数学分析2期末考试题库复习过程
数学分析2期末考试
题库
数学分析2期末试题库 《数学分析II 》考试试题（1）
一、叙述题：（每小题6分，共18分）
1、牛顿-莱不尼兹公式
2、∑∞
=1n n a 收敛的cauchy 收敛原理
3、全微分
二、 计算题：（每小题8分，共32分）
1、4
20
2
sin lim
x
dt t x x ?→
2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。
3、求∑∞
=+1)
1(n n
n n x 的收敛半径和收敛域，并求和
4、已知z
y x u = ，求y x u
???2
三、（每小题10分，共30分）
1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数
2、讨论反常积分?+∞
--01dx e x x p 的敛散性
3、讨论函数列),(1)(2
2+∞-∞∈+
=x n x x S n 的一致收敛性
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、设)2,1(1
1,01Λ=->>+n n x x x n n n ，证明∑∞
=1
n n x 发散
2、证明函数???
??=+≠++=0
00),(22222
2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可
偏导，但它在该点不可微。，
《数学分析II 》考试题（2）
一、 叙述题：(每小题5分，共10分）
1、叙述反常积分a dx x f b
a ,)(?为奇点收敛的cauchy 收敛原理
2、二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、 计算题：（每小题8分，共40分） 1、)212111(
lim n
n n n +++++∞
→Λ 2、求摆线]2,0[)cos 1()
sin (π∈???-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积
3、求?
∞
+∞-++dx x x
cpv 2
11)(
4、求幂级数∑∞
=-1
2
)1(n n
n x 的收敛半径和收敛域 5、),(y x xy f u =， 求y
x u
???2
三、 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）
1、y
x y x y x f +-=2
),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否
存在？为什么？
2、讨论反常积分?
∞+0
arctan dx x x
p
的敛散性。
3、讨论∑∞
=-+1
33))1(2(n n
n
n n 的敛散性。 四、 证明题：（每小题10分，共20分）
1、设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>?b
a dx x f
2、设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu
《数学分析II 》考试题（3）
五、 叙述题：（每小题5分，共15分） 1、定积分 2、连通集
3、函数项级数的一致连续性
六、 计算题：（每小题7分，共35分） 1、?e
dx x 1)sin(ln
2、求三叶玫瑰线],0[3sin πθθ∈=a r 围成的面积
3、求5
2cos
12π
n n n x n +=
的上下极限 4、求幂级数∑∞
=+12)1(n n
n
x 的和 5、),(y x f u =为可微函数， 求22)()(
y
u
x u ??+??在极坐标下的表达式 七、 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）
1、已知??
???==≠≠+=0
000,01cos
1sin )(),(2
2y x y x y
x y x y x f 或，求
),(lim )
0,0(),(y x f y x →，问),(lim lim ),,(lim lim 0
00
0y x f y x f x y y x →→→→是否存在？为什么？
2、讨论反常积分?∞
++0
1
dx x
x q
p 的敛散性。 3、讨论]1,0[1)(∈++=
x x
n nx x f n 的一致收敛性。
八、 证明题：（每小题10分，共20分）
1、设f （x ）在[a ,+∞）上单调增加的连续函数，0)0(=f ，记它的反函数
f --1
（y ），证明)0,0()()(010>>≥+??-b a ab
dy y f dx x f b
a
2、设正项级数∑∞=1
n n x 收敛，证明级数∑∞
=1
2
n n x 也收敛
《数学分析》（二）测试题（4）
一． 判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：
1．闭区间[]b a ,的全体聚点的集合是[]b a ,本身。 2．函数 ()
1ln 2-+x x 是
1
12
-x 在区间()∞+,1内的原函数。
3．若()x f 在[]b a ,上有界，则()x f 在[]b a ,上必可积。 4．若()x f 为连续的偶函数，则 ()()dt t f x F x
?=0 亦为偶函数。
5．正项级数 ()∑
∞
=+1
!
110n n
n 是收敛的。
二．填空题（每小题3分，共15分）：
1．数列 ()??????+-131n n n
的上极限为 ，下极限为 。
2．=??? ?
?++++++∞→2222
222211
lim n n n n n n ΛΛ 。 3．
=?x t
dt e dx
d tan 0 。 4．幂级数 ∑
∞
=?1
3
n n
n
n x 的收敛半径=R 。 5．将函数 ()()ππ<<-=x x
x f 展开成傅里叶级数，则 =0a ，
=n a ， =n b 。
三．计算题（每小题7分，共28分）：
1．?+-x x e e dx
； 2．?e dx x x 0ln ； 3．dx x x
?∞
++0
4
1； 4．?-21
1
x xdx
四．解答题（每小题10分，共30分）：
1．求由抛物线 x y 22= 与直线 4-=x y 所围图形的面积。 2．判断级数 ()∑∞
=-11
tan
1n n
n
是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
3．确定幂级数 ∑
∞
=--11
21
2n n n x 的收敛域，并求其和函数。
五．证明题（12分）：
证明：函数 ()∑
∞
==14
sin n n
nx
x f 在()∞+∞-,上有连续的二阶导函数，并求()x f ''。
《数学分析》（二）测试题（5）
二． 判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：
1．设a 为点集E 的聚点，则E a ∈。
2．函数 ()
1ln 2++x x 是
1
12
+x 在()∞+∞-,内的原函数。
3．有界是函数可积的必要条件。
4．若()x f 为连续的奇函数，则 ()()dt t f x F x
?=0 亦为奇函数。
5．正项级数 ∑
∞
=1
2
2n n
n 是收敛的。
二．填空题（每小题3分，共15分）：
1．数列 (){}
n
12-+ 的上极限为 ，下极限为 。
2．=??? ??++++++∞→2222
221
lim n n n n n n
n n ΛΛ 。 3．=?x t
dt e dx d sin 0 。
4．幂级数 ∑
∞
=+12
1
4n n
n x n 的收敛半径=R 。 5．将函数 ()()ππ<<-=x x
x f 展开成傅里叶级数，则 =0a ，
=n a ， =n b 。
三．计算题（每小题7分，共28分）：
1．dx x x ?+2
3
9； 2．?10dx e x
；
3．?∞+-+2
22x x dx ； 4．?-1021x
xdx
四．解答题（每小题10分，共30分）：
1．求由两抛物线 2x y = 与 22x y -= 所围图形的面积。 2．判断级数 ()∑∞
=+-11
ln
1n n
n
n 是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
3．确定幂级数 ∑∞
=-11n n x n 的收敛域，并求其和函数。
五．证明题（12分）：
证明：函数 ()2
2
12
1n x n e n
x f -∞
=∑
= 在 [)∞+,0 上连续。
《数学分析》（二）测试题（6）
一．判断（2*7=14分）
（ ）1. 设[]b a x f x ,)(0在为上的极值点，则0)(0='x f
（ ）2.若在[]b a ,内)()(],,[),()(),()(x g x f b a x b g b f x g x f ≤∈?='≥'有则对 （ ）3.若A x A x ∈的聚点，则必有为点集 （ ）4. 若()C x F dx x F x F +='
?)()()(则
连续，
（ ）5.若[][])()(,,,(22x f dt t f b a x b a x f x a
='
??
?
?
?∈?
则上连续，）在
（ ）6.若必发散）＋（则，
发散收敛，∑∑∑n n n n b a b a （ ）7.若∑∑必收敛收敛，则3
2
n n a a
二．填空（3*7=21分）
1. 已知()____________
)(,2)(ln =-='
x f x x f 则 2．___________)1ln(sin 2=+?
dx x x π
π
－
3.?=->≤???=2
02
________)1(,)
0()0(dx x f x x e
x x f x 则）（设
4 .求?=→x
x dt t x 0
23
sin 1lim
________________
5.求(_______)123的拐点坐标+-=x x y
6．用定积分求________12111
lim =??
? ??++++++∞→n n n n n Λ
7.幂级数n
n
x n ∑
?2
1的收敛半径R ＝ 三 . 计算 （4*7=28分）(要有必要的计算过程)
1. ?dx xe x
2. dx x x ?-1
12
3. dx x ?1
0arcsin
4．求曲线所围成的图形的面积与x y x y =-=22
四．判别级数的敛散性（2*9=18分）(要有必要的过程) 1 .∑
∞
=?1
!2n n
n n
n
2 .判别∑∞=+-1
2
2
)1(n n
x
n n 在）（∞+∞-,上是否一致收敛，为什么
五．证明：(9+10=19分)
1．设级数∑2
n a 与∑2
n b 都收敛，证明：∑n n b a 绝对收敛
2．设[]b a x f ,)(在上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明：存在 一点),(b a ∈ξ，使得 )()()
(4)(2
a f
b f a b f --≥''ξ
《数学分析》（二）测试题（7）
一．判断（2*7=14分）
（ ）1. 设0)(0='x f ，则)(0x f x 必为的极值点
（ ）2.若在[]b a ,内)()(],,[),()(),()(x g x f b a x b g b f x g x f ≥∈?='≥'有则对 （ ）3.若A x A x 可能不属于的聚点，则为点集
（ ）4. 若()C x F dx x F x F +='?)()()(则连续，
（ ）5.若[][])()(,,,(x f dt t f a b x b a x f b x -='??
? ??--∈?-则上连续，）在
（ ）6.若收敛则级数，∑<=+∞
→n n
n n u l u u 1lim
1
（ ）7.∑至少存在一个收敛点幂级数n n x a
二．填空（3*7=21分）
1. 已知()____________)(,2)1(2=-='
x f x x f 则＋
2．___________1
cos ,1
cos 1
4
1
1
4
=+=+?
?
dx x x A dx x x 则已知－
3.?=->≤???+=202________)1(,)0()
0(1dx x f x x x
x x f 则）
（设 4 .求?=-→x x dt t
t
x 00cos 11lim ________________ 5.求_____(__)12
131)(2
3
=+-
=f x x x f 的极大值为 6．用定积分求________211lim
=???
? ??+++∞→n n n n n n Λ
7.幂级数n
n x n
∑2的收敛半径R ＝
三 . 计算 （4*7=28分）(要有必要的计算过程)
1. ?xdx x ln
2. dx x x ?-1
12 3. dx x x ?1
arctan
4．求曲线的弧长到从103===
x x x y
四．判别级数的敛散性（2*9=18分）(要有必要的过程) 1 .∑
∞
=??
?
??+12
121n n n n n 2 .判别∑∞
=+-1
2
2
)1(n n
x
n n 在）（∞+∞-,上是否一致收敛，为什么
五．证明：(9+10=19分)
1．设级数∑2
n a 与∑2
n b 都收敛，证明：∑+2)(n n b a 收敛
2．[][]b a x x f dx x f x f b a x f b
a ,0)(,0)(,0)(,)(∈≡=≤?，证明：上连续，在若
《数学分析》（二）测试题（8）
三． 判断题（正确的打“√”，错误的打“×”；每小题3分，共15分）：
1．开区间(),a b 的全体聚点的集合是(),a b 本身。 2．函数 ()
1ln 2-+x x 是
1
12
-x 在区间()∞+,1内的原函数。
3．若()x f 在[]b a ,上有界，则()x f 在[]b a ,上必可积。
4．若()x f 为[]b a ,上的连续函数，则()()d x a F x f t t =?在[]b a ,上可导。 5．正项级数 1
1
n n
∞
=∑ 是收敛的。
二．填空题（每小题4分，共16分）：
1．=??
?
??++++++∞→2222
22221
1
lim n n n n n n ΛΛ 。 2．
d d d x t
e t x =? 。 3．幂级数 ∑
∞
=?1
3
n n
n
n x 的收敛半径=R 。 4．将函数 ()()ππ<<-=x x
x f 展开成傅里叶级数，则 =0a ，
=n a ， =n b 。
三．计算题（每小题10分，共30分）：
1．2d 1x x ?-； 2．1ln d e
x x ?； 3．dx x x ?∞++041；
四．解答题（每小题10分，共30分）：
1．求由抛物线 x y 22= 与直线 4-=x y 所围图形的面积。
2．判断级数 ()
2
1
1
1n
n n ∞
=-∑ 是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 3．确定幂级数 ∑∞
=-1
1n n x n 的收敛域，并求其和函数。
五．证明题（9分）：
证明：函数 ()2
2
12
1n x n e n
x f -∞
=∑
= 在 [)∞+,0 上连续。
参考答案（1）
一、1、设)(x f 在],[b a 连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立
)()()(a F b F dx x f b
a
-=?
2、,0.0>?>?N ε使得N n m >>?，成立ε<+++++m n n a a a Λ21
3、设2R D ?为开集，D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ??,无关的常数A 和B ，使得)(22y x o y B x A z ?+?+?+?=?则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的，并称y B x A ?+?为在点),(000y x P 处的全微分 二、1、分子和分母同时求导
31
6sin 2lim sin lim
5406
20
2
==→→?x
x x x dt t x x x （8分） 2、、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）
所求的面积为：31
)(1
02=-?dx x x （3分）
所求的体积为：10
3)(105π
π=-?dx x x （3分）
3、解：设∑∞
=+=1)
1()(n n n n x x f ，1)
1(1)
2)(1(1lim
=+++∞→n n n n n ，收敛半径为1，收敛域
[-1，1]（2分）
),
10(),1ln(1
1)
1()(121'
<<---=+=∑∞
=-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0
'<<--+
==?x x x
x
dt t f x f x
(3分） x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2（3分）
4、解： y u ??=z x x z y
ln （3分）=
???y
x u 2zx x x x z y
z y
1ln 1+-(5分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分）
11
)1
11(lim !)1()!
1(lim -∞→+∞→=+-=++e n n n n n n n n
n n （4分）由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分）
2、解：???+∞
----+∞
--+=1
11
10
1dx e x dx e x dx e x x p x p x p （2分），对?--1
1dx e x x p ，
由于)0(111+→→---x e x x x p p 故p >0时?--10
1dx e x x p 收敛（4分）；?+∞
--1
1dx e x x p ，
由于)(012+∞→→--x e
x
x x
p （4分）故对一切的p ?+∞
--1
1dx e x x p 收敛，综上所述
p >0，积分收敛
3、解：2
21
)(n
x x S n +=收敛于x （4分）0)(sup lim ),(=-+∞-∞∈∞→x x S n x n 所以函数列一致收敛性（6分）
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、证明：
11123221213423-=-->=-n n n x x x x x x x x n n n ΛΛ)2(,1
1
2>->n x n x n （6分）
∑∞
=-2
11
n n 发散，由比较判别法知级数发散（4分）
2、证明：||||
02
2
xy y
x xy ≤+≤（4分）
2
2
)
0,0(),(lim
y
x xy y x +→=0所以函数在
（0，0）点连续，（3分）又00
lim 0=?→?x
x ，)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，（4
分）但
2
2)0,0(),(lim
y x y
x y x ?+???→??不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）
参考答案（2）
1、,0.0>?>?δε使得δδδ<<
εδδ
--2
1
)(a a dx x f
2、设2R D ?为点集，m R D f →:为映射，,0.0>?>?δε使得
D x x x x ∈<-?2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f 二、1、由于
x
+11
在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分） )21
2111(
lim n
n n n +++++∞
→Λ=2ln 11)11211111(
1lim 10=+=+++++?∞→dx x n
n n n n n Λ（6分）
4、、所求的面积为：22023)cos 1(a dx x a ππ
=-?（8分）
5、解：π=++=++??-+∞→∞
+∞-A A A dx x x dx x x
cpv 2211lim 11)( (3分）
4、解：11
lim 2=∞
→n
n x
，r=1（4分） 由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分）
5、解： y u ??=221y x f x f -（3分）3
22112212y x
f xy f y f f y x u -++=???（5分） 三、1、解、
0lim lim lim ,1lim lim lim 2
02000200==+-==+-→→→→→→y
y y x y x x x y x y x y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k
+11
所以重极限不存在（5分） 2、解：???∞+∞++=1100arctan arctan arctan dx x x
dx x x dx x x p p p （2分），对?10arctan dx x x p ，由于)0(1arctan 1+→→-x x x x p p 故p <2时?10arctan dx x x p
收敛（4分）；?∞+1arctan dx x x p ，由于)(2arctan +∞→→x x x x p p π（4分）故p >1?∞+1arctan dx x x p 收敛，综上所述1
23
])1(2[lim
3<+=-++∞
→n
n n n n 所以级数收敛（10分） 四、证明题（每小题10分，共20分）
1、证明：由0)(≥x f 但不恒为0，至少有一点],[0b a x ∈ f （x ）在[a ,b ]连续（2分），存在包含x 0的区间],[],[b a d c ?，有0)(>x f （4分），
0)()(>≥??
d
c
b
a
dx x f dx x f （4分）
2、证明：以二元函数为例
ugradv
vgradu v v u u u v u v u v v u v u u v v u u v v u uv grad y x y x y x y x y y x x +=+=+=++=),(),(),(),(),()(（10分）
参考答案（3）
一、1、设有定数I ，,0.0>?>?δε使得对任意的分法
b x x x a n =<<<=Λ10和任意的点],[1i i i x x -∈ξ，只要δλ
i x ，
成立εξ<-?∑=n
i i i I x f 1
)(
2、S 的任意两点x ，y 之间，都存在S 中的一条道路r ，则称S 为连通集
3、,0)(.0>?>?εεN 使得N n m >>?，成立ε<+++++m n n a a a Λ21
二、1、
???-+-=-=e
e e e
dx x e e dx x x x dx x 1
1
1
1
)sin(ln 11cos 1sin )cos(ln |ln sin )sin(ln （5
分）)11cos 1sin (2
1
)sin(ln 1
+-=
?e e dx x e
（2分） 6、由对称性知，所求的面积为：4
3sin 2
62
20
2
2
a d a πθθπ
=
?
?
（7分）
7、解：上极限为0.5，下极限为54cos 21π
(7分）
4、解：21
2
1lim =∞
→n
n
n ，r=2（3分） 收敛域为（-3，1），级数的和为x
-11
（4分）， 5、解： 设极坐标方程为
θ
θsin ,cos r y r x ==x
u
??=θθsin cos y x u u +y
x u r u r u θθθcos sin +-=??（5分）22)()(
y u x u ??+??=222)(1)(θ
??+??u
r r u （2分） 三、1、解、由于y
x 1
cos 1sin 有界，22y x +为无穷小，=→),(lim )0,0(),(y x f y x 0 （5
分）
)1
cos 1sin lim 1cos 1sin lim (lim 1cos 1sin )(lim lim 202002200y x y y x x y x y x y y x y x →→→→→+=+，而y x x y 1cos 1sin lim 20→极限不存在，y
x y y 1
cos 1sin lim 20→极限存在，故整体极限不存在，同理),(lim lim 0
0y x f x y →→不存在（5分）
2、解：???
∞+∞
++++=+11001
11dx x
x dx x x dx x x q p q p q p （2分），对?+101dx x x q p ，由于)0(11)
,min(+→→+x x x x q p q p 故1),min( x q p 收敛（4分）；?∞++11dx x x q p ，由于 )(11) ,max(+∞→→+x x x x q p q p （4分）故