探求数列递推公式的若干途径
_求递推数列通项公式的十种技巧
求递推数列通项公式的十种技巧一、利用公式法求通项公式例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。
解：n n 1n 23a 2a ⋅+=+两边除以1n 2+，得232a 2a nn 1n 1n +=++，则232a 2a n n 1n 1n =-++， 故数列}2a {n n 是以1222a 11==为首，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23)1n (12a nn -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n n 2)21n 23(a -=。
评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 23a 2a ⋅+=+转化为232a 2a nn1n 1n =-++，说明数列}2a {n n 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出23)1n (12a nn -+=，进而求出数列}a {n 的通项公式。
二、利用累加法求通项公式例2 已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。
解：由1n 2a a n 1n ++=+ 得1n 2a a n 1n +=-+则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---1)1n (2n)1n (21)1n (]12)2n ()1n [(21)112()122(]1)2n (2[]1)1n (2[+-+-⋅=+-++++-+-=++⋅++⋅+++-++-=所以数列}a {n 的通项公式为2n n a =评注：本题解题的关键是把递推关系式1n 2a a n 1n ++=+转化为1n 2a a n 1n +=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。
例3 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
最全的递推数列求通项公式方法
最全的递推数列求通项公式方法递推数列是指数列中的每一项都由前一项通过其中一种规律得出。
求递推数列的通项公式是数学中的重要问题，可以通过多种方法实现。
下面将介绍最常用的几种方法。
1.等差数列通项公式等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。
设等差数列的第一项为a1，公差为d，则第n项为an=a1+(n-1)d。
这是等差数列的通项公式。
2.等比数列通项公式等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。
设等比数列的第一项为a1，公比为r，则第n项为an=a1*r^(n-1)。
这是等比数列的通项公式。
3.斐波那契数列通项公式斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和。
设斐波那契数列的第一项为a1，第二项为a2，则第n项为an=a(n-1)+a(n-2)。
但通常情况下，我们将斐波那契数列的第一项设为0，第二项设为1，此时的通项公式为an=F(n-1)，其中F(n-1)表示第n-1个斐波那契数。
4.龙贝尔数列通项公式龙贝尔数列是指数列中的每一项都是前一项与当前项索引之和。
设龙贝尔数列的第一项为a1，则第n项为an=a(n-1)+n。
这是龙贝尔数列的通项公式。
5.通项公式的递推法有些数列并没有明确的通项公式，但可以通过递推法求得通项公式。
递推法的核心思想是找到数列中的其中一种规律，通过前面的项得出后面的项。
这种方法比较灵活，可以适用于各种类型的数列。
总结起来，以上是求递推数列通项公式的几种常见方法。
在实际中，我们可以观察数列的规律，推测出通项公式，然后通过数学推导证明其正确性。
对于复杂的递推数列，我们可能需要运用更多的数学知识和技巧，如离散数学、线性代数等。
递推数列常十种方法
求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。
笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。
仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。
一、利用公式法求通项公式例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。
解：n n 1n 23a 2a ⋅+=+两边除以1n 2+，得232a 2a nn 1n 1n +=++，则232a 2a n n 1n 1n =-++， 故数列}2a {n n 是以1222a 11==为首，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23)1n (12a nn -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n n 2)21n 23(a -=。
评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 23a 2a ⋅+=+转化为232a 2a nn1n 1n =-++，说明数列}2a {n n 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出23)1n (12a nn -+=，进而求出数列}a {n 的通项公式。
二、利用累加法求通项公式例2 已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。
解：由1n 2a a n 1n ++=+ 得1n 2a a n 1n +=-+则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---1)1n (2n)1n (21)1n (]12)2n ()1n [(21)112()122(]1)2n (2[]1)1n (2[+-+-⋅=+-++++-+-=++⋅++⋅+++-++-= 所以数列}a {n 的通项公式为2n n a =评注：本题解题的关键是把递推关系式1n 2a a n 1n ++=+转化为1n 2a a n 1n +=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。
数列递推公式的九种方法
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1 在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题） 解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n1. 三、换元法例3 已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n ≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为： }{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b )31()31(91)31(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。
递推公式定义的数列求解方法
递推公式定义的数列求解方法
1. 嘿，你知道吗？对于递推公式定义的数列求解，咱可以从初始值入手呀！就像搭积木，从最下面那几块开始。
比如说斐波那契数列，从 0 和 1 开始，后面的数不就是前面两个数相加嘛，这多有趣啊！
2. 还有啊，用迭代的方法也超棒！就好像一步一步爬山，每次都根据前面的情况来确定下一步。
比如那个兔子繁殖的问题，通过递推公式不断计算下去，就能发现其中的规律啦，是不是很神奇？
3. 哇塞，观察规律也是很重要的呢！这就像在一堆拼图中找线索，找到了就能轻松解题啦。
像等差数列，一下子就能看出相邻两项的差值是固定的呀。
4. 试试数学归纳法呀！这就如同给数列盖个章认证一样。
比如说证明某个关于数列的结论，先验证最开始的情况，再假设后面也成立，这不就妥了嘛。
5. 别忘了利用已知公式去转化呀！就好像给数列变个魔术，让它变成我们熟悉的样子。
好比有些递推公式可以转化成我们熟知的等差数列或等比数列的形式来求解呢，酷不酷？
6. 嘿呀，有时候画画图也能有帮助哦！把数列的项用图形表示出来，没准儿就能一眼看出端倪呢。
就像走迷宫，画个图就容易找到出路啦。
7. 还有一种方法，就是建立方程来求解呀！这就如同找到了解锁数列的钥匙。
比如说根据递推关系列出方程，然后求解未知数，难题不就迎刃而解了嘛。
8. 哎呀，要多尝试多探索呀！求解递推公式定义的数列就像是探险，你永远不知道会发现什么惊喜。
就勇敢地去尝试各种方法，肯定能抓住答案哒！
我的观点结论就是：求解递推公式定义的数列方法多样又有趣，只要用心去探索，就一定能找到其中的奥秘和乐趣！。
递推数列的通项公式的几种求法
递推数列的通项公式的几种求法递推公式是给出数列的重要方法，对于递推公式确定的数列的求解，是近几年高考中的热点问题. 通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列. 本文介绍求递推数列的通项公式的几种常见方法.一、累加相消法利用恒等式112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+-+-=---Λ求通项公式的方法称为累加相消法. 累加相消法是求形如)(1n f a a n n =--(数列{()f n }的前n 项和可求)的递推数列通项公式的基本方法.例1 已知}{n a 中，nn n a a a 2,311+==+，求n a 。
解：由12n n n a a +=+，得112n n n a a --=+ ∴112n n n a a ---= 2122n n n a a ----=……………… 2322a a -=212a a -=∴ 以上各式相加得112212(12)22222212n n n n n a a -----=⋅⋅==--L∴ 12221n nn a a =-+=-二、累乘相消法 利用恒等式112211a a aa a a a a n n n n n ⋅⋅⋅=---Λ求通项公式的方法称为累乘相消法. 累乘相消法是求形如)(1n g a a n n=-(数列{()}g n 的前n 项积可求)的递推数列通项公式的基本方法. 例2 已知}{n a 中，12n n na a n +=+，且12a =，求数列}{n a 的通项公式.解：由12n n na a n +=+，得12n na n a n +=+ ∴2113a a =，3224a a =，4335a a =，5446a a =，……，122n n a n a n---=，111n n a n a n --=+ ∴以上各式相乘，得11232123451(1)n a n n a n n n n --=⋅⋅⋅=++L ∴ 4(1)n a n n =+ 例3 已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(2n …)，则{a n }的通项 1,1_______,2n n a n =⎧=⎨⎩…解：由1321)1(32--+++=n n a n a a a a Λ ，得23211)2(32---+++=n n a n a a a a Λ(3n …)两式相减得：11)1(---=-n n n a n a a ，即n a a n n=-1(3n …) 用累乘相消法可得132122n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅L !2n = 三、迭代法通过对递推关系进行适当变形后，用下标较小的项替代下标较大的项，通过累次运算，最终得出通项公式.例4 已知数列{}n a 的各项都是正数，且满足：*1111,(4),2n n n a a a a n N +==⋅-∈. 求数列{}n a 的通项公式a n .解：2111(4)[(2)4]22n n n n a a a a +=-=--+，所以211(2)(2)2n n a a +-=-- 令2n n b a =-，则212222212221211111111()()()222222n nn n n n b b b b b -+++---=-=--=-⋅==-L L 又11b =-，所以211()2nn b -=-，即21122()2nn n a b -=+=-四、转化法通过变换递推关系，将非等差、等比数列转化为与等差、等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法. 常用的转化途径有：1．配凑变换——将递推公式1n n a ca b -=+ (b 、c 是常数，且c ≠1)通过配凑变成1()11n n b b a c a c c -+=+--。
数列递推公式求解
数列递推公式求解数列递推公式求解是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在这篇文章中，我们将探讨数列递推公式的求解方法，以及它们在实际问题中的应用。
首先，让我们明确什么是数列递推公式。
数列是一组按照特定规律排列的数字的集合。
递推公式则用来描述数列中每一项与前一项之间的关系。
最简单的数列递推公式是等差数列，它的一般形式为an = an-1 + d，其中an表示第n项，an-1表示前一项，d表示公差。
等差数列的递推公式可以用来求解各种问题，例如计算等差数列的求和、求特定项等。
接下来，我们介绍一下数列递推公式的求解方法。
求解数列递推公式的关键是找到数列中的规律。
一种常用的方法是观察数列的前几项，然后尝试找到它们之间的关系。
举个例子，假设我们有一个数列：1, 2, 4, 7, 11, ...。
我们可以观察到，第二项（2）减去第一项（1）得到1，第三项（4）减去第二项（2）得到2，第四项（7）减去第三项（4）得到3，以此类推。
根据观察结果，我们可以得出数列的递推公式：an = an-1 + (n-1)。
这个递推公式可以用来计算数列的任意一项。
除了等差数列，还有其他类型的数列，例如等比数列、斐波那契数列等。
对于这些数列，我们也可以通过类似的方法来求解它们的递推公式。
递推公式的求解不仅仅是一种数学问题，它在实际中也有广泛的应用。
例如在计算机科学中，递推公式被用来描述算法的时间复杂度。
通过求解递推公式，我们可以评估算法的效率，并选择合适的算法来解决问题。
此外，递推公式还被用于生物学、物理学等领域中，用来描述自然现象的变化规律。
通过求解递推公式，我们可以预测未来的发展趋势，从而做出相应的决策。
总结起来，数列递推公式求解是一项重要的数学技能，广泛应用于各个领域。
通过观察数列的规律，我们可以找到数列的递推公式，从而计算数列中的任意一项。
递推公式的求解不仅仅是一种数学问题，它还有实际中的广泛应用。
希望这篇文章能够帮助你更好地理解数列递推公式的求解方法及其应用。
数列递推公式的九种方法
数列递推公式的九种方法1.等差数列递推公式：在等差数列中，相邻两项之间存在相同的差。
如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，可以求得递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中n为第n项。
2.等比数列递推公式：在等比数列中，相邻两项之间的比值相同。
如果已知等比数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
3. 几何数列递推公式：几何数列是一种特殊的等比数列，其公比是常数项。
如果已知几何数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
4. 斐波那契数列递推公式：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
5. 回型数列递推公式：回型数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由周围的四个数字决定的。
回型数列的递推公式为an = an-1 + 8 * (n-1)，其中n为第n项，a1为第一项。
6. 斯特恩-布洛特数列递推公式：斯特恩-布洛特数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的约数个数决定的。
斯特恩-布洛特数列的递推公式为an = 2 * an-1 - an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
7. 阶乘数列递推公式：阶乘数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项的阶乘。
阶乘数列的递推公式为an = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1，其中n为第n项，a1为第一项。
8. 斯特林数列递推公式：斯特林数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之积的和决定的。
斯特林数列的递推公式为an = an-1 * n + 1，其中n为第n项，a1为第一项。
9. 卡特兰数列递推公式：卡特兰数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的乘积决定的。
卡特兰数列的递推公式为an = (4*n - 2) / (n + 1) * an-1，其中n为第n项，a1为第一项。
递推数列通项公式的常用方法
求递推数列通项公式的常用方法求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列。
一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1nn n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。
例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？【解析】：1n nS a =-，∴111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴112n n a a +=，又112a =，∴12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.反思：利用相关数列{}na 与{}nS 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 跟踪训练1.已知数列{}na 的前n项和n S ，满足关系()1lg n S n +=(1,2)n =⋅⋅⋅.试证数列{}na 是等比数列.二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例二 已知数列{}na 中，11a=，121(2)n n a a n -=+≥，求数列{}na 的通项公式.【解析】： 11a=，121(2)n n a a n -=+≥，∴2121a a =+3=，3221a a =+猜测21n na=-*()n N ∈，再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.跟踪训练 2.设{}na 是正数组成的数列，其前n 项和为nS ，并且对于所有自然数n ，na 与1的等差中项等于n S 与1的等比中项，求数列{}na 的通项公式.三 累加法：利用1211()()n n na a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。
数列递推的技巧
数列递推的技巧
数列递推是指根据已知的数列前几项，通过某种规律或公式来确定数列的后续项。
下面列举一些常见的数列递推的技巧：
1. 线性递推法：对于满足线性递推关系的数列，可以使用线性递推法来求解。
线性递推关系一般可以表示为an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + ... + ck * an-k，其中c1,c2,...,ck为常数。
常见的线性递推数列有斐波那契数列、等差数列等。
2. 指数递推法：对于满足指数递推关系的数列，可以使用指数递推法来求解。
指数递推关系一般可以表示为an = c * an-1^k，其中c和k为常数。
常见的指数递推数列有幂函数数列、几何数列等。
3. 差分递推法：对于满足差分递推关系的数列，可以使用差分递推法来求解。
差分递推关系一般可以表示为an = an-1 + dn，其中dn为常数。
常见的差分递推数列有阶乘数列、等差数列等。
4. 递归递推法：对于满足递归递推关系的数列，可以使用递归递推法来求解。
递归递推关系一般可以表示为an = f(an-1, an-2, ...)，其中f为一个函数。
常见的递归递推数列有斐波那契数列、双核函数数列等。
5. 其他递推技巧：还有一些特殊的递推技巧，如矩阵快速幂递推法、莫比乌斯反演递推法等，可根据具体的问题和数列特点选择合适的方法进行递推求解。
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４ ３ ０ ０ ２ ２
侯作 奎
排 分为 ： 第 ｎ号格里 的数字 是 ｋ与不是 ｋ的两大类． 从 而较方便 的沟通 了 ａ 与ａ 、 ａ 间 的关 系． 例２ （ １ ９ ９ ６年 爱朋 思杯 ， 上 海 市 高 中数 学竞 赛
题 ）已知 集合 ｛ １ ， ２ ， ３ ， ４ ， ５ ， ６ ， ７ ， ８ ， ９ ， １ ０ ｝ ， 求该 集 合具 有下列性 质 的子集 的个数 ： 每个 子集 至少 含有 ２个元 素， 且 每个子集 中任意两个 元素 的差 的绝对值 大于 １ ． 解 把 问题 推广到一 般 ： 已知集合 ｛ １ ， ２ ， …， ｎ ｝ ， 求该集合 具有下 列性质 的子集 的个数 ： 每个 子 集至少 含有 ２ 个 元素 ， 且 每个子集 中任 意两 个元 素 的差 的绝
种排 法． 故当凡 在第 ｋ 号格里 时 ， 共有 ａ ＋ａ 种
ｋ号格． 这样 就变成 １ ， ２ ， …， ｎ一１ 个 数的错排 ， 此时有
ａｎ ，
＿
例３ 用 １ ， ２ ， ３ 三个数来 构造 ｎ 位数 ， 但 不允许有 两个紧挨着 的 １出现在 位 数 中 （ 例如， 当 ＝５时 ，
将 ｎ≥ ５ 时的。 个 子集分 为含元素 ｎ与不 含元素 ｎ的
两大类． 在 含元素 ｎ的子集类 中 ， 又分为 二元子集 与至
少 含三个元 素的 子集． 通过 这 样 的分类 ， 沟通 了 ａ 与 ａ 、 ａ 一 ： 间 的关 系．
（ ２ ） 若第 ｎ 号格 里不是 ｋ ， 那 么把 第 ｎ 号格视 作第
对值大 于 １ ．
例１ （ １ ９ ９ ３ 年 全 国高考 题 ） 将数 字 １ ， ２ ， ３ ， ４ 填人 标 号为 １ ， ２ ， ３ ， ４ 的 四个格 子里 ， 每格 填一个数 字 ， 则每
个格 子 的 标 号 与 所 填 的 数 字 均 不 相 同 的 填 法 有
（ ） ． ’
探 求 数 列 递 推 公 式 的 若 干 途 径
武 汉 市外 国语 学校 高 中部
递 推公式是 数列 的一 种 重要 表示 方 法． 许 多计 数
问题需 要探求 数列 的递 推公 式． 那 么如 何 探求 数列 递 推公 式呢 ？本 文试 图通 过若 干具体 实例 ， 给 出探 求数 列递 推公式 的若 干途径 （ 方法 ） ． １ 制定 规则分类 。 利用分 类计 数原理 制定规 则 ， 并在这个 规则下 ， 将计 数 对 象分类 ， 这 样 比较容易 导出递推关 系．
（ １ ）含有元 素 的子集 ： ① 集合 ｛ １ ， ２ ， …， 一２ ｝
的每个符合 题设性 质 的子集 （ 至少 含有 ２个元 素 ）再
新增一元 素 ／ ７ ， 构 成 的集合仍 符合 题设 性质 ， 故 这样 的 子集有 ａ 个； ② 集合 ｛ １ ， ２ ， …， ｎ一２ ｝ 中每一个元 素
号为 １ ， ２ ， ３ ， …， ｎ的 ｎ个格 子里 ， 每格 填一 个数 字 ， 且 每个 格子 的标 号与所填 的数字 均不 相 同 ， 称 这样 的一 个 填法 叫作 一个错排． 求错排种 数． 假设 ｎ个 自然数 １ ， ２ ， ・ ・ ・ ｎ的错排 种数 为 ａ ． 显然
ａ２ １ ．
３ ２ ， ２ ２ ， ３ ３共 ８ 个， 即ａ ， ＝８ ． 当 ｎ≥ ３ 时， 分 两类情形 ： （ Ｉ ） ｎ 位数 的第 １ 位数是
３ １ ２ １ ３是允许 的 ， １ １ ２ ３ ３ ， ３ １ ｌ １ ２ 等 是不允许 的 ） ． 问能构 造 多少个这 样 的 ｎ位数 ？
解 设 能构 造 口 个符合 要求 的 位数． 显然一位 数 的有 １ ， ， ２ ， ３ ， 即ａ ｌ ＝３ ， 两位数 的有 １ ２ ， ２ ｌ ， １ ３ ， ３ １ ， ２ ３ ，
［工］二工］工 （ １ 号格 ｘ ２ 号格 ） … 号格 ） …
图 １
’
号格 ）
原 问题解答 ： 因ｏ ＝１ ， ａ ＝３ ， 再逐 次使 用上述递 推关 系有 ａ ｌ ０＝口 ９＋ａ ８＋８＝１ ３ ３ ． 评 ． 这里制 定规则 ： 考 虑子集 中是否含有元 素 ｎ ．
设ａ 是集合 ｛ １ ， ２ ， …， ｎ ｝ 的具有题 设性质 的子集
个数 ， 显然 ／ ２≥ ３ ．
Ａ ． ９ 种
Ｂ ． ６种
Ｃ ． １ １ 种
Ｄ ． ２ ３ 种
解 将 问题 推广 到一般 ： 将 １ ， ２ ， ３ ， …， ／ ７ ， 填 入标
当／ ７ ， ＝３ ， ４时 ， 计算得 ０ ３＝１ ， ０ ４ ＝３ ． 当 ｎ≥ ５时 ， 将ａ 个 子集分为两类 ：
排法． 因为放 置 ｎ的 ｋ 号格 可在 １ ， ２ ， …， 一１ 中选取 ，
有 ｎ一１ 种选法 ， 故 共有 ａ ＝（ 凡一１ ）－ （ ａ ＋ａ ） （ ｎ ≥３ ） 种 不 同排法． 原 问题解答 ： 因０ ＝１ ， ｏ ， ＝２ ， 由上面递推关 系得
０ ４＝（ ４—１ ） （ ２＋１ ） ＝９ ．
种 排法 （ 如图 １ ） ．
含有元 素 ｎ的子 集个数 为 ａ 一 ＋（ ｎ一２ ） ；
（ ２ ） 不含有 元素 ｎ的子集 ， 这样 的子集 由集合 ｛ １ ， ２ ， …， ｎ一１ ｝ 来确定 ， 有ａ 个． 所以ａ ＝ ０ ＋ａ ＋
（ 一２ ） （ ｎ≥ ５ ） ． ｔ
与 ｎ构成 的二元 子集符合题 设性 质 ，பைடு நூலகம்故 有 ｎ一２个． 故
当／ ７ ， ≥３ 时， 由于是错排 ， 故 必 不在第 ｎ 号格里 ， 设 ｎ在第 ｋ 号格 里 （ ＜ｎ ） ． 以下对第 ｎ号格 里的数字分 类讨论 ： （ １ ） 若第 ｎ 号格 里 的数字 是 ｋ ， 那么 除 ｎ 和 ｋ以外 还 要对余下 的 （ ｎ一２ ） 个 数进行错 排 ， 则此 时共 有 ａ