高考数学解答题专项突破系列(二)三角函数与解三角形的综合应用问题

热点题型1 三角函数与三角恒等变换的综合
典例 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.
(1)求ω的值；
(2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．
公式法．(公式的逆向应用)辅助角法．
解 (1)f (x )＝3
2－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝3
2－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －1
2sin2ωx ＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π
4，故该函数的周期T ＝4×π
4＝π.
又ω>0，所以2π
2ω＝π，因此ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π3. 设t ＝2x －π
3，则函数f (x )可转化为y ＝－sin t . 当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤8π
3，
如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
5π3，8π3上的图象，
由图象可知，当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时，sin t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－32，1，
故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为3
2，－1. 热点题型2 三角恒等变换与解三角形的综合
典例 (2018·德州一模)已知函数f (x )＝23sin ωx 2·cos ωx 2－2sin 2ωx
2(ω>0)的最小正周期为3π.
(1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，a <b <c ，3a ＝2c sin A ，并且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2A ＋π2＝1113，求cos B 的值．
边角互化法．
解 (1)f (x )＝3sin ωx －2·1－cos ωx
2＝3sin ωx ＋cos ωx －1＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1， 由函数f (x )的最小正周期为3π，得ω＝23. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x ＋π6－1.
由－π2＋2k π≤23x ＋π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ， 得－π＋3k π≤x ≤π
2＋3k π，k ∈Z ，
∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π＋3k π，π2＋3k π，k ∈Z . (2)由已知3a ＝2c sin A ，得3sin A ＝2sin C sin A . 又∵sin A ≠0，∴sin C ＝32.又∵a <b <c ，∴C ＝2π
3.
由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32A ＋π2＝1113，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2－1＝1113，即cos A ＝1213.∵0<A <π3，∴sin A ＝1－cos 2A ＝513.由C ＝2π3，知A ＋B ＝π
3，
∴cos B ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－A ＝cos π3cos A ＋sin π
3sin A
＝12＋53
26.
热点题型3 三角函数与解三角形及向量、数列的综合 典例1
(2018·河南测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝
⎛
⎭
⎪⎫cos B ，2cos 2C 2－1，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n
＝0.
(1)求角C 的大小；
(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →
|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积．
边化角、方程组法．
解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， ∴c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0， sin A ＝2sin A cos C ，又∵sin A ≠0，
∴cos C ＝12，而C ∈(0，π)，∴C ＝π
3.
(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →
，两边平方得4|CD →
|2＝b 2＋a 2＋2ba cos C ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.①
又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，∴S △ABC ＝1
2ab sin C ＝2 3.
典例2 (2018·江西联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .
(1)若a ，b ，c 成等比数列，cos B ＝35，求cos A sin A ＋cos C
sin C 的值； (2)若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝2，求△ABC 面积的最大值．
转化法、用均值不等式．
解 (1)∵cos B ＝35，∴sin B ＝45.
由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac .又由正弦定理，得sin 2B ＝sin A sin C .
∴cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (C ＋A )sin A sin C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝54.
(2)由角A ，B ，C 成等差数列，得B ＝π
3.
又b ＝2，由余弦定理，得4＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 由基本不等式，得4≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3
4ac ≤3(当且仅当a ＝c 时等号成立)．∴△ABC 面积的最大值为 3.
热点题型4 三角形中的最值(范围)问题
典例
(2018·郑州一联)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a －b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A ＋sin B )，且m ∥n .
(1)求角B 的大小；
(2)设BC 中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积．
用角化边及余弦定理求出角B ，再根
据正弦定理表示出a ＋2c .
解 (1)因为m ∥n ，所以(a －b )(sin A ＋sin B )－c (sin A －sin C )＝0. 由正弦定理，得(a －b )(a ＋b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac .由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.
因为B ∈(0，π)，所以B ＝π
3.
(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π
3可知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3. 由正弦定理及AD ＝3，得BD
sin θ＝
AB sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2π3－θ＝AD
sin π3＝2，
所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2π3－θ＝3cos θ＋sin θ，
所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ， 从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ＋π6.
由θ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫0，2π3，得θ＋π6∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
π6，5π6.
所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π
3时，a ＋2c 的最大值为43，此时a ＝23，c ＝3，所以S ＝12ac sin B ＝33
2.。