有理函数积分12例
有理函数的积分
§6.3 有理函数的积分法（1）【导语】 【正文】一、有理函数的积分设()n P x 与()m Q x 分别是n 次和m 次多项式，则称()()m n Q x P x 为有理函数； 当m n <时，()()m n Q x P x 称为真分式；当m n ≥时，()()m n Q x P x 称为假分式． A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式（部分分式）． 定理6（多项式除法定理）任意一个假分式都可以表示成一个多项式与一个真分式之和．当m n ≥时，设()()()()()m n n Q x R x S x P x P x =+，则 ()()d ()d d ()()m nn Q x R x x S x x x P x P x =+∫∫∫． Remark 有理函数的积分问题转化为真分式的积分问题！（一）分母为一次重因式的真分式的积分法例1 求积分2353d (2)x x x ++∫．解 令 232353(2)2(2)(2)x A B Cx x x x +=++++++． 将右端通分得22323353(2)(2)(2)2(2)(2)(2)x A B C A x B x Cx x x x x +++++=++=+++++． 比较两端分子对应项的系数得5,40,42 3.A A B A B C =+=++=解得 5,20,23.A B C ==− =所以23235352023(2)2(2)(2)x x x x x +=−+++++， 于是2353d (2)x x x ++∫2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =−++++∫∫∫ 220235ln 222(2)x C x x =++−+++． （二）分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法对于d ()()cx dx x a x b +−−∫，可令()()cx d A Bx a x b x a x b+=+−−−−， 等式右端通分得()()()()()()cx d A B A x b B x a x a x b x a x b x a x b +−+−=+=−−−−−−．比较两端分子对应项的系数得待定系数A 和B 满足的一次方程组，求出,A B 的值．于是d d d ln ||ln ||()()cx dA Bx x x A x a B x b C x a x b x a x b +=+=−+−+−−−−∫∫∫． 例2 求积分2d (3)(5)x x x x −−−∫．解 令2(3)(5)35x A Bx x x x −=+−−−−． 等式右端通分得2()(53)(3)(5)35(3)(5)x A B A B x A B x x x x x x −+−+=+=−−−−−−． 比较两端分子对应项的系数得1,53 2.A B A B +=+=解得12A =−，32B =．所以13222(3)(5)35x x x x x −−=+−−−−． 于是2d (3)(5)x x x x −−−∫113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x C x x =−−+−=−−+−+−−∫∫．（三）分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法1．积分21d x x px q++∫假设240p q −<，则22211d d 4()24x x p q p x px q x =−++++∫∫．记2pu x =+，A21d x x px q ++∫221d u u A =+∫1arctan uA A=C ．2．积分2d (0)ax bx a x px q+≠++∫假设240p q −<，则2222(2)()d d d 2bb x x p p ax b a a a x a x x x px q x px q x px q+++−+==++++++∫∫∫ 222d()21()d 22a x px q a bp x x px q a x px q +++−++++∫∫ 2221ln()d 22a a bx px q p x ax px q+++− ++ ∫． （四）分母为二次重因式的真分式的积分法例3 求积分322221d (1)x x x x x −+++∫．解 令3211222222221(1)1(1)A x B A x B x x x x x x x x ++−+=+++++++． 等式右端通分得32321122111121122222222()()21(1)1(1)(1)A x B A x B A x A B x A A B x B B x x x x x x x x x x +++++++++−+=+=++++++++．比较两端分子对应项的系数得111121121,2,0,1.A A B A A B B B = +=− ++= += 解得11221,3,2,4.A B A B ==− = = 所以 32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x −+−+=+++++++． 对于积分23d 1x x x x −++∫，有2231(21)7d d 121x x x x x x x x −+−=++++∫∫221d(1)7212x x x x ++−++∫217ln(1)22x x C ++−．对于积分222(2)d (1)x x x x +++∫，有2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xx x x x x x x x x x +++++==+++++++++∫∫∫∫222113d 13(1)[()]24x x x x =−+++++∫，其中22212d 133[()]3()244x x C x x =++++∫． （Remark 对于22d ()n nxI a x =+∫，有122222122()n nn n x I I na na a x +−=++） 于是32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x x x x x x x x x x −+−+=+++++++∫∫∫222112ln(1)32(1)4x x x C x x x ++−+++++．（五）分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法 对于积分22d ()()bx cx d xx a x px q ++−++∫2(40)p q −<，令 222()()bx cx d A Bx Cx a x px q x a x px q+++=+−++−++． 等式右端通分后，根据分子相等得恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++≡++++−．比较两端对应项的系数得待定系数,,A B C 满足的一次方程组，求出,,A B C 的值． 于是22d ()()bx cx dxx a x px q ++−++∫22d d ln ||d A Bx C Bx C x x A x a x x a x px q x px q +++=−+−++++∫∫∫．Remark1 在上述积分问题中牵扯到的简单积是： （1）d Ax ax b+∫ln Aax b C a++； （2）()d kAxax b +∫11(1)()k A C a k ax b −+−+；(0,1)k k >≠ （3）22d (40)Bx Cx q pr px qx r+−<++∫“2211211d d 2211x x x x x x x x x ++=+++++∫∫”（4）22d (40,0,1)()kBx Cx q pr k k px qx r +−<>≠++∫“2211211d d 22(1)(1)k k x x x x x x x x x ++=+++++∫∫．Remark2A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式． 定理7 设()()Q x P x 是一真分式，则其可表示成最简分式之和，且表示形式唯一． 设 221122111222()()()()()k l P x a x b a x b p x q x r p x q x r =++++++ ，则12211222222()()()()k k A A A Q x AP x a x b a x b a x b a x b =++++ ++++112222222111222222222()()l l l B x C B x C B x C Bx Cp x q x r p x q x r p x q x r p x q x r +++++++++ +++++++++ ．【本讲总结与下讲预告】。
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
有理函数的不定积分
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B
经济数学-有理函数的积分
三、1. 2. 3. 4. 5. 6.
1 1 C； 2 1 x 2(1 x ) ln( x sin x ) C ； (1 x 2 ) 3 1 x2 C； 3 x 3x sin x 1 ln(sec x tan x ) C ； 2 2 cos x 2 x4 1 4 arctan x C； 8 8(1 x ) 8 2 x C ,或 sec x x tan x C ； x 1 tan 2
即有些初等函数是不可积的。
练习题
一、 填空题：
3 Bx C A 1． 3 dx 2 dx ，其中 A ____, x 1 x 1 x x 1
B ________ , C __________；
A B C 2． dx , 2 x 1 x 1 x 1
2u 2du , ； 2 2 1 u 1 u
1 1 2. -1, , ； 2 2
4. 初等函数 .
1 ( x 2) 4 二、1. ln C； 3 2 ( x 1)( x 3) 1 x4 1 arctan x C ； 2. ln 2 2 4 (1 x ) (1 x ) 2 2 x 2 2x 1 2 3. ln 2 arctan( 2 x 1) 8 x 2x 1 4 2 arctan( 2 1) C ； 4
A B 1, A 5 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
A B C 1 , 例2 2 2 x ( x 1 ) x ( x 1) x 1
3 3t 3 6 dt 2 t 1 t 1 t 1 3 d(1 t 2 ) 3 dt 6ln t 3ln(1 t ) 2 2 1 t 1 t 2
3.4 有理函数的积分
例: 将下列真分式分解为部分分式
（二） 有理真分式的积分： 有理真分式的积分大体有下面四种形式:
A 1. dx A ln x a C xa A A 1 n ( x a ) C 2. d x 1 n ( x a) n
MxN 3. 2 dx x px q MxN 4. 2 dx n ( x p x q)
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1 sin x dx . 例8. 求 sin x (1 cos x )
万能
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dx . 例9. 求 2 sin x 3 cos x
cos x d x 2 sin x 3 cos x .
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例10. 求
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n
ax b
R(x
a xb n , c xd
) dx ,
n a x b c xd
n m R ( x , ax b , ax b ) d x ,
令 t
p
ax b , p为m ,n的最小公倍数 .
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dx . 例12. 求 3 1 x 2
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R ( a sin x b c o s x )
1 A ( a sin x b c o s x ) B ( a sin x b c o s x )
特殊2: 通常求含 sin 2 x , cos 2 x 及 sin x cos x 的有理式
的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便 .
4.4 有理函数的积分
x
2 x
2tan x
1
tan
2 2x
2u 1 u
2
,
2
2
cosx cos2
x 2
sin 2
x 2
1 tan2 x
2 sec2 x
1 1
u u
2 2
.
2
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铃
令 u tan x , 2
则 sin x12uu2 ,
cos
x
1 1
u2 u2
.
例例44
求
1sin x sin x(1cosx)
请看如下积分:
cosx 1sin x
dx
1 1sin
x
d(1sin
x) ln(1 sin
x)
C
.
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铃
•简单无理函数的积分 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去.
例例55 求
x1 dx . x
解 设 x1u , 即 xu2 1 , 则
x 1 x
dx
u2u1
2udu
2
,
于是
1 x
1 x
x
dx
(t
2
1)t
(t
2t 2 1)2
dt
2
t
t
2
2
dt 1
2
(1
t
211)dt
2t
ln
|
t t
1|C 1
2 1 x ln 1 x x C .
x
1 x x
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有理函数的不定积分例题(由简单到复杂)
有理函数的积分1、单项式积分：(1)⎰dx 0=C.(2)⎰dx =x+C.(3)⎰dx 2=2x+C. (4)⎰dx 31=3x +C.(5)⎰adx =ax +C. (a 为常数)(6)⎰xdx =22x +C. (7)⎰xdx 2=x 2+C. (8)⎰xdx 32=⎰xdx 231=32x +C. (9)⎰dx x 2=331x +C.(10)⎰dx x 23=x 3+C.(11)⎰dx x 22=⎰2332x =323x +C. (12)⎰dx x n =11++n x n +C. (13)⎰+dx x n n )1(=x n+1+C.(14)⎰dx ax n =11++n ax n +C. (15)⎰-dx nx n 1=x n +C.2、多项式积分(16)⎰+dx x )1(=⎰xdx +⎰dx =22x +x+C.或⎰+dx x )1(=⎰++)1()1(x d x =2)1(2+x +C ’=22x +x+C. (17)⎰-dx x x )23(2=⎰dx x 23-⎰xdx 2=x 3-x 2+C.(18)⎰---dx x x x )23(23=⎰⎰⎰---xdx dx x dx x 2323=44x --x 3-x 2+C. (19)⎰-dx x )1(2020=20212021x -x+C. (20)dx x x x x x )]5()3[(3199931999++--+⎰=dx x x ⎰---)34(3=-x 4-22x -3x+C. 3、整式乘法积分(21)dx x x ⎰-)1(=dx x x ⎰-)(2=33x -22x +C. (22)dx x x ⎰-+)1)(1(=dx x ⎰-)1(2=33x -x+C. (23)⎰+dx x 2)1(=⎰++dx x x )12(2=33x +x 2+x+C. 或⎰+dx x 2)1(=⎰++)1()1(2x d x =3)1(3+x +C ’=33x +x 2+x+C. (24)dx x x ⎰+)3(22=dx x x ⎰+)62(3=24x +3x 2+C. 或dx x x ⎰+)3(22=)3()3(22++⎰x d x =2)3(22+x +C ’=24x +3x 2+C. (25)dx x x ⎰-+)12)(2(=dx x x ⎰-+)232(2=323x +232x -2x+C. 4、整式除法积分 (26)dx x⎰1=ln|x|+C. (27)dx x a ⎰=aln|x|+C.(28)dx ax ⎰1=ax ||ln +C. (29)dx x ⎰+11=)1(11++⎰x d x =ln|x+1|+C. (30)dx x x ⎰+12=)1(112122++⎰x d x =21ln(x 2+1)+C. (31)dx x x ⎰-122=)1(1122--⎰x d x = ln|x 2-1|+C. (32)dx x x ⎰-2212=)21(2112122x d x ---⎰= -ln|1-2x 2|+C. (33)dx x x x ⎰+++2312=dx x x x ⎰+++)2)(1(1=dx x ⎰+21=ln|x+2|+C. (34)dx x ⎰21=x 1-+C. (35)dx x ⎰31=221x-+C. (36)dx x ⎰43=31x-+C. (37)dx x n ⎰1=1)1(1---n x n +C. (n>1) (38)dx x ⎰20202019=20191x -+C. (39)dx x x ⎰++24212=)1()1(1212++⎰x d x =)1(21+-x +C. (40)dx x ⎰+211=arctanx+C. (41)dx x ⎰+3212=dx x ⎰+1321312=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰x d x 321321612=66arctan x 32+C. (42)dx x x ⎰+14=241121dx x ⎰+=21arctanx 2+C. (43)dx x x ⎰++2212=)1(1)1(12+++⎰x d x =arctan(x+1)+C. (44)dx x ⎰-112= ⎝⎛-⎰dx x 1121-⎪⎭⎫+⎰dx x 11=21[ln(x-1)-ln(x+1)]=21ln 11+-x x +C. (45)dx x⎰-211= ⎝⎛+⎰dx x 1121+⎪⎭⎫-⎰dx x 11=21[ln(1+x)-ln(1-x)]=21ln x x -+11+C.(46)dx x x ⎰-221=dx x x ⎰---2211+dx x ⎰-211=⎰-dx +dx x ⎰-211=-x+21ln x x -+11+C. (47)dx x x ⎰+231=dx x x x ⎰++231-dx xx ⎰+21=⎰xdx -221121dx x ⎰+=-22x +21ln(1+x 2)+C. (48)dx x x x ⎰++231=dx x x x x x ⎰++-+)1()1)(1(2=dx x x x ⎰+-12=dx x x ⎰+-)11( =22x -x+ln|x|+C. (49)dx x x ⎰+220201=dx x x x x x x ⎰+-+-⋯-+-+22201620182018202011)1()( =dx x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⋯--220162018111=x x x x arctan 2017201920172019--⋯--+C =x k x x k k arctan 12201910091122019---∑=-+C. (50)dx x x ⎰--2313=dx x x ⎰-+)2()1(12=dx x C x B x A ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++2)1(12. 则A(x+1)(x-2)+B(x-2)+C(x+1)2≡1, 当x=2时, C=91; 当x=-1时, B=31-; 又Ax 2+Cx 2≡0, ∴A=-91. 因此得dx x x ⎰--2313=dx x x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-)2(91)1(31)1(912 =91-ln|x+1|+)1(31+x +91ln|x-2|+C ’=)1(31+x +91ln 12+-x x +C ’. (题目可能千变万化，但是万变不离其宗，绝大多数都是用这些方法解决的)。
有理函数积分法(3)
2
2
( x2 px q)n
dx
类型4
A
2
(x2
2x px
p
q)n dx
(B
p 2
A)
1 ( x2 px q)n dx
A
2
(x2
1 px
q)n d ( x 2
px
q)
(B
p 2
A)
1 ( x2 px q)n dx
A 1 2 1n
(x2
1 px q)n1
(B p A) 2
arctan
x
2 x (1 x2 )2 dx
arctanx
1 2x 2
2 (1 x2 )2
dx
arctanx 1 2
2x (1 x2 )2 dx
2 (1 x 2 )2 dx
arctanx
1 2
1
1 x2
2
1 (1 x 2 )2 dx
15
1 x x2 ( x2 1)2
13
例4
求
1
3
x x
3
dx.
解
1
3
x x
3
dx
(
1
1
x
1
x1 x x2
)dx
1
3
ln1
x
1
x1 x x
2
dx
ln1
x
(2x 1) 2 1 x x2 2dx
ln1
x
1 2
1
2x x
1 x2 dx
3 2
1
1 x
x2 dx
ln 1 x 1 ln1 x x2 3
( x 1)( x 2)2
经济数学微积分有理函数的积分
例6 求积分
x 6
1 1 e e e
x 2 x 3 x 6
dx .
解
1 e e e
6 令 t e x 6 ln t , dx d t , t 1 1 6 dx dt x x x 3 2 1 t t t t 3 6 2
1 6 3 3 t 3 6 d t dt 2 2 t (1 t )(1 t ) t 1 t 1 t
1 dx . 例5 求积分 2 (1 2 x )(1 x )
4 2 1 x 1 5 dx 5 5 dx d x 解 2 1 2x 1 x2 (1 2 x )(1 x )
2 1 2x 1 1 ln(1 2 x ) dx dx 2 2 5 5 1 x 5 1 x 2 1 1 2 ln(1 2 x ) ln(1 x ) arctan x C . 5 5 5
可用递推法求出
※二、待定系数法举例
有理函数化为部分分式之和的一般规律： k （1）分母中若有因式 ( x a ) ，则分解后为
A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
A ; 特殊地： k 1, 分解后为 xa
第四节 有理函数的积分
一、六个基本积分 二、待定系数法举例
三、小结
一、六个基本积分
定义 有理函数的定义：
n n 1
两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.
P ( x ) a0 x a1 x an1 x an m m 1 Q( x ) b0 x b1 x bm 1 x bm
第4节 有理函数的积分
(1)
1 1 1 1 . ∴ = + − 2 2 x ( x − 1) x ( x − 1) x − 1
9
1 A Bx + C , + 例4 2 = 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1 + x
1 = A(1 + x 2 ) + ( Bx + C )(1 + 2 x ),
整理得 1 = ( A + 2 B ) x 2 + ( B + 2C ) x + C + A,
∫
16
例10. 求
∫ (x2 + 2x + 2)2 dx
2
x
2
(x + 2x + 2) − (2x + 2) dx 解: 原式 = ∫ 2 2 (x + 2x + 2) 2 dx d(x + 2x + 2) =∫ −∫ 2 2 2 (x +1) +1 (x + 2x + 2)
= arctan( x +1) +
令t = cos x
令t = sin x
令t = tan x
19
例1. 求
x 为奇函数, 故令t = sin x , (cos2 x − 2) cos x dx (sin 2 x +1) d sin x 原式 = ∫ = −∫ 2 4
解: 因被积函数关于 cos
∫ 1+ sin 2 x + sin 4 x dx .
2 1 2x 1 1 = ln(1 + 2 x ) − ∫ dx + ∫ dx 2 2 5 5 1+ x 5 1+ x 2 1 1 2 = ln(1 + 2 x ) − ln(1 + x ) + arctan x + C . 5 5 5
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有理函数积分12例例1：求x −2x −x+1dx解：由于x 2−x +1的导数是2x −1 用分子x −2去除2x −1就有x −22x −1商12余−32也就是x −2=12 2x −1 −32 原式=12 2x −1 −32x −x+1dx=12 2x −1x 2−x+1dx −32 1x 2−x+1dx =12ln x 2−x +1 −32−1)+( 3)1x +a dx =1a arctan xa=12ln x 2−x +1 −23(x −12)=12ln x 2−x +1 − 3arctan 3−12)例2：求2x 2+3x −1x −xdx解：2x 2+3x −1x −x=2x 2+3x −1x x −1 (x+1)=A x −1+B x+C x+1两边同乘x-1得2x 2+3x −1x(x+1)=A +Bx −1x+Cx −1x+1带入x=1解得A=2，同理得到B=1、C=-12x 2+3x+1x 3−xdx = 2x −1+1x −1x+1 dx=In|x(x −1)2x+1|例3：求2x 2+x+1x(x 2+1)dx解：2x 2+x+1x(x 2+1)=A x+Bx +C x 2+1两边乘以x 得2x 2+x+1x +1=A +x(Bx +C)x +1带x=0得 A=1两边乘以x 2+1得2x 2+x+1x=A(x 2+1)x+(Bx +C)带入x=i 得 B=1、C=12x 2+x+1x(x 2+1)dx = 1x +x+1x +1 dx= 1x +xx 2+1+1x 2+1 dx=In x x 2+1 +arctanx例4：求x+9x +2x −3dx解：x+9x 3+2x −3=x+9x −1 (x 2+x+3)=Ax −1+Bx +Cx 2+x+3 容易解得A=2两边同时乘x 2+x+3，并令x 2+x+3=0有x+9x −1=Bx +C (如果让左边没有分子就好办了)为了利用x 2+x+3，做如下处理x+9 (x+2) x −1 (x+2)=Bx +C (x+2不是随便带入的，而是x 2+x+3x −1的商)得x 2+11x+18x 2+x −2=10x+15−5=Bx +C解得B=-2、C=-3x+93dx = 2x −1−2x+3x +x+3 dx= 2x −1−2x+1x 2+x+3−2x 2+x+3 dx分母导数的倍数加常数=In(x −1)2−In x 2+x +3 −1111=In (x −1)2x 2+x+3 −1111例5：求8x (x+1)(x −1)dx解：8x(x+1)2(x −1)=Ax −1+B(x+1)2+C(x+1) 容易求的A=2、B=4 两边同乘x 得8x 2(x+1)2(x −1)=2xx −1+4x(x+1)2+Cx(x+1)令x →∞两边求极限得，0=2+C ，也就是C=-28x (x+1)2(x −1)dx = 2x −1+4(x+1)−2x+1 dx=In(x −1)2−4x+1−In(x +1)2=In(x −1x+1)2−4x+1例6：求x 3−4x 2−4x+23(x −3)4dx解：令y=x-3则原式化简为(分子是高次线性) x 3−4x 2−4x+23(x −3)=y 3+5y 2−y+2y =1y +5y −1y +2yx 3−4x 2−4x+23(x −3)4dx =In y −5y −12y 2+23y 3=In x −3 −5x −3−12(x −3)+23(x −3)例7：求1(x 2+4)3dx解：=14 x 2+4 −x 2(x +4)dx降次=14 1(x 2+4)2dx −14 x 2(x 2+4)3dx=141(x2+4)2dx−14x2−4xd1(x2+4)2=141(x2+4)2dx+116[x(x2+4)2−1(x2+4)2dx]=3161(x2+4)2dx+x16(x2+4)2=364x2+4−x2(x2+4)2dx+x16(x2+4)2降次=3641x2+4dx−364x2(x2+4)2dx+x16(x2+4)2=3641x2+4dx−(364x2−2xd1x2+4)+x16(x2+4)2=3641x2+4dx+3x128x2+4−31281x2+4dx+x16(x2+4)2=31281x2+4dx+3x128x2+4+x16(x2+4)2=3256arctan x2+3x128(x2+4)+x16(x2+4)2例8：求4x 3+4x2+1x+2x+xdx解：4x 3+4x2+1x(x+1)=Ax+Bx+C(x+1)+Dx+Ex+1容易解得A=1、B=3、C=-4 两边同乘x4x3+4x2+1 (x2+1)2=xx+3x2−4x(x2+1)2+Dx2+Exx2+1然后求极限x→∞得D=-1，然后带入x=1得E=44x3+4x2+1 x5+2x3+x dx=1x+3x−4(x2+1)2−x−4x2+1dx=1x dx+32×2x−4(x+1)dx−x−4x+1dx=In x+321x2+1−41(x2+1)2dx−x−4x2+1dx=In x−321x2+1+2arctanx−2xx2+1−12In(x2+1)=12In(x2x+1)−2x+1.5x+1+2arctanx例9：求x 3+1x−2x+3dx解：利用多项式除法x3+1=x(x2−2x+3)+2(x2−2x+3)+x−5x3+1 x−2x+3=x+2+x−5x−2x+3x−5x−2x+3dx=122x−2x−2x+3dx−4(x−1)2+22dx分离出一次和一个常数=12ln x2−2x+3−22x3+1 x2−2x+3dx=12x2+2x+12ln x2−2x+3−22arctan2例10：求5x+6x3+4x2+5x+2dx解：x=-1是x3+4x2+5x+2的一个根x3+4x2+5x+2x+1=x2+3x+2=x+1(x+2) x3+4x2+5x+2=(x+1)2(x+2)5x+6x+4x+5x+2=A(x+1)+Bx+1+Cx+2很容易求得A=1、C=-4 两边同时乘x有5x2+6xx3+4x2+5x+2=x(x+1)2+Bxx+1+−4xx+2求x→∞时的极限有0=0+B−4得B=4原式=−1x+1+4ln x+1−4ln|x+2|例11：求xx+1(x+2)2(x+3)3dx解：Ax+1+Bx+2+C(x+2)+Dx+3+E(x+3)+F(x+3)容易求的是最高次极点的系数A=−18、C=2、F=32两边乘x然后求x→∞有：0=−18+B+D (1)带入x=00=B2+D3+E9+3172(2)带入x=11 1152=B3+D4+E16+2111152(3)由(1)、(2)、(3)解得B=−5D=418E=134xx+1(x+2)2(x+3)3=−18(x+1)−5x+2+2(x+2)2+418(x+3)+134(x+3)2+32(x+3)3xx+1(x+2)(x+3)dx=−18ln x+1−5ln x+2−2x+2+418ln x+3−13 4(x+3)−3(x+3)例12：求dxx2+4x+4(x2+4x+5)2解：1x2+4x+4(x2+4x+5)2=1(x+2)2(x2+4x+5)21x2+4x+4(x2+4x+5)2=Ax+2+B(x+2)2+Cx+Dx2+4x+5+Ex+F(x2+4x+5)2容易求得B=1由1i+4i+4=Ei+F解得E=−425、F=325两边乘x，并求x→∞得：0=A+C (1) 带入x=0得1 100=A2+14+D5+3625(2)带入X=-1得1 4=A+1+−C+D2+7100(3)由(1)、(2)、(3)解得A=−104125C=104125D=1071251x2+4x+4(x2+4x+5)2=−104125(x+2)+1(x+2)2+104x+107125(x2+4x+5)+−4x+325(x2+4x+5)2dxx2+4x+4(x2+4x+5)2=−104125ln x+2−1x+2+104250250x+500−101125(x2+4x+5)dx−4 25x−34(x2+4x+5)2dx=−104125ln x+2−1x+2+52125ln(125x2+500x+625)−101125arctan x+2−4 25122x+4−114(x+4x+5)dx=−104125ln x+2−1x+2+52125ln(125x2+500x+625)−101125arctan x+2+ 450(x+4x+5)−1125(x+2)2+1−(x+2)2[(x+2)+1]dx=−104125ln x+2−1x+2+52125ln(125x2+500x+625)−101125arctan x+2+450(x2+4x+5)−1125ln(x2+4x+5)+1125(x+2)2[(x+2)2+1]2dx=−104125ln x+2−1x+2+52125ln(125x2+500x+625)−101125arctan x+2+450(x+4x+5)−1125ln x2+4x+5+1125(x+2)2[(x+2)+1]/−2(x+2)[(x+2)+1]d1(x+2)+1=−104125ln x+2−1x+2+52125ln(125x2+500x+625)−101125arctan x+2+450(x+4x+5)−1125ln x2+4x+5−1150(x+2)d1(x+2)+1=−104125ln x+2−1x+2+52125ln(125x2+500x+625)−101125arctan x+2+450(x+4x+5)−1125ln x2+4x+5−1150x+2x+4x+5+1150ln(x2+4x+5)=−104125ln x+2−1x+2+52125ln(125x2+500x+625)−101125arctan x+2−11x+18 50(x2+4x+5)−1150ln x2+4x+5。