材料力学第14章(静不定)doc资料
应用叠加法：
11F1X1 0
由1X111X1
∴变形协调方程
1F1X 110
或： 1X 11 1F0 A ——力法正则方程
F
B
1F
1X1
X1
11
1
系数δ11和Δ1F可由莫尔定理(积分或图乘)求得(图c、d) F
1FE 1[I (1 2Pl)(6 52l)](c)
5 Pl 3
Pl
6 EI
11 E 1[I(1 22l2l)(3 22l)] (d)
X1 A
F
B
C
二、力法正则方程
1X 11 1F0
变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。
X1——多余未知量；
11——在基本静定系上， X1取单位值时引起的在X1作用点沿
X1方向的位移； 1F——在基本静定系上， 由原载荷引起的在X1作用点沿
X1方向的位移；
力法解超静定的基本步骤：
①判定静不定次数 ②选取并去除多余约束，代以多余约束反力。 ③画出两个图：原载荷图和单位力图。
M(j1)Rsijn1
M(j2)Rsijn2
1F202M (j1)M E (j1I)Rdj1F E3R I0 2(1co j1)ssijn 1dj1
FR 3 2 EI
F
A
j2
j1 B
O
F
2
F
2
１ A j2
j1
１
O
M(j1)Rsijn1
M(j2)Rsijn2
11 202M(j1)M E(j1I)Rdj12ER3I02sin2j1dj1
FB
A
a
a
C X1
X1 D
a a
a
a
F
C
C
a
1
1
Fa
D
D
a
1FE 1(I1 2Fa aa)
Fa 3 2 EI
11
a EA
E 1[I1 2aa3 2aaaa]
a 4a3 EA 3EI
FB
X1
F 2(AIa2
34)
A
a
C X1
X1 D
[例4] 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。 解：①刚架有一个多余约束。
静不定问题分类
第一类：外力静不定：仅在结构外部存在多余约束， 即支反力是静不定的。
第一类
静不定问题分类
第一类：外力静不定：仅在结构外部存在多余约束， 即支反力是静不定的。
第二类：内力静不定：仅在结构内部存在多余约束， 即内力是静不定的。
第二类
F
F
F F
F
B
F
F A
C
D
C
D
B F
静不定问题分类
8 l3
A
3 EI
38El3IX156FEl3I 0
2l
X1
5 16
F
B
B 1
④求其它约束反力
11 F
由平衡方程可求得 A 端反
16
F
力，其大小和方向。
⑤ 作弯矩图，见图(e)。
3 Fl A
C
8
(e) –
3 Fl
8
5 Fl 16
+
B
5F 16
注意：对于同一静不定结构，定段处的转动约束为多 余约束，基本静定系是如图所示的简支梁。
②选取并去除多余约束，代以多
q
余约束反力，得到相当系统。
③建立力法正则方程
B
1X 111F0
④计算系数11和自由项1F
q
B
a
a
A
A X1
q
B
qa 2
1 B
1
qa
2A
qa
qa 2 qa 2 2
2 M图
a a
M图
1
A
1
1FE1I[12q2a2a23a
2 3
qa2 2
a 5a] 8
3 qa 4 8 EI
R 3
2 EI
1X 11 1F0
X1
F
[例3] 求解图示静不定结构的拉杆CD的轴力。设刚架ABC的 抗弯刚度为EI，拉杆CD的轴向刚度为EA。
解：①刚架有一个多余约束。
a
FB
C
a
②选取并去除多余约束，代以多
余约束反力，得到相当系统。
A
D
③建立力法正则方程
1X 111F0
④计算系数11和自由项1F
11X 11 1F0
第十四章 超静定结构
§14–1 超静定结构概述 §14–2 用力法解超静定结构 §14–3 对称及反对称性质的应用
§14-1 超静定结构概述
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称 为静不定结构(或静不定系统)，也称为超静定结构(或超静定系 统)。
在静不定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多 余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力，多余约束的 数目为结构的静不定次数。
④计算正则方程的系数： 1F和11程，两图互乘得1F ，单 位力图自乘得11。
⑤建立力法正则方程：
1X 111F0
[例2] 试求图示曲杆的支座反力。
F
F
A
a
B
A
j
X1
O
O
F
A
jB
O
A
j
１
O
F
A
j2
j1 B
O
１ A j2
j1
１
O
F
2
F
M (j1)F 2(RRco 2j1)sF2R(1cojs1)
M (j2)F 2(RRcoj2s)F2R(1cojs2)
第一类：外力静不定：仅在结构外部存在多余约束， 即支反力是静不定的。
第二类：内力静不定：仅在结构内部存在多余约束， 即内力是静不定的。
第三类：混合静不定：在结构外部和内部均存在多余约 束，即支反力和内力是静不定的。
第三类
分析方法 1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。
2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。
§14-2 用力法解超静定结构
一、力法的基本思路（举例说明）
[ 例1] 如图所示，梁EI为常数。 试求支座反力，作弯矩图。
(a)
A
l
解：①判定静不定次数（一次）
②选取并去除多余约束，得到静定
基，见图(b)。
③加上原载荷,
(b)
A
④加上多余约束反力，
⑤列出变形协调方程： 1 0
F
B C
l
F
B C
X1
Fa 3 4 EI
B
F 2
a a
0
M图
11E1I[12a2a32a
1 2
a
a
2 3
a]
1 21
a3
EI
1X 111F0
B
1
1
2
X1
F 4
F
a
a
F X1 4
A
a
B
1 Fa
3 Fa 8
4
1 Fa
4
M图
[题14-５(b)] 已知各杆的EA相等，求各杆的内力。 (P52)
11E1I[12aa23a12
a
a
2a] 3
2a3 3 EI
⑤代入力法正则方程：1X 111F0
得
32Ea3IX1
3qa4 8EI
0
X1
9qa 16
A
X1
9 qa 16
q
q
qa 16
A
X1
9 qa 16
B
B
7 qa
qa 16
16
q
B
qa 16
qa 16
A
X1
9 qa 16
7 qa 16
49 qa 2 512
qa 2 16
qa 2 16
[例5] 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。 F
解：①刚架有一个多余约束。
a
a
A
②选取并去除多余约束，代以多
a
余约束反力，得到相当系统。
B
③建立力法正则方程 F
1X 111F0
a
a
X1
④计算系数11和自由项1F
A
a
B
Fa F
2
A
M图
F
2
1FE 1[I1 2F 2a2aa 2]
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材料力学第十四章 超静定2013
1
a a
1
M1
M2
1
1
1
M3
a
将求出的系数和常数代入正则方程，有:
8aX 1 3aX 2 9 X 3 qa 2 12aX 1 8aX 2 12 X 3 3qa
2
9aX 1 3aX 2 12 X 3 qa
qa X1 , 16
7 qa X2 , 16
BC段
B
45°
M M P X 1M
Pa Pa sin( / 4) sin 2 2 ( / 4 / 2)
A
45°
作业 • 14.4 (a),(b) • 14.8(选作)
§14. 3 对称及反对称性质的利用
1
对称结构的对称变形和反对称变形 对称结构
M i ( x) M j ( x) EI
l
dx
ji
解静不定问题的一般步骤
1) 判定静不定次数； 2) 选择静定基，得到相当系统； 3) 分解载荷：分别将外载荷、各单位载荷作 用在静定基上； 4) 画出各载荷下的内力(弯矩)图或写出内力 (弯矩)方程； 5) 用图乘法或莫尔积分等求出△iP 和 ij ； 6) 求解正则方程，解出未知力。
N0
记未知约束力偶M0为 X1， N0 用 P/2 代替。
求解静不定问题 正则方程
第十四章
超 静 定 结 构
第十四章
1 2 静不定结构
外力静不定
静不定结构
混合静不定
§14. 1 静不定结构概述
内力静不定
静不定次数的确定
静不定次数 =未知力个数 - 独立平衡方程数
(1) 外力静不定次数的确定
a a
1
M1
M2
1
1
1
M3
a
将求出的系数和常数代入正则方程，有:
8aX 1 3aX 2 9 X 3 qa 2 12aX 1 8aX 2 12 X 3 3qa
2
9aX 1 3aX 2 12 X 3 qa
qa X1 , 16
7 qa X2 , 16
BC段
B
45°
M M P X 1M
Pa Pa sin( / 4) sin 2 2 ( / 4 / 2)
A
45°
作业 • 14.4 (a),(b) • 14.8(选作)
§14. 3 对称及反对称性质的利用
1
对称结构的对称变形和反对称变形 对称结构
M i ( x) M j ( x) EI
l
dx
ji
解静不定问题的一般步骤
1) 判定静不定次数； 2) 选择静定基，得到相当系统； 3) 分解载荷：分别将外载荷、各单位载荷作 用在静定基上； 4) 画出各载荷下的内力(弯矩)图或写出内力 (弯矩)方程； 5) 用图乘法或莫尔积分等求出△iP 和 ij ； 6) 求解正则方程，解出未知力。
N0
记未知约束力偶M0为 X1， N0 用 P/2 代替。
求解静不定问题 正则方程
第十四章
超 静 定 结 构
第十四章
1 2 静不定结构
外力静不定
静不定结构
混合静不定
§14. 1 静不定结构概述
内力静不定
静不定次数的确定
静不定次数 =未知力个数 - 独立平衡方程数
(1) 外力静不定次数的确定
材料力学课件-第61讲 第十四章 静不定问题分析(2)
1
2
3
4
5
6
8
P
FN7
m
m’
FN7
求解思路讨论：
A 点在与F 垂直方向位移
例: A点位移与F 方向相同，求角
解：配置单位载荷系统
作业 14-1 14-2 14-3
谢 谢
B
M
O
R
A
B
M0
q
O
R
A
B
1
图(1)
4. 计算B端水平位移（1）
方法1
B端的水平位移为
4. 计算B端水平位移（2）
q
O
R
A
B
M0
图(二)
方法2
q
O
R
A
B
1
图(2)
结果相同！
例2：求B 端反力
1. 问题分析
静不定度
相当系统
变形协调条件
2度
相当系统
单位载荷系统 1
单位载荷系统 2
④单位载荷系统
第 14 章 静不定问题分析(2)
第六十讲知识点 力法分析静不定问题（续）
外静不定问题分析（续） 内静不定问题分析
§2 用力法分析静不定问题（续）
外静不定问题分析(续)
题1：已知外力偶 M0 ，求B端约束反力和水平位移。
q
O
R
A
B
M0
1. 问题分析
静不定度
相当系统
变形协调条件
FB
例2：求B 端反力（续）
变形协调条件
相当系统
内力静不定问题分析
分析桁架内力与qCD ，各杆EA同
1. 问题分析
几度静不定问题？
材料力学第十四章__超静定结构
§14．1 超静定结构概述
整理课件
本节应用能量法求解静不定系统。 应用能量法求解静不定系统，特别是对桁 架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效 。 求解静不定问题的关键是建立补充方程。 静不定系统，按其多余约束的情况，可以 分为外力静不定系统和内力静不定系统。
整理课件
支座反力静不定 类型反力静定内力静不定
整理课件
解静不定梁的一般步骤
(4)在求出多余约束反力的基础上，根据静 力平衡条件，解出静不定梁的其它所有支 座反力。 (5)按通常的方法（已知外力求内力、应力 、变形的方法）进行所需的强度和刚度计 算。
整理课件
例：作图示梁的弯矩图 。
整理课件
解：变形协调条件为
A 0
即
MAl2Pl2 10 2 382
A
M10 1
D
P
1
2
(d)
(e)
1 P0 2M E 1 0 M P d I s2 P E 20 2 a (I 1 c
o) s (1 )d P2(a 1 ) 2 E2 I
1102M E102IdsE aI02(1)2d2EaI
上面两式代入 正则方程：
11
X 整理课1件
Pa( 2
)
求出X1后，可得图（C）
解得
MA
3Pl 16
整理课件
3Pl MA 16
11 P
5P
16
整理课件
另解：变形协调条件为
vB 0
即
RBl2
2l Pl2
5l
0
2 386
解得
5P
RB 16
整理课件
5P
5Pl/32
16
3Pl 16
材料力学(单辉组)第十四章静不定问题分析
FBy F
B
F A xA
Rj
F Ay
MA
Rj
A
静定基
解：4个反力，3个平衡方程，1次外力静不定
认为B处为多余约束，移去B支座，加反力
变形协调条件: DBy=0
11
FBy F 利用截面法求弯矩
M
B
Rj
A
M j FR1 cosj FByRsinj
利用卡氏第二定理求位移
静定基
曲杆弯矩正号 使曲率增大
静定基
A
B
Dcy
V Fcy
M2
M 2 Fcy
EI dx AB
2
M1
M1 Fcx
EI dx BC
1
a2 EI
1 2
Fcx
1 3
Fcy
3 8
qa2
C
Fcx
Fcy 利用变形协调条件求支反力
由
D D
cx cy
0 0
4
3
1
2
根据多余的约束条件
几何方程 物理方程
补充方程
当杆件外形、载荷较复杂或材料为非线性弹 性时，问题难于求解
由于能量方法可较容易给出载荷与位移关系， 从而采用能量法比较容易处理静不定问题
9
EX1
F
B
Rj
A
已知：小曲率杆，半径R
不计剪力和轴力对曲杆变形影响
求解：支反力和内力？
10
FBy F
B
4
有缝 q
F Ax A F A y (a)
刚架
B
FBy
材料力学(15)第十四章 静不定问题分析
F
静不定问题分析
F
1（内）＋1（外）＝ 2 度
3（内）＋3（外）＝ 6 度
F
梁：外3 环：内3 圆环
梁环接触：1
3+3+1=7 度
Page 9
第十四章
静不定问题分析
梁杆结构的静不定问题
(b) (a) (a): 1度 (b): 2度 (c) (c): 2度
Page10
第十四章
静不定问题分析
§14-2
8
静不定问题分析
a 4 a 5 7 6 8 3
a 2
1
N i N i li m / m EA i 1 a [(2 2) N 7 (2 2) P] 0 P EA
2 N7 P 2
1 1
思考：若求加载点的水平位移，如何选择单位载荷状态
4 5
6 8 3
2 1
4 5
q
FS
M
FN
断开：内力静定
刚性连接：多了三个约束
F F
单闭口的平面刚架或曲杆 内3度静不定
内6度
Page 7
第十四章 F F
静不定问题分析
6度内力静不定
F
F
5度内力静不定 加一中间铰减 少一度静不定
F F
F F
2度内力静不定
4度内力静不定,加一根二力 杆增加一度静不定
Page 8
第十四章 混合静不定
H
利用单位载荷法建立补充方程
Page20
P
第十四章
x2
B
RB N
静不定问题分析
x1 C
N
D
真实载荷状态(相当系统)：
RB RD N 2
静不定问题分析
F
1（内）＋1（外）＝ 2 度
3（内）＋3（外）＝ 6 度
F
梁：外3 环：内3 圆环
梁环接触：1
3+3+1=7 度
Page 9
第十四章
静不定问题分析
梁杆结构的静不定问题
(b) (a) (a): 1度 (b): 2度 (c) (c): 2度
Page10
第十四章
静不定问题分析
§14-2
8
静不定问题分析
a 4 a 5 7 6 8 3
a 2
1
N i N i li m / m EA i 1 a [(2 2) N 7 (2 2) P] 0 P EA
2 N7 P 2
1 1
思考：若求加载点的水平位移，如何选择单位载荷状态
4 5
6 8 3
2 1
4 5
q
FS
M
FN
断开：内力静定
刚性连接：多了三个约束
F F
单闭口的平面刚架或曲杆 内3度静不定
内6度
Page 7
第十四章 F F
静不定问题分析
6度内力静不定
F
F
5度内力静不定 加一中间铰减 少一度静不定
F F
F F
2度内力静不定
4度内力静不定,加一根二力 杆增加一度静不定
Page 8
第十四章 混合静不定
H
利用单位载荷法建立补充方程
Page20
P
第十四章
x2
B
RB N
静不定问题分析
x1 C
N
D
真实载荷状态(相当系统)：
RB RD N 2
材料力学第14章(静不定)-06分析
F
A
j2
j1 B
O
F 2
F 2
M (j1 ) Rsinj1
１ A j2
j1
１
O
M (j2 ) Rsinj2
11
2
2 0
M(j1)M(j1)Rdj1
EI
2 R3 EI
2 0
sin2
j1dj1
R3
2 EI
11X1 1F 0
X1
F
[例3] 求解图示超静定结构中拉杆CD的轴力。设刚架ABC的 抗弯刚度为EI，拉杆CD的抗拉刚度为EA。
1
1
X1
F 4
2
F
a
a A
X1
F 4
a
B
1 Fa 4
X1
3qa4 8EI
0
X
1
9qa 16
A
q
X1
9qa 16
q
qa 16
A
X1
9qa 16
B
B
7qa
qa 16
16
qa
16
qa 2
A
X1
9qa 16
16
q
qa 2
B
7qa
qa 16
49qa2 16 512
16
[例5] 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。 F
解：①刚架有一个多余约束。
a
a
A
②选取并去除多余约束，代以多
∴变形协调方程
1F 11X1 0 或：11X1 1F 0
——力法正则方程
系数11和Δ1F可由莫尔定理求得 A
(积分或图乘)
F
B
1F
1X1 X1
高等教育大学本科课件 材料力学 第14章 静不定问题分析
M
l
A
B
HA RA HC
相当系统
x1 l
A
l x2 C RC B
l x2 1C
单位载荷状态
真实载荷状态(相当系统)：
HA HC
RA
M l
HC
M ( x1 )
(
M l
HC
) x1
M ( x2 ) HC x2
C 0
单位载荷状态：
M( x1 ) x1 M( x2 ) x2
C
1 EI
[
l
0 M( x1 ) M( x1 )dx1
§14-2 用力法分析静不定问题
➢ 几个概念： 基本系统： 解除多余约束后的静定结构（静定基）
相当系统： 作用有载荷和多余反力的基本系统。
Page11
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
➢ 第一类静不定问题：存在多余的外部约束
解除多余的外部约束，代之以支反力
相当系统
在解除约束处，建立变形协调条件
Page3
BUAA
➢ 内力静不定
MECHANICS OF MATERIALS
存在多余内部约束 平面桁架：
内力静不定度 = m - 2n + 3 m: 杆数 n: 节点数
外力静定 内力静不定(一度)
几何可变
4 - 24 + 3 = -1
5 - 24 + 3 = 0
6 - 24 + 3 = 1
Page4
例1：已知EI为常数，求A
A
M l
B
解： 解静不定，求解多余未知力
l
存在1个多余外部约束：
一度外力静不定
C
第14章静不定结构详解
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
外力超静定
（d）
内力超静定
（e）
混合超静定
(Statically Indeterminate Structure) 四、超静定次数的判定
（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个 数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差 即为结构的超静定次数；
§14-2 用力法解静不定结构
一、力静定结构的多余约束，用多余约束力代替多余约束,得 到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的“相当系统”;
2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程; 3.由补充方程求出多余约束力;（利用能量法求解） 4.在基本系统上求解原超静定结构的内力和变形. （解除多余约束后的静定结构）
(Statically Indeterminate Structure)
第十四章 静不定问题分析
§14-1 静不定结构概述 §14-2 用力法解静不定结构 §14-3 对称及反对称性质的应用
(Statically Indeterminate Structure)
§14-1 静不定结构概述
一、静不定结构
M
=
FB (asinϕ) −
F (a sin(φ
−
π
)) 4
当在B点作用一单位力时（图d）,
弯矩方程为
B
F
ϕ FB
A
π/4
(b)
B
M = asinϕ M = asinϕ
1
ϕ
A (d)
(Statically Indeterminate Structure)
应用莫尔积分,并设曲杆的EI为常量,
材料力学：ch14 静不定问题分析
图 14-9(a) 根据对称条件，截面 C 的水平位移 ΔCx 为零，即
由此得到
ΔCx 0
FNC
3F 8
（→）
12
弯矩图如图（2）所示，最大弯矩为
|
M
|max
Fl 4
（b）解：此为三度静不定问题。有反对称性可利用。
在结构对称面 C 处假想切开，由于反对称，故有
FNC 0 ， M C 0
待求未知内力仅有FSC一个。 求 ΔCy 的载荷状态及单位状态如图 14-9(b)所示。
弯矩方程为
图 14-2(b)
M x1 FBx x1 ，
M
x 2
F Bx l
q 2
x
2 2
将其代入 积分后，得 代入协调条件
M x1 x1 ， M x2 l
ΔBx
1 EI
lM
0
x1
M
x1
dx1
1 EI
lM
0
x2
M
x2
dx2
ΔBx
1 EI
4 3
FBxl 3
ql 4 6
ΔBx 0
弯矩方程为
将其代入 积分后，得 代入协调条件
图 14-3(a)
M
FCx Rsin
F 2
R1
cos
M Rsin
ΔCx
1 EI
π/2 M M Rd
0
ΔCx
R3 EI
π 4
FCx
F 4
ΔCx 0
4
得 进而求得
（b）解：此为一度静不定问题。
FCx
F π
（←）
FBx
F π
（→）
求 ΔAy 的载荷状态及单位状态可示如图 14-3（b）。
材料力学(单辉祖)第十四章静不定问题分析
求解上式可得
X1
=
1−
π2
π
4⋅ −1
P 2
=
4−π π2 −8
P
,8X2来自=π π−3
2
−1
⋅
PR 4
=
2(π
π2
− 3)
−8
PR
8
27
Example-7
在平面xy内，由k根等直杆组 y
成的杆系，在结点A处用铰连 接在一起，并受到水平载荷P1 和垂直载荷P2的作用。已知各 杆的材料相同，其拉压弹性模
∂X 1
∂X 2
Rϕ
25
Example-6
由对称截面处的约束条件， 可得变形相容性条件
Δ = ∂Uc = 0, θ = ∂Uc = 0
∂X 1
∂X 2
P/2 X2
X1 X3
Rϕ
即
∫ − 1
EI
π 2
0
⎜⎛ ⎝
PR 2
sin
ϕ
−
X 1R(1 −
cos ϕ )
−
X
2
⎟⎞ ⎠
⋅
R(1 −
cosϕ )Rdϕ
F
M (ϕ ) = FR (1− cosϕ ) − FByR sinϕ
π
∫ Δ By
=
∂Vε ∂FBy
=
2
[M
0
(ϕ ) ∂M (ϕ )][EI ]−1Rdϕ
∂FBy
8
Example-1
π
M (ϕ ) = FR (1− cosϕ ) − FByR sinϕ
∫ Δ By
=
∂Vε ∂FBy
=
2
[EI ]−1 ⎡⎣FR (1− cosϕ ) − FBy R sinϕ ⎤⎦ (−R sinϕ ) Rdϕ