石函早;叶扩会【作者单位】保山学院数学学院,云南保山678000;保山学院数学学院,云南保山678000;保山学院数学学院,云南保山678000【正文语种】中文【中图分类】O13孙子定理源于我国古代《孙子算经》，其中有一题：“今有物不知其数,三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”“答曰二十三”。
对于答案的求法书中做出了如下的叙述：“术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三；以二百一十减之即得。
”上述问题用同余式来表示，就是《孙子算经》中给出最小正整数解23，解法传至今世，“孙子定理”又称“中国剩余定理”。
它是初等数论中重要定理之一，在代数学和计算机领域中也有重要应用。
本文主要讨论孙子定理的解法以及应用。
[1]P48～53孙子定理：设n≥2,m1,m2,…,mn是n个两两互质的正整数，令则同余式组x≡b1(modm1),x≡b2(modm2)…,x≡bn(modmn)的解是其中是满足的一个整数。
问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”3.1 同余式组解法3.2 不定方程解法3.3 周期序列解法给定两个周期序列：{an}:1,2…,T1,1,2,…,T1,…;{bn}:1,2,…,T2,1,2,…,T2,…;通过{an}、{bn}构造序列{（an，bn）}:(1,1),(2,2)…,(T1,T2),(1,1),…。
孙子定理的推广及应用
孙子定理的推广及应用
子定理推广和应用
子定理是孟子所著《孟子》中所阐述的一种哲学理念，即“性情决定个性”，
它强调人类本身的性格至关重要，它也被认为是我国古代哲学思想的一个核心理论。
自古以来，孟子定理一直受到众多著名学者和知名人士的广泛关注，并且有着深远的影响力。
实际上，孟子定理已经在日常生活中得到了不少推广和应用。
首先，我们可以
把它用来引导教育。
事实上，通过引入孟子定理，孩子的性格可以在更大程度上发挥作用，而不是把它们压抑下去。
事实上，这种性格可以帮助孩子们发现自己真正的内在特质，培养起正确的思想观念、正确的世界观和正确的生活习惯，从而获得更好的发展和进步。
此外，孟子定理也在职场中得到了很大的普及和应用。
事实上，当许多企业都
在职场中时，孟子定理可以帮助他们了解自己的特质和能力，从而明确他们的特长和不足。
同时，孟子定理也可以帮助企业了解员工的能力和潜力，最大限度地发挥员工的价值，从而提升企业的效率和效能。
总之，孟子定理通过解读人类本身的性格及其特质等内容有力地推动了现代教
育和职场发展，也为人类社会发展提供了重要的理论支持。
孙子定理的探讨与应用
孙子定理的探讨与应用
孙子定理又叫孙子康复定理，是由中国古代数学家孙子的《九章算术》中提出来的一条定理，也是中国古代数学的标志性理论，孙子定理是“水平分割叉形”的形象表示，说明“三角形端点相接时，最大边的长度平方等于左右两条斜边的平方和”。
孙子定理有着极强的实用性，被广泛用于早期测量距离和计算面积等日常工作中。
比如在鱼雷发射计算时，海军司令部可以以此定理计算出发射和收回路径的最短路程，从而使得鱼雷的使用更加有效。
在登山或做飞机模型玩具时，人们可以用孙子定理来计算出最合适的几何形状，从而使得整个结构更加牢固。
除此之外，孙子定理还在日常教学中发挥作用。
学生们可以通过实际操作来学习孙子定理，比如可以利用纸片切割出叉形，然后通过相接三角形端点来验证孙子定理是否正确。
另外，学生们也可以利用信息技术来帮助计算，从而更好地理解孙子定理的实质及其应用。
总之，孙子定理有着深远的历史也是备受尊敬的一项定理，但孙子定理不仅仅是一个历史纪念，它仍在日常生活中发挥重要作用，并且有着更新现代应用。
中国剩余定理
中国剩余定理一般指孙子定理。
孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国余数定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一
元线性同余方程组：
有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
设
是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设
是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。
设为模的数论倒数
(
为模意义下的逆元)
方程组的通解形式为
在模的意义下，方程组只有一个解：
证明：
从假设可知，对任何，由于
，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数。
考察乘积可知：
所以
满足：
这说明就是方程组的一个解。
另外，假设和都是方程组的解，那么：
而两两互质，这说明整除. 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍。
而另一方面，是一个解，同时所有形式
为：的整数也是方程组的解。
所以方程组所有的解的集合就是：。
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孙子定理的发展应用
孙子定理又称中国剩余定理，是数论中非常重要的定理，是学习数论和近世代数的基础。
据此，论述了孙子定理的发展及其在赋值理论和密码学等方面的应用，给出了简单的证明。
标签：中国剩余定理；发展；应用
doi：10.19311/ki.16723198.2017.30.074
孙子定理又被称为中国剩余定理，是数论中的重要定理，在中国数学史上具有相当高的地位。
孙子定理给出了求解同余方程的一般方法，剩余问题在数论和近世代数中都有广泛的应用。
1孙子定理的发展
我国古代就流传着许多传说，譬如“隔墙算”、“剪管术”、“物不知其数”、“韩信点兵”、“鬼谷算”等。
古代人民口口相传中的这些传说在现在看来就是一些趣味十足的数字游戏，它们的文字描述不尽相同，但所表达的数学意义是一致的，它们从不同的方面为我们列举出了“剩余问题”的解法。
这在我国古代的数学史上的影响非常大，孫子定理在密码学、多项式、赋值理论等方面也被广泛应用。
《孙子算经》是最早记录这类算法的书，十三世纪后期，数学家秦九韶在这方面取得了重大突破，他发现了一种新的算法，命名为“大衍求一术”。
古代流传着一首歌诀：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二”。
问物几何？歌诀的意思是：有批物品，三个为一组的数，剩余两个；五个为一组的数，剩余三个；七个为一组的数，剩余两个。
问这批物品有多少？我们将这首歌诀称为“物不知数”问题。
明代数学家程大位在《算法统宗》中如此描述：“三人同行七十稀，五树梅花廿一，七子团圆月正半，除百零五便得知”。
意为：把用3除所得的余数乘以
70，加上用5除所得的余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘以15，如果所得的数大于105，就减去105的倍数，即得所求的数。
用数学表达式解释为：2×7+3×21+2×15=233，233-105×2=23。
这是早期给出的同余方程组的解法。
下面介绍孙子定理的内容。
3孙子定理的应用
3.1余同加余
一个数除以不同的数得到了一样的余数。
我们就能够知道这个数等于这几个除数的最小公倍数的整倍数加上它们一样的余数。
这种方法被称为余同加余。
例3三位的自然数，用它除以6余3，除以5余3，除以4余3。
则满足条件的自然数有几个？
分析此题可用孙子定理给出的解法来求解。
解4、5、6的最小公倍数是60，能够得到N=60n+3，已知N是个三位数，这里的n是整数。
即n的取值范围为2到16，因此能够取得的数共有15个。
3.2合同加和
一个数除以不同的数得到的余数不同，但每个式子中的除数与余数之和相同，那么这个数即为除数的最小公倍数的整数倍加上余数与除数之和。
这种方法称为和同加和。
例4新学期即将来临，学校需要为新生安排宿舍，高一年级共有女生若干人，如果将女生全部安排住进七人间，则会剩下两个人住在一个宿舍里；如果将这女生全部安排住进六人间，则会剩下三个人住在一个宿舍里；如果将女生全部安排住进五人间，则会剩下四个人住在一个宿舍里。
试问这个年级总共有多少名女生？
分析从题中我们可以获得的信息有：余数与除数的和一样都是9，采取和同加和原理。
解7、5、6的最小公倍数是210，我们可以总结出的表达式为210n+9，通过计算可以得知本年级的女生人数为219人。
3.3差同减差
一个数除以不同的数得到的余数不同，但是每个式子中除数减去余数的差相同每个式子除数减余数的差相同，那么这个数即为除数的最小公倍数的整数倍再减去除数与余数之差。
这种方法称为差同减差。
例5某语文老师让学生写生字，生字总量在一百到一百五之间，小明按照每行写四个生字，最后一行只写了三个生字。
小红按照每行写五个生字，最后一行只写了四个生字。
小王按照每行写六个生字，最后一行只写了五个生字。
试求老师总共布置了多少个生字？
分析通过读题我们能够得到下面这些信息：每位学生最后一行与前面每一行只相差一个单词，能够直接用差同减差。
解4，、5、6的最小公倍数是120，生字总数就可以表示为120n-1，题目限定生字总量在一百到一百五之间，可知老师总共布置了119个生字。
在上面的三类问题中都涉及了孙子定理的数学思想。
3.4孙子定理的密码学方面的应用
随着社会经济的发展和计算机网络的普及，人们的生活更加依赖于数字化的信息技术，依赖于为信息安全提供保障的密码学。
孙子定理是数论中的一个基本定理，在现代密码学的研究中有着重要的作用，在公钥加密、秘密共享、数字签名等领域都有着重要应用。
参考文献
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