人教版高中数学必修四第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正余弦及正切公式(教师版)【个性化辅导含答案】
两角和与差的正余弦、正切公式及二倍角公式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.2、灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.一、 两角和的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ 的推导：复习：两点间的距离公式：设),(111y x P ，),(222y x P 22122121()()PP x x y y =-+- 推导过程：由三角函数定义知：(1,0)A ， (cos ,sin )B αα, (cos(),sin())C αβαβ++， (cos(),sin())D ββ--，由已知：AOC BOD ∠=∠;设角α、角β为任意角 如左图在平面直角坐标系xoy 中 作AOB α∠=,BOC β∠= 则AOC αβ∠=+ 作单位圆．．．， 设角α、角β的终边分别与单位圆交于点B ，点C 再作DOA BOC β∠=∠=∴ DAB ABC = ∴DB AC =∴[][]2222cos cos()[sin sin()]cos()1sin ()αβαβαβαβ--+--=+-++∴[][]2222cos cos()[sin sin()]cos()1sin ()αβαβαβαβ--+--=+-++展开并整理得: 22(cos cos sin sin )22cos()αβαβαβ--=-+∴ βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+上述公式称为两角和的余弦公式 记为 ():C αβ+βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+解：那么)sin ,(cos αα=OA ， )sin ,(cos ββ=OB 所以cos （α－β） =cos ><OB OA ,=||||b a b a ⋅⋅=βαβαsin sin cos cos ⋅+⋅二、两角和与差的正弦公式： sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cosβ+sin(2π-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ. sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.三、两角和与差的正切公式： 当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=.sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(βαβαβαβββ-+=++a a如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得 tan(α+β)=)tan(tan 1tan tan βαβα--+，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)=.tan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan βαβαβαβα+-=---+cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。
3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②三角公式的逆用；③切割化弦，异名化同名，异角化同角等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=； 22cos 1cos 2αα+=。
（2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cosϕϕ==其中cos φ公式的推导：sin cos a x b xx x ⎫+=+⎪⎭cosϕ=sin ϕ=，于是有：)sin cos sin coscos sin a x b x x x x x ϕϕ⎫+=+=+⎪⎭()x ϕ=+其中ϕ由22cos a a b ϕ=+，22sin b a b ϕ=+和tan baϕ=共同确定类型一：正用公式 例1.已知:41cos ,32sin -=β=α，求cos()αβ-的值. 【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式. 【解析】由已知可求得22515cos 1sin sin 1cos 34ααββ=-=±=-=±. 当α在第一象限而β在第二象限时，cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+51215)3434=-+⋅125152-=. 当α在第一象限而β在第三象限时，512152155cos()()(343412αβ-=-+⋅-=-. 当α在第二象限而β在第二象限时，512152155cos()()343412αβ-=--+⋅=. 当α在第二象限而β在第三象限时，512152155cos()()(343412αβ-=--+⋅-=-. 【点评】例1是对公式的正用．当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.练习：【变式1】已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则tan 2x = . 【答案】247-. 【变式2】已知tan()24x π+=，则tan tan 2xx= .【答案】19【变式3】已知tan α和tan β是方程2260x x +-=的两个根，求tan()αβ+的值. 【答案】18-【解析】由韦达定理，得1tan tan 2αβ+=-， tan tan 3αβ⋅=-， ∴ tan tan 1tan()1tan tan 8αβαβαβ++==--⋅. 【高清课堂：三角恒等变换397881 例1】【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)22sin 13cos 17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)22sin 15cos 15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)22sin 18cos 12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)22sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒ (5)22sin (25)cos 55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下2213sin 15cos 15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒= Ⅱ.证明:22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=+++--22333sin cos 444αα=+= 例2．已知324πβαπ<<<，12cos()13αβ-=,3sin()5αβ+=-，求sin 2α的值.【思路点拨】注意到2()()ααβαβ=++-，将()αβ+，()αβ-看做一个整体来运用公式. 【解析】324πβαπ<<<,30,42ππαβπαβ∴<-<<+<，5sin()13αβ∴-===，4cos()5αβ+===-，sin 2sin[()()]sin()cos()cos()sin()31245()5135135665ααβαβαβαβαβαβ∴=++-=+-++-=-⨯+-⨯=-【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了2()()ααβαβ=++-的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有(),βαβα=+-,1[()()]2ααβαβ=++-,2()()βαβαβ=+--, ()424πππαα+=--等. 2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用. 练习：【变式1】已知3sin 5α=，α是第二象限角，且tan()1αβ+=，求tan 2β的值. 【答案】724-【解析】由3sin 5α=且α是第二象限角，得3tan 4α=-， ∵()αβαβ+-=， ∴tan()tan tan tan[()]71tan()tan αβαβαβααβα+-=+-==++.22tan 7tan 21tan 24βββ∴==--【变式2】函数)2cos(10)y x x =+-+的最大值为（ ）A．．4 C ． 2 D ．2+ 【答案】C ；【解析】∵7060(10)x x +=++，60cos(10)cos60sin(10)]2cos(10)cos(10)3sin(10)2sin(40)x x x x x x ∴=+++-+=+++=+原式.所以其最大值为2，故选C.【变式3】已知4cos()cos 2.125212πππθ-=-<θ<πθ，且，求（＋）的值 【答案】50【解析】角的关系式：4)12(2122ππθπθ+-=+（和差与倍半的综合关系）∵4cos()1252ππθ-=-<θ<π，且，∴53)12sin(=-πθ∴2524)12cos()12sin(2)12(2sin -=--=-πθπθπθ 2571)12(cos 2)12(2cos 2=--=-πθπθ ∴]4)12(2cos[.122cos ππθπθ+-=）＋（＝)]12(2sin )12(2[cos 22πθπθ---724)2525=+= 【变式4】已知παπ434<<，40πβ<<，53)4cos(=-απ，135)43sin(=+βπ，求sin()αβ+的值。
高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
人教A版高中数学必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案(2)
2019-2020年高考数学一轮复习 6.1 两角和、差的正弦、余弦、正切教案 新课标一、知识回顾（一）两角和与差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()βαβαβαsin sin cos cos cos μ=± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan μ±=± （二）倍角公式 ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=注：倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。
注：（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：求值题，化简题，证明题。
（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。
（3）掌握“角的演变”规律，如()()()αβαββαβαα-+=-++=,2（4）将公式和其它知识衔接起来使用。
二、例题选讲例1．（1）计算的值；（=）（2）设若则=（ B ）A ．B ．C ．D ．4 例2．已知()(),43tan tan tan tan tan =+⋅--+βααβαβα且求 分析：涉及与及的正切和差与积，通常用正切公式的变形公式。
解：由已知()()βααβαβα+⋅--+tan tan tan tan tan =()()()()43tan tan tan tan tan 1tan tan ==+⋅⋅-+-+ββααβαβαβα 又所以为第三象限角，所以例3．求值：)45tan 1)(44tan 1()2tan 1)(1tan 1(0000++⋅⋅⋅++ 解：由144tan 1tan 44tan 1tan 44tan 1tan 144tan 1tan )441tan(45tan 100000000000=++⇒-+=+==得；21144tan 1tan 44tan 1tan 1)44tan 1)(1tan 1(000000=+=+++=++同理可得；2)43tan 1)(2tan 1(00=++，2)23tan 1)(22tan 1(00=++⋅⋅⋅， 故原式例4．已知),2,4(,41)24sin()24sin(ππααπαπ∈=-⋅+ 1cot tan sin 22--+ααα求的值. 解：法一：直接展开可得；414cos 2141)24sin()24sin(===-⋅+ααπαπ， 又.125),2,4(παππα=∈所以 于是 ααααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222-+-=-+-=--+ .325)3223()65cot 265(cos )2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα 法二：由)24cos()24sin()24sin()24sin(απαπαπαπ+⋅+=-⋅+ ,414cos 21)42sin(21==+=ααπ得 以下同解法一； 例5．设,322sin ,912cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαβα的值； 分析：观察已知角和所求角，可作出⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222，然后利用余弦的倍角公式求解。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4
探究三
思维辨析
(2)∵α 为锐角 ,sin α= ,∴cos α= .
5 5
3
4
∵β 是第四象限角 ,cos β= 5, ∴sin β=-5. ∴sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β
= × + × 5 5 5 3 4 4 3 5 3
4
=0.
3.1.2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学 习 目 标 1.能根据两角差的余弦 公式推导出两角和与差 的正弦、余弦、正切公 式. 2.能利用两角和与差的 正弦、余弦、正切公式 进行化简求值等.
思 维 脉 络
和角、差角公式如下表:
名称 差的余弦 和的余弦 和的正弦 差的正弦 和的正切 差的正切
公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β sin(α-β)=sin αcos β- cos αsin β tan(α+β)= tan(α-β)=
简记 C(α -β) C(α+ β) S(α+ β) S(α-β) T(α+β) T(α-β)
逻辑联系
做一做 (1)sin(30°+45°)= (2)cos 55°cos 5°-sin 55°sin 5°=
.
.
(3)若 tan ������-
π 4
=2,则 tan α=
.
解析:(1)sin(30°+ 45°)=sin 30°cos 45°+ cos 30° sin 45° = ×
第三章三角恒等变换教案
高中数学必修4 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单使用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不但有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，使用已学知识和方法的水平问题，等等. 三、教学设想： （一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家能够猜测，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜测是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也能够用角α的余弦线来表示。
思考?.1角函数线来探求公式怎样联系单位圆上的三(1) 怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）?)2(的余弦线和余弦线的正弦线怎样作出角βαβα-，、、思考2：怎样联系向量的数量积探求公式？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=+=-=⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活使用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：此题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？ （四）练习：不查表计算以下各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解： ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒= （五）小结：两角差的余弦公式，首先要理解公式结构的特征，理解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活使用.（1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中灵活处理已、未知关系． （六）作业3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
必修4-第三章三角恒等变换-知识点详解
必修4 第三章三角恒等变换知识点详解3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-2. 倍角公式：()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-3. 正切变形公式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)3.2 简单的三角恒等变换三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）， （2）公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件人教新课标3
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21
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22
A α β B
α
B β
O
x
O2- x
A
于是，对于任意角α，β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
称202为4/11/差4 角的余弦公式。简记为C(α-β)
11
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
视察：公式有何特征？如何记忆？
１.公式的结构特征:
左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.
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巩固练习:
解：
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变式2：已知cosα= 1 ，cos（α－β）= 4，
3
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0< β < α <
,求cosβ的值。
2
思考? 若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?
( )
变式3:以知
cos cos 3 sin sin 4 ,求cos - 的值.
问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?
猜想：
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探究过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单
cos 位标圆，的也交可点以为用角P1
，
等于角 与单位圆交点的横坐
的余弦线来表示．
大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与
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人教A版高中数学必修4课件：3-1-2-2两角和与差的正切公式
和的正切形式．(2)可以直接利用公式的变形，口答得 出结果，若在选择填空中，可以套入结论处理．
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第三章·3.1·3.1.2·
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【解】
1＋tan15° tan45° ＋tan15° (1) ＝ 1－tan15° 1－tan15° tan45°
＝tan(45° ＋15° )＝tan60° ＝ 3. tanα＋tanβ (2)由tan(α＋β)＝ 的变形 1－tanαtanβ tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)得： tan10° ＋tan35° ＝tan45° (1－tan10° tan35° ) ＝1－tan10° tan35° ， 所以tan10° ＋tan35° ＋tan10° tan35° ＝1.
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重点难点
重点：记住并会应用两角和与差的正切公式； 难点：灵活运用公式进行求值、化简、证明.
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预习篇01
新知导学
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3－tan105° tan60° －tan105° 解析：(1) ＝ ＝tan(－45° ) tan105° 1＋ 3tan105° 1＋tan60° ＝－1. tanα＋tanβ π (2)∵α＋β＝3，∴tan(α＋β)＝ ＝ 3， 1－tanαtanβ ∴tanα＋tanβ＋ 3tanαtanβ＝ 3， ∴tanα＋ 3tanαtanβ＋ 3c ＝ 3－tanβ＋ 3c＝0， ∴tanβ＝ 3(c＋1)．
高中数学人教版必修4课件3-1-2两角和与差的正弦余弦正切公式1
题型三 给值(式)求角问题
[例 3] 已知△ABC 中 B＝60°，且co1s A＋co1s C＝－
cos2B，若 A>C，求 A 的值． [解] 由已知 B＝60°，A＋C＝120°， 设A－2 C＝α，∵A>C，则 α>0， 故 A＝A＋2 C＋A－2 C＝60°＋α，
C＝A＋2 C－A－2 C＝60°－α，
[活学活用] 求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280°.
解：[2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280°
＝2sin 50°＋sin 10°1＋
sin 3cos
10° 10°·
2cos210°
＝2sin
50°＋2sin
出所求角的三角函数值，从而求出角．
[活学活用]
已知α，β均为锐角，且sin α＝ 55，cos β＝ 1100，求α－ β的值．
解：∵α，β均为锐角，且sin α＝ 55，cos β＝ 1100，
∴cos α＝255，sin β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
人教版 必修4
第三章 三角恒等变换
两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
教材新知
知识点一 两角和的余弦公式
[提出问题] 问题1：把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的 β用－β代替，结果如何？ 提示：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 问题2：在cos(α±β)的公式中，α，β的条件是什么？
利用单调性及最值建立关于 a，b 的 方程组→求得 a，b 的值
2014年人教A版必修四课件 3.1 两角和与差的正弦,余弦和正切公式
问题1. 在三角函数中, 对于特殊角, 如30、45、 60等, 我们可以记得它们的正弦、余弦等函数值, 那 么对于如15、75等的角, 是否可用特殊角来计算其 三角函数值呢? 即 sin15=? sin75=? cos15=? cos75=?
∵sin15=sin(45-30),
= 2 3 + 21 2 2 2 2 6 + 2 = . 4
法二: cos15º = cos(60º -45º ) = cos60º cos45º +sin60º sin45º
= 1 2 + 3 2 2 2 2 2 2 + 6 = . 4
例2. 已知sina = 4 , a( p , p), cosb = - 5 , b 是 13 5 2 第三象限角, 求cos(a -b )的值. 解: 已知 sina = 4 , a (p , p ), 5 2 则cosa = - 1 - sin 2 a = - 3 , 5 5 cos b = , b是第三象限角, 又 13 则sinb = - 1 - cos2 b = - 12 , 13 ∴cos(a -b ) = cosa cosb +sina sinb = - 3 (- 5 ) + 4 (- 12 ) 5 13 5 13 = - 33 . 65
3. 已知sinq = 15 , q是第二象限角, 求cos(q - p )的值. 3 17 解: sinq = 15 , q是第二象限角, 17 cosq = - 8 , 17 则 cos(q - p ) = cosq cos p + sinq sin p 3 3 3 = (- 8 ) 1 + 15 3 17 2 17 2 = 15 3 - 8 . 34
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
123 45
解析答案
2.化简 2cos x－ 6sin x 等于( D )
A.2 2sinπ6＋x
B.2 2cosπ6－x
C.2 2sinπ3－x
D.2 2cosπ3＋x
解析
2cos x－
6sin x＝2
212cos
x－
3 2 sin
123 45
解析答案
123 45
5.已知
α，β
9
均为锐角，且
sin
α＝35，tan(α－β)＝－13，则
sin(α－β)＝
－
10 10
，
cos β＝
50
10
.
解析 ∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，
∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－ 1100，cos(α－β)＝31010.
达标检测
1.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( B )
A.－
3 2
B.－12
1
3
C.2
D. 2
解析 原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°