初中二次函数解析式的确定-例题和答案

第一、求二次函数解析式的问题

一．知识要点:

1.已知抛物线的顶点(m,n ）及抛物线上的另一点(a,b)，这时可以设抛物线的解析式为：y=k(x-a)2+b.，式中只有一个待定系数k,把(m,n ）代入即可求出k ，从而求出抛物线的解析式。

2. 已知抛物线与x 轴的交点(x 1，0)和(x 2,0）及抛物线上的另一点(a,b)，这时可以设抛物线的解析式为：y=k(x-x 1 )(x-x 2 ) 式中只有一个待定系数k,把(a,b ）代入即可求出k ，从而求出抛物线的解析式。

3. 已知抛物线上任意三点(x 1,y 1）(x 2,y 2）(x 3,y 3）这时可以设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c,式中含有三个待定系数a 、b 、c 把(x 1,y 1）(x 2,y 2）(x 3,y 3）代入,得到含a , b, c 的方程组，即可求出k ，从而求出抛物线的解析式。

二. 重点、难点：

重点：求二次函数的函数关系式

难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。

三. 教学建议：

求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。 典型例题

例1.已知某二次函数的图象经过点A （－1，－6），B （2，3），C （0，－5）三点，求其函数关系式。

例2. 已知二次函数y ax bx c =++2的图象的顶点为（1，-92

），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。

例3. 已知二次函数图象的对称轴是x =-3，且函数有最大值为2，图象

与x 轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。

例4. 已知二次函数y ax bx c =++2的图象如图1所示，则这个二次函数

的关系式是

例5. 已知：抛物线在x 轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这

个函数的关系式

例6. 已知二次函数y m x mx m m =-++-()()()123212≠的最大值是零，

求此函数的解析式。

例7. 已知某抛物线是由抛物线y x =22经过平移而得到的，且该抛物线

经过点A （1，1），B （2，4

例8. 如图2，已知点A （－4，0）和点B （6，0），第三象限内有一点P ，它的横坐标为－2，并且满足条件tan tan ∠·∠PAB PBA 1

（1）求证：△PAB 是直角三角形。

（2）求过P 、A 、B 三点的抛物线的解析式，并求顶点坐标。

例9. 如图3所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系

上的示意图，点A 和A 1，点B 和B 1分别关于y 轴对称，隧道拱部分BCB 1为一段抛物线，最高点C 离路面AA 1的距离为8米，点B 离地面AA 1的距离为6米，隧道宽AA 1为16米

图3

（1）求隧道拱抛物线BCB 1的函数表达式；

（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型

设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。

例10. 有这样一个问题：

已知：二次函数y ax bx c =++2的图象经过A （0，a ），B （1，2），

，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x =2，题目中的矩形框部分是一段被墨水覆盖而无法辨认的文字。

（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的关系式？若能，写

出求解过程，若不能，说明理由。

（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

例11. 已知四点A（1，2），B（0，6），C（－2，20），D（－1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。

1.分析：设y ax bx c =++2，其图象经过点C （0，－5），可得c =-5，再由另外两点建立关于a b 、的二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值即可。 解：设所求二次函数的解析式为y ax bx c =++2

因为图象过点C （0，－5），∴c =-5

又因为图象经过点A （－1，－6），B （2，3），故可得到：

a b a b a b a b a b --=-+-=???-=-+=???==???

56425312412即解得： ∴所求二次函数的解析式为y x x =+-225

说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为y ax bx c =++2，然后确定a 、b 、c 的值即得，本题由C （0，－5）可先求出c 的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。

2. 分析：由已知顶点为（1，-92），故可设y a x =--()192

2，再由点（－2，0）确定a 的值即可 解：设y a x =--()192

2，则 ∵图象过点（－2，0），

∴02192

2=---a () ∴a y x ==--1212192

2，∴，() 即：y x x =--12

42 说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h ，k ），一般设y a x h k =-+()2，再根据其他条件确定a 的值。本题虽然已知条件中已设y ax bx c =++2，但我们可以不用这种形式而另设y a x h k =-+()2这种形式。因为在y ax bx c =++2这种形式中，我们必须求a 、b 、c 的值，而在y a x h k =-+()2这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a 的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函

数关系式。

3.分析：依题意，可知顶点坐标为（－3，2），因此，可设解析式为顶点式 解：设这个二次函数的解析式为y a x =++()322

∵图象经过（－1，0），

∴01322=-++a ()

∴a =-12

∴所求这个二次函数的解析式为y x =-++12

322() 即：y x x =---12352

2 说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。

4.分析：可根据题中图中的信息转化为一般式（或顶点式）（或交点式）。 方法一：由图象可知：该二次函数过（0，0），（2，0），（1，－1）三点

设解析式为y ax bx c =++2

根据题意得：00421120==++-=++?????==-=????

?c a b c

a b c a b c 解得 ∴所求二次函数的解析式为y x x =-22

方法二：由图象可知，该二次函数图象的顶点坐标为（1，－1）

设解析式为y a x =--()112

∵图象过（0，0），∴00112=--a ()，∴a =1

∴所求二次函数的解析式为y x =--()112

即y x x =-22

方法三：由图象可知，该二次函数图象与x 轴交于点（0，0），（2，0）

设解析式为y a x x =--()()02

∵图象过（1，－1）

∴-=-112a ()，∴a =1

∴所求二次函数解析式为：y x x =-()2

即：y x x =-22

说明：依题意后两种方法比较简便。

5.分析：由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与x 轴的两个交点为（x 1，0），（x 2，

0），则有对称轴x x x =+12

12()，利用这个对称性很方便地求二次函数的解析式 解：∵顶点坐标为（2，4）

∴对称轴是直线x ＝2

∵抛物线与x 轴两交点之间距离为4

∴两交点坐标为（0，0），（4，0）

设所求函数的解析式为y a x =-+()242

∵图象过（0，0）点

∴044=+a ，∴a =-1

∴所求函数的解析式为y x x =-+24

6.分析：依题意，此函数图象的开口应向下，则有a m =-<10，且顶点的纵坐标的值为零，则有：413224102·()()()()

m m m m ----=。以上两个条件都应满足，可求m 的值。

解：依题意：m m m m m -<----=?????10413224102

①②()()()()

由①得 m <1

由②得：m m 1212

2==，（舍去） 所求函数式为y x x =-++-()()121212312

22×× 7.分析：设所求抛物线的函数关系式为y ax bx c =++2，则由于它是抛物线y x =22经过平移而得到的，故a ＝2，再由已知条件列出b 、c 的二元一次方程组可解本题。

解：设所求抛物线的函数关系式为y ax bx c =++2，则由已知可得a ＝2，又它经过点A （1，1），B （2，4）

故：21824124++=++=???+=-+=-???b c b c b c b c 即 解得：b c =-=???32

∴所求抛物线的函数表达式为：y x x =-+2322

说明：本题的关键是由所求抛物线与抛物线y x =22的平移关系，得到a =2

即：y x x =-+-1212

2 8.分析：（1）中须证PA PB AB 222+=，由已知条件：

tan tan ∠·∠PAB PBA =1，应过P 作PC ⊥x 轴

（2）中已知P 、A 、B 三点的坐标，且根据点的位置可用三种不同的方

法求出抛物线的解析式

解：（1）过P 作PC ⊥x 轴于点C ，

由已知易知AC ＝2，BC ＝8

从而∠，∠tan tan PAB PC PBA PC ==28

∴PC PC 28

1·=，解得：PC ＝4 ∴P 点的坐标为（－2，－4）

由勾股定理可求得：PA AC PC 22220=+=

PB BC PC 22280=+=，又AB 2100=

∴AB PA PB APB 22290=+=，∴∠°

故△APB 是直角三角形

（2）解法1，可设过P 、A 、B 三点的抛物线的解析式为：

y ax bx c =++2，

则有4241640366014126a b c a b c a b c a b c -+=--+=++=?????==-=-??????

???∴ ∴y x x x =--=--14126141254

22() ∴顶点坐标（1，-254

） 解法2：由抛物线与x 轴交于A （－4，0），B （6，0），

可设y a x x =+-()()46，又抛物线过点P （－2，－4）可求a 值

解法3：由A （－4，0），B （6，0）

可知抛物线的对称轴为x =1

可设y a x k =-+()12，将A 、B 点的坐标代入解析式可求a ，k 的值

9.分析：（1）由已知可得顶点C 的坐标为（0，8），B 点坐标为（－8，6），从而可求其函数关系式。 （2）假设汽车从正中行驶，则其最右边到y 轴的距离是2，于是求出抛

物线上横坐标为2的点的坐标，再看它到地面AA 1的距离是否大于7米，由此可判断运货汽车能否安全通过隧道。

解：（1）如图所示，由已知得OA ＝OA 1＝8，OC ＝8，

故C 点坐标（0，8），B 点坐标为（－8，6）

设隧道拱抛物线BCB 1的函数表达式为y ax =+28，

则()-+==-886132

2·，得a a ∴隧道拱抛物线BCB 1的函数关系式为y x =-+132

82 （2）设货运汽车从正中行驶，则其最右边正上方抛物线上的点的横

坐标为2，设这个点为D ，过D 作DE ⊥x 轴于E

当x ＝2时，y =-+=-+=132********

2× ∴D 点坐标为（2，778），∴DE =778

∵DE =778

＞7 ∴该运货汽车能安全通过这个隧道。

说明：要求抛物线的函数关系式，关键是确定其上的点的坐标，再选用适当的形式求其关系式。

本题第（2）小题中，还可以求出抛物线上纵坐标为7的点的坐标（有两

个），再比较这两点间的水平距离是否大于4。

10.分析：仅由A 、B 两点无法求其关系式，但如果把待证的结论也看成已知条件，则可求出其关系式

解：（1）能 y x x =-+-241，过程如下

由图象经过点A （0，a ），得c ＝a

将图象对称轴为直线x =2看成已知条件，则

∵抛物线y ax bx c =++2的对称轴是直线x b a =-

2 ∴-

==-b a

b a 224得 ∴y ax ax a =-+24

∵抛物线经过点B （1，2）

∴a a a a -+==-421，∴ ∴所求二次函数的关系式为y x x =-+-241

（2）可补充条件：b a =-4（或a b =-=14或或其他条件）

说明：二次函数y ax bx c =++2配方后可变形为y a x b a ac b a

=++-()24422，故其图象的对称轴是直线x b a

=-2，顶点坐标是（--b a ac b a 2442，） 第（2）题的答案不唯一，补充的条件只要能求出其关系式为y x x =-+-241即可。

11.分析：先求出经过A 、B 、C 的抛物线的关系式，再验证点D 是否在所求抛物线上，若在，则存在这样的二次函数；若不在，则不存在这样的二次函数。 解：设图象经过A 、B 、C 的二次函数为y ax bx c =++2

则由图象经过点B （0，6），可得c ＝6

又∵图象经过点A （1，2），C （－2，20）

∴即：a b a b a b a b ++=-+=???+=--=???6242620

427

解得：a b ==-???15

∴经过A 、B 、C 三点的二次函数为y x x =-+256

∵当x y =-=---+=11516122时，×()()

∴点D （－1，12）在函数y x x =-+256的图象上

即存在二次函数y x x =-+256，其图象同时经过四个点。

说明：探索同时经过四点的抛物线的问题，可先求出经过其中三个点的抛物线的关系式，再判断第四个点是否在所求抛物线上。