孙子定理的推广及应用
中国剩余定理（孙子定理）详解
中国剩余定理（孙⼦定理）详解问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。
上⾯给出了解法。
再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：两个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。
⼀共有四个步骤。
下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。
相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。
2 孙子定理
§2 孙子定理孙子定理是数论中的一个重要定理，在数论中的应用非常广泛。
孙子定理给出了在一定条件下同余式组()()()1122mod ,mod ,,mod .k k x b m x b m x b m ≡≡≡ （1）的解的个数，以及求解的方法。
在公元四、五世纪的《孙子算经》中的“物不知数”问题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”答案为：“23”。
这个问题也就是求解同余式组()()()2mod3,3mod5,2mod7.x x x ≡≡≡明朝程大位根据孙子算经里所用的方法用歌谣给出了该题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。
”即解为()27032121523323mod105.x ≡⨯+⨯+⨯≡≡在西方，与《孙子算经》同类的算法，最早见于1202年意大利数学家斐波那契的《算经》。
1801年，德国数学家高斯的《算术探究》中，才明确写出了这一问题的求法。
把孙子算经给出的结果加以推广，就得到了如下定理。
定理1（孙子定理）设12,,,k m m m 是k 个两两互质的正整数，12,,1,2,,,k i i m m m m m m M i k ===则同余式组（1）的解是()111222mod ,k k k x M M b M M b M M b m '''≡+++ （2）其中()1mod ,1,2,,.i i i M M m i k '≡=证 因12,,,k m m m 两两互质，故(),1,1,2,,i i M m i k ==于是，对每一个i M ，必有整数i M '使得()1mod .i i i M M m '≡另外，因,,i j m m i j ≠故()1mod ,1,2,,.kjjji i i i i j M M bM M b b m i k =''≡≡=∑即（2）为（1）的解。
孙子定理的定义
孙子定理的定义1. 引言孙子定理是数学中一个重要的几何定理，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
孙子定理起源于中国古代数学家孙子，被广泛应用于解决三角形相关问题。
2. 孙子定理的表述孙子定理可以通过以下方式表述：对于一个任意三角形ABC，其边长分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
那么，可以得到以下等式关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC3. 推导过程现在我们来推导一下孙子定理。
首先，根据正弦定理，我们可以得到以下等式：sinA/a = sinB/b = sinC/c将等式两边取倒数，并且交换分子和分母位置，得到：a/sinA = b/sinB = c/sinC这就是孙子定理的表述。
4. 孙子定理的应用孙子定理在解决三角形相关问题时非常有用。
下面我们将介绍一些常见的应用场景。
4.1 求解缺失边长或角度当我们已知一个三角形的两个边长和它们夹角的情况下，可以使用孙子定理来求解第三边的长度。
例如，已知一个三角形的边长a=5，b=7，夹角C=60°。
我们可以通过孙子定理来求解边长c。
根据孙子定理，我们有：c/sinC = a/sinA代入已知数据：c/sin60° = 5/sinA通过简单计算，我们可以得到sinA = (5/7) * sin60°。
然后，通过反正弦函数计算得到A的值。
最后，再利用三角函数关系求解出c的值。
4.2 判断三角形类型孙子定理也可以用于判断三角形的类型。
根据孙子定理中等式两边之间的比例关系，我们可以得到以下结论：•如果a=b=c，则三角形为等边三角形。
•如果a=b或b=c或c=a，则三角形为等腰三角形。
•如果a^2 + b^2 = c^2，则三角形为直角三角形。
•如果a^2 + b^2 < c^2，则三角形为钝角三角形。
•如果a^2 + b^2 > c^2，则三角形为锐角三角形。
4.3 解决几何问题除了上述应用外，孙子定理还能够帮助我们解决其他几何问题。
孙子定理
《孙子定理》及对它的推广我国古代数学名著《孙子算经》中记有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 这就是千百年来在数学界甚至在民间广泛流传的“物不知数”问题，也称为“孙子问题”。
该问题书中不但给出了答案，并且记述了解法，其解法经历代中国数学家的研究推广，就形成了通常所说的《孙子定理》（外国称中国剩余定理）。
此定理用现代数学语言叙述，一般都用数论中的同余理论，但从研究的问题类型上看，用“带余除法算式”（指：被除数=除数×商数+余数）表述更为自然易懂，因此，《孙子定理》也可叙述为：设m 1,m 2,...,m k 是k 个两两互质的正整数（k ≥2）;b 1,b 2,...,b k , 为任意整数，得方程组：显然，应用《孙子定理》关键是先要求出F i 的值，由（2）式x=m 1y 1+b 1x=m 2y 2+b … x=m k y k +b k 取M==Ki 1i 整数F i 满足：F i M i =m i q i +1（q i 为整数），i=1，2,...k (2)如果i i Ki i b M F ∑=1=Mq+r （q,r 均为整数，0＜r ＜M ），则方程组（1）的解 x=r+nM （n 取任意整数）可知，因M i与m i互质，根据两数最大公约数的性质可知，存在整数F i和q i满足（2）式，并且能求出这两个值（在应用定理时只需要F i的值）求（2）式中F i的值一般情况可以分两步：1.首先利用辗转相除的思路对（2）式中M i与m i辗转相除，因M i与m i互质故必有余数是+1或-1。
2.当得到余数+1或-1时，再由辗转相除的等式，结合（2）是求出F i的值。
例如，求整数F满足：〈1〉19F=7q+1, 〈2〉3F=11q+1解：〈1〉对19与7辗转相除；因为19=7×2＋5(第一个余数是5)7=5×1+2(第二个余数是2)5=2×2+1(第三个余数是1)所以，1=5-2×2=5-(7-5×1)×2=5×3–7×2=(19–7×2)×3–7×2=19×3–7×8即: 19×3=7×8+1故，F=3〈2〉因为11=3×4–1(余数是-1)所以3×4=11×1+1故F=4注意:对（2)式中M i与m i辗转相除，当第一个余数不是(+1)或(-1)时，可先将(2)化为与其等价的(M i-m i t)F i=m i Ri+1式中t取适当整数，使得（M i-m i t）的绝对值与m i辗转相除尽快得到余数是（+1）或(-1)。
孙子定理的推广及应用
孙子定理的推广及应用
子定理推广和应用
子定理是孟子所著《孟子》中所阐述的一种哲学理念，即“性情决定个性”，
它强调人类本身的性格至关重要，它也被认为是我国古代哲学思想的一个核心理论。
自古以来，孟子定理一直受到众多著名学者和知名人士的广泛关注，并且有着深远的影响力。
实际上，孟子定理已经在日常生活中得到了不少推广和应用。
首先，我们可以
把它用来引导教育。
事实上，通过引入孟子定理，孩子的性格可以在更大程度上发挥作用，而不是把它们压抑下去。
事实上，这种性格可以帮助孩子们发现自己真正的内在特质，培养起正确的思想观念、正确的世界观和正确的生活习惯，从而获得更好的发展和进步。
此外，孟子定理也在职场中得到了很大的普及和应用。
事实上，当许多企业都
在职场中时，孟子定理可以帮助他们了解自己的特质和能力，从而明确他们的特长和不足。
同时，孟子定理也可以帮助企业了解员工的能力和潜力，最大限度地发挥员工的价值，从而提升企业的效率和效能。
总之，孟子定理通过解读人类本身的性格及其特质等内容有力地推动了现代教
育和职场发展，也为人类社会发展提供了重要的理论支持。
孙子定理的发展应用
孙子定理的发展应用孙子定理又称中国剩余定理，是数论中非常重要的定理，是学习数论和近世代数的基础。
据此，论述了孙子定理的发展及其在赋值理论和密码学等方面的应用，给出了简单的证明。
标签：中国剩余定理；发展；应用doi：10.19311/ki.16723198.2017.30.074孙子定理又被称为中国剩余定理，是数论中的重要定理，在中国数学史上具有相当高的地位。
孙子定理给出了求解同余方程的一般方法，剩余问题在数论和近世代数中都有广泛的应用。
1孙子定理的发展我国古代就流传着许多传说，譬如“隔墙算”、“剪管术”、“物不知其数”、“韩信点兵”、“鬼谷算”等。
古代人民口口相传中的这些传说在现在看来就是一些趣味十足的数字游戏，它们的文字描述不尽相同，但所表达的数学意义是一致的，它们从不同的方面为我们列举出了“剩余问题”的解法。
这在我国古代的数学史上的影响非常大，孫子定理在密码学、多项式、赋值理论等方面也被广泛应用。
《孙子算经》是最早记录这类算法的书，十三世纪后期，数学家秦九韶在这方面取得了重大突破，他发现了一种新的算法，命名为“大衍求一术”。
古代流传着一首歌诀：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二”。
问物几何？歌诀的意思是：有批物品，三个为一组的数，剩余两个；五个为一组的数，剩余三个；七个为一组的数，剩余两个。
问这批物品有多少？我们将这首歌诀称为“物不知数”问题。
明代数学家程大位在《算法统宗》中如此描述：“三人同行七十稀，五树梅花廿一，七子团圆月正半，除百零五便得知”。
意为：把用3除所得的余数乘以70，加上用5除所得的余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘以15，如果所得的数大于105，就减去105的倍数，即得所求的数。
用数学表达式解释为：2×7+3×21+2×15=233，233-105×2=23。
这是早期给出的同余方程组的解法。
下面介绍孙子定理的内容。
孙子定理在近代数学中的若干应用
孙子定理在近代数学中的若干应用
一、孙子定理的历史渊源
1、孙子定理的发展源于古代的中国。
西周赵子龙的九章算术中曾经探
讨“九宫数”的概念，孙子定理也源于此。
2、孙子定理在中国的传统数学中已经有许多的应用，其中最著名的是
在《九章算术》中的应用，这里提到了九章算术的时候，孙子定理也
就提上了日程。
3、到了东汉中期，孙子定理随着《九章算术》的普及而传播开来，著
名的算学家李林甫就在《算学综诰》中对这一定理进行了深入的阐述。
二、孙子定理在近代数学中的若干应用
1、孙子定理在近代数学中最具影响力的应用便是拓扑学，但是这一应
用要追溯到要求解一类四面体的立方体的问题。
2、数学家来普科夫在研究立方体的问题的时候最终发现了其中存在的
谬误，并采用孙子定理使这一推理获得证明。
3、对孙子定理的研究还带来了几何学的进步，数学家墨菲在其著作
《几何学数学原理》中提出了反定理，这是孙子定理的一种推广应用。
4、孙子定理也被用于投影几何学中，在多边形投影投影中，孙子定理
可以被用于研究各边形范围内旋转相关性的问题。
5、孙子定理还可以被用作寻找指定圆和此圆的切线的最大交点的数学
依据。
孙子剩余定理
孙子剩余定理摘要：1.孙子剩余定理的概述2.孙子剩余定理的证明方法3.孙子剩余定理的应用领域4.孙子剩余定理的历史背景和影响正文：1.孙子剩余定理的概述孙子剩余定理，又称孙子定理，是中国古代数学家孙膑提出的一个著名数学定理。
这个定理主要研究的是关于如何分割一个给定的数，使其满足一定的条件。
具体来说，就是给定n 个正整数a1, a2,..., an，如果它们的和为m，那么是否存在一种分法，使得每组数的和都相等？孙子剩余定理给出了肯定的答案，并给出了具体的分法。
2.孙子剩余定理的证明方法孙子剩余定理的证明方法有很多，其中比较著名的是利用代数的方法。
具体证明过程如下：设a1, a2,..., an 为n 个正整数，它们的和为m，我们需要证明存在整数x1, x2,..., xn，使得a1x1 + a2x2 +...+ anxn = m。
设A 为a1, a2,..., an 的系数和，即A = a1 + a2 +...+ an。
我们可以将上述方程改写为：x1(A - a1) + x2(A - a2) +...+ xn(A - an) = A(A - a1 - a2 -...- an)令B = A - a1 - a2 -...- an，上式变为：x1B + x2B +...+ xnB = AB因为B 为整数，且x1, x2,..., xn 为整数，所以上式成立，证毕。
3.孙子剩余定理的应用领域孙子剩余定理在数学领域具有广泛的应用，特别是在数论、组合数学等领域。
同时，它也在计算机科学、信息理论等领域有着重要的应用。
例如，在密码学中，孙子剩余定理可以用来构造一些具有特殊性质的密码。
4.孙子剩余定理的历史背景和影响孙子剩余定理是我国古代数学家孙膑所提出的，距今已有两千多年的历史。
这一定理在我国古代数学史上具有重要地位，被誉为“中国古代数学的瑰宝”。
同时，孙子剩余定理在世界数学史上也具有重要地位，被认为是世界上最早关于数的分割问题的定理。
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图 1 图 2 图 3
证明 若过 C 点所作直线与 CA 重合, 则显然
结论成立; 否则, 如图 1、2、3, 过 D 点作 DM ∥C F 交
B F 于M , 由于 D 为 B CE ∶ED = A F ∶FM , 于是
A
E
∶ED
=
A
F
图5
图6
析解 若果有∠A BM = ∠B PM , 即△A BM 是 基本图形. 亦即有 BM 2 = M P ·M A , 而这可通过图 中另一基本图△A CM 得到, 即
CM 2= M P ·M A , ] ∠A BM = ∠B PM . 下面一题未给出解答, 供参考使用. 习题 在 R t△A B C 中, 斜边 B C 的垂直平分线 M D E 交 A B 于 D , 交 CA 延长线于 E , 交 B C 于 M (图 6 示). 求证: A M 2= DM ·EM .
由上可见, 孙子定理, 不仅可解决被 3, 5, 7 除的 问题, 而且可求在其他情况下的问题, 姑且认为是孙 子定理的推广. 利用孙子定理的推广, 关键在于找出 与定理中“地位”相同的一些数.
例 2 新生入学初进行军训, 在分队练习时, 每 队 5 人, 多 1 人, 每队 6 人, 多 2 人; 每队 7 人, 多 3 人; 参加军训的新生至少有多少人?
图3
图4
例 2 已知, 如图 4 示, A B ∥CD , A F = B F , EC = EB , 求证: O C 2= O F ·OD.
析解 欲证 O C 2 = O F ·OD , 可先证∠O C F = ∠D , 而使△COD 是基本图形. 证明从略.
例 3 已知, 如图 5 示, R t△A B C 中, ∠A CB = 90°, M B = M C , C P ⊥A M 于 P , 交 A B 于 D. 求证: ∠A BM = ∠B PM .
∶
1 2
FB
,
∴ A E ∶ED = 2A F ∶FB .
上述推广命题的其他证法, 留给感兴趣的读者
思考与练习.
两个调皮鬼的对话
——记三角形的中线 与中位线的争论
○倪金龙
( 新疆喀什农三师中学 844000 )
如图, 母亲△A B C 保护下的两个孩子中线爱迪 (A D ) 和中位线依埃夫 (E F ) , 总是纠缠不清, 争论不休.
一道课本复习题的推广
○ 朱汉林
( 苏州大学数学系 215006 )
初中《几何》课本第二册 P 264 上一道复习题为: 过△A B C 的顶点 C 任作一直线, 与边 A B 及中
线 A D 分别交于点 F 和 E. 求证: A E ∶ED = 2A F ∶ FB .
(提示: 过点 D 作 DM ∥C F 交 B F 于点M . ) 本题可推广为下述命题: 过△A B C 的顶点 C 任作一条不与B C 重合的直 线, 与边 A B 及中线 A D 的所在直线分别交于点 F 和 E. 求证: A E ∶ED = 2A F ∶FB .
解 本题实质是求满足条件的最小正整数, 因 5、6、7 互质, 其最小公倍数为 210. 而且 126 能被 6、7 整除, 被 5 除余 1. 175 能被 5、7 整除, 被 6 除余 1. 120 能被 5、6 整除, 被 7 除余 1. 所以新生人 数至少有: 126×1+ 175×2+ 120×3- 210×3= 206 答: 参加军训新生至少 206 人. 说明: 孙子定理的推广为没有学不定方程而要 解决同类型问题的人们提供了一个思路.
●数学教育
《数学教师》1997 年第 9 期
或 C P 2= A P ·PB . (这是直角三角形的射影定理. ) 下面我们举例说明基本图形的应用. 例 1 已知, 如图 3, ∠1= ∠B , A C = 6, D C = 4, 求B D. 析解 显然图 3 是基本图形, 欲求 B D , 可先求 B C. 由 A C 2= CD ·B C , 即 62= 4B C , 得 B C = 9. ∴ B D = 9- 4= 5.
爱迪指着依埃夫说:“你把 我拦腰分开. ”依埃夫反驳道: “那么你呢? 不是也把我两分了 吗?”母亲说:“你们俩彼此彼, 互相平分. ”
爱迪又说:“我的个儿比你高. ”依埃夫说:“不见 得吧, 现∠A 是锐角, 是你高. 当∠A 为直角时, 你和 我一样高. 当∠A 为钝角时, 我可就比你高了. ”
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爱迪想了想说:“正是如此, 以前我可没想到. ” 依埃夫说:“想问题不能只看一面, 而要看全面. 不能只看静止的图形, 还要考虑运动着的图形. ” 爱迪受到教育, 接着说:“我把三角形分成面积 相等的两个三角形. ”依埃夫说:“我把三角形分为一 个三角形和一个梯形, 它们的面积比为 1∶3. ” 爱迪兴奋起地说:“我俩有一个共同点, 都小于 A B 、A C 和的一半. ” 依埃夫点点头说:“对对! 看问题应该如此, 既要 看到不同点, 又要看到共同点. ” 爱迪说:“当我处于三个不同位置时, 会相交于 一点, 人们称之为重心, 从它到顶点与到对边的长度 是 2 倍关系呢! ”依埃夫说:“我如处于三个不同位置 时, 把三角形分成 4 个面积相等的小三角形. ”爱迪 说:“点 B 、点 C 跟我保持等距. ”依埃夫说:“我平行 于 B C , 还等于它的一半. ”……. “你们这两个调皮的孩子, 总也长不大, 永远离 不开我, ”母亲笑着说.
孙子定理的推广及应用
○ 向以钰
( 四川省宣汉师范学校 636150 )
孙子定理, 也叫中国剩余定理, 它所表述的“物
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不知数”的奇妙算法是我国古代数学的重大成就. 西 方得到与此相同方法比我们晚了约 1500 年。其主要 内容被明朝数学家程大位在《算法统宗》里描述为
三人同行七十稀, 五树梅花廿一枝, 七子团圆正半月, 除百零五便得知. 这首孙子歌里隐含了 70、21、15、105 这四个数, 这四个数与 3、5、7 (互质) 这三个数有关系: 70 能被 5、7 整除, 被 3 除余 1, 则 70a (a 及后文 中的 b、c、d 皆为自然数) 是一个能被 5、7 整除, 被 3 除余 a 的数. 同理 21b 是一个能被 3、7 整除, 被 5 除余 b 的 数. 15c 是一个能被 3、5 整除, 被 7 除余 c 的数. 总起来则有 70a+ 21b+ 15c 是一个被 3 除余 a, 被 5 除余 b, 被 7 除余 c 的数. 换句话说, 如果一个数 能被 3 除余 a, 被 5 除余 b, 被 7 除余 c, 则这个数可表 为上式, 若求这个最小正整数则由 m = 70a+ 21b+ 15c- 105k (105 为 3、5、7 的最小公倍数) 求出. 若要求被 3 除余 a, 被 5 除余 b, 被 7 除余 c 的所有整数, 则可由公式 M = m + 105t 得出. 我们可抓住孙子定理的以上本质进行推广运 用: 例 1 (今有一数) 二数余一, 五数余二, 七数余 三, 九数余四, 求该数. 分 析 注意到 2、5、7、9 互质, 这几个数的“地 位”相当于“定理”中 3, 5, 7 的“地位”, 下面我们需要 把对 应 于 定 理 中 的“70、21、15”在 这 里 找 出 来, 将 “105”找出来. 这件事很容易: 315a 能被 5, 7, 9 整除, 被 2 除余 a (315 为 5、7、9 的公倍数). 126b 能被 2、7、9 整除, 被 5 除余 b (126 为 2, 7, 9 的公倍数). 540c 被 2、5、9 整除, 被 7 除余 c (540 为 2、5、9 的 公倍数) , 280d 被 2、5、7 整除, 被 9 除余 d (280 为 2、5、7 的公倍数). 解 由孙子定理可得该最小正整数为: 315×1+ 126×2+ 540×3+ 280×4 - 630×5= 157 上式中 630 为 2、5、7、9 的最小公倍数 则所有整数解可写为: 157+ 630t.