9-2——华东师范大学数学分析课件PPT

)(1
n n
)
n
.
1
解
令
an
ln
(1
1 )(1 n
2 n
)
(1
n n
)
n
1 n
n
ln 1
i 1
i, n
则
1
lim
n
an
ln(1 x)dx
0
[(1 x) ln(1 x) x] 1 2ln 2 1. 0 1
因此
lim
n
(1
1 n
)(1
2 n
)
(1
n n
)
n
e lim n
F(b) F(a).
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§2 牛顿-莱布尼茨式
证 因 f 在 [a, b] 上一致连续, 则 0, 0,
当 x, x [a, b], | x x | 时,
| f ( x) f ( x) | .
任取 i [ xi1, xi ], i 1, 2, , n. 又 F 在 [ xi1, xi ]
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§2 牛顿-莱布尼茨式
定理9.1（牛顿-莱布尼茨公式）
函数 f 在 [a, b] 上满足条件: (i) f 在 [a, b] 上连续, (ii) f 在 [a, b] 上有原函数 F,
则
(1) f 在 [a, b] 上可积;
(2)
b a
f
(
x)dx
F
(
x)
b a
1
(4
3
x2)2
2
8.
0
3
3
0
用牛顿—莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限.
数学分析 第九章 定积分
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§2 牛顿-莱布尼茨式
例5
求
lim
n
n
1
1
n
1
2
n
1
n
.
解
易见
lim
n
1 n
1
n
1
2
n
1
n
是函数
f (x) 1 在[0,1]上黎曼和的极限. 其中
1 x
分割和介点分别为
a
a
数学分析 第九章 定积分
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§2 牛顿-莱布尼茨式
注1 以后将证明, 若 f 在 [a, b]上连续, 则 f 在 [a, b]
上必有原函数 F (x). 因此条件 (ii) 是多余的.
注2 条件 (i)不是必要条件, 以后将举例说明,存在 函 数 f 在 [a, b] 上有间断点, 但 f 在 [a, b]上仍可
b
v(t )dt
a
另一方面, 质点从某时刻 a 到时刻 b 所经过的路
程记为 s(b)- s(a), 则 s(t) v(t), 于是
s
b
a
v(t )dt
s(b)
s(a).
注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v (t ) 的原函数,
因此把定积分与不定积分起来了,
这就是下
面的牛顿—莱布尼茨公式.
数学分析 第九章 定积分
数学分析 第九章 定积分
§2 牛顿-莱布尼茨公
式
显然, 按定义计算定积分非常困难,须寻找 新的途径计算定积分. 在本节中,介绍牛顿－莱布 尼茨公式, 从而建立了定积分与不定积分之间的, 大大简化了定积分的计算.
§2 牛顿-莱布尼茨式
若质点以速度 v = v (t) 作变速直线运动, 由定积分
定义,质点从时该a到b所经过的路程为 s
i 1
n
n
f (i )Δxi (F ( xi ) F ( xi1 ))
i 1
i 1
n
n
f (i )Δxi f (i )Δxi
i 1
i 1
n
n
f i f i xi xi b a.
i 1
i 1
因此, b f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) b .
积.
例2 求 b xndx. a
解
b xndx xn1 b
a
n1a
1 (bn1 an1 ). n1
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§2 牛顿-莱布尼茨式
1
例3 求 2
dx
.
0 1 x2
解
1 2
dx
12
arcsin x
0
.
0 1 x2
06
6
例4 求
2
x
4 x2 dx
0
解
2
x
4 x2 dx
an
e2ln 21
4.
e
数学分析 第九章 定积分
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上满足拉格朗日中值定理条件, i [ xi1, xi ],
F ( xi ) F ( xi1 ) F (i ) xi f (i ) xi ,
于是
n
f (i )Δxi (F (b) F (a))
i 1
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§2 牛顿-莱布尼茨式
n
f (i )Δxi (F (b) F (a))
i
i n
[i
1, n
i
Tn : 0 ], i 1,
1 n 2,
n
n 1 1, n
, n.
因此
lim
n
n
1
1
n
1
2
1 n n
1
0 1
1
x
dx
ln(1 x) 1 ln 2. 0
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§2 牛顿-莱布尼茨式
1
例6
求
lim n
(1
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1 n
)(1
2 n