2018版高中数学人教B版必修4课件：第一章 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 第一课时
解:列表 x 2xy 描点作图.
π 4 π 8 3π 8 π 2 5π 8 7π 8 3π 2 9π 8
0 1
π -1
2π 1
0
0
方法技巧 “五点法”作图,五个点的确定是关键,确定五点时可全ωx+ =0,得
第一个点的横坐标,依次递加周期的
1 ,即可得到其余的四个点的横坐标. 4
变式训练 1-1:用“五点法”作函数 y=-cos(x+ 的简图.
y=Acos(ω x+ )(A>0)的递减和递增区间.
自我检测
1.使cos x=1-m有意义的m满足的条件为( (A)m≥0 (B)0≤m≤2 (C)-1<m<1 (D)m<-1或m>1 解析:由|cos x|≤1得|1-m|≤1.解得0≤m≤2.故选B. B )
2.下列函数中,周期为 (A)y=sin (C)y=cos
x 2 x 4
π 的偶函数是( D 2
)
(B)y=sin 4x (D)y=cos 4x
2 π π = ,故选 D. 4 2
解析:对于函数 y=cos 4x 是偶函数,周期 T=
3.函数 f(x)的图象向右平移 f(x)的解析式是( C (A)f(x)=cos(2x(C)f(x)=cos(2xπ ) 3 π ) 6
π π 个单位后与函数 y=cos(2x- )的图象重合,则 6 2
) (B)f(x)=cos(2x+ (D)f(x)=cos(2x+
π ) 6 π ) 3
解析:由题意,只需将 y=cos(2x-
π π )的图象向左平移 个单位即可.y= 2 6
π π π )- ]=cos(2x- ). 6 2 6
cos(2x故选 C.
π ) 2
f(x)=cos[2(x+
4.函数 y=3cos(
1 π x- )的增区间是 2 3
.
解析:由题意可得 2kπ-π≤ 所以 4kπ-
1 π x- ≤2kπ(k∈Z), 2 3
4π 2π ≤x≤4kπ+ (k∈Z), 3 3 4π 2π ,4kπ+ ](k∈Z). 3 3
有点的纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变) 而得到的. 上述规律可以推广到一般函数中,即函数 y=f(x+ ),y=f(ω x),y=Af(x)的图象 与函数 y=f(x)的图象之间也有类似的规律. 3.求函数 y=Acos(ωx+ )(A>0)的单调区间 令 2kπ ≤ω x+ ≤(2k+1)π 和(2k-1)π ≤ω x+ ≤2kπ ,k∈Z 可分别求出函数
①令ω x+ =kπ ,k∈Z 得 x=
k π
-
kπ
,0)(k∈Z).
2.函数 y=Acos(ωx+ )的图象与 y=cos x 的图象间的关系 (1)函数 y=cos(x+ )( ≠0)的图象,可以看作是把 y=cos x 的图象上所有的点 向左(当 >0 时)或向右(当 <0 时)平行移动| |个单位长度而得到的.
课标要求
素养达成
新知探求
课堂探究
新知探求·素养养成
知识探究
1.余弦函数的图象
2.余弦函数的性质
函数 y=cos x
定义域
值域 奇偶性 周期性 单调性 最大值与 最小值
R
[-1,1] 偶函数 以 2kπ 为周期(k∈Z,k≠0), 2π 为最小正周期 当x∈ [2kπ +π ,2kπ +2π ](k∈Z) 时,递增; 当x∈ [2kπ ,2kπ +π ](k∈Z) 时,递减 当x= 2kπ (k∈Z)时,最大值为 1 ; 当x= 2kπ +π (k∈Z)时,最小值为 -1 .
3.函数 y=Acos(ω x+ )(x∈R)(其中 A,ω , 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期
2π
T=
.
【拓展延伸】 1.余弦曲线的对称性
(1)余弦曲线是中心对称图形,其所有对称中心坐标为(kπ +
π ,0)(k∈Z). 2
(2)余弦曲线是轴对称图形,其对称轴方程是x=kπ ,k∈Z. 余弦曲线的最高点或最低点,且与x轴垂直的直线.
即所求增区间为[4kπ-
答案:[4kπ-
4π 2π ,4kπ+ ](k∈Z) 3 3
课堂探究·素养提升
类型一 作 y=Acos(ωx+ )的图象
【例 1】 用“五点法”作出函数 y=cos(2x简图.
π )在长度为一个周期的闭区间上的 4
思路点拨:先确定 2x-
π 的值,再求出 x,y 的值. 4
(2)函数 y=cos ω x(ω >0 且ω ≠1)的图象,可以看作是把 y=cos x 的图象上所有 的点的横坐标缩短(当ω >1 时)或伸长(当 0<ω <1 时)到原来的
1 倍(纵坐标不变)
而得到的. (3)对于函数 y=Acos x(A>0 且 A≠1)的图象,可以看作是把 y=cos x 的图象上所
(3)余弦曲线的对称中心是余弦曲线与x轴的交点,余弦曲线的对称轴是过
(4)函数 y=Acos(ω x+ )的图象的对称轴与对称中心的求法.
(k∈Z)为其对称轴方程. π π kπ π ②令ω x+ =kπ + ,k∈Z 得 x= + ,所以其对称中心坐标为( + 2 2 2
π π -2x)=2cos(2x- ),所以其单调区间由下列不等式求解. 4 4 π ≤2kπ+2π(k∈Z), 4
π )在长度为一个周期的闭区间上 3
解:按五个关键点列表: x+
π 3
0 π 3
π 2 π 6
π
2π 3
3π 2
7π 6
1
0
1
0
-1
描点画图(如图所示).
类型二 余弦函数的单调性
【例 2】 求函数 y=2cos(
π -2x)的单调区间. 4
思路点拨:利用余弦函数的单调性求解.
解:因为 y=2cos( (1)2kπ+π≤2x-
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
第一课时
目标导航 1.会利用平移变换的方法和五点作图法作出余弦函 数的图象. 2.根据余弦函数图象的特征,类比正弦函数的性质掌 握余弦函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周 期性. 通过学习余弦函数图象,形成对类似知识作联想和类 比的思维方法,由此进一步巩固正弦函数的性质,把 正弦函数性质与余弦函数性质比较,学会温故知新的 学习方法.
2018学年高中数学人教B版必修4课件：1-3-2-1 余弦函数的图象与性质 精品
[小组合作型] 用“五点法”作余弦型函数的图象
用“五点法”作函数y＝2＋cosx，x∈[0,2π]的简图. 【精彩点拨】 在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可.
【自主解答】 列表：
【解】 按五个关键点列表，描点画出图象(如图).
x
0
π 2
π
3π 2
2π
cos x
1 0 －1 0 1
y＝3－2cos x 1 3 5 3 1
求余弦型函数的单调区间
求函数y＝cosπ6－x的单调递减区间.
【导学号：72010027】
【精彩点拨】 本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将y＝ cosπ6－x化为y＝cosx－π6形式，故只需求y＝cosx－π6的单调递减区间即可.
1.求f (x)－Asin x＝0(A≠0)或f (x)－Acos x＝0(A≠0)的根的个数，运用数形结 合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于y＝ －1与y＝1之间，只需考虑－A≤f (x)≤A的x的范围，在该范围内f (x)的图象与Asin x或Acos x的图象的交点的个数即方程根的个数.
【解】
y＝2 cosπ4－x ＝2 cosx－π4 .结合y＝|cos
x|的图象.由kπ－
π 2
≤x－
π 4
≤kπ(k∈Z)得kπ－
π 4
≤x≤kπ＋
π 4
(k∈Z).所以函数y＝2
cosπ4－x
的单调递增区间为
kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z).
有关三角函数的最值问题
已知函数y1＝a－bcos
高中数学人教B版必修四1.3.2正切函数图象与性质
k
2
(k
Z
)
例题分析
例３ 求函数 y tan 3x 的周期.
解： 因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+ )=tan3x,
3
这说明自变量 x ,至少要增加 才能重复取得，所以函数 y
3
tan
，函数的值 3x 的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
(1) y 5 tan x 2
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
(1)tan167o 与tan173o
（2）tan(-
11π) 与
4
tan(- 13π) 5
解:(1) 900 1670 1730 1800
y
tan
x在
2
，
上是增函数，
tan1670 tan1730
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？
思考
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
2018-2019版高中数学人教B版必修四课件：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
7
[预习导引] 函数y＝tan x的性质与图象见下表(表中k∈Z)
y＝tan x
图象
定义域
π {x|x∈R，且 x≠kπ＋2}
8
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
值域 周期
R 最小正周期为 π 奇函数
奇偶性 单调性 对称性 在开区间
π π kπ－ ，kπ＋ 2 2 kπ 对称中心： ，0 2
k∈Z.
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
15
(2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小．
解
∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
π π 又∵2<2<π，∴－2<2－π<0. π π ∵2<3<π，∴－2<3－π<0，
π π 显然－2<2－π<3－π<1<2，
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
14
要点二
例
正切函数的单调性及应用
解
1 π 2 (1)求函数 y＝tan－2x＋4的单调区间； 1 1 π π y＝tan－2x＋4＝－tan2x－4，
π 1 π π 由 kπ－2<2x－4<kπ＋2，k∈Z， π 3 得 2kπ－2<x<2kπ＋2π，k∈Z， 1 π π 3 ∴ 函数 y ＝ tan －2x＋4 的单调递减区间是 2kπ－2，2kπ＋2π ，
当堂训练，体验成功
预习导学
挑战自我，点点落实
[知识链接]
1．正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？
2017-2018学年高中数学人教B版必修4课件：1-3-2-1余弦函数的图象与性质 精品
3 1 7 2 10 4 π 1 7 ≈cos 1.47,-cos =cos 2 10 4
.
≈cos
在[0,π]上是减函数,
故由 0<1.39<1.47<1.5<π,可得 cos 1.5<cos 1.47<cos 1.39,∴ cos <sin <-cos .
3 2 1 10 7 4
答案:cos2<sin10<-cos4
3
1
7
1.关于余弦曲线的对称性问题 剖析(1)余弦曲线既是轴对称图形,又是中心对称图形,其对称轴 π ������π + ,0 (k∈Z). 为x=kπ(k∈Z),对称中心为 2 (2)余弦曲线的对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点,即此时 的余弦值为最大值或最小值,余弦曲线的对称中心为余弦曲线与x 轴的交点,其纵坐标y=0. 名师点拨关于对称性问题,对一般的函数有如下结论: (1)若对函数f(x)而言,对任意x∈R,均有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x) 成立,则x=a为f(x)图象的对称轴. (2)若对函数f(x)而言,对任意x∈R,均有f(a+x)=-f(a-x)或f(x)=-f(2ax)成立,则点(a,0)为f(x)图象的对称中心. 显然上述结论对余弦函数是成立的.
1
2
2.余弦函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性
y=cos x R [-1,1] 偶函数 以 2kπ 为周期(k∈Z,k≠0),2π 为最小正周期 当 x∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z)时,递增; 当 x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)时,递减
高中数学 1-3-2-1余弦函数、正切函数的图象与性质课件 新人教B版必修4
[解析]
由题意知12－sin2xc－os1x>≥00 ，即csionsxx>≤12 12
，
∴22kkππ＋＋π3π6≤<xx<≤2k2πk＋π＋56π5(3kπ∈(k∈Z)Z)
，
∴2kπ＋π3≤x<2kπ＋56π(k∈Z)． ∴ 函 数 y ＝ 1－2cosx ＋ lg(2sinx － 1) 的 定 义 域 是 2kπ＋π3，2kπ＋56π，(k∈Z).
• 函数图象如图所示．
[例 2] 求函数 y＝1＋scinoxsx的定义域． [解析] 要使函数有意义，必须s1i＋nxc≥os0x≠0 ， ∴2x≠kπ≤ 2kπx≤ ＋(π2，k＋k∈1)Zπ， . k∈Z. 故定义域为{x|2kπ≤x<(2k＋1)π，k∈Z}．
求函数 y＝ 1－2cosx＋lg(2sinx－1)的定义域．
解是1π2＋kπ≤x≤172π＋kπ，k∈Z，
∴函数 y＝cos2x－6π的单调递减区间为 1π2＋kπ，71π2＋kπ(k∈Z)．
[例 4] 求函数 y＝3－cos2x－π3的对称中心，对称轴 方程，以及当 x 为何值时，y 取得最大值或最小值．
[解析] 由于 y＝cosx 的对称中心为kπ＋π2，0(k∈Z)， 对称轴方程为 x＝kπ(k∈Z)．
[例 3] 比较下列各数的大小： (1)cos－1π8与 cos1π0； (2)cos515°与 cos530° [解析] (1)cos－1π8＝cos1π8. ∵0<1π8<1π0<π，而 y＝cosx 在[0，π]上是减函数， ∴cos1π8>cos1π0，即 cos－1π8>cos1π0.
(2)cos515°＝cos(515°－360°)＝cos155°， cos530°＝cos(530°－360°)＝cos170°， ∵90°<155°<170°<180°而 y＝cosx 在[90°，180°]上是 减函数． ∴cos155°>cos170°即 cos515°>cos530°.
高中数学人教B版必修四1.3.2正切函数图象与性质1
解 :因为原函数可化为 : y 3tan( );
:
令u
x
; 所以 y
24
tan u的单调递增区间为
:
2 4 k u k ,k Z
2
2
由u 1 x 得 :
24
k 1 x k 22 4 2
y 3 tan( 1 x )的单调递增区间为 : y 3 tan( 1 x )的单调递减区间为 :
2 2
的区间作出它的图象。 然后利用正切线画出图象.
作法如下：
Y
作直角坐标系，并在
直角坐标系y轴左侧作单
位圆。
找横坐标（把x轴上
到 这一段分成8
2
等份）
把单位圆右半圆 中作出正切线。
O
2
X
找交叉点。
连线。
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右
扩大，得到正切函数y=tanx,x∈R，且 的图象，称“正切曲线”
24
24
(2k 3 ,2k )
2
2
(2k ,2k 3 )
2
2
例4 求下列函数的周期：
(1) y 3 tan( 2x );
解
:
f
(
x)
3
tan(
4
2x
)
3
tan( 2 x
4
)
4
3 tan[ 2(x ) ]
f (x ) 2 4
2 周期T
2
(2)变题y 3 tan( 1 x );
5.已知函数y=tanωx在(－ , )内是单调减
22
函数, 则ω的取值范围是 ( B )
(A) 0<ω≤ 1 (B) －1≤ω<0
(C) ω≥1
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-2-1
解析 π μ＝x＋ 6 x y＝cosμ 0 π － 6 1 π 2 2 π 6 0 π 5 π 6 －1 3 π 2 8 π 6 0 2π 11 π 6 1
描点作图(如图)．
例2
求下列函数的值域．
π π π (1)y＝3－2cos2x－3，x∈6，2；
(2)y＝－3sin
∴函数的值域为[1,4]． (2)y＝－3sin2x－4cosx＋4＝3cos2x－4cosx＋1.
π 2π 1 1 设t＝cosx，x∈3， 3 ，∴t∈－2，2.
∴y＝3t
2
1 1 －4t＋1在t∈－2，2时单调递减，
1 15 ∴当t＝－2时，ymax＝ 4 ，
π x＋ 2
的图象相同，
π 于是把正弦曲线向左平移 2 个单位就可以得到余弦函数的图 象． (2)余弦函数图象上有五个起关键作用的点，这五个点是
(0,1) 、π，0、 (π，－1) 、3π，0、 (2π，1)． 2 2
2．余弦函数的性质： (1)定义域为R，值域为 [－1,1] ，周期为2π.
)
答案 C
名师点拨 1.正弦曲线与余弦曲线的关系 把y＝sinx的图象向左平移 π 2 个单位就得到y＝cosx的图
象．这说明余弦曲线的形状和正弦曲线相同，只是位置不同而 已．学了余弦曲线以后，应在同一坐标系中，画出[0,2π]上的 正弦曲线和余弦曲线，标出两条曲线与坐标轴的交点坐标并观 察曲线，弄明白它们的相同点和不同点．抓住[0,2π]上这一周 期的曲线的区别，就不会将两条曲线混淆．
自测自评
π 1.下列函数中，在 0，2 上为增函数且以π为周期的函数是
(
) x A．y＝sin 2 C．y＝－cosx B．y＝sin2x D．y＝－cos2x
人教B版 必修四 高中数学 第一章 1.3.2余弦、正切函数的图象与性质 教学课件(共46张PPT)
单调性：
在
-
π 2
+
2kπ,
π 2
+
2kπ
是单调递增的；
在
π 2
+
2kπ,
3π 2
+
2kπ是单调递减的；
值域：y ? [ 1,1].
2、 sin(x 2 ) sin x
反映了函数的周期性；
sin(x) sin x
反映了函数的奇偶性.
3、函数图象的每一个几何特征也都是 函数性质的直观反映，函数的每一个代数 性质反映在图象上都有其相应的几何特征； 所以可借助于函数的图象来研究函数的性 质；也可借助于函数的性质研究函数的图 象，本节课就是从一个全新的角度来研究 正切函数的性质与图象.
➢ 过程与方法
借助单位圆中的三角函数线能画出 y=tanx的图象，借助图象理解正切函数在
( , )上的性质（如单调性、周期性、最
大值2和最2 小值、图象与x轴的交点等），并
能解决一些简单问题.
➢ 情感态度与价值观
亲身经历数学研究的过程，体验探索 的乐趣，增强学习数学的兴趣.
教学重难点
➢ 重点：
解：Q 90o＜167o＜173o＜180o 又 Q y = tanx, 在 (90o , 270o )上是增函数
\ tan167o < tan173o
正切函数的主要性质总结如下:
定义域 值域
x
x
2
k
,
k
Z
实数集Leabharlann 周期性T 奇偶性 单调性
奇函数(正切曲线关于原点对称)
在（- π + kπ，π + kπ），k Z内为增函数
提问： 类比研究正弦和余弦函数的方法，从
高中数学人教B版必修四第一单元：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)学习目标 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.知识点一 正切函数的图象类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图象，阅读课本，了解具体操作过程.思考1 结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？思考2 一条平行于x 轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少？梳理 (1)正切函数的图象称作“正切曲线”，如下图所示.(2)正切函数的图象特征正切曲线是由通过点(π2＋k π，0)(k ∈Z )且与y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成的.知识点二 正切函数的性质 思考1 正切函数的定义域是什么？思考2 诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考3 诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？思考5 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？梳理 函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：类型一 正切函数的定义域 例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x ).反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.类型二 正切函数的单调性及其应用 命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期.反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间.命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小 例3 (1)比较大小： ①tan 32°________tan 215°； ②tan 18π5________tan(－28π9).(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________.(用“<”连接)反思与感悟 比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可.正切函数的单调递增区间为(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z ，故在⎝⎛⎭⎫－π2，π2和⎝⎛⎭⎫π2，3π2上都是增函数.跟踪训练3 比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4________tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.类型三 正切函数的奇偶性与对称性问题 例4 (1)判断下列函数的奇偶性. ①y ＝tan 2x －tan x1－tan x ；②y ＝x tan 2x ＋x 4.(2)求y ＝3tan(2x ＋π3)的图象的对称中心.反思与感悟 (1)在利用定义判断与正切函数有关的函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f (－x )与f (x )的关系. (2)求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的图象的对称中心，方法是把ωx ＋φ看作一个整体，由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )解出的x 的值为对称中心的横坐标，纵坐标为零. 跟踪训练4 判断下列函数的奇偶性. (1)f (x )＝tan x ＋1tan x ；(2)f (x )＝lg|tan x |.类型四 正切函数的图象及应用例5 画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.反思与感悟 (1)作出函数y ＝|f (x )|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： ①保留函数y ＝f (x )图象在x 轴上方的部分；②将函数y ＝f (x )图象在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可. 跟踪训练5 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. (1)求函数f (x )的周期，对称中心；(2)作出函数f (x )在一个周期内的简图.1.函数y ＝tan(2x ＋π6)的最小正周期是( )A.πB.2πC.π2D.π62.函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A.(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB.(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD.(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A.y ＝tan x B.y ＝cos x C.y ＝tan x2D.y ＝－tan x4.方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.25.比较大小：tan 1________tan 4.1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增. 2.正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.答案精析问题导学 知识点一思考1 我们作出了正切函数一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象，根据正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正切函数y ＝tan x (x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z ))的图象．思考2 一条平行于x 轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一个周期． 知识点二思考1 {x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．思考2 周期性． 思考3 奇偶性． 思考4 是．思考5 正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是增函数． 正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数．梳理 {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z } R π 奇 ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) 题型探究例1 解 (1)要使函数y ＝11＋tan x 有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z }．(2)因为3－tan x >0，所以tan x < 3. 又因为当tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象， 得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是{x |k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z }．跟踪训练1 ⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )． 例2 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ， 周期T ＝π⎪⎪⎪－12＝2π.跟踪训练2 解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π， k ∈Z ，即－π12＋k π2<x <5π12＋k π2，k ∈Z .∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2(k ∈Z )． 例3 (1)①< ②< (2)tan 2<tan 3<tan 1 跟踪训练3 >例4 解 (1)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，tan x ≠1，得x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4(k ∈Z )，即定义域为{x |x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z }，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数，也不是偶函数．②函数定义域为{x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z }，关于原点对称．令f (x )＝x tan 2x ＋x 4，则f (－x )＝(－x )tan 2(－x )＋(－x )4 ＝x tan 2x ＋x 4＝f (x )，∴该函数是偶函数． (2)解 由2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )．故所求函数图象的对称中心为点 (k π4－π6，0)(k ∈Z )． 跟踪训练4 (1)函数f (x )为奇函数 (2)函数f (x )是偶函数． 例5 解 由y ＝|tan x |，得y ＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z )，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )， 单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2＋k π，k π (k ∈Z )，周期为π.跟踪训练5 解 (1)∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )， 得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3； 令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3； 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3.∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．当堂训练1．C 2.C 3.C 4.B 5.＞。
人教版高中必修4(B版)1.3.2余弦函数、正切函数的图像与性质课程设计 (2)
人教版高中必修4(B版)1.3.2余弦函数、正切函数的图像与性质课程设计课程概述本课程介绍了余弦函数和正切函数的图像、定义域、值域、奇偶性等性质。
通过对两种函数的图像进行分析，让学生了解函数的周期性和单调性，掌握其在几何中应用的方法。
教学目标1.理解余弦函数的定义、图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；2.理解正切函数的定义、图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；3.掌握余弦函数和正切函数在几何中的应用。
教学重点1.余弦函数的图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；2.正切函数的图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；3.余弦函数和正切函数在几何中的应用。
教学内容余弦函数的图像余弦函数的图像是一条连续的波浪线，其形状与正弦函数的图像非常相似。
但是，余弦函数的图像在x轴上的交点较正弦函数的图像靠左，也就是说，余弦函数的最大值出现在x轴的0.5个周期之后。
余弦函数的基本性质1.定义域：$(-\\infty,+\\infty)$；2.值域：[−1,1]；3.周期：$2\\pi$；4.奇偶性：偶函数。
正切函数的图像正切函数的图像是一条连续的直线，其形状与余切函数的图像非常相似。
但是，正切函数的图像在x轴上的交点位于每个周期的中点。
正切函数的基本性质1.定义域：$\\{x|x\ eq k\\pi+\\frac{\\pi}{2}(k\\inZ)\\}$；2.值域：$(-\\infty,+\\infty)$；3.周期：$\\pi$；4.奇偶性：奇函数。
余弦函数和正切函数的应用1.余弦函数在三角函数的解析式中有广泛的应用；2.正切函数在物理、工程学等领域中有广泛的应用。
教学方法1.讲解结合举例；2.图像分析结合图形实例。
教学过程第一部分：余弦函数的图像和性质步骤一：引入余弦函数与正弦函数都是高中数学中常见函数，本课程我们将重点学习余弦函数的图像和性质，来了解余弦函数在几何中的应用。
步骤二：分析余弦函数的图像通过一组数据$(0,\\frac{\\pi}{2},\\pi,\\frac{3\\pi}{2},2\\pi)$，绘制出余弦函数的图像，通过展示余弦函数的图像，让学生了解余弦函数的周期性和单调性，同时，与正弦函数的图像进行比较，突出两者之间的异同点。