2021研究生考试数学一真题及答案解析

662021考研数学真题及答案解析数学(-)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)>-1(1)函数 /(%>，在 ％ = 0 处1,% = 0(A)连续且取极大值. 连续且取极小值. (C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0.【答案】D.【解析】因为lim/⑶=lim --------- =1=/(0),故/(%)在％ = 0处连续；X 1e -1-! x因为 1in/(x )"(0)=ii m——=lim gX -^-X =-,故 /'(0) =丄，正确答案为 D. no x-0x-0 x 2 2 2(2)设函数可微，且/(x + l,e x ) = x(x + l)2, /(x,x 2) =2x 2lnx ,则 df(l.V)= (A) dx + dy . (W )dx-dy .(C)办.(D) ~dy【答案】c.【解析】乂'(x + l ，e x ) + e%(x + l ，e x ) = (x + 1)2 + 2X (X + 1)① /'(x ，%2) +2^/^'(x ，x 2) = 4x In x + 2x②——Q 又一1分别将 ， 带入①②式有y = Q [y =乂'(1，1)+汾1，1) = 1，乂'(1,1) + 2側1) = 2联立可得乂'(1，1) = 0，人'(1，1) = 1，#(1，1) = 乂'(1，1)办+人'(1，1)办=办，故正确答案为C. ⑶设函数f (x) = Sin ^在％ = 0处的3次泰勒多项式为ax + bx 2 +cx 3,贝1 + x 7(A) a = l,Z )= O ，c =— 6 (C) a = _l ，p = _l ，c 【答案】A. 【解析】根据麦克劳林公式有7{%3) • [1 -X 2 + o(x 3)] = x - -x 3 + o(x 3)(B)a = l,b = O,c = -.6-1X C =故a = l,b = Q,c = -I ，本题选 A. 6⑷ 设函数在区间［0，1］上连续，则^f(x)dx = (A)lim^/ 2n(C) lim£/ 2k-l} 1 2n 2nk-1} 1 2n 2k-1、1 2n k 2n 【答案】B.【解析】 由定积分的定义知，将(0,1)分成Z?份，取中间点的函数值，则 ，2众-1)1 _ 2n (5)二次型/(x p x 2，x 3) = (x r +x 2)2+(x 2 +X 3)2-(X 3-X 1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为 (A)2,0. (B)l,l. (C)2,l. 【答案】B. 【解析】/(x 1?x 2,x 3) = (x t +x 2)2 +(x 2 +x 3)2 -(x 3 -xj 2 = 2X 22 + 2x r x 2 + 2x 2x 3 + 2x^3 r l nf /(x)d?x = lim S / JOn^oo k=l >oo k=l 一，即选B. n(D)l ，2. <0，故特征多项式为0J-1 -1 \AE-A\= -1 -2 -1 =(2+ 1)(2-3)2 -1 -1 令上式等于零，故特征值为-1，3, 0,故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B. ⑼H(A)-,-. 2 2 【答案】A. 【解析】利用斯密特正交化方法知(D) 2 2]32=a 2-^^ P 3=a 3- A - 7^41 A ， [A ，A] [A ，A] 故/1=競=* (7)设浼5为77阶实矩阵，下列不成立的是故选A .【答案】C. 本题选C.(8) 设d ，5为随机事件，且0<尸(5)<1，下列命题中不成立的是(A) 若 P(A\B)=P(A)，则 P(A\B)=P(A). (B) 若 P(A\B)>P(A),则 P (A\B)>P (A) (C) 若 F(A | B) > F(A 15),则 P(A | B) > P(A). (D)若P(A\A\JB)>P(A\A\JB)，则P(^)>P(5). 【答案】D.P(] M P (如⑽)=P(柄=⑼-酬P(A) +P(5) -P(AB)因为P(^MU5)>P(JMU5),固有P(A)〉P(B)_P(AB)，故正确答案为 D.(9) 设()为来自总体N 的简单随机样本，令1 1 — 0 = ^-^.X = -^X P Y=-^Y P 0 = X-Y. ~ n z=i n z=i2 2(A) g 是沒的无偏估计，D (3}=ai +C72v 7 n2 2(B) 不是沒的无偏估计，D (0}=ai +^2v' n (C) 是沒的无偏估计，=v'n(D) g 不是沒的无偏估计，D (0)=AI +C72-W I ^2\ ) n【答案】C.【解析】因为z ，y 是二维正态分布，所以叉与r 也服从二维正态分布，则X-Y 也服从二维正态 分布，’Ao 、=2r (d) zA TA J(B)r\ ，A BA 、/ 、oAA T ,=2厂(d) (D)r\(A)r(C)rAO A BA AB}/少o'【解析】(A)rfAo 、A TA ^= r(A) + r(A r A) = 2r (A).故 A 正确."A (C)BA 的列向量不一定能由d 的列线性表示. (B)AB 的列向量可由d 的列线性表示，故r (D)BA 的行向量可由A 的行线性表示，rAB 、A"A 0、 <o A =r(A) + r(A r ) = 2r(A).【解析】P(A\A^B)PG4G4U^B))PG4U5) P(A)+P(B)-P(AB)r ) = 2r(A).即E(3) = E(X-Y) = E(J)-E(y) = ^-^=0fD 也=D{X - F) = D(J) + D (y )- cov(J^，y) =+a2 -2/?啊，故正确答案为 c.n(10) 设^p ^2...,^16是来自总体2V (//?4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：①(X)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W = {x>ll],1 16其中则^= 11-5时，该检验犯第二类错误的概率为 16 Z=1(A) 1-0(0.5) (B)l-O(l) (C)l-0(1.5) (D) 1-0(2)【答案】B.【解析】所求概率为P{X <11} X-N(11.5,-),P{X<11}=P<•+°° dx° %2 + 2x + 22【答案】一.3【解析 】 由—-+ 2t 得 d 2y(4e z + 4te f + 2)(2e z +1) - (4/e z + 2t )2e zdx~ 2e z +l ^~dx^~ (2〆+1)3’将’=。

带人得gu=|.(13) 欧拉方程X 2/ + xy f -4y = 0满足条件y(l) = 1,j/⑴=2得解为j .【答案】%2.【解析】令x = e z ,则xy f = — ,x 2y ,r =,原方程化为 ^--4y = 0 ,特征方程为dtdx 2dxdx22-4 = 0,特征根为 4=2，又2=-2，通解为 j = C {e 2t + C 2e~2t = Qx 2 + C 2x~2 ,将初始条件 j^(l) = 1, /⑴=2带入得q = 1，C 2 = 0，故满足初始条件的解为j = %2.(14) 设S 为空间区域{(X ,J 9Z )|X 2+4J 2 <4,0<Z <2}表面的外侧，则曲面积分 x 2 dydz + y 2dzdx + zdxdy = . 【答案】4TT .故本题选B.填空题(本题共6小题，每小题5分, 二、 上.)共30分.请将答案写在答题纸指定位置(11)【答案】【解析】 71~4 f+°° dx f+°° dx z 1X |+OO 7171 71 J o X 2+2X + 2 J O (X + 1)2 +110244;p2e ，+m ，x<0确定则身j = 4(/-l)e z + /2,x>0 ?dx 1dx +°° dx(12)设函数y = y(x)由参数方程、【解析】由高斯公式得原式=(2x + 2少 + ^dV= dxdy = 4;i. QD(15)设A = a tj 为3阶矩阵，.为代数余子式，若d 的每行元素之和均为2，且|^| = 3, ^ii + 為 1 + 為 1= --------------------------------- •3【答案】(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中， 再从乙盒中任取一球.令分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则z 与r 的相关系 数 . 【答案】去. "(0,0) (0,1) (1,0) (w ，0，o r 【解答】联合分布率(z ，r)〜3 1 1 3 ，乂〜1 i y 〜1 1< 105510 >JLJ 2>⑽即)=去，做4，沉4,即〜_丄5三、解答题(本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.)(17)(本题满分10分)【答案】去. 又因为 Jo e ' dt = io (1 + /2 += X + |x 3 + o(x 3)，故(x-^jX 3 + O (X 3))(1 + X+ ^yX 3 + O (X 3)) ~ X ~ ^-X 2 +0(%2)x 2H【解析】A 1 =2 i ，Aa == 2，a = 1u’则綱征值为亨’对应的特征向量为求极限lim (rx2A€X —1 sin x\J【解析】解: limx^-0e x -1 sin x k )• C x f 2 sin x -1 - J € dt= limx^o (e x -1) sin x原式=lim-x^O^x 2 +O (X 2) 1 =lim -- ------ ------- =—x 2 21 |，A*a =2，即(18)(本题满分12分) 设u ^ = e ~^+_!_xn_ + 1)------- —+(1- %) ln(l - %) + %, % G (0,1) 1 _ e —x —，x = l U-i【解析】0000S(x) = Z'(x) = Z n=X n=l ooi oo "+1 oon+1^2(x) = Z ----------- ?+1 = Z ----------- Z ------- - ln(l _ %) _[_ln(l _%)_%]…=1 n(n +1) …=i n n=i n + l =(1 - %) ln(l -%) + %，% G (0,1)SJl) = limS 2(x) = lr f------ - + (1- %) ln(l - %) + %, % G (0,1)1 _ e —x—，x = l — 1(19)(本题满分12分)X 2+2J 2-Z = 6，求c 上的点到x 吵坐标面距离的最大值. 4x + 2j+ z = 30【答案】66【解析】设拉格朗日函数=z 2 +2(%2 +2y 2 -z -6)+ //(4x + 2y +z -30)L x = 2x2 + 4w = 0 Ly = 4 少 2 + 2w = 0 L z =2z — A + i/ = 0%2 + 2j ；2 -z = 6 4x + + z = 30解得驻点：(4，l ，12)，(-8，-2,66)C 上的点(-8,-2,66)到xoy 面距离最大为66.(20)(本题满分12分)设D 匚R 2是有界单连通闭区域，1(D)= JI(4 -x 2-y^dxdy 取得最大值的积分区域记为ZV D (1)求/eq)的值.⑵计算+ 其中码是A 的正向边界.X+ 4 JdD l【答案】—71.【解析】(1)由二重积分的几何意义知：I(D) = ^4-x 2-y 2)da ,当且仅当4-x 2-/在乃上D大于 0 时，/(D)达到最大，故D 1: X 2 + / <4S/(D 1)=j^^(4-r 2)r67r =8TT . ⑵补D 2 :X 2+4J 2 =r 2 (r 很小)，取乃2的方向为顺时针方向，f (xe x2+4j2 + y)dx + (4ye x2+4y2 -x)dyx 1 + 4j 200n+\n=l,2,.^，求级数Z 、(x)的收敛域及和函数.n=l【答案】S(x)= <e~nx + —-—r +1 n(n +1) 00 " + 100，收敛域(o, 1], 4(%) = [e ，= ------------- ，％ G(0,1]l-e -S(x) = x 2 + 4y 2 dD xfl(2) P T C 2P = P T (a + 3)£ - d)P = ((a + 3)五一A =4J(xe x "+4y2 +y)dx + (4ye x2+4y2 -x)dy r (xe x "+4y2 + y)dx+ (4ye x "+4y2 -x)dydD x +dD 21 ' rx 2 + 4j 2f xdx + 4ydy — cdD 2rdD 2-fdD 2x 2 + 4y 2j ydx - xdy =-2d a= - n .(21)(本题满分12分)1 a -1-n-ia)(1ii11p 3-1 -1 1i1 ;(2)C =-151 VIA /63 312-115 rvr0 ?6 ,33>【解析】又—a(1)由 \AE-A\= -11得 A = a + 2, = 23 当人=a + 2时-1又—a 1=a — \1 1 = (2 — tz +1) 2(2 — 6? — 2) = 0 又一a，2 -1 1、，i o rr n ((a + 2)^-4)=-1 2 1 r 0 1 1 的特征向量为％= iJ 12、0 0 0,r-i-i np 1 -r-r-n^a-V )E-A) =-i -i i r 0 0 0 的特征向量为=i ，a 3 =iJi-b<o 00><2,令尸=ka 2 a 3 a x |aj’|a 2|’|a 3|1 1 1 vr2 46 ,fa + 2，则 p T AP = A =【答案】(1) P =(1) 求正交矩阵P ，使得PTAP 为对角矩阵;(2) 求正定矩阵C ，使得C 2 = (a + 3)£ - A.当 ' =23 = a- l 所(22)(本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X ，较长的一段长度记为 Y7，令2 = —.(1) 求Z 的概率密度； (2) 求Z 的概率密度. 多).1，O<X<1 7,0 其他；(2)/z ⑷=+1P |4二 PTCP 二2、、 2>ZP TCPP TCP =【解析】(1)由题知：Z 〜/(%) =1，0 < x < 10,其他；2 — v(2)由Y = 2-X,即2 = ------------------ ，先求Z 的分布函数: 1-X XF z (z) = P{Z<z} = P-z r p f-1-2当Z<1 时，F z (z) = o ； 当时，F Z W=P2 z +1 2_ ^ldx =1- z +1f z (z) = (F z (z )y = Uz + l) 0,其他(3)五1-Xfl x [ ---- Wx = -l+21n2.Jo 2-x-11-3 5-3-15-3 1-32Jfl(3)求五Z>1.(3) — 1 + 2 In 2 .0,其他。