孙子定理
中国剩余定理(孙子定理)
中国剩余定理（孙子定理）问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？简单点说就是，存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数。
上面给出了解法。
再明白这个解法的原理之前，需要先知道一下两个定理。
定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。
以上两个定理随便个例子即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最小公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数）35+63+30=1284、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下）x=128-105=23那么满足题意得最小的数就是23了。
一共有四个步骤。
下面详细解释每一步的原因。
（1）最小公倍数就不解释了，跳过（记住，这里讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，比如第一个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最小公倍数。
相当于找到了最小的起始值，用它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最小公倍数，但是不能被5整除，用21除以5得到的余数是1，而要求的数除以5应该是余1的。
中国剩余定理（孙子定理）详解
中国剩余定理（孙⼦定理）详解问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。
上⾯给出了解法。
再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：两个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。
⼀共有四个步骤。
下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。
相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。
中国剩余定理
中国剩余定理
孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国余数定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。
明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：
三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知
这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。
意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后除以105（或者105的倍数），得到的余数就是答案。
比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23。
孙子定理公式
孙子定理公式孙子定理，又称中国剩余定理，这可是数学世界里一颗璀璨的明珠！咱先来说说啥是孙子定理。
简单来讲，就是在解决一类同余式组问题时的超级神器。
比如说，有一堆东西，除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，问这堆东西最少有多少？这时候孙子定理就派上用场啦。
那孙子定理的公式是啥样呢？咱来瞧瞧。
设 m1, m2,..., mk 是两两互质的正整数，M = m1 × m2 ×... × mk，Mi = M / mi ，ti 是满足Mi × ti ≡1 (mod mi) 的整数，则同余式组x ≡ a1 (mod m1) ，x ≡ a2 (modm2) ，... ，x ≡ ak (mod mk) 的解为x ≡ a1 × M1 × t1 + a2 × M2 × t2 +... + ak × Mk × tk (mod M) 。
是不是有点晕乎？别着急，我给您举个例子就清楚了。
有一天，我在课堂上讲这个孙子定理。
我问同学们：“假设一堆苹果，除以 5 余 2，除以 7 余 3，那最少有多少个苹果呀？”这时候，教室里安静得连根针掉地上都能听见。
大家都皱着眉头，苦思冥想。
我看着他们的样子，心里也有点着急。
不过我还是耐着性子，一步一步引导他们。
“咱们先算算 M 是多少呀？5×7=35，所以 M 就是 35。
那 M1 呢？就是 35÷5 = 7，M2 就是 35÷7 = 5。
接下来，咱们要找到满足7×t1 ≡ 1 (mod 5) 和5×t2 ≡ 1 (mod 7) 的 t1 和 t2 。
”这时候，有个平时挺机灵的同学小声说：“老师，t1 是不是 3 啊？因为 7×3 = 21，21 除以 5 余 1 。
”我一听，特别高兴，赶紧表扬他：“对啦，真聪明！那 t2 呢？”大家又陷入了思考。
【小升初专项训练】10 孙子定理
第13讲孙子定理第一关求被除数【知识点】1 .孙子定理的含义：也叫中国剩余定理.《孙子算经》中“物不知数”问题说：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数∙∙之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即被三除余二，被五除余三，被七除余二的最小整数.这个问题称作孙子问题，俗称韩信点兵.其正确解法叫做孙子剩余定理.2 .中国轲余定理的结论：令任意固定整数为M,当M/A余a,MZB余b,M/C余c,M/D余d,…，M/Z余Z时，这里的A,B,C,D,…，Z为除数，除数为任意自然数（如果为。
，没有任何意义，如果为1,在孙子定理中没有计算和探讨的价值，所以，不包括O和1）时；余数a,b,c,d,Z为自然整数时.1 .当命题正确时，在这些除数的最小公倍数内有解，有唯一的解，每一个最小公倍数内都有唯一的解；当命题错误时，在整个自然数范围内都无解.2 .当M在两个或两-个以上的除数的最小公倍数内时，这两个或两个以上的除数和余数可以定位M在最小公倍数内的具体位置，也就是M的大小.3 .正确的命题，指没有矛盾的命题：分别除以A,B,C,D,…，Z不同的余数组合个数=A,B,C,D,…，Z的最小公倍数二不同的余数组合的循环周期.【例1】有一个整数，除以3余数是2,除以5余数是3,除以7余数是4,这个数可能是多少？A.67B.73C.158D.22【答案】C【例2】一个自然数除以13余6,除以29余7,这个自然数最小是多少？【答案】123【例3】一个数除以4余3,•除以5余2,除以6余1,这个数最小是多少？【答案】7【例4】有一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,除以9余5.这个数至少是多少？【答案】158【例5】被4除余1,被5除余2,被6除余3的最小自然数是多少？【答案】57【例6】一个数被2,3,7除结果都余1,这个数最小是多少？【例7】被3除余2,被5除余4,被7除余4的最小自然数是多少？【答案】74【例8】一个数，它除以11余8,除以13余10,被3除余1,这个数最小是多少？【答案】283【例9】某数用6除余3,用7除余5,用8除余1,这个数最小是几？【答案】33【例10】一个数除以5余2,除以6余2,除以7余3,求能漏足这三个条件的最小自然数是多少？【答案】122【例11】一个自然数除以3余2,除以5余4,除以7余6,这个自然数最小是多少？【答案】104【例12】一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余1,这个数最小是多少？【答案】210【例13】•筐橘子，三三数之余一，五五数之余四，七七数之余二，筐里最少有多少个橘子？【答案】79【例14】一堆糖.分给A、B、C三个班级的小朋友（每班人数互不相同），如果A班每人6颗，则多3颗；乙班每人7颗，则少3.颗；丙班每人8颗，则少7颗，问这堆糖至少有多少颗？【答案.】81【例15】有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个.那么这筐苹果至少有多少个？【答案】62【例16】有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个.这盒,乒乓球至少有多少个？【答案】123【例17】一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出3个.如果按6个一堆放，最后多出4个.如果按7个一堆放，还多出1个.这筐苹果至少有多少个？【答案】148【例18】五年级的学生排队做操，如果10人一行则余2人，如果12人一行则余4人，如果16人一行则余8人，那么五年级最少有多少人？【答案】232【例19】一个三位数被3除余1,被5除余3,被7除余5,这个数最大是多少？【答案】943【例20】设。
中国剩余定理
中国剩余定理一般指孙子定理。
孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国余数定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。
明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：
三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知
这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。
意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后除以105（或者105的倍数），得到的余数就是答案。
比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23。
中国剩余定理计算过程
中国剩余定理计算过程摘要：一、引言二、中国剩余定理的概念和基本原理三、中国剩余定理的算法实现四、中国剩余定理的应用案例五、结论正文：一、引言中国剩余定理，又称孙子定理，是我国古代数学家孙子提出的一个著名数学定理。
该定理指出，对于一组互素的正整数，给定任意整数k，若将这k 个整数分别除以这组正整数，所得的余数构成一个同余方程组，那么这个同余方程组必有解。
中国剩余定理在数学、密码学等领域有着广泛的应用，本文将详细介绍中国剩余定理的计算过程。
二、中国剩余定理的概念和基本原理中国剩余定理的定义：设有m 个正整数a1, a2,..., am，它们两两互素，即最大公约数为1。
给定任意整数k，将整数ki 分别除以这m 个正整数，所得的余数为r1, r2,..., rm。
若同余方程组：x ≡ r1 (mod a1)x ≡ r2 (mod a2)...x ≡ rm (mod am)有解，那么这个同余方程组必至少有一个解x 满足：0 ≤ x < a1 * a2 *...* am中国剩余定理的基本原理是基于数学的模运算和欧几里得算法。
通过模运算，可以将同余方程组转化为一个模某个正整数的方程组。
而欧几里得算法可以用来求解模某个正整数的方程组。
三、中国剩余定理的算法实现中国剩余定理的算法实现可以分为两个主要步骤：判断正整数是否两两互素和计算同余方程组的解。
1.判断正整数是否两两互素要判断正整数是否两两互素，可以使用辗转相除法。
对于给定的两个正整数a 和b，如果它们的最大公约数为1，则它们是互素的。
辗转相除法的基本原理是：两个整数的最大公约数等于其中较小的整数和两整数差的最大公约数。
通过不断用较小的整数去除两整数差，直到两整数差为1，就可以判断两个整数是否互素。
2.计算同余方程组的解计算同余方程组的解可以使用欧几里得算法。
欧几里得算法的基本思想是：对于两个整数a 和b，如果它们的最大公约数为d，则存在整数x 和y，使得ax + by = d。
物不知数——中国剩余定理
“物不知数”——孙子定理有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数.《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理.孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。
解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然後总加起来，除以105的余数就是答案。
即题目的答案为：70×2+21×3+15×2=140+63+30=233233-2×105=23公式：70a+21b+15c-105n关键是找出70 21 15宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答.明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法.意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后减去105（或者105的倍数），得到的余数就是答案.比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23.又例今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是4.试问这类数中最小的正整数是多少？35+63+60-105=5353第一步：在 5,7的公倍数中找出“除以3余数是2”的数；35第二步：在 3,7的公倍数中找出“除以5余数是3”的数；21,42, 63第三步：在 3,5的公倍数中找出“除以7余数是4”的数，15,30,45, 6035+63+60=158,158肯定是符合“除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是4”的，但不一定最小，去掉若干个3,5,7的最小公倍数，使之变成最小的正整数。
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孙子算经
●“鸡兔同笼”
《孙子算经》共三卷，完成于公元四-五世纪。
卷下第31题，是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”。
书中是这样叙述的：
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。
求笼中各有几只鸡和兔？
趣题1：
巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。
三百六十四只碗，看看用尽不差争。
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。
请问先生明算者，算来寺内几多僧？
●“荡杯问题”
“今有妇人河上荡杯。
津吏问曰：…杯何以多？‟妇人曰：…有客。
‟津吏曰：…客几何？‟妇人曰：…二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。
不知客几何？”
“术曰：置六十五杯，以一十二乘之，得七百八十，以十三除之，即得”。
这里告诉我们这次洗碗事件，要处理的是65个碗共有多少人的问题。
其中有能了解客数的信息是2人共碗饭，3人共碗羹，4人共碗肉。
通过这几个数值，很自然就能解决客数问题。
因为客数是固定值，因此将其列成今式为N/2+N/3+N/4=65，易得客数六十人。
●“孙子定理”（中国剩余定理--一次同余论）
《孙子算经》具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：『二十三』”
这个问题也被称为“物不知数”问题。
西方数学史将其称为“中国剩余定理”
（Chinese remainder theorem）。
与上面的荡杯问题相比较，可以发现主要区别在于这里出现了余数，而不是整除。
此题相当于求不定方程组N=3x+2, N=5y+3, N=7z+2 ---三个方程式，4个未知数，比较难解。
孙子算经给出了算法：
N=70×2+21×3+15×2－2×105=23。
这里105是模数3、5、7的最小公倍数。
这里给出的是符合条件的最小正整数。
对于一般余数的情形，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。
以R1、R2、R3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于给出公式
N=70×R1+21×R2+15×R3－p×105（p是整数）。
孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定：
这三个数可以从最小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。
70是5和7的公倍数，且被3除余1；
21是3和7的公倍数，且被5除余1；
15是3和5的公倍数，且被7除余1.
在这样的条件下，任意一个系数乘以对应余数所得的积，被对应出书除后所得的余数恰好等于对应余数，且该积仍然能被其他两个除数整除，因此三个积相加并不相互影响各自被对应出书除后所得的余数。
即70R1+21R2+15R3是被3除余R1，被5除余R2，被7除余R3的数。
应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：
设有一数N，分别被两两互素的几个数a1、a2、……an相除得余数R1、R2、……R n，即表示为N≡Ri（mod a i），（i=1、2、……n），只需求出一组数K，使满足1（m od ai）（i=1、2、……n），那么适合已给一次同余组的最小正数解是（P是整数，M=a1×a2×……×an），这就是现代数论中著名的剩余定理。
如上所说，它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。
不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理。
上述的孙子算法一般情况四年级暂不要求。
现在我们掌握的具体的解题思路如下：
先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70 ( 注释:此步又称为求"模逆"运算,利用扩展欧几里得法并借助计算机编程可比较快速地求得。
对于很小的数，可以直接死算）。
即
15†7=2 (1)
21†5=4 (1)
70÷3=23 (1)
再用找到的三个较小数分别乘以所要求的数（N）被7、5、3除所得的余数的积连加，15×2+21×3+70×2=233.
最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数.
233†105=2 (23)
这个余数23就是合乎条件的最小数.
以上三个步骤适合于解类似"孙子问题"的所有问题.
韩信点兵
相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答曰：每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
例题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
习题1. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数____.
解答:采用"中国剩余定理"：
3,5的公倍数3,7的公倍数5,7的公倍数
15 21 35
30 42 70
45 63105
60 84 140
… … …
除以7余4的除以5余3 除以3余2
分别是：60 63 35
可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内。
所以答案为：158-105=53。
习题2：
一条长长的阶梯，
如果每步跨2 级，那么最后余1 级；
如果每步跨3 级，那么最后余2 级；
如果每步跨5 级，那么最后余4 级；
如果每步跨6 级，那么最后余5 级；
只有当每步跨7级时，最后才刚好走完.
问这条台阶最少有多少级？
答案：
如果每步跨2 级，那么最后余1 级；
可知是个奇数如果每步跨 3 级，那么最后余2 级；
可知+1就是3的整数倍如果每步跨5 级，那么最后余4 级；
可知尾是4或9.但是是个奇数,所以是9如果每步跨6 级，那么最后余 5 级；
可知+1就是6的整数倍只有当每步跨7级时，最后才刚好走完.
可知是7的整数倍7*7=49 7*17=119 49+1不是3的倍数,排除了.
119+1是3和6的整数倍,所以台阶有119级。