华师大版八年级数学上册课件：14.1 勾股定理(共24张PPT)

(3)如果一个直角三角形的两条边长分别 是5厘米和12厘米，那么这个三角形 的周长是多少厘米？
可要当心噢！
在直角△ABC中， =3， b=4， 则求c的值？
已知∠ACB=90°,
CD⊥AB,AC=3,BC=4.
A D 3 C B
求CD的长.
4
求下列直角三角形中未知边的长: 8 17 5 12
(3)若a:b=3:4,c=15,求a,b的长
练习 (1)在直角△ABC中，∠A=90° a=5，b=4，则求c的值？ (2) 在直角△ABC中，∠B=90°， ①a=3， b=4，则求c的值？ ②c =24，b=25，则求a的值？ (3) 在直角△ABC中，∠c=90°， 若a:c=5:13,b=24,求a,c的长
国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家多年 《周髀算经》中。
勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，远在公元前三千年的巴比 伦人就知道和应用它了。我国古代也发现了这个定理，据《周髀算经》记载， 商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商 高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五。”同书中还有另一为学者陈子 （公元前六七世纪）与荣方的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾， 日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）至日”即 邪至日2=勾2+股2 陈子已不限于：三、四、五的特殊情形，而是推广到一般情形了。 人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，很难区分是谁最 先发明的. 勾股定理曾引起很多人的兴趣,世界上对这个定理的证明方法很多， 1940年卢米斯收集了这个定理的370种证明，期中包括大画家达· 芬奇和美国 总统詹姆士· 阿· 加菲尔德的证法。到目前为止,已有四百多种证法.
AC2+BC2=AB2
想一想
这说明在等腰直角三角形ABC中,两
直角边的平方和等于斜边的平方
那么,在一般的直角三角形中,两直角边 的平方和是否等于斜边的平方呢?
A
P的面 Q的面 R的面 积(单位 积(单位 积(单位 长度) 长度) 长度)
Q
C
R
B
图2 图3
9 9
16 4
25 13
P
图2
A
R
Q
C
P、Q、 R面积 关系
x
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 依勾股定理可得： 依勾股定理可得：
82+ X2=172 即：X=√172-82 =15 52+ 122= X2 即：X=√52+122 =13
B a
几何语言： c ∵在Rt△ABC中 ∠C=90°（已知） ∴a2+b2=c2（勾股定理）
∟ b
A
C
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
c 2 = a 2 + b2
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2 a 2= c 2 － b2
c a 2 b2
a c 2 b2
c
2
b
b 2 = c 2 －a 2
b c a
2
a
例题1:
在直角△ABC中, ∠C=90°,a,b,c分别为∠A, ∠B ,∠C的对边. (1)若a=3, b=4,求c的长(2)若a=5, c =12,求b的长
SP+SQ=SR
BC2+AC2=AB2
P
图3
B
直角三 角形三 边关系
(每一小方格表示1平方厘米)
Q P
图1-3
R
R
Q
P
图1-4
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。
Q P
图3
R
R
1 7 4 3 4 2
2
S正方形R
Q
P
图4
25
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记
做一做
分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作 出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后 验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
A
5
13
C
12
B
概括
揭示了直角三角形三条边的 关系
勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
对于任意的直角三角形，如果它的两条直 角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2
勾股定理的证明(一)
“弦图”
a b b b c a
最早是由1700 多年前三国时 期的数学家赵 c 爽为《周髀算 经》作注时给 出的，他用面 积法证明了勾 股定理
你能用面积法 证明勾股定理 吗？
勾股定理的证明(二)
b a c c b c c a b
a b
a
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
教学目标：体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决 相关问题；感受数学文化的价值和我国传统数学的成就。
问题解决
问题情境
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火， 了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长 的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5 米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
活动一

A
观察左图：
（1）正方形P的面积是 R （2）正方形Q的面积是 （3）正方形R的面积是 1 1 2 平方厘米。 平方厘米。 平方厘米。
P
C Q B
SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
上面三个正方形的 面积之间有什么关 系？
Sp=AC2
SQ=BC2
SR=AB2
等腰直角三角形ABC三边长度之 间存在什么关系吗？
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
1 2 2 1 S梯形= (a+b)(a+b) = (a +b )+ ab 2 2 1 2 1 1 2 S梯形 = c +2 · ab = c +ab 2 2 2
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
伽 菲 尔 德 证 法