高中数学人教A版选修2-3课后导练：1.1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理一 Word版含解析

基础达标
1.如果x,y ∈N *,且1≤x≤3,x+y ＜7,则满足条件的不同的有序正整数对(x,y)的个数是( )
A.15
B.12
C.5
D.4
解析：由x 的取值可分三类：x=1时，y 有1，2，3，4，5五个可取的数；
x=2时,y 有1，2，3，4四个可取的数；
x=3时，y 有1，2，3三个可取的数.
由分类计数原理可知共有N=5+4+3=12(个)
答案：B
2.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为( )
A.25
B.26
C.36
D.37
解析：另两边边长由x 、y 表示，且不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形，必须x+y≥12. 当y 取值11时，x=1,2,3, …,11，可有11个三角形.
当y 取值10时，x=2,3, …,10,可有9个三角形.
……
当y 取值6时，x 也只能取6,只有一个三角形.
∴所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.
答案：C
3.有不同颜色的上衣5件，裤子3条，从中选一样送给某人，共有___________种不同的选法.
解析：从5件上衣，3条裤子中任选一种，共有5+3=8种不同的选法.
4.大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1,2,3,4,5,6抛掷这两个玩具，则向上的面标着的两个数字之积不小于20，不同的积共有___________种.
解析：第1个正方体向上的面标有的数字必大于等于4.如果是3，则3与第二个正方体面上标有数字.最大者6的积3×6=18＜20,
4×⎩⎨⎧==,246,205 5×⎪⎩⎪⎨⎧===,306,255,204 6×⎪⎩
⎪⎨⎧===.366,305,244 以上积的结果共有20，24，25，30，36五种.
5.如右图所示为一电路图，从A 到B 共有_______________条不同的线路可通电
.
解析：∵按上、中、下三条线路可分为三类：从上线路中有3种；中线路中有一种；下线路中有2×2=4种.根据分类计数原理，共有3+1+4=8（种）.
答案：8
6.设某市拟成立一个由6名大学生组成的社会调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的3所大学，要求每所大学都有学生参加，则不同的名额分配方法共有_______________种（用数字作答）.
解析：名额分配有3类：1,1,4;1,2,3;2,2,2.然后具体到学校，得3+6+1=10.
答案：10
7.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分别沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )
A.26
B.24
C.20
D.19
解析：要完成的这件事是“从A向B传递信息”，完成这件事有4种办法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6.因此，可按这四种办法把传递信息量这件事分成四类，用分类计数原理可解，答案为D.
答案：D
8.某仪表显示屏上有四个可显示数字的小窗.每个小窗可显示数字“0”或“1”.
（1）这个显示屏共能显示出几种由四个数字组成的信号.
（2）将题目中的“四”改为“n”，其结论又如何.
分析：由于“四”数字比较小，可采用枚举法，一一写出来.
显示信号是
0,0,0,0; 0,0,0,1; 0,0,1,0; 0,0,1,1;
0,1,0,0; 0,1,0,1; 0,1,1,0; 0,1,1,1;
1,0,0,0; 1,0,0,1; 1,0,1,0; 1,0,1,1;
1,1,0,0; 1,1,0,1; 1,1,1,0; 1,1,1,1;
共计16种.
如果从“第一个数显示”，“第二个数显示”，“第三个数显示”，“第四个数显示”的阶段来看，则可用乘法计数.容易看出：每阶段显出数字的方法数都是2.因此共有24=16种信号，按这种考虑，不难看出：把“四”换成“n”后，共能显示出2n种信号.
9.从0到99这100个数中，数字6出现多少次？
解析：按照数字6出现的次数可分两类：出现两次，只有66；出现一次.出现一次的情况按6出现的位置又分为两类：第一类出现在个位上，共有9个，即6，16，…，56，76，86，96；第二类是6出现在十位上，共有9个，即60，61，62，…，65，67，68，69.由分类加法计数原理，数字6出现的次数是N=1+（9+9）=19（次）.
拓展探究
10.在任意两个正整数m、n间定义某种运算（用⊗表示运算符号）.当m、n都为正偶数或都为正奇数时，m⊗n=m+n,如4⊗6=4+6=10;3⊗7=3+7=10.当m、n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，m⊗n=mn,如3⊗4=3×4=12;4⊗3=4×3=12,则上述定义下，集合M={（a,b）|a⊗b=36,a、b∈N*}中元素的个数为_____________.
解析：可分三类：第一类：a,b全为正偶数，则（a,b）可以是（34，2），（32，4），（30，6），…，（2，34），共计17个；
第二类：a,b全为正奇数，则（a,b）可以是（35，1），（33，3），…，（1，35）共计18个；第三类：a,b中一个正奇数，一个正偶数，则（a,b）可以是（4，9），（9，4），（12，3），（3，12），（36，1），（1，36）共计6个；
由加法原理可知集合中共有元素：N=17+18+6=41（个）.
备选习题
11.从1，2，3，4四个数中任意取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和共有( )
A.8个
B.9个
C.10个
D.5个
提示：按加数的个数分类，除去和相同的结果即可.
答案：A
12.把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有( )
A.4种
B.5种
C.6种
D.7种
解析：设这三堆苹果个数分别为x 个，y 个，z 个则
⎪⎩
⎪⎨⎧∈≤≤=++*,,5,,110N z y x z y x z y x
于是分法有：x=1,y=4,z=5
x=2,y=4,z=4
x=3,y=3,z=4
x=3,y=5,z=2
(这里x=3,y=5,z=2和x=3,y=2,z=5视为相同的分法，其他同此）
∴共有4种分法，选A.
13.从1，2，3，…，100这100个自然数中，每次取出两个不同的数相乘，积是5的倍数的取法种数为____________.
解析：从1到100的整数中，共有5的倍数20个.取两数积为5的倍数的取法有两类，第一类为两个数都是从这20个数中选取，有380种；另外一类为从这20个数中取一个，再从另外80个数中取一个相乘得到，共有80×20=1 600种取法，所以共有1 600+380=1 980种不同的方法.
14.欲将一张10元人民币换成零钱，现有足够多的1元、2元、5元的人民币，问共有多少种不同的换法？
解析：换法数就是x+2y+5z=10(x,y,z ∈N )的解的组数，对z 进行分类即可，答案是10种.
15.用2005，2006，2007，2008四个数，可以构造出多少个各项均不相同且项数是4的数列？ 解析：依据数列的定义，按一定顺序排列的一列数叫数列，故2005，2006，2007，2008与2006,2005,2007,2008是两个不同的数列，所以四个数2005,2006,2007,2008的顺序不同时，表示的便是符合条件的不同数列.按照数列的首项的值分别不同可分四类，构成的数列依次表示为：
首项为2006,2007,2008时，同理可得均可构成6个符合条件的数列，故总共有：N=6+6+6+6=24个符合条件的数列.
16.王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30个英语单词卡片，右边口袋装有20个英语单词卡片，这些英语单词卡片各不相同，问从两个口袋里任取一个英语单词卡片，有多少种不同的取法？
解析：由分类计数原理得，共有N=30+20=50(种)不同取法.。