【精编】2016-2017年江西省南昌市莲塘一中高二(上)数学期中试卷和参考答案(理科)

2016-2017学年江西省南昌市莲塘一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分）1．（5分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．52．（5分）已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by+c=0通过（）象限．A．第一、二、三B．第一、二、四C．第一、三、四D．第二、三、四3．（5分）命题“a＞﹣5，则a＞﹣8”以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）与圆C1：（x+1）2+（y﹣3）2=36，C2：x2+y2﹣4x+2y+4=0都相切的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条6．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”7．（5分）若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是（）A． B．C．D．8．（5分）“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤510．（5分）下列说法正确的是（）A．经过空间内的三个点有且只有一个平面B．如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线上所有点都不在平面α内C．四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形D．用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台11．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3 C．D．12．（5分）双曲线的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．4 B．2 C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为弧度．14．（5分）已知p：|x﹣a|＜4，q：﹣x2+5x﹣6＞0，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为．15．（5分）同一个正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为．16．（5分）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线y=x对称；③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；④曲线W上的点到原点距离的最小值为2﹣其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，满分10+12+12+12+12+12=70分）17．（10分）设抛物线y=mx2（m≠0）的准线与直线y=1的距离为3，求抛物线的标准方程．18．（12分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（Ⅰ）求该几何体的体积V；（Ⅱ）求该几何体的面积S．19．（12分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．20．（12分）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆离心率与双曲线的离心率之比为3：7，求椭圆方程和双曲线方程．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2m）（x+m+3）（其中m＜﹣1），g（x）=2x ﹣2．（1）若命题p：log2[g（x）]≥1是假命题．求x的取值范围；（2）若命题q：x∈（﹣∞，3）．命题r：x满足f（x）＜0或g（x）＜0为真命题．￢r是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．22．（12分）已知抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：（a＞0，b＞0）有公共焦点F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．（1）求双曲线C2的方程；（2）以双曲线C2的另一焦点F1为圆心的圆M与直线y=相切，圆N：（x﹣2）2+y2=1．过点P（1，）作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l和l2，1设l1被圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．2016-2017学年江西省南昌市莲塘一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分）1．（5分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．5【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：2a=3+d⇒d=2a ﹣3=7．故选：C．2．（5分）已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by+c=0通过（）象限．A．第一、二、三B．第一、二、四C．第一、三、四D．第二、三、四【解答】解：直线ax+by=c 即y=﹣x+，∵ab＜0，bc＜0，∴斜率k=﹣＞0，直线在y轴上的截距＜0，故直线第一、三、四象限，故选：C．3．（5分）命题“a＞﹣5，则a＞﹣8”以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：命题“若a＞﹣5，则a＞﹣8”为真命题；其逆命题“若a＞﹣8，则a＞﹣5”为假命题；其否命题“若a≤﹣5，则a≤﹣8”为假命题；其逆否命题“若a≤﹣8，则a≤﹣5”为真命题；综上，命题“若a＞﹣5，则a＞﹣8”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个，故选：B．4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线的标准方程为x2=y，∴p=，开口朝上，∴准线方程为y=﹣，故选：D．5．（5分）与圆C1：（x+1）2+（y﹣3）2=36，C2：x2+y2﹣4x+2y+4=0都相切的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：因为圆的圆心坐标、半径分别为（﹣1，3），6；（2，﹣1），1．所以圆心距为=5，因为5=6﹣1，所以两个圆的关系是内切，所以两圆的公切线有1条．故选：A．6．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”【解答】解：对于A，“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件，显然不正确，如果函数的定义域中没有0，函数可以是奇函数例如，y=，∴A不正确；对于B，若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B不正确；对于C，若p∧q为假命题，则p，q一假即假命，∴C不正确；对于D，“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，满足否命题的形式，∴D正确；故选：D．7．（5分）若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是（）A． B．C．D．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单的组合体，上面是一个圆柱，圆柱的底面直径是1.6，高是2，∴圆柱的体积是π×0.82×2=，下面是一个六棱柱，棱柱的高是1.5，底面的边长是2，∴六棱柱的体积是=，∴组合体的体积是，故选：C．8．（5分）“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程ax2+by2=c即+=1表示双曲线，则＜0，解得ab＜0．反之不成立，例如c=0．∴“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的必要不充分条件．故选：B．9．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5【解答】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a ≥x2，恒成立即只需a≥（x2）max=4，即“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选：C．10．（5分）下列说法正确的是（）A．经过空间内的三个点有且只有一个平面B．如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线上所有点都不在平面α内C．四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形D．用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台【解答】解：在A中，经过空间内的不共线的三个点有且只有一个平面，故A 错误；在B中，如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线与平面相交或平行，则直线上最多有一个点在平面α内，故B错误；在C中，如右图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故C正确；在D中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台．故D错误．故选：C．11．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3 C．D．【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为M．由于a=4，b=3，∴c=＜b∴∠F1MF2＜90°，∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±得y2=9=，∴|y|=．即P到x轴的距离为，故选：D．12．（5分）双曲线的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．4 B．2 C．D．【解答】解：由题意可知：设A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），由右焦点F（2，0），则c=2∵以MN为直径的圆过原点O，∴OM⊥ON，又∵OM∥BF，ON∥AF，∴AF⊥BF，=（2﹣x0，﹣y0），=（2+x0，y0），∴=（2﹣x0）（2+x0）﹣y02，∴4﹣x02﹣y02=0，即x02+y02=4，由k AB=，∴y02=x02，∴x02+x02=4，解得：x02=，y02=，代入双曲线方程得：=1，∴7b2﹣9a2=4a2b2，由b2=c2﹣a2=4﹣a2，∴7（4﹣a2）﹣9a2=4a2（4﹣a2），解得：a2=1或a2=7（舍），∴a=1，∴e=2，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为π弧度．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则l=2r，于是侧面展开图的扇形半径为l，弧长为2πr，∴圆心角α==π．故答案为：π．14．（5分）已知p：|x﹣a|＜4，q：﹣x2+5x﹣6＞0，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为[﹣1，6] ．【解答】解：p：|x﹣a|＜4，解得a﹣4＜x＜a+4．q：﹣x2+5x﹣6＞0，解得2＜x＜3．∵q是p的充分而不必要条件，∴，解得﹣1≤a≤6，等号不同时成立．∴a的取值范围为[﹣1，6]，故答案为：[﹣1，6]．15．（5分）同一个正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为．【解答】解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，与各棱相切的球的半径为：，故所求的比为．故答案为．16．（5分）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线y=x对称；③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；④曲线W上的点到原点距离的最小值为2﹣其中，所有正确结论的序号是②③④．【解答】解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，∴|x|+|y|=，∴|xy|+x+y﹣1=0，∴xy＞0，（x+1）（y+1）=2或xy＜0，（y﹣1）（1﹣x）=0，函数的图象如图所示∴曲线W关于直线y=x对称；曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；由y=x与（x+1）（y+1）=2联立可得x=﹣1，∴曲线W上的点到原点距离的最小值为（﹣1）=2﹣，∴所有正确结论的序号是②③④．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，满分10+12+12+12+12+12=70分）17．（10分）设抛物线y=mx2（m≠0）的准线与直线y=1的距离为3，求抛物线的标准方程．【解答】解：当m＞0时，准线方程为y=﹣，1+=3，∴m=，此时抛物线方程为y=x2；当m＜0时，准线方程为y=﹣，﹣﹣1=3，∴m=﹣，此时抛物线方程为y=﹣x2；∴所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=﹣16y．故答案为：x2=8y或x2=﹣16y．18．（12分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（Ⅰ）求该几何体的体积V；（Ⅱ）求该几何体的面积S．【解答】解：（Ⅰ）由三视图知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥，∴该几何体的体积V==64．（Ⅱ）该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形，且其高为h1==4，另外两个侧面也是全等的等腰三角形，这两个侧面的高为==5，∴该几何体的面积S=2（）+8×6=88+24．19．（12分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1，2]，∴a≤1 ①；若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a≥1或a≤﹣2 ②，对①②求交集，可得{a|a≤﹣2或a=1}，综上所求实数a的取值范围为a≤﹣2或a=1．20．（12分）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆离心率与双曲线的离心率之比为3：7，求椭圆方程和双曲线方程．【解答】解：设焦点在x轴上的椭圆方程为，双曲线方程为，由已知得，∴，a=7，m=3，∴椭圆方程为，若焦点在y轴上，同样可得方程为，．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2m）（x+m+3）（其中m＜﹣1），g（x）=2x ﹣2．（1）若命题p：log2[g（x）]≥1是假命题．求x的取值范围；（2）若命题q：x∈（﹣∞，3）．命题r：x满足f（x）＜0或g（x）＜0为真命题．￢r是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．【解答】解：（1）命题p：由log2[g（x）]≥1，可得g（x）≥2，即2x﹣2≥2，即2x≥22，解得x≥2．∵log2[g（x）]≥1是假命题，∴x＜2．∴x的取值范围是x＜2．（2）对于命题r：由f（x）＜0解得2m＜x＜﹣m﹣3；由g（x）＜0解得x＜1．￢r是￢q的必要不充分条件，∴r是q的充分不必要条件．∴，m＜﹣1，解得﹣6＜m＜﹣1．∴m的取值范围是﹣6＜m＜﹣1．22．（12分）已知抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：（a＞0，b＞0）有公共焦点F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．（1）求双曲线C2的方程；（2）以双曲线C2的另一焦点F1为圆心的圆M与直线y=相切，圆N：（x﹣2）2+y2=1．过点P（1，）作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l和l2，1设l1被圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线的焦点为F2（2，0），∴双曲线C2的焦点为F1（﹣2，0）、F2（2，0），…（1分）设A（x0，y0）在抛物线上，且|AF2|=5，由抛物线的定义得，x0+2=5，∴x 0=3，∴，∴，…（3分）∴|AF1|==7，…（4分）又∵点A在双曲线C2上，由双曲线定义得：2a=|7﹣5|=2，∴a=1，∴双曲线C2的方程为：．…（6分）（2）为定值．下面给出说明．设圆M的方程为：（x+1）2+y2=r2，∵圆M与直线y=x相切，∴圆M的半径为r=，∴圆M：（x+2）2+y2=3．…（7分）当直线j1的斜率不存在时不符合题意，…（8分）设l1的方程为y﹣=k（x﹣1），即kx﹣y+﹣k=0，设l 2的方程为y﹣=﹣（x﹣1），即x+ky﹣k﹣1=0，∴点F1到直线l1的距离为，点F2到直线l2的距离为，…（10分）∴直线l1被圆M截得的弦长：S=2=2，…（11分）直线l2被圆N截得的弦长t=2=2，…（12分）∴===，∴为定值．…（13分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。