抽象函数常见题型解法综述

抽象函数常见题型解法
珠海海阔教育祝大家学习进步 2012年12月1日
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

下面就抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题
例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

变式1. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 2
1x f -的定义域。

变式2、（广东省重点中学2009届高三联合考试数学试卷（理））若函数
)22(],1,0[)1(-+x
f x f 则的定义域为的定义域为
（ ）
A ．[0，1]
B ．]2,3[log 2
C ．]3log ,1[2
D ．[1，2]
二、不等式问题
例2、定义在-+∞⋃∞（，0）（0，）上的奇函数)(x f 在+∞（0，）上为增函数，当0x >时，
)(x f 的图像如图，则不等式[]()()0x f x f x --<的解集是 （ ）
A ．(,3)(0,3)-∞-⋃
B ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞
C ．(3,0)(3,)-⋃+∞
D ．(3,0)(0,3)-⋃
练习、函数()y f x =
的图象是以原点为圆心，
1为半径的两段圆弧，则不等式()()f x f x x
>-+的解集为 （ ）
A ．[1,(0,1]5
- B [1,0)5-
C [1,55
-- D ．[1,5
5
--
三、解析式问题
例3. ：()f x 满足：1
2()()1f x f x x -=+求()f x
变式、设对满足10≠≠x x ，的所有实数
x ，函数
)(x f 满足
x
x
x f x f +=-+1)1(
)(，
求f （x ）的解析式。

练习1、已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，
f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.
练习2、函数f(x)对一切实数x,y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且f(1)=0求f(x)的解析式。

练习3、（广东省十校高三第一学期期末考试-数学(理)）已知
)(),1(,2
)()(2)1(*N x f x f x f x f ∈+=
+猜想)(x f 的表达式为
（ ） A ．2
24)(+=x x f
B ．1
2)(+=
x x f
C ．1
1)(+=
x x f
D ．1
22)(+=
x x f
四、求值问题
例4. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5
1)6(1)2(==f f ，；
②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

五、单调性问题
例5. 定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，
（1） 求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；
（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

练习1、已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）·f （y ）， 且f （－1）＝1，f （27）＝9，当
时，。

（1）判断f （x ）的奇偶性；
（2）判断f （x ）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3）若，求a 的取值范围。

练习2.已知定义在R 上的函数()f x 满足：
（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<； （2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：()()()()()
1f m f n f m n f m f n ++=
+
试回答下列问题：（Ⅰ）试求()0f 的值；（Ⅱ）判断并证明函数()f x 的单调性；
练习3.已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有
)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；
（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数； （2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；
练习4、已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足： (1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =
(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.
(I)求(0)f 的值；
(II)求()f x 的最大值；
六、奇偶性问题
例6. 已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有
)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，
.2)1(.0)(-=<f x f 又
(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值；
(3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2
+<-ax f x f ax f
练习1、已知()
f x是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R
∈都满足：()()()
f a b af b bf a
⋅=+
（Ⅰ）求()()
0,1
f f的值；（Ⅱ）判断()
f x的奇偶性，并证明你的结论；
练习 2.已知函数()
f x,()
g x在R上有定义，对任意的,x y R
∈有()()()()()
f x y f x
g y g x f y
-=-且(1)0
f≠
（1）求证：()
f x为奇函数（2）若(1)(2)
f f
=，求(1)(1)
g g
+-的值
练习3、.定义在R上的函数f（x）对任意实数a、b都有f（a+b）+ f（a－b）=2 f（a）·f（b）成立，且f()00
≠。

（1）求f（0）的值；（2）试判断f（x）的奇偶性；
（3）若存在常数c>0使f c()
2
=，试问f（x）是否为周期函数？若是，指
出它的一个周期；若不是，请说明理由。

练习4.已知函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足：
（1）f x x f x f x f x f x ()()()()()12
1221
1-=+-·
（2）存在正常数a ，使f （a ）=1求证：（1）f （x ）是奇函数； （2）f （x ）是周期函数，并且有一个周期为4a
七、综合问题
例7. (广东省六校第二次联考)已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体, 存在非零常数T , 对任意R x ∈, 有()()f x T Tf x +=成立. (1) 函数()f x x =是否属于集合M ? 说明理由;
(2) 设()f x M ∈, 且2T =, 已知当12x <<时, ()ln f x x x =+, 求当32x -<<-时, ()f x 的解析式.
练习1、定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意实数m ，n ，总有
)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当
x>0时，0<f （x ）<1。

（1）判断f （x ）的单调性；（2）设)}1()()(|){(22f y f x f y x A >⋅=，，
}1)2(|){(R a y ax f y x B ∈=+
-=，，，若∅
=B A ，试确定a 的取值范围。

练习2、 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的
[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有
1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()
f x 为理想函数．
(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；
(2)判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； (3) 若函数()f x 为理想函数，假
∃[]00,1x ∈，使得[]
0()0,1f x ∈，且
00(())f f x x =，求证00()f x x =．。