2014年浙江省杭州市二模考试数学理试题及答案

2014年杭州市第二次高考科目教学质量检测

高三数学检测试卷（理科）

考生须知：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名.

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.

参考公式：

如果事件A,B 互斥，那么 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 )()()(B P A P B A P +=+ n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的k 次概率

如果事件A,B 相互独立，那么 )...,3,2,1()1()(n k P C k P k n k n n =-=-

)()()(B P A P B A P ?=?

选择题部分（共50分）

一、选择题（本大题共10个小题.每小题5分.共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 设全集,R U =集合{}012＜-=x x A ，{}0)2(≥-=x x x B ，则()B C A U ?=（ ）

A.{}20＜＜x x

B.{}10＜＜x x

C.{}10＜x x ≤

D.{}01＜＜x x -

2. 设n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，若893a S =，则=5

153a S （ ） A.15 B.17 C.19 D.21

3. 设直线012:1=--my x l ，01)1(:2=+--y x m l .则“2=m ”是“21//l l ”的（ ）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4. 设函数x x x f sin )(2=，则函数)(x f 的图像可能为（ ）

5. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果不大于37，则输入的整数i 的最大值为（ ）

A.3

B.4

C.5

D.6

6. 设O △ABC 的外心（三角形外接圆的圆心）.若

3

131+=，则BAC ∠的度数为（ ） A.30° B.60°

C.60°

D.90°

7. 在△ABC 中，若42cos 52cos

322=+-C B A ，则C tan 的 最大值为（ ）

A.43-

B.34-

C.4

2- D.22- 8. 设),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，e 为自然对数的底数.若x

x f x x f )(ln )(＞'.则（ ） A.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＞＜ B.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＜＜

C. )()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＜＞

D.)()(2,2ln )()2(2e f e f e f f ＞＞

9. 设21,F F 为椭圆)0(1:22

221＞＞b a b

y a x C =+与双曲线2C 的公共点左右焦点，它们在第一 象限内交于点M ,△21F MF 是以线段1MF 为底边的等腰三角形,且21=MF .若椭圆1C 的离心率??????∈9

4,83e ，则双曲线2C 的离心率取值范围是（ ） A.??????35,45 B.??????+∞,23 C.(]4,1 D.??

????4,2

3 10.在等腰梯形ABCD 中，F E ,分别是底边BC AB ,的中点，把四边形AEFD 沿直线EF 折 起后所在的平面记为αα∈p ,，设α与PC PB ,所成的角分别为21,θθ（21,θθ均布为零）. 若21θθ=，则点P 的轨迹为（ ）

A.直线

B.圆

C.椭圆

D.抛物线

非选择题部分（共100分）

二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分.）

11. 设i 是虚数单位,若复数i zi -=1，则=z ______.

12. 某几何体的三视图如图所示，若该正视图面积为S ，则此几何体的体积是______.

13. 若...,...1123322102++++++=+x a x a x a x a a x

n 则3a =_____. 14. 用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和

末位，数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五

位数的个数是_______.（注：用数字作答）

15. 若R y x ∈,，设y x y xy x M +-+-=2232，则M 的最小值为_____.

16. 设集合{}R a a a x x x A ∈++-=,022＜,{}

2＜x x B =.若≠A ?且 B A ?,则实数a 的取值范围是______.

17. 设抛物线)0(2:2＞p px y C =,A 为抛物线上一点（A 不同于原点O ）,过焦点F 作直线 平行于OA ,交抛物线C 于点Q P ,两点.若过焦点F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于B ,则OB OA FQ FP -?=____________.

三、解答题：（本大题共5个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

18.（本题满分14分）设数列{}12-n a 是首项为1的等差数列，数列{}n a 2是首项为2的等比 数列，数列{}n a 的前n 项和为)(*∈N n S n ，已知2,45343+=+=a a a a S .

（I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）比较n S 2与2

2n n +的大小，并说明理由.

19.（本题满分14分）已知箱子中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球.现从该箱子中取钱， 每次取一个球（无放回，且每球取到的机会均等）.

（I ）若连续取两次，求取出的两球上标号都是奇数或都是偶数的概率；

（II ）若取出的球的标号为奇数即停止取球，否则继续取，求取出次数X 的分布列和数学 期望)(X E .

20.（本题满分15分）如图，在直三棱柱'''-C B A ABC 中，

2=='=AC AA AB ，π3

2=

∠BAC ,点E D ,分别是BC , ''B A 的中点.

（I ）求证：//DE 平面''A ACC ；

（II ）求二面角'--'C AD B 的余弦值.

21.（本题满分15分）设椭圆)0(1:2222＞＞b a b y a x =+?的左顶点)0,2(-A ,离心率2

3=e , 过点)0,1(G 的直线交椭圆?于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线3=x 于N M ,两点.

（I ）求椭圆?的标准方程；

（II ）以线段MN 为直径的圆是否过定点，若是，求

出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.

22.（本题满分14分）设函数)1ln()(+-=x e x f x .

（I ）求函数)(x f 的最小值； （II ）已知210x x ＜≤.求证：1)1(ln 1212++-x x e e

x x ＞； （III ）设)(ln 1

)(x f x x x e x g x -+-=，证明：对任意的正实数a ，总能找到实数)(a m ， 使[]

a a m g ＜)(成立. 注：e 为自然对数的底数.