初中数学知识概要

初中数学辅导网 初中数学知识概要本部分内容是在对比“九义"教材与“新课标"基础上结合长期的教改实践，较为详实地提炼出了整个初中数学中关于“数与代数”、“统计与概率"-“生活中的图形"、“平面图形与三角函数”四个领域的双基内容，以供同学们在演练中备查基础知识． 第一部分数与代数主要内容包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界，以下分别将各模块知识点加以整理收集．一、实数(一)实数的组成1．有理数：任意一个有理数都可以写成分数pq的形式，其中p 与q 是整数且最大公约数是1，这是有理数的重要特征，例：3π是无理数而不是分数． 2．无理数(1)它包含两层意思：一是无限小数；二是不循环．二者缺一不可．(2)它有三种形式：②特殊常数，如圆周率π．③特定结构的无限小数，如0．1010010001…(每两个1之间依次多一个0)．3．判断一个实数的属性(如有理数、无理数)，应遵循：一化简，二辨析，三判断．要注意：“神似”或“形似”都不能作为判断的标准．(二)实数中的几个概念 1．相反数(1)实数a 的相反数是a -．(2)a 和b 互为相反数0a b ⇔+=． 2．倒数(1)实数a (a ≠0)的倒数是1a． (2)a 和b 互为倒数1ab ⇔=。

(3)注意0没有倒数． 3．绝对值(1)一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 即：(0)0 (0) (0)a a a a a a <>⎧⎪==⎨⎪-⎩(2)实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离．☆(3)几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零，例如：若20b c +=，则0a =，0b =，0c =．4．n 次平方根平方根，算术平方根：设被开方数0a ≥a 的算术平方根，a 的平方根．①正数有两个平方根，它们互为相反数． ②0的平方根是0． ③负数没有平方根． （2a 的立方根．①一个正数有一个正的立方根． ②0的立方根是0．③一个负数有一个负的立方根． （3a=．（4）算术平方根的估算方法：两端逼近法．．(精确到0．1)∵22263<<∴23<<．又∵22.45.76=，22.56.25=又∵6更靠近5．76，2.4=（三）近似数与科学记数法 1.科学记数法：把一个数写成10na ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是整数)，这种记数法叫做科学计数法。

（1）确定a ：a 是只有一位整数数位的数．（2）确定n ：当原数≥1时，n 等于原数的整数位数减1；；当原数<1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零）。

2.近似值的精确度：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

3.有效数字：一个近似数，从左起第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字， 都叫做这个数的有效数字．4．按精确度或有效数字取近似值，一定要与科学计数法有机结合起来．二、代数式（一）代数式1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．2.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值．3.代数式的分类：⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩系数单项式次数整式项有理式代数式多项式次数排列分式无理式(二)整式的有关概念及运算 1．概念(1)单项式：单项式是数与字母的积．其含义有： ①不含有加、减运算符号． ②字母不出现在分母里．③单独的一个数或者字母也是单项式． ④不含“符号”．(2)多项式：多项式是几个单项式的和．其含义有： ①必须由单项式组成． ②体现和的运算．(3)同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项．同类项必须同时具备两个条件： ①所含字母相同．②相同字母的指数也分别相同． 2．运算 (1)整式的加减①合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变．②去括号法则：括号前面是“+"号，把括号和它前面的“+"去掉，括号里各项都不变号：括号前面是“一”号，把括号和它前面的“一"号去掉，括号里各项都变号．③添括号法则：括号前面是“+"号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“一"号，括到括号里各项都变号．④整式的加减运算，其实质是合并同类项，方法是在运算时，如果遇到括号，就依据去括号的法则或乘法分配律，先去括号，再合并同类项． (2)整式的乘除 ①幂的运算性质：m n m n a a a +⋅=()m n mn a a =()n n n ab a b =m n m n a a a -÷=（ 0a ≠）01a =（0a ≠）11()p p pa a a-==（0a ≠）②单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ③单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即：()m a b c ma mb mc ++=++④多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即：()()a b m n a m a n b m b n++=+++． ⑤单项式相除：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：用这个多项式的每一项去除以这个单项式，再把所得的商相加． ⑦乘法公式：平方差公式：22()()a b a b ab +-=-(在平方差公式中，符号相同者为“a "，符号相反者为“b ”)完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+(三)分解因式1．分解因式的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式． 2．常用分解因式的方法(1)提公因式法，即：()ma mb mc m a b c ++=++．其分解步骤为：①确定多项式的公因式，公因式=各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积．②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式． (2)运用公式法 平方差公式：22()()ab a b a b -=+-完全平方公式：2222()aab b a b ±+=±运用时，应注意：①如果多项式中各项含有公因式，应该首先提取公因式，然后再考虑运用公式．②公式中的字母，既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者一个多项式．(3)十字相乘法：新教材中已不作要求，但此方法在解题中非常适用．☆(4)分组分解法严格地讲，分组分解法不是一种独立的分解因式的方法，而是为提公因式法或运用公式法创造条件，即先把多项式各项适当分组，以达到最后能用提公因式或运用公式分解因式的目的． 3．分解因式的一般步骤(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式． (2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解． (3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解． (4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． (四)分式1．分式定义：式子鲁叫做分式，其中A ，B 表示两个整式，且B 中含有字母．(1)分式无意义：当B=0时，分式无意义；当B≠O 时，分式有意义．(2)分式的值为0：当A=0且B≠0时，分式的值为0． (3)分式约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．其步骤是：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．(5)通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．*(6)最简公分母：各分母所有系数的最小公倍数与因式的最高次幂的积叫最简公分母． 2．分式的基本性质 (1)A A MB B M ⨯=⨯,A A MB B M÷=÷（其中0M ≠）(2)分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 3．分式的运算(1)加、减：()a b a b c c c±±=()a c ad bc ad bcb d bd bd bd ±±=±=(2)乘、除：a c ac b d bd ⋅=a c adb d bc÷=(3)乘方：()nn na ab b=．*(4)繁分式：分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式．通常把繁分式写成分子除以分母的形式，再利用分式的除法法则进行化简． （五）二次根式*1.0)a ≥叫做二次根式。

（1）最简二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式． ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．*（2）同类二次根式：化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

*（3）分母有理化：把分母中的根号化去叫分母有理化． *（4）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式．如：2与2互为理化因式．2.二次根式的性质 （1）2 (0)a a =≥（200)a b =≥≥，（300)a b =≥>，（4(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩b= *3.二次根式的运算（1）加减运算的实质是合并同类二次根式，其步骤是先化简，后找“同类”合并．（2）乘除运算的法则是逆向运用二次根式的性质（2）（3）。

做乘法时，要灵活运用乘法法则；做除法时，有时要写为分数形式，然后分母有理化。

三．方程与方程组（一）方程1.方程：含有未知数的等式叫做方程，它包含两层意思：一是含有未知数，二是等式，二者缺一不可。

从定义可说明方程是等式，但等式不一定是方程。

2.方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做根．3.解方程：求方程的解的过程，叫做解方程．*4.同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．*5.方程的同解原理（1）方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程．(2)方程两边都乘以(或除以)同一不等于0的数，所得方程与原方程是同解方程． 6．方程的增根与遗根(1)在方程变形时，能产生不适合原方程的根叫做方程的增根． (2)在方程变形时，由于盲目变形，在方程的两边同除以含有未知数的代数式，从而导致方程遗根． 7．方程的分类⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩一元一次方程整式方程一元二次方程有理方程方程*高次方程分式方程*无理方程 (二)一元方程 1．一元方程(1)一元一次方程的标准形式：0 (0)ax b a +=≠(2)一元一次方程的解法． (3)一元一次方程有唯一的一个解． 说明：对于以x 为未知数的最简方程ax b =，若没有给出字母a 和b 的取值范围，其解有下面三种情况： ①0a ≠时一元一次方程，有唯一解bx a=． ②0a=，0b ≠时，方程无解．③0a =，0b =时，方程有无数个解．2．一元二次方程(1)一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠(2)一元二次方程的解法 特殊解法：①直接开平方法：2(0)x a a =≥一般解法： ②配方法③公式法：240)x b ac =-≥ *(3)一元二次方程根的判别式：24b ac ∆=-①0∆>⇒方程有两个不相等的实数根．②0∆=⇒方程有两个相等的实数根． ③0∆<⇒方程无实数根． ④0∆≥⇒方程有两个实数根。