2022新教材高中数学第二章函数章末检测含解析北师大版必修第一册

函数(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x ＋1)＝ex －1，则f (2)＝( )A ．1B ．0C ．eD ．e 2解析：选A ∵f (x ＋1)＝e x －1，∴f (2)＝f (1＋1)＝e1－1＝1.2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选A ∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，∴α＝－12，∴k ＋α＝1－12＝12.3．函数f (x )＝3－x2x 2－9x ＋4的定义域是( )A ．(－∞，3]B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3 D ．(3，4)∪(4，＋∞)解析：选C 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，2x 2－9x ＋4≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ≠12且x ≠4，即x <12或12<x ≤3.故选C.4．已知函数f (x )＝x k(k ∈Q)，在下列函数图象中，不是函数y ＝f (x )的图象的是( )解析：选C 函数f (x )＝x k(k ∈Q)为幂函数，图象不过第四象限，所以C 中函数图象不是函数y ＝f (x )的图象．故选C.5．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地前往B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x (千米)表示为时间t (时)的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150－50t ，t >3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5<t ≤3.5，150－50（t －3.5），3.5<t ≤6.5解析：选D 由于在B 地停留1小时期间，距离x 不变，始终为150千米，故选D. 6．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且对任意x 1，x 2∈(－∞，0]，当x 1≠x 2时总有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则满足f (1－2x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13>0的x 的范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：选A 由题意，f (x )在(－∞，0]上是增函数，又f (x )是定义域为R 的偶函数，故f (x )在[0，＋∞)上是减函数．由f (1－2x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13>0可得f (1－2x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f (|1－2x |)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以|1－2x |<13，解得13<x <23.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(0，3]C ．(0，2)D ．(0，2]解析：选D ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是R 上的减函数，∴x ≤1时，f (x )单调递减，即a －3<0，①x >1时，f (x )单调递减，即a >0，②且(a －3)×1＋5≥2a1，③联立①②③解得0<a ≤2，故选D.8．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.已知函数f (x )＝(1⊕x )x －2(2⊕x )(x ∈[－2，2])，则满足f (m ＋1)≤f (3m )的实数的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23 解析：选C 当－2≤x ≤1时，f (x )＝1·x －2×2＝x －4； 当1<x ≤2时，f (x )＝x 2·x －2×2＝x 3－4.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，－2≤x ≤1，x 3－4，1<x ≤2.易知，f (x )＝x －4在区间[－2，1]上单调递增，f (x )＝x 3－4在区间(1，2]上单调递增，且－2≤x ≤1时，f (x )max ＝－3，1<x ≤2时，f (x )min ＝－3，则f (x )在区间[－2，2]上单调递增，所以由f (m ＋1)≤f (3m )得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋1≤2，－2≤3m ≤2，m ＋1≤3m ，解得12≤m ≤23，故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9.已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )A ．这个函数有两个单调递增区间B ．这个函数有三个单调递减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值7D ．这个函数在其定义域内有最小值－7解析：选BC 根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B 、C.10．若函数y ＝ax ＋1在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值可以是( )A ．2B ．－2C ．1D ．0解析：选AB 显然a ≠0，当a >0时，y ＝ax ＋1在x ＝2取得最大值，在x ＝1取得最小值，所以2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a <0时，y ＝ax ＋1在x ＝1取得最大值，在x ＝2取得最小值，所以a ＋1－(2a ＋1)＝2，即a ＝－2.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2.x ≤－1，x 2，－1<x <2，关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．f (x )的定义域为RB ．f (x )的值域为(－∞，4)C ．若f (x )＝3，则x 的值是 3D ．f (x )<1的解集为(－1，1)解析：选BC 由题意知函数f (x )的定义域为(－∞，2)，故A 错误；当x ≤－1时，f (x )的取值范围是(－∞，1]，当－1<x <2时，f (x )的取值范围是[0，4)，因此f (x )的值域为(－∞，4)．故B 正确；当x ≤－1时，x ＋2＝3，解得x ＝1(舍去)．当－1<x <2时，x 2＝3，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)．故C 正确；当x ≤－1时，x ＋2<1，解得x <－1，当－1<x <2时，x 2<1，解得－1<x <1，因此f (x )<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D 错误，故选B 、C.12．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝x ＋1xC ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，1x ，x >1解析：选AC 对于A ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1x＝－f (x )，满足“倒负”变换．对于B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝x ＋1x ＝f (x )≠－f (x )，不满足“倒负”变换．对于C ，当0<x <1时，1x >1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－11x＝－x ＝－f (x )；当x ＝1时，1x ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0＝－f (x )；当x >1时，0<1x <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－f (x )，满足“倒负”变换．对于D ，当0<x <1时，1x >1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝11x＝x ≠－f (x )，不满足“倒负”变换．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋7x －4，x >0，g （x ），x <0为奇函数，则f (g (－1))＝________．解析：当x <0时，－x >0.因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝2(－x )2－7x －4＝2x 2－7x －4， 所以f (x )＝－2x 2＋7x ＋4.即g (x )＝－2x 2＋7x ＋4， 因此，f (g (－1))＝f (－5)＝－50－35＋4＝－81. 答案：－8114．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1－x )，则当x <0时，f (x )＝________． 解析：因为x <0，所以－x >0，所以f (－x )＝(－x )(1＋x )，又函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(－x )(1＋x )＝x (1＋x )，所以当x <0时，f (x )＝x (1＋x )．答案：x (1＋x )15．已知二次函数f (x )＝2x 2－4x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上的最大值为________．解析：二次函数f (x )＝2x 2－4x 图象的对称轴为直线x ＝1，因此函数f (x )在区间[－1，1]上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32上单调递增．因为f (－1)＝6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－32，所以f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上的最大值为f (－1)＝6.答案：616．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．若f (x )在[3，＋∞)为增函数，则a 的范围为________．解析：由题得函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞上单调递增，则－a2＝3，即a ＝－6.由f (x )在[3，＋∞)为增函数，故－a2≤3，∴a ≥－6.答案：－6 [－6，＋∞)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x >0，2，x ＝0，1－2x ，x <0.(1)画出函数f (x )的图象；(2)求f (a 2＋1)(a ∈R)，f [f (3)]的值； (3)当f (x )≥2时，求x 的取值范围． 解：(1)图象如图所示：(2)f (a 2＋1)＝3－(a 2＋1)2＝－a 4－2a 2＋2，f [f (3)]＝f (－6)＝13. (3)当x >0时，3－x 2≥2，解得0<x ≤1； 当x ＝0时，满足f (x )＝2； 当x <0时，1－2x ≥2，解得x ≤－12.综上，当f (x )≥2时，x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或0≤x ≤1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，且满足下列条件：①f (x )为奇函数；②f (x )在定义域上是减函数；③f (1－a )＋f (1－a 2)<0.求实数a 的取值范围．解：∵f (x )为奇函数，∴f (1－a 2)＝－f (a 2－1)，∴f (1－a )＋f (1－a 2)<0⇒f (1－a )<－f (1－a 2)⇒f (1－a )<f (a 2－1)． ∵f (x )在定义域(－1，1)上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a >a 2－1，－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，解得0<a <1， 故实数a 的取值范围为(0，1)．19．(本小题满分12分)已知定义在R 上的偶函数f (x )，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝－x 2＋4x －1.(1)求函数f (x )在(0，＋∞)上的解析式； (2)求函数f (x )在[－2，3]上的最大值和最小值． 解：(1)设x >0，则－x <0，∴f (－x )＝－x 2－4x －1. ∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝－x 2－4x －1(x ∈(0，＋∞))．(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x －1，x >0，－x 2＋4x －1，x ≤0. ∴f (x )在[－2，0]上单调递增，在[0，3]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝－1，f (x )min ＝min{f (－2)，f (3)}＝f (3)＝－22.∴函数f (x )在[－2，3]上的最大值是－1，最小值是－22. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋1x2(x ≠0，a ∈R)．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当a ＝0时，f (x )＝1x2，对定义域内的任意x ，都有f (－x )＝f (x )，所以当a ＝0时，函数f (x )是偶函数． 当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a . 因为a ＋1≠1－a ，且1－a ≠－(a ＋1)， 所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)任取x 1>x 2>2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫a －x 1＋x 2x 21x 22. 因为x 1－x 2>0，f (x )在(2，＋∞)上单调递增， 所以a >x 1＋x 2x 21x 22恒成立，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2恒成立． 又x 1>x 2>2， 所以1x 1x22＋1x 21x 2<18＋18＝14，所以a ≥14. 故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. 21．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝－2x ＋1，且f (2)＝15.(1)求函数f (x )的解析式； (2)令g (x )＝(1－2m )x －f (x )．①若函数g (x )在区间[0，2]上不是单调函数，求实数m 的取值范围； ②求函数g (x )在区间[0，2]上的最小值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x ＋1)－f (x )＝2ax ＋b ＋a ＝－2x ＋1，∴2a ＝－2，a ＋b ＝1，∴a ＝－1，b ＝2.又f (2)＝15，∴c ＝15，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋15.(2)g (x )＝(1－2m )x －f (x )＝x 2－(2m ＋1)x －15，其图象的对称轴为直线x ＝m ＋12.①∵g (x )在[0，2]上不单调，∴0<m ＋12<2，∴m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. ②当m ＋12≤0，即m ≤－12时，g (x )min ＝g (0)＝－15；当0<m ＋12<2，即－12<m <32时，g (x )min＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12＝－m 2－m －614；当m ＋12≥2，即m ≥32时，g (x )min ＝g (2)＝－4m －13.综上，g (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ≤－12，－m 2－m －614，－12<m <32，－4m －13，m ≥32.22．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数x ，y 满足f (xy )＝f (x )＋f (y )．(1)求f (1)，f (－1)的值； (2)证明：f (x )为偶函数；(3)若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，求不等式f (3－x )≤f (2)＋f (3)的解集． 解：(1)在f (xy )＝f (x )＋f (y )中，令x ＝y ＝1，得f (1)＝f (1)＋f (1)，得f (1)＝0； 再令x ＝y ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (－1)， 得f (－1)＝0.(2)证明：在f (xy )＝f (x )＋f (y )中， 令y ＝－1，得f (－x )＝f (x )＋f (－1)， 即f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)f (2)＋f (3)＝f (6)，不等式f (3－x )≤f (2)＋f (3)， 即f (3－x )≤f (6)．当3－x >0时，根据函数的单调性和不等式f (3－x )≤f (6)，得3－x ≤6，解得－3≤x <3； 当3－x <0时，f (3－x )＝f (x －3)≤f (6)，由函数单调性，得x －3≤6，解得3<x ≤9.综上，不等式f (3－x )≤f (2)＋f (3)的解集为[－3，3)∪(3，9]．。