高中数学 第2章 数列 2.2.3 等差数列的前n项和课件 苏教版必修5
������奇 ������
偶
������偶 ������
奇
=
������������+1 . ������������
(3)项数为 2n+1(n∈N*)的等差数列,S 奇-S 偶=an+1, S 偶+S 奇=S2n+1=(2n+1)an+1(an+1 为中间项), =
������+1 . ������
48 5
48 (2)a2+a4=a1+d+a1+3d= , 5 24 ∴a1+2d= . 5 1 24 ∴S5=5a1+ × 5× (5-1)d=5a1+2× 5d=5(a1+2d)=5× =24. 2 5
一
二
三
名师点津 1.与等差数列前n项和公式有关的运算.
类型 基本量 方法 思想 注意 “知三求二型” a1,d,n,an,Sn 运用等差数列的通项公式和前 n 项和的两个公式建 立方程组,通过解方程组求出未知基本量 方程的思想 ①利用等差数列的性质简化计算; ②注意已知与未知联系; ③有时运用整体代换的思想
2.2.3 等差数列的前n项和
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学习 目标 重点 难点
1.理解等差数列前 n 项和公式的推导方法. 2.掌握等差数列前 n 项和公式. 3.能利用等差数列前 n 项和公式解决实际问题. 重点:利用等差数列的前 n 项和公式进行计算. 难点:利用等差数列前 n 项和公式解决实际问题.
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=
解得:a8=39. 又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.
8(4+������8) =172, 2
一
二
三
迁移与应用 1.已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和 S10= . 答案:100 解析:设该数列公差为d, ∴a2=a1+d,a7=a1+6d,a8=a1+7d. ∴a1+a2=a1+(a1+d)=2a1+d=4.① a7+a8=(a1+6d)+(a1+7d)=2a1+13d=28.② ①②联立后解得:a1=1,d=2.
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2.等差数列前n项和的性质 (1)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,仍然为 等差数列,且公差为n2d. (2)项数为2n(n∈N*)的等差数列,奇数项的和为S奇,偶数项的和为 S偶,则S偶-S奇=nd.
S 偶+S 奇=S2n=n(an+an+1)(an,an+1 为中间两项),
由等差数列的前 n 项和公式得 S10=1× 10+
10×9 × 2=100. 2
一
二
三
2.在等差数列{an}中, (1)已知 a6=10,S5=5,求 a8; (2)已知 a2+a4= ,求 S5.
解: (1)∵a6=10,S5=5, ������1 + 5������ = 10, ∴ 解得: ������1 = -5, 5������1 + 10������ = 5, ������ = 3. ∴a8=a6+2d=16.
2.在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等 差数列的问题,均可化成关于a1,d的方程或方程组求解.解题过程中, 要注意:(1)选择适当的公式;(2)合理利用等差数列的有关性质.
一
二
三
二、等差数列前n项和性质的应用 活动与探究 例2(1)在等差数列{an}中,若a5+a10+a13+a16+a21=20,求S25; (2)若等差数列的项数为奇数,且奇数项和为44,偶数项和为33,求 数列的中间项和项数. 思路分析:利用等差数列的性质求解,可以简化计算.
预习引导
1.等差数列的前 n 项和公式 等差数列前 n 项的和等于首末两项和的一半的 n 倍.即 Sn =
������(������1 +������������ ) ������(������-1) ,也可以写成 Sn=na1+ d 2 2
.
预习交流1 在求等差数列的前n项和时,如何选取两种形式的求和公式?
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预习交流3 (1)在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S20= . (2)在等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10的值是 . (3)已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d 为 . 2 提示:(1)420 (2)24 (3)3 预习交流4 等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和 为 . 提示:∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m构成等差数列且其公差为 d=S2m-2Sm=100-60=40, ∴S3m-S2m=S2m-Sm+40=110.∴S3m=210.
一
二
三
解: (1)∵a5+a21=a10+a16=2a13, ∴a5+a10+a13+a16+a21=5a13=20.∴a13=4. ∴S25= (2)设项数为 2n-1(n∈N*),则奇数项有 n 项,偶数项有 n-1 项,中间 项为 an, 则 S 奇= S 偶=
一
二
三
一、等差数列前n项和公式的应用 活动与探究 例1已知等差数列{an}. 5 3 (1)a1= ,an=- ,Sn=-5,求 n 和 d; 6 2 (2)a1=4,S8=172,求a8和d. 思路分析:在等差数列的通项公式与前n项和公式中,含有 a1,d,n,an,Sn五个量,只要已知其中的三个量,就可以求出余下的两个 量.
提示: 在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及末项 an,用 公式 Sn= 较好. 预习交流2 等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”,此方 法主要适用于具备什么特征的数列求和? 提示:主要适用于具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…特征的数列求 和.
������(������1 +������������ ) ������(������-1) 较好,若已知首项 a1 及公差 d,用公式 Sn=na1+ d 2 2
一
二
三
解: (1)由题意,得 Sn= 解得:n=15. ∴d=- . (2)由已知得,
8(������1 +������8 ) S8= 2 1 6 5 6
������(������1 +������������ ) 2
=
������ 6-2 2
53
=-5,
又 a15= +(15-1)d=- ,
3 2
偶
������偶 ������
奇
=
������������+1 . ������������
(3)项数为 2n+1(n∈N*)的等差数列,S 奇-S 偶=an+1, S 偶+S 奇=S2n+1=(2n+1)an+1(an+1 为中间项), =
������+1 . ������
48 5
48 (2)a2+a4=a1+d+a1+3d= , 5 24 ∴a1+2d= . 5 1 24 ∴S5=5a1+ × 5× (5-1)d=5a1+2× 5d=5(a1+2d)=5× =24. 2 5
一
二
三
名师点津 1.与等差数列前n项和公式有关的运算.
类型 基本量 方法 思想 注意 “知三求二型” a1,d,n,an,Sn 运用等差数列的通项公式和前 n 项和的两个公式建 立方程组,通过解方程组求出未知基本量 方程的思想 ①利用等差数列的性质简化计算; ②注意已知与未知联系; ③有时运用整体代换的思想
2.2.3 等差数列的前n项和
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学习 目标 重点 难点
1.理解等差数列前 n 项和公式的推导方法. 2.掌握等差数列前 n 项和公式. 3.能利用等差数列前 n 项和公式解决实际问题. 重点:利用等差数列的前 n 项和公式进行计算. 难点:利用等差数列前 n 项和公式解决实际问题.
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=
解得:a8=39. 又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.
8(4+������8) =172, 2
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三
迁移与应用 1.已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和 S10= . 答案:100 解析:设该数列公差为d, ∴a2=a1+d,a7=a1+6d,a8=a1+7d. ∴a1+a2=a1+(a1+d)=2a1+d=4.① a7+a8=(a1+6d)+(a1+7d)=2a1+13d=28.② ①②联立后解得:a1=1,d=2.
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2.等差数列前n项和的性质 (1)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,仍然为 等差数列,且公差为n2d. (2)项数为2n(n∈N*)的等差数列,奇数项的和为S奇,偶数项的和为 S偶,则S偶-S奇=nd.
S 偶+S 奇=S2n=n(an+an+1)(an,an+1 为中间两项),
由等差数列的前 n 项和公式得 S10=1× 10+
10×9 × 2=100. 2
一
二
三
2.在等差数列{an}中, (1)已知 a6=10,S5=5,求 a8; (2)已知 a2+a4= ,求 S5.
解: (1)∵a6=10,S5=5, ������1 + 5������ = 10, ∴ 解得: ������1 = -5, 5������1 + 10������ = 5, ������ = 3. ∴a8=a6+2d=16.
2.在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等 差数列的问题,均可化成关于a1,d的方程或方程组求解.解题过程中, 要注意:(1)选择适当的公式;(2)合理利用等差数列的有关性质.
一
二
三
二、等差数列前n项和性质的应用 活动与探究 例2(1)在等差数列{an}中,若a5+a10+a13+a16+a21=20,求S25; (2)若等差数列的项数为奇数,且奇数项和为44,偶数项和为33,求 数列的中间项和项数. 思路分析:利用等差数列的性质求解,可以简化计算.
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1.等差数列的前 n 项和公式 等差数列前 n 项的和等于首末两项和的一半的 n 倍.即 Sn =
������(������1 +������������ ) ������(������-1) ,也可以写成 Sn=na1+ d 2 2
.
预习交流1 在求等差数列的前n项和时,如何选取两种形式的求和公式?
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预习交流3 (1)在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S20= . (2)在等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10的值是 . (3)已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d 为 . 2 提示:(1)420 (2)24 (3)3 预习交流4 等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和 为 . 提示:∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m构成等差数列且其公差为 d=S2m-2Sm=100-60=40, ∴S3m-S2m=S2m-Sm+40=110.∴S3m=210.
一
二
三
解: (1)∵a5+a21=a10+a16=2a13, ∴a5+a10+a13+a16+a21=5a13=20.∴a13=4. ∴S25= (2)设项数为 2n-1(n∈N*),则奇数项有 n 项,偶数项有 n-1 项,中间 项为 an, 则 S 奇= S 偶=
一
二
三
一、等差数列前n项和公式的应用 活动与探究 例1已知等差数列{an}. 5 3 (1)a1= ,an=- ,Sn=-5,求 n 和 d; 6 2 (2)a1=4,S8=172,求a8和d. 思路分析:在等差数列的通项公式与前n项和公式中,含有 a1,d,n,an,Sn五个量,只要已知其中的三个量,就可以求出余下的两个 量.
提示: 在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及末项 an,用 公式 Sn= 较好. 预习交流2 等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”,此方 法主要适用于具备什么特征的数列求和? 提示:主要适用于具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…特征的数列求 和.
������(������1 +������������ ) ������(������-1) 较好,若已知首项 a1 及公差 d,用公式 Sn=na1+ d 2 2
一
二
三
解: (1)由题意,得 Sn= 解得:n=15. ∴d=- . (2)由已知得,
8(������1 +������8 ) S8= 2 1 6 5 6
������(������1 +������������ ) 2
=
������ 6-2 2
53
=-5,
又 a15= +(15-1)d=- ,
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高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
99 an＝ 9×10n
n＝1 n≥2.
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在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
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nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
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[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
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n＝1 n≥2.
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在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
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nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
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[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
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考点一 考点二 考点三
n
项 和
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高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [思路点拨]
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
数学 必修5
第二章 数列
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数
求和
na1＋an
公式 Sn＝_____2________
首项、公差与项数 Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
数学 必修5
第二章 数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方 法就是解方程组．
数学 必修5
第二章 数列
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢 管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示] 六层 等腰梯形
数学 必修5
第二章 数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如 图所示，则这样共有多少钢管？
数学 必修5
第二章 数列
由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0， 从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝n(7－n)， 当n>4时，Tn＝Sn－S4＋(－S4) ＝Sn－2S4＝n(n－7)－2×4×(4－7) ＝n2－7n＋24
∴Tn＝nn2－7－7nn＋，2n4≤，4n，>4.
高中数学 第一部分 第二章 2.3 第三课时 等比数列的前n项和课件 苏教版必修5
(1)列方程组求出a1和q即可．
(2)bn可以转化为两个等比数列的通项公式和一个
常数数列通项公式相加，求和时重新组合即可．
[精解详析]
(1)设等比数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1，
1 1 a1＋a1q＝2a1＋a1q， 由已知 a1q2＋a1q3＋a1q4＝64 1 2＋ 1 3＋ 1 4， a1q a1q a1q
①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
x1－xn ＋ ＝ －nxn 1， 1－ x x ∴ Sn＝ [nxn＋1－(n＋1)xn＋1]， 2· 1－x nn＋1 2 ∴Sn＝0 x＝0 x n＋1 [ nx －n＋1xn＋1] 2 1－x x＝1
1 1 2 2 2 2 2n－1 ①－②得：2Sn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－ n＋1 2
2n－1 1 1 1 1 ＝2＋2＋22＋…＋ n－1－ n＋1 2 2 1 1 1 － n－1· 2 2 2 2n－1 3 2n－1 1 1 ＝2＋ 1 － 2n＋1 ＝2－2n－1－ 2n＋1 1－ 2 3 2n＋3 ＝2－ n＋1 ， 2 2n＋3 ∴Sn＝3－ 2n .
2 a1q＝2， 化简得 2 6 a1q ＝64.
又 a1>0，故 q＝2，a1＝1. 所以 an＝2n－1.
1 2 1 1 2 n－1 (2)由(1)知 bn＝(an＋a ) ＝an＋a2 ＋2＝4 ＋ n－1＋2. 4 n n 因此 Tn＝(1＋4＋…＋4
n－1
1 1 )＋(1＋4＋…＋ n－1)＋2n 4
(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得
2 2 a ＋ a q ＝ 10 a 1 ＋ q ＝10 1 1 1 3 5 ，即 3 5 5 2 a q ＋a1q ＝4 a q 1＋q ＝4 1 1
高中数学第二章数列2.2.3等差数列的前n项和课件苏教版必修5
第二十八页，共40页。
【自主解答】 (1)法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列， ∴30,70，S3m－100 成等差数列， ∴2×70＝30＋(S3m－100)， ∴S3m＝210. 法二 在等差数列中，Smm，S22mm，S33mm成等差数列， ∴22Sm2m＝Smm＋S33mm， 即 S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. (2)ab55＝99ab11＋ ＋ab99＝TS99＝6152.
【解析】 设 a3＋a6＋a9＝x，则 45,39，x 成等差数列，∴45＋x＝39×2，∴x ＝33.
【答案】 33
第七页，共40页。
2．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2－10n，则当 n＝________时，Sn 最 小．
【解析】 Sn＝n2－10n＝(n－5)2－25，∴当 n＝5 时，Sn 最小，为－25. 【答案】 5
第二十五页，共40页。
探究 2 设 Sn，Tn 分别为两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和，那么abnn与TS22nn－－11有 怎样的关系？请证明．
第二十六页，共40页。
【提示】 abnn＝TS22nn－－11. 证明：∵S2n－1＝12(2n－1)(a1＋a2n－1) ＝2n－ 2 1·2an＝(2n－1)an； 同理 T2n－1＝(2n－1)bn； ∴TS22nn－－11＝22nn－ －11abnn＝abnn. 即abnn＝TS22nn－－11.
第十六页，共40页。
(3)法一 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则 S5＝5a1＋5×25－1d＝24， 得 5a1＋10d＝24，即 a1＋2d＝254，
∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×254＝458. 法二 由 S5＝5a12＋a5＝24，得 a1＋a5＝458. ∴a2＋a4＝a1＋a5＝458.
【自主解答】 (1)法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列， ∴30,70，S3m－100 成等差数列， ∴2×70＝30＋(S3m－100)， ∴S3m＝210. 法二 在等差数列中，Smm，S22mm，S33mm成等差数列， ∴22Sm2m＝Smm＋S33mm， 即 S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. (2)ab55＝99ab11＋ ＋ab99＝TS99＝6152.
【解析】 设 a3＋a6＋a9＝x，则 45,39，x 成等差数列，∴45＋x＝39×2，∴x ＝33.
【答案】 33
第七页，共40页。
2．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2－10n，则当 n＝________时，Sn 最 小．
【解析】 Sn＝n2－10n＝(n－5)2－25，∴当 n＝5 时，Sn 最小，为－25. 【答案】 5
第二十五页，共40页。
探究 2 设 Sn，Tn 分别为两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和，那么abnn与TS22nn－－11有 怎样的关系？请证明．
第二十六页，共40页。
【提示】 abnn＝TS22nn－－11. 证明：∵S2n－1＝12(2n－1)(a1＋a2n－1) ＝2n－ 2 1·2an＝(2n－1)an； 同理 T2n－1＝(2n－1)bn； ∴TS22nn－－11＝22nn－ －11abnn＝abnn. 即abnn＝TS22nn－－11.
第十六页，共40页。
(3)法一 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则 S5＝5a1＋5×25－1d＝24， 得 5a1＋10d＝24，即 a1＋2d＝254，
∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×254＝458. 法二 由 S5＝5a12＋a5＝24，得 a1＋a5＝458. ∴a2＋a4＝a1＋a5＝458.
高中数学必修5《等差数列的前n项和》PPT
等差数列的前n项和
1、等差数列的定义： a -a =d n+1 an+1-an=d n
2、等差数列的通项公式： an a1 n 1 d
3、等差数列的性质:
am an m n d
am an ap aq m n p q
S 1 2 3 100
n: 1, 2,3, ,100,
前100项的和
na1 1 2 n 1 d
nn 1
na1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱd
公式2：
Sn Sn
=
n 2
a1
+an
na1
n(n 1) 2
d
Sn
d 2
n2
a1
d 2
n
与
f
x ax2 bx c
进行比较
（1） 观察 Sn 与二次函数有什么关系？
（2） 如果一个数列an的前n项和为
Sn pn2 qn r
得：
S7
7 (15000 18000) 2
115500
答：孙杨7天共游了115500m。
归纳反思
1.（1）体会倒序相12加3 的100方? 法，掌握等差数列的 两个求和公式
（2）类比梯形面积公式记忆等差数列的前n项 和公式
（3）应用等差数列的前n项和来解决实际问题
归纳反思
2.从特殊到一般（问题探究方法） 问题1: 1 2 3 100 ? 问题2: Sn 1 2 3 n ? 问题3: Sn a1 a2 ... an1 an
方
n n 1
Sn 2
法
等差数列 an的前n项和
Sn a1 a2 ... an1 an
倒
↓↓ ↓↓
序
Sn an an1 ... a2 a1
1、等差数列的定义： a -a =d n+1 an+1-an=d n
2、等差数列的通项公式： an a1 n 1 d
3、等差数列的性质:
am an m n d
am an ap aq m n p q
S 1 2 3 100
n: 1, 2,3, ,100,
前100项的和
na1 1 2 n 1 d
nn 1
na1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱd
公式2：
Sn Sn
=
n 2
a1
+an
na1
n(n 1) 2
d
Sn
d 2
n2
a1
d 2
n
与
f
x ax2 bx c
进行比较
（1） 观察 Sn 与二次函数有什么关系？
（2） 如果一个数列an的前n项和为
Sn pn2 qn r
得：
S7
7 (15000 18000) 2
115500
答：孙杨7天共游了115500m。
归纳反思
1.（1）体会倒序相12加3 的100方? 法，掌握等差数列的 两个求和公式
（2）类比梯形面积公式记忆等差数列的前n项 和公式
（3）应用等差数列的前n项和来解决实际问题
归纳反思
2.从特殊到一般（问题探究方法） 问题1: 1 2 3 100 ? 问题2: Sn 1 2 3 n ? 问题3: Sn a1 a2 ... an1 an
方
n n 1
Sn 2
法
等差数列 an的前n项和
Sn a1 a2 ... an1 an
倒
↓↓ ↓↓
序
Sn an an1 ... a2 a1
苏教版高中数学必修五课件2.2.3《等差数列的前n项和(2)》
高中数学课件
灿若寒星整理制作
等差数列的 前n项的和
复习：
1. 等差数列前n项和公式
Sn
n(a1 2
an )
(1)
n(n 1)
Sn na1 2 d
(2)
2.等差数列{an}中，a5+a16=30,则 S20 等于
例1 一个等差数列的前12项之和为354，前12项 中偶数项和与奇数项和之比为32：27，求公差。
' n
7n 2
a7
n 3 ，求 b7
。
注:利用等差数列的性质可以得出
an A2n1 bn B2n1
练习：(07 湖北)已知两个等差数列{an}和{bn}
An 7n 45
的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且 Bn
n3 ，
an
则 使 得 bn 为 整 数 的 正 整 数 n 的 个 数 是
解： SS奇偶
S奇
S偶 32
27
354
S 偶 S奇
192 162
由 S偶 S奇 6d d 5
解 ： 设 首 项 为 a1 ， 公 差 为 d 则
Байду номын сангаас
12a1 6(a1 d )
1211
2 65
2
d
354 2d 32
例 3 求 证 ： 若 数 列 {an} 的 前 n 项 之 和 Sn=an2+bn(a,b 为常数)，则这个数列成等差 数列。反之亦真。
引出公式：
an
SS1n
Sn1
(n=1) (n 2)
例 4 等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为
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等差数列的 前n项的和
复习：
1. 等差数列前n项和公式
Sn
n(a1 2
an )
(1)
n(n 1)
Sn na1 2 d
(2)
2.等差数列{an}中，a5+a16=30,则 S20 等于
例1 一个等差数列的前12项之和为354，前12项 中偶数项和与奇数项和之比为32：27，求公差。
' n
7n 2
a7
n 3 ，求 b7
。
注:利用等差数列的性质可以得出
an A2n1 bn B2n1
练习：(07 湖北)已知两个等差数列{an}和{bn}
An 7n 45
的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且 Bn
n3 ，
an
则 使 得 bn 为 整 数 的 正 整 数 n 的 个 数 是
解： SS奇偶
S奇
S偶 32
27
354
S 偶 S奇
192 162
由 S偶 S奇 6d d 5
解 ： 设 首 项 为 a1 ， 公 差 为 d 则
Байду номын сангаас
12a1 6(a1 d )
1211
2 65
2
d
354 2d 32
例 3 求 证 ： 若 数 列 {an} 的 前 n 项 之 和 Sn=an2+bn(a,b 为常数)，则这个数列成等差 数列。反之亦真。
引出公式：
an
SS1n
Sn1
(n=1) (n 2)
例 4 等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为
高中数学必修5第2章 第3节 第1课时等差数列的前n项和
【答案】 C
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2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则 Sn＝
.
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【解析】 因为 a1＝1，d＝1， nn－1 所以 Sn＝n＋ 2 ×1 2n＋n2－n ＝ 2 n2＋n nn＋1 ＝ 2 ＝ 2 .
【答案】 nn＋1 2
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已知等差数列{an}中， (1)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求 d； (2)S5＝24，求 a2＋a4.
【精彩点拨】 由等差数列的前 n 项和公式及通项公式列方程组求解即可， 同时注意等差数列性质的应用．
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【自主解答】
na1＋an n－512＋1 (1)由 Sn＝ ＝ ＝－1 022，解之得 n＝4. 2 2
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5a1＋a5 48 法二 由 S5＝ ＝24，得 a1＋a5＝ 5 . 2 48 ∴a2＋a4＝a1＋a5＝ 5 .
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1．在等差数列的通项公式和前 n 项和公式中共涉及五个量：a1，d，n，an， Sn，其中首项 a1 和公差 d 为基本量，且“知三求二”． 2．求解过程中注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解 过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
【提示】
在原来放置的钢管中，从最上面一层开始，往下每一层的钢管
数分别记为 a1，a2，…，a6，则数列{an}构成一个以 a1＝4 为首项，以 d＝1 为公 差的等差数列，设此时钢管总数为 S6，现再倒放上同样一堆钢管，则这堆钢管 每层有 a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝…＝a6＋a1＝13(根)， 此时钢管总数为 2S6＝(a1＋a6)×6＝13×6＝78(根)， a1＋a6 原来钢管总数为 S6＝ 2 ×6＝39(根)．
高中数学 2.2.3 等差数列的前n项和配套课件 苏教版必
学
当
方 案
式的共同点是需知 a1 和 n，不同点是前者还需知 an，后面还
堂 双
设
基
计 需知 d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式．
达 标
课
前 自
教学时，可以用熟知的梯形面积公式(给出图形)帮助学生 课
主
导 理解和记忆．
时 作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
教
●教学流程
学
教
重点：等差数列前 n 项和公式的理解、推导及应用，等 当
方
堂
案 差数列前 n 项和的常用性质及应用．
双
设
基
计
难点：等差数列前 n 项和公式推导思路的获得，灵活应
达 标
课
前 自
用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题，体会等差
课
主
时
导 学
数列的前 n 项和与二次函数之间的联系．
作 业
课 堂 互 动 探 究
易 误
析
辨
的思路和算法比较巧妙，蕴涵有求等差数列前 n 项和一般的 析
教
学 方
规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生
当 堂
案
双
设 计
自己去观察、探索发现这种数列内在的规律．
基 达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修5
教
学 教 法
易
2．在推导等差数列前 n 项和公式时，由于已在前面做好
高中数学第2章数列3等差数列的前n项和课件必修5高二必修5数学课件
12/13/2021
第二十三页，共五十三页。
本题运用了等差数列前 n 项和性质：Sn＝An2＋Bn 和 Sn， S2n－Sn，S3n－S2n 成等差数列，使运算简化，同时也要注意应 用函数思想．
12/13/2021
第二十四页，共五十三页。
2.一个等差数列的前 12 项之和为 354，前 12 项 中偶数项与奇数项之和的比为 32∶27，则公差为________．
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第二十八页，共五十三页。
若本例中 an＝40－4n 变为 an＝2n－14，求该数 列前 n 项和 Sn 的最小值．
解：法一：因为 an＝2n－14，所以 a1＝－12，d＝2. 所以 a1<a2<…<a6<a7＝0<a8<a9<…. 所以当 n＝6 或 n＝7 时，Sn 取到最小值． 易求 S6＝S7＝－42， 所以(Sn)min＝－42.
第2章 数 列
2．2.3 等差数列的前 n 项和
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第一页，共五十三页。
第2章 数 列
1.掌握等差数列的求和公式在解题中的运用． 2.理解 等差数列前 n 项和公式的性质并会简单运用． 3．初步体会等差数列前 n 项和公式在实际问题中的运用．
12/13/2021
第二页，共五十三页。
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第二十一页，共五十三页。
法四：因为 S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100 ＝90（a112＋a100）＝90（a1＋2 a110）， 又 S100－S10＝10－100＝－90，所以 a1＋a110＝－2. 所以 S110＝110（a12＋a110）＝－110.
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第二十二页，共五十三页。
第二十三页，共五十三页。
本题运用了等差数列前 n 项和性质：Sn＝An2＋Bn 和 Sn， S2n－Sn，S3n－S2n 成等差数列，使运算简化，同时也要注意应 用函数思想．
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第二十四页，共五十三页。
2.一个等差数列的前 12 项之和为 354，前 12 项 中偶数项与奇数项之和的比为 32∶27，则公差为________．
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第二十八页，共五十三页。
若本例中 an＝40－4n 变为 an＝2n－14，求该数 列前 n 项和 Sn 的最小值．
解：法一：因为 an＝2n－14，所以 a1＝－12，d＝2. 所以 a1<a2<…<a6<a7＝0<a8<a9<…. 所以当 n＝6 或 n＝7 时，Sn 取到最小值． 易求 S6＝S7＝－42， 所以(Sn)min＝－42.
第2章 数 列
2．2.3 等差数列的前 n 项和
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第一页，共五十三页。
第2章 数 列
1.掌握等差数列的求和公式在解题中的运用． 2.理解 等差数列前 n 项和公式的性质并会简单运用． 3．初步体会等差数列前 n 项和公式在实际问题中的运用．
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第二十一页，共五十三页。
法四：因为 S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100 ＝90（a112＋a100）＝90（a1＋2 a110）， 又 S100－S10＝10－100＝－90，所以 a1＋a110＝－2. 所以 S110＝110（a12＋a110）＝－110.
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第二十二页，共五十三页。
高中数学必修5课件：第2章2-3-2等差数列前n项和习题课
第二章 数列
温故知新
等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋(a1－d2)n，令d2＝A，a1－d2＝B，则得 Sn＝________.[答案] An2＋Bn数 Nhomakorabea 必修5
第二章 数列
新课引入
用分期付款的方式购买家用电器需 11 500 元，购买当天先付 1 500 元，以后每月交付 500 元，并加付利息，月利率为 0.5%， 若从交付 1 500 元后的第 1 个月开始算分期付款的第 1 个月，问：
所以S3m＝3ma1＋3m3m2 －1d＝210.
数学 必修5
第二章 数列
方法二：利用公式 Sn＝na1＋2 an，以及等差数列的性质 p
＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an.
ma1＋am＝60，
①
由已知有m3ma1a＋1＋a2am3m＝＝1020S，3m，
② ③
2a2m＝am＋a3m，
④
由①②③④可得 S3m＝210.
【错解】 an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－ 1]＝2n，又an－an－1＝2n－2(n－1)＝2，即数列每一项与前一项 的差是同一个常数，
∴{an}是等差数列． 【错因】 已知数列的前n项和Sn，求数列的通项an时，需 分类讨论，即分n≥2与n＝1两种情况．
数学 必修5
解得a＝m202， b＝1m0.
所以 S3m＝9am2＋3bm＝210.
数学 必修5
第二章 数列
等差数列前n项和的性质应用
一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶 数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.
[思路点拨] 可以利用列方程组方法求解，也可以利用等 差数列前n项和的性质求解．