高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.2.2._极坐标与直角坐标的互化》教案
1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》 课件(人教A版选修4-4)(2)
所以线段AB中题8分，共24分）
7.极坐标系中，点（6，7 ）的直角坐标为_______.
3
【解析】∵x=ρcosθ=6cos 7 =3,
3
y=ρsinθ=6sin 7 = 3 3 ,
∴点的极坐标（6，7 ）化为直角坐标为（3， 3）. 3
【解析】∵tanθ= - ,
5 5 4 3 ＜θ＜π, 2
∴cosθ= - 3 ，sinθ= 4 , ∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4, ∴点M的直角坐标为(-3,4). 答案：(-3,4)
三、解答题（共40分）
x=2x 10.（12分）已知点P的直角坐标按伸缩变换 变换为点 y= 3y
2.直角坐标系中，点（1， 3）的极坐标可以是( -
)
【解析】
3.把点的直角坐标(3,-4)化为极坐标(ρ ,θ )(ρ ≥0,0≤θ ＜
2π )，则( ) （B）ρ =5,θ =4
（A）ρ =3,θ =4
（C）ρ =5,tanθ = 4
3
（D）ρ =5,tanθ =-
4 3 x 3
【解析】选D.由公式得ρ= x 2 +y2 = 32 +(-4)2 =5, tanθ = y =- 4 ,
θ∈［0,2π).
4.在极坐标系中，点A(2,
(A)1 (B)2
)与B(2,- )之间的距离为( 6 6
)
(C)3
6
(D)4
)的直角坐标分别 6
【解析】选B.方法一：点A(2, )与B(2,为( 3,1)与( 3,-1), 于是|AB|= ( 3- 3)2 +(1+1)2 =2.
方法二：由点A(2, )与B(2,- )知|OA|=|OB|=2,∠AOB= ,
高中数学 1.2《极坐标系》教案 新人教A版选修4-4
极坐标系【基础知识导学】1． 极坐标系和点的极坐标极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。
规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。
2． 平面直角坐标与极坐标的区别在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。
3． 极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。
4． 如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5． 极坐标与直角坐标的互化（1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。
（2） 互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。
【知识迷航指南】【例1】 在极坐标系中，描出点)3,2(πM ，并写出点M 的统一极坐标。
【点评】点)3,2(πM 的统一极坐标表示式为)32,2(ππ+k ，如果允许0<ρ，还可以表示X为)3)12(,2(ππ++-k 。
【例2】已知两点的极坐标)6,3(),2,3(ππB A ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________.解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即∆AOB 为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=65π 【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果.【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线. (1)43πθ=,()R ∈ρ (2)θθρcos 2sin +=【解】(1)根据极坐标的定义,因为x y xy -==即,43tan π,所以方程表示直线. (2)因为方程给定的ρ不恒为0,用ρ同乘方程的两边得:θρθρρcos 2sin 2+=化为直角坐标方程为,222x y y x +=+即45)21()1(22=-+-y x ,这是以(1,21)为圆心,半径为25的圆. 【点评】①若没有R ∈ρ这一条件,则方程表示一条射线.②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘ρ,使之出现ρ2是常用的方法. 【解题能力测试】1．已知点的极坐标分别为)4,3(π-A ，)32,2(πB ，),23(πC ，)2,4(π-D ，求它们的直角坐标。
1.2.2_极坐标与直角坐标的互化
1.2.2极坐标与直角坐标互化(1课时)武定民族中学李秀洪教学目标1、掌握极坐标与直角坐标的互化公式，了解互化公式的三个前提及其使用方法．2、能熟练进行点的极坐标与直角坐标的互相转化，会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的互相转化，初步掌握何时用直角坐标系、何时用极坐标系解决问题．3、极坐标系作为解析几何的一种独持工具有其独到的功能，从中可进行同一问题，可以用不同工具和不同方法去研究，其解决问题的效率和效果也会有不同的思想方法教育．教学重难点1．重点：极坐标与直角坐标的互化公式及其使用方法，点与方程的极坐标与直角坐标的互化．2．难点：极坐标方程化成直角坐标方程时，方程的等价性讨论．教学分析：（一）本课时教学内容的功能和地位：极坐标系是高中新教材人教A版选修4-4第一章第二节的内容, 是在学生已经学习过平面直角坐标系的背景下，通过类比直角坐标系的研究方法让学生进行自主探究，完成直角坐标与极坐标的互化，为简单曲线的极坐标方程以及参数方程奠定基础。
（二）学生情况分析：授课班级为普通班，学生的能力比较差。
通过前面对平面直角坐标系的学习，学生已经对坐标系有了一定的了解；极坐标的思想已经普遍地存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该容易接受。
活动设计1．活动：思考、问题、议论、练习．2．教具：尺规．教学过程一、知识回顾1、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做。
引一条射线OX，叫做。
再选定一个长度单位和角度单位及。
（通常取方向）。
这样就建立了一个。
2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M，用ρ表示线段的长度，用θ表示从ρ叫做点M的，θ叫做点M的，有序数对就叫做M的极坐标。
（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数。
（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ），θ可取任意值。
3、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（ρ,θ）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》 课件(人教A版选修4-4)(3)
∠AOB=
设线段AB的中点为C， 则|OC|= 1 ，极径OC与极轴所成的角为 5 ,
2 12
所以线段AB中点C的极坐标为 ( 1 , 5 ).
2 12
二、填空题（每小题8分，共24分）
7.极坐标系中，点（6，7 ）的直角坐标为_______.
3
【解析】∵x=ρcosθ=6cos 7 =3,
一、选择题（每小题6分，共36分） 1.极坐标系中，点(1,-π )的直角坐标为( （A）(1，0) （B）(0,1) （C）(-1,0) ) （D）(0 ，-1)
【解析】选C.∵x=ρcosθ=cos（-π）=-1，
y=ρsinθ=sin（-π）=0.
B(2, 5 5 ),C( 3, ), 极点O(0,0), 6 3
2
(1)判断△OAB的形状; (2)求△ABC的面积. 【解析】方法一：
所给各点的直角坐标分别为A(0,2),B( - 3，1), C( 3 ,- 3 ),
2 2
O(0,0), (1)∵|AB|= (- 3-0) 2 +(1-2) 2 =2, |OA|=|OB|=2, ∴△OAB为等边三角形.
θ∈［0,2π).
4.在极坐标系中，点A(2, )与B(2,- )之间的距离为( 6 6
)
(A)1
(B)2
(C)3
6
(D)4
)的直角坐标分别 6
【解析】选B.方法一：点A(2, )与B(2,为( 3,1)与( 3,-1), 于是|AB|= ( 3- 3) 2 +(1+1) 2 =2.
4 3
＜θ ＜π ,则 2
点M的直角坐标为_______.
【解析】∵tanθ= - ,
浙江省奉化中学高中数学 第4节 极坐标与直角坐标的互化教案 新人教A版选修44
第4节：极坐标与直角坐标的互化教学目的：知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解教学难点：互化关系式的掌握授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？ 学生回顾理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解二、讲解新课：直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。
),(y x 平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： ⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2。
3 化公式的三个前提条件1. 极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;3. 两种坐标系的单位长度相同.三、数学应用例1（1）把点M 的极坐标)32,8(π化成直角坐标； （2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标。
变式训练在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离例2若以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系.(1) 已知A 的极坐标),35,4(π求它的直角坐标, (2) 已知点B 和点C 的直角坐标为)15,0()2,2(--和求它们的极坐标.ρ(＞0,0≤θ＜2π)变式训练把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜π2))4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A例3在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,6(ππB A . 求A,B 中点的极坐标.变式训练在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -. 判断P N M ,,三点是否在一条直线上.四、小 结：本节课学习了以下内容：平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ五、课后作业：。
选修4-4 1.2.2 极坐标于直角坐标的关系
高二数学 选修4-4 学案
【引入新课】
极坐标系和直角坐标系是平面上的两种不同的坐标系. 平面上
的点可以表示为极坐标，也可以表示为直角坐标，以后再讨论问题
时经常要作这两种坐标的变换.
设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的
x 轴的正半轴，以2π
θ=的射线作为y 轴的正半轴，以极点为坐标
原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系（如图）
【概念探究】
设M 为平面上的一点，它的直角坐标为（x ，y ），极坐标为（θρ,）.
由图可知下面的关系式成立：
______________________ (1)
或
________________________ (2)
顺便指出，上式对0<ρ也成立.
在本书中，若不特别说明，则极坐标和直角坐标的变换都指公式（1）和（2）
【典例解析】
例1.
把点M 的极坐标)32,2(π化为直角坐标形式.
[变式训练]
把点M 的极坐标)4
3,3(π化为直角坐标形式.
例2.
把点M 的直角坐标（1，-1）化为极坐标形式（限定πθπρ≤<-≥,0）
[变式训练]
把点M 的直角坐标（3-，-1）化为极坐标形式（限定πθπρ≤<-≥,0）
【提高】把点M 的直角坐标)1,3(-按下面的要求化为极坐标形式：
（1）在极坐标中，限定πθρ20,0<≤≥ （2）在极坐标中，限定πθρ20,0<≤<
【课堂小结】
【作业】教材第10页 练习 1题
习题1-2 3.4题。
1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》 课件(人教A版选修4-4)(3)
所以线段AB中点C的极坐标为 ( 1 , 5 ).
2 12
二、填空题（每小题8分，共24分）
7.极坐标系中，点（6，7 ）的直角坐标为_______.
3
【解析】∵x=ρcosθ=6cos 7 =3,
3
y=ρsinθ=6sin 7 = 3 3 ,
∴点的极坐标（6，7 ）化为直角坐标为（3， 3）. 3
【解析】∵tanθ= - ,
5 5 4 3 ＜θ＜π, 2
∴cosθ= - 3 ，sinθ= 4 , ∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4, ∴点M的直角坐标为(-3,4). 答案：(-3,4)
三、解答题（共40分）
x=2x 10.（12分）已知点P的直角坐标按伸缩变换 变换为点 y= 3y
一、选择题（每小题6分，共36分） 1.极坐标系中，点(1,-π )的直角坐标为( （A）(1，0) （B）(0,1) （C）(-1,0) ) （D）(0 ，-1)
【解析】选C.∵x=ρcosθ=cos（-π）=-1，
y=ρsinθ=sin（-π）=0.
3 3
答案：(3, 3 3)
8.将点的直角坐标 - ， ） 化为极坐标（ρ ＞0，θ ∈[0，2π )) （
为_______. 【解析】
2 2
答案： 2 , 3） （
2 4
9.已知点M的极坐标为(5,θ,则 2
点M的直角坐标为_______.
θ∈［0,2π).
4.在极坐标系中，点A(2,
(A)1 (B)2
)与B(2,- )之间的距离为( 6 6
)
(C)3
6
(D)4
)的直角坐标分别 6
【解析】选B.方法一：点A(2, )与B(2,为( 3,1)与( 3,-1), 于是|AB|= ( 3- 3)2 +(1+1)2 =2.
1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》 课件(人教A版选修4-4)(3)
【解析】选C.∵x=ρcosθ=cos（-π）=-1，
y=ρsinθ=sin（-π）=0.
பைடு நூலகம்
2 12
所以线段AB中点C的极坐标为 ( 1 , 5 ).
2 12
二、填空题（每小题8分，共24分）
7.极坐标系中，点（6，7 ）的直角坐标为_______.
3
【解析】∵x=ρcosθ=6cos 7 =3,
3
y=ρsinθ=6sin 7 = 3 3 ,
∴点的极坐标（6，7 ）化为直角坐标为（3， 3）. 3
B(2, 5 5 ),C( 3, ), 极点O(0,0), 6 3 2
(1)判断△OAB的形状; (2)求△ABC的面积. 【解析】方法一： 所给各点的直角坐标分别为A(0,2),B( - 3，1), C( 3 ,- 3 ),
2 2
O(0,0), (1)∵|AB|= (- 3-0)2 +(1-2)2 =2, |OA|=|OB|=2, ∴△OAB为等边三角形.
6.在极坐标系中，点 A( 2 , ),B( 2 , 2 ) ，则线段AB中点的 极坐标为( )
2 6 2 3
【解析】选A.方法一：由点 A( 2 , ),B( 2 , 2 ) 知， ∠AOB=
，于是△AOB为等腰直角三角形， 2
2 6
2
3
所以|AB|= 2 2 =1,
2
设线段AB的中点为C， 则|OC|= 1 ，极径OC与极轴所成的角为 5 ,
θ∈［0,2π).
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.1平面直角坐标系》教案新部编本2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校第一章坐标系【课标要求】1．坐标系：了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化。
了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法（本节内容不作要求）。
2．曲线的极坐标方程：了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程。
3．平面坐标系中几种常见变换（本节内容不作要求）了解在平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换。
第一课时直角坐标系一、教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、平面直角坐标系与曲线方程1、教师设问：问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？问题3：(1).如何把平面内的点与有序实数对(x,y)建立联系？(2).平面直角坐标系中点和有序实数对(x,y)是怎样的关系？问题4：如何研究曲线与方程间的关系？结合课本例子说明曲线与方程的关系？2、思考交流：(1).在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2,3)、 5为半径的圆的方程是什么？（2）.在平面直角坐标系中，圆心坐标为（a,b)半径为r的圆的方程是什么?3、、学生活动：学生回顾并阅读课本，思考讨论交流。
教师准对问题讲解。
刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系（1）、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定（2）、平面直角坐标系：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
选修4-4 1.2极坐标和直角坐标的互化
§1.2极坐标和直角坐标的互化课时安排：1课时；编写人：李崇博；审核人：田清明；电子打版：王建；编写时间：2017.2.17教学目标：极坐标和直角坐标的互化教学重点：极坐标和直角坐标的互化教学难点：极坐标和直角坐标的综合应用教学过程：一、知识导读：1.互化背景：把直角坐标系的原点作为________________，x 轴的正半轴作为________________，并在两种坐标系中取相同的________________。
2.互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ)0(≥ρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表一般情况下，由确定角时，可根据点所在象限取 最小正角。
二、例题讲解：例1.将点M 的极坐标)32,5(π化成直角坐标。
变式1.分别把下列点的极坐标化为直角坐标。
（1）)32,2(π （2）)2,4(π-（3）)2,6(例2.将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标。
变式 2.将下列点的直角坐标化为极坐标)20,0(πθρ<≤≥。
（1）)0,0( （2）)1,1( （3）)23,23(ππ例3.已知点M )34,1(π（1）若0<ρ，πθ20<≤，则M 的极坐标为________________。
（2）若0<ρ，02<≤-θπ，则M 的极坐标为________________。
变式3.与极坐标)6,2(π-不表示同一点的极坐标是（ ） A.)67,2(π B.)67,2(π- C.)611,2(π-- D.)613,2(π-例4.在极坐标系中，极点为O ，将点A )6,2(π对应的向量OA 绕极点O 逆时针旋转2π，得到向量，求向量的直角坐标。
变式4.已知ABC ∆三个顶点极坐标为)2,2(πA ，)65,2(πB ，)35,3(πC ，极点O )0,0(. （1）判断OAB ∆的形状；（2）求ABC ∆的面积。
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第三课时 极坐标与直角坐标的互化
一、教学目的：
知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式
能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 教学难点：互化关系式的掌握 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入： 情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便 问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？ 问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？ 学生回顾 理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义 正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解 （二）、讲解新课： 直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为),(yx和),(，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： {sincosyx { xyyxtan222 说明1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，0≤≤2。 3、互化公式的三个前提条件
（1）. 极点与直角坐标系的原点重合;
（2）. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
（3）. 两种坐标系的单位长度相同.
（三）、举例应用：
例1、【课本P10页例2题】
把下列点的极坐标化成直角坐标：（1）A(2,34) (2)B(4, 143) (3)M(-5, 6)
(4)N(-3,- ).
学生练习，教师准对问题讲评。
变式训练：在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(BA求A,B两点的距离
反思归纳：极坐标与直角坐标的互化的方法。
例2、【课本P11页例3】若以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立直角坐标系.
(1) 已知A的极坐标),35,4(求它的直角坐标,
(2) 已知点B和点C的直角坐标为)15,0()2,2(和
求它们的极坐标.(＞0,0≤＜2)
学生练习，教师准对问题讲评。
变式训练：把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定＞0,0≤＜2)
)4,3(),4,3(),2,0(),1,1(DCBA
反思归纳：极坐标与直角坐标的互化的方法。
例3、如图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建
立坐标系，说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来。（A为教
学楼、B为体育馆、C为图书馆、D为实验楼、E为办公楼。AB=60m、AE=50m、
学生练习，教师引导学生反思。
A
B
D
C
E
变式训练
在极坐标系中,已知三点
)6,32(),0,2(),3,2(PNM
.判断PNM,,三点是否在一条直线上.
（四）、小 结：本节课学习了以下内容：
1．极坐标与直角坐标互换的前提条件；
2．互换的公式；
3．互换的基本方法。
（五）、课后作业：课本P12页1、2 P25页A组中3
五、教学反思：