正弦定理、余弦定理及其应用

学习目标

1．掌握正弦定理、余弦定理的公式及其应用. 2．掌握边角互化、面积公式.

1.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a=2

，

c =

，cos A =且b ＜c ，则b=（）

2.在ABC ?中，角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ，若::a b c

2:1），求ABC ?的各角的大小．

探讨正弦定理、余弦定理、面积公式的推导过程。

【知识梳理】

1、余弦定理：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A

b c a ca B c a b ab C

=+-=+-=+-；

2、正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===，其中R 为ABC ?的外接圆半径； 3、面积公式：111sin sin sin 2

S ab C ac B bc A ===.

,4abc

S R R

为外接圆半径； 22sin sin sin S R A B C =

()1

S a b c r =

++r 为ABC ?的内切圆半径，p 为半周长.

【例题精讲】

例1、在ABC ?中，015,10,60a b A ===，则cos B =（）

A. C.

例2、在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A =（）

30A

60B

120C

150D

例3、在ABC ?中，已知04,30a b A ==，则sin B =____________.

例4、已知ABC ?的内角,A B 及对边,a b 满足11

tan tan a b a b A B

+=?+?

，求内角C .

例5、在ABC ?中，已知030,2,B AB AC ∠===求ABC ?的面积.

例

6、在ABC ?中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且

()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++

（1）求A 的大小；

（2）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ?的形状.

例7、已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为2,6,4AB BC CD DA ====,求四边形

ABCD 的面积.

例8、如图，在ABC ?中，已知045B =,D 是BC 边上的一点，10AD =,14AC =,6DC =，求AB 的长.

例9、已知ABC ?的三边,,a b c 满足，22222a b c c ++=，则边c 的对角C ∠的取值范围为___________________；

例10、已知ABC ?1，且sin sin A B C +，（1）求边AB 的长；（2）若ABC ?的面积为1sin 6

C ，求角C 的度数.

【基础】

1、在ABC ?中，A B >是sin sin A B >的（） .A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02

x x A B -+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是（） A 直角三角形 B 钝角三角形

C 等腰三角形

D 等边三角形

3、已知ABC ?的三边长分别为,,a b c 且面积()2221

ABC S b c a ?=+-，则A 等于（）

0.45A 0.30B 0.120C 0.15D

4、如图，在

ABC ?中，若21,3

b c C π

=∠=

，则a =___________.

5、已知,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边，若1,a b =2A C B += 则sin C =___________

6、在ABC ?中，已知2,a b ==015C =，求A .

7、在ABC ?中，0045,60B C ∠=∠=

，)21a =，求ABC ?的面积S .

8、如图，在ABC ?

中，已知a b ==，045B =，求,A C 及c .

【拔高】

1、设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边，则“()2a b b c =+”是“2A B =”的_____________条件.

2、在ABC ?中，

已知AB B =，AC

边上的中线BD ，求sin A 的值.

3、在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，若2,,cos

2B a C π

===

求三角形ABC 的面积.

4、设ABC ?的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c 且3cos cos 5

a B

b A

c -=，则

tan cos A B =_______________.

5、在锐角ABC ?中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，

6cos b a

C a b

+=，则tan tan tan tan C C

A B

+=_________________.

6、观察：2020003sin 20cos 50sin 20cos504

++=，2020003sin 15cos 45sin15cos454

++=，据此写出一个与此二式规律相同的式子____________.

1.正弦定理、余弦定理的公式及其应用. 2．边角互化、面积公式.

1、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若2,sin cos a b B B ==+角A 的大小为____________.

2、ABC ?中，3

A π

，3BC =，则ABC ?的周长为（）

A 3

B π?

?+ ???

B 6B π?

?+ ???

C 6sin 33B π?

?++ ??

D 6sin 36B π?

?++ ??

3、在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且27

4sin cos222B C A +-=

（1）求A ∠的度数；

（2）若3a b c =+=，求b 和c 的值.

4、在

ABC ?中，已知1tan ,3

B C AC ==ABC ?的面积.

5、在不等边ABC ?中，a 为最大边，如果222a b c <+，求A 的取值范围.

6、某海轮以30海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上的油井P 在南偏东060，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东030，海轮改为北偏东060的航向再行驶80分钟到达C 点，求,P C 间的距离.