高中数学必修五数列测试题

必修五阶段测试二(第二章 数列)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2017·山西朔州期末)在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，且a 3a 7＝4a 4，则a 8等于( ) A ．16 B ．32 C ．－16 D ．－322．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1n 为奇数，2n －2n 为偶数，则a 2·a 3等于( )A ．8B ．20C ．28D ．303．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 3＝b 3，2b 3－b 2b 4＝0，则数列{a n }的前5项和S 5为( )A ．5B ．10C ．20D ．404．(2017·山西忻州一中期末)在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )A ．102 D ．1085．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．1926．等差数列{a n }中，a 10<0, a 11>0, 且a 11>|a 10|, S n 是前n 项的和，则( ) A ．S 1, S 2, S 3, …， S 10都小于零，S 11，S 12，S 13，…都大于零 B ．S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零 C ．S 1，S 2，…，S 5都大于零，S 6，S 7，…都小于零 D ．S 1，S 2，…，S 20都大于零，S 21，S 22，…都小于零7．(2017·桐城八中月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( )A ．16B ．8C ．4D ．不确定8．(2017·莆田六中期末)设{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6和S 7均为S n 的最大值9．设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是前n 项和，则( ) A ．S 4＜S 5 B ．S 6＜S 5 C ．S 4＝S 5 D ．S 6＝S 510．(2017·西安庆安中学月考)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n(n ∈N *，n ≥2)，则a 6等于( )D ．711．(2017·安徽蚌埠二中期中)设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．10012．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋3n (n ∈N ＋)，数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前64项和为( )C .133二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．等差数列{a n }中，a 4＋a 10＋a 16＝30，则a 18－2a 14的值为________．14．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 15．(2017·广东实验中学)若数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝4a n ＋2n，则a 5＝________. 16．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n，求a n ； (2)已知数列的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，求数列的通项公式．18.(12分)(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.19．(12分)(2017·唐山一中期末)已知等差数列{a n }满足：a 2＝5，前4项和S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .20.(12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)． (1)当t 为何值时，数列{a n }是等比数列；(2)在(1)的条件下，若等差数列{b n }的前n 项和T n 有最大值，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .21．(12分)等差数列{a n }的各项都是整数，首项a 1＝23，且前6项和是正数，而前7项之和为负数．(1)求公差d ；(2)设S n 为其前n 项和，求使S n 最大的项数n 及相应的最大值S n .22.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n，数列{b n }满足：b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ； (3)若c n ＝a n ·b nn，求数列{c n }的前n 项和T n .答案与解析1．A 在等比数列{a n }中，∵a 3a 7＝a 4a 6＝4a 4， ∴a 6＝4，∴a 8＝a 6q 2＝4×(－2)2＝16.故选A. 2．B 由已知得a 2·a 3＝(2×2－2)(3×3＋1)＝20. 3．B 由2b 3－b 2b 4＝0， 得2b 3＝b 23，∴b 3＝2，∴a 3＝2， 故S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝10，故选B.4．D 将a n ＝－2n 2＋29n ＋3看作一个二次函数， 但n ∈N *，对称轴n ＝294开口向下，∴当n ＝7时离对称轴最近，∴a n 的最小值为a 7＝108，故选D. 5．B 设等比数列的公比为q ， ∴a 5＝a 2·q 3， ∴243＝9×q 3，∴q ＝3. ∴a 1＝93＝3.S 4＝31－341－3＝120，故选B.6．B ∵a 10<0, ∴a 1＋9d <0. ∵a 11>0, ∴a 1＋10d >0.又a 11>|a 10|, ∴a 1＋10d >－a 1－9d . ∴2a 1＋19d >0.∴S 19＝19a 1＋19×182d ＝19(a 1＋9d )<0.排除A 、D.S 20＝20a 1＋20×192d ＝10(2a 1＋19d )>0. 排除C. 故选B.7．B 由题可知数列{a n }为等差数列， ∴S 25＝25×a 1＋a 252＝100，∴a 1＋a 25＝8，∴a 12＋a 14＝a 1＋a 25＝8，故选B. 8．C 由S 5<S 6，得S 6－S 5＝a 6>0， 由S 6＝S 7，得S 7－S 6＝a 7＝0， ∴d <0，S 9<S 8＝S 5，故C 错．9．C 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋7d ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2.∴S n ＝－8n ＋n n －12×2＝n 2－9n ，S 4＝－20，S 5＝－20，∴S 4＝S 5，故选C.10．B 由已知可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．∵a 1＝1，a 2＝23，∴1a 1＝1，1a 2＝32，∴公差d ＝32－1＝12，∴1a 6＝1a 1＋5d ＝1＋52＝72，∴a 6＝27.11．D f (n )＝sinn π25的周期T ＝50.a 1，a 2，…，a 24>0，a 25＝0，a 26，a 27，…，a 49<0，a 50＝0.且sin 26π25＝－sin π25，sin 27π25＝－sin 2π25，…∴S 1，S 2，…，S 50都为正，同理，S 51，…，S 100都为正，故选D. 12．B 由S n ＝n 2＋3n ，可得a n ＝2(n ＋1)，∴b n ＝12n ＋1×2n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2，则数列{}b n 的前64项和为T 64＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋165－166＝433，故选B. 13．－10解析：由等差数列的性质知，a 4＋a 10＋a 16＝3a 10＝30， ∴a 10＝10.∴a 18－2a 14＝(a 10＋8d )－2(a 10＋4d )＝－a 10＝－10. 14．4解析：∵a 8＝a 6＋2a 4，∴a 4q 4＝a 4q 2＋2a 4. ∵a 4>0，∴q 4－q 2－2＝0.解得q 2＝2. 又∵a 2＝1，∴a 6＝a 2q 4＝1×22＝4. 15．496解析：∵a n ＋1＝4a n ＋2n ，∴a 2＝4a 1＋2＝6，a 3＝4a 2＋22＝28；a 4＝4a 3＋23＝120，a 5＝4a 4＋24＝496.解析：∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. 又∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0. ∴数列{a n }的前8项和最大，即n ＝8. 17．解：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝3＋2＝5； 当n ≥2时，∵S n ＝3＋2n，S n －1＝3＋2n －1，∴a n ＝S n －S n －1＝2n －1，而a 1＝5， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)∵S n ＝2n 2＋n ，当n ≥2时，S n －1＝2(n －1)2＋(n －1)， ∴a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋n )－[2(n －1)2＋(n －1)]＝4n －1. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，∴a n ＝4n －1.18．解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1, 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n －1＝1＋λa n －1得a n ＝λa n －λa n －1，即a n (λ－1)＝λa n －1，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0.所以a n a n －1＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n ，由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－12＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132，解得λ＝－1.19.解：(1)由题得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，4a 1＋6d ＝28，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3. (2)b n ＝(－1)n(4n －3)，T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋(－8n ＋7＋8n －3) ＝4n .20．解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)．两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)．∴当n ≥2时，{a n }是等比数列．要使n ≥1时，{a n }是等比数列，则只需a 2a 1＝2t ＋1t＝3，从而t ＝1，即当t ＝1时，数列{a n }是等比数列．(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，得b 1＋b 2＋b 3＝15，于是b 2＝5.故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2.解得d 1＝2，d 2＝－10.∵等差数列{b n }的前n 项和T n 有最大值，∴d <0，d ＝－10. ∴T n ＝15n ＋n n －12×(－10)＝20n －5n 2.21.解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 6>0，S 7<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧6a 1＋12×6×5d >0，7a 1＋12×7×6d <0.∴－465<d <－233，又等差数列各项都是整数，∴d ＝－8或d ＝－9. (2)当d ＝－8时，S n ＝23n ＋12n (n －1)(－8)＝－4n 2＋27n .当n ＝3时，S n 最大，(S n )max ＝45. 当d ＝－9时，S n ＝23n ＋12n (n －1)×(－9)＝－92n 2＋552n .当n ＝3时，(S n )max ＝42. 22．解：(1)S n ＝3n，S n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝3n －3n －1＝2×3n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝3≠2×31－1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，…，b n －b n －1＝2n －3，以上各式相加得，b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝n －11＋2n －32＝(n －1)2.又b 1＝－1，故b n ＝n 2－2n . (3)由题意得，c n ＝a n ·b nn＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，2n －2×3n －1，n ≥2.当n ≥2时，T n ＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2×(n －2)×3n －1，∴3T n ＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2×(n －2)×3n. 两式相减得，－2T n ＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－2×(n －2)×3n，∴T n ＝－(3＋32＋33＋…＋3n －1)＋(n －2)×3n＝(n －2)×3n－3n－32＝2n －53n＋32.又T 1＝－3＝2×1－5×31＋32，符合上式，∴T n ＝2n －53n＋32(n ∈N *)．。