微分方程数值解法
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法微分方程是自然科学和现代技术领域中一种最基本的数学描述工具，它可以描述物理世界中的各种现象。
微分方程的解析解往往很难求出，因此数值解法成为解决微分方程问题的主要手段之一。
本文将介绍几种常见的微分方程的数值解法。
一、欧拉法欧拉法是微分方程初值问题的最简单的数值方法之一，它是由欧拉提出的。
考虑一阶常微分方程：$y'=f(t,y),y(t_0)=y_0$其中，$f(t,y)$表示$y$对$t$的导数，则$y(t_{i+1})=y(t_i)+hf(t_i,y_i)$其中，$h$为步长，$t_i=t_0+ih$，$y_i$是$y(t_i)$的近似值。
欧拉法的精度较低，误差随着步长的增加而增大，因此不适用于求解精度要求较高的问题。
二、改进欧拉法改进欧拉法又称为Heun方法，它是由Heun提出的。
改进欧拉法是在欧拉法的基础上进行的改进，它在每个步长内提高求解精度。
改进欧拉法的步骤如下：1. 根据当前$t_i$和$y_i$估算$y_{i+1}$:$y^*=y_i+hf(t_i,y_i),t^*=t_i+h$2. 利用$y^*$和$t^*$估算$f(t^*,y^*)$:$f^*=f(t^*,y^*)$3. 利用$y_i$、$f(t_i,y_i)$和$f^*$估算$y_{i+1}$:$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}(f(t_i,y_i)+f^*)$改进欧拉法具有比欧拉法更高的精度，但是相较于其他更高精度的数值方法，它的精度仍然较低。
三、龙格-库塔法龙格-库塔法是一种广泛使用的高精度数值方法，它不仅能够求解一阶和二阶常微分方程，还能够求解高阶常微分方程和偏微分方程。
其中，经典的四阶龙格-库塔法是最常用的数值方法之一。
四阶龙格-库塔法的步骤如下：1. 根据当前$t_i$和$y_i$估算$k_1$:$k_1=f(t_i,y_i)$2. 根据$k_1$和$y_i$估算$k_2$:$k_2=f(t_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{h}{2}k_1)$3. 根据$k_2$和$y_i$估算$k_3$:$k_3=f(t_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{h}{2}k_2)$4. 根据$k_3$和$y_i$估算$k_4$:$k_4=f(t_i+h,y_i+hk_3)$5. 根据$k_1$、$k_2$、$k_3$和$k_4$计算$y_{i+1}$:$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$龙格-库塔法的精度较高，在求解一些对精度要求较高的问题时，龙格-库塔法是一个比较好的选择。
微分方程数值解法
微分方程数值解法
微分方程是天文学、力学、电磁学等领域很重要的概念，这些领域的研究需要利用到微分
方程的数值解法去求解。
微分方程数值解法是一种将数学模型转换成计算机可以计算的过程，也就是将复杂的问题表达成一组导数和数值，然后利用计算机把这些数值分析和解决
出来。
微分方程数值解法的基本原理是通过二阶多项式的拟合，得出最优的近似解，这种解法是
在一维常微分方程组上应用的，由多个单个微分方程构成，所计算出来的值是多项式函数，这就是微分方程数值解法计算出来的结果。
微分方程数值解法有很多，其中最常用的有有限差分法、有限体积法、有限元法、网格化法、积分中心方法等。
有限差分方法是将问题分解成若干小的结点，然后把微分方程分割
成若干子部分，再做到多次离散估算的过程，最后可以得出拟合函数的解；有限体积方法
是通过将物理风险划分成多个单元，再用均匀的离散步长取点，最后以数值积分法解决微
分方程；有限元方法是利用有限元积分理论，将物理场定义在离散网格中，再利用数学技巧，得出最终的近似解；网格化法是把问题的空间划分成若干小的子空间，再基于某些准则利用焦点或者双精度网格单元，得出空间的分段函数；积分中心方法是把微分方程的方程组再利用积分解析的方法去求解，其中采用了梯形法或者抛物线法等数值积分方法。
最后，无论是那种方法，它们都将在一个规定的步长内对问题做出最有系统、最准确的近
似解，并且它们之间都具有某种交互性，当使用有限元方法可以基于积分中心法得出近似解，而积分中心法又可以基于有限差分方法进行改进，因此在实际领域，结合不同的数值
解法才能更好的满足需求。
微分方程的数值解法与近似求解技巧
微分方程的数值解法与近似求解技巧微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
在实际问题中，我们常常遇到无法直接求解的微分方程，这时候就需要借助数值解法和近似求解技巧来解决。
本文将介绍微分方程的数值解法和近似求解技巧，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、数值解法1. 欧拉法欧拉法是最基础的数值解法之一，通过离散化微分方程，将其转化为差分方程，从而得到近似解。
欧拉法的基本思想是将微分方程中的导数用差商代替，然后通过迭代逼近真实解。
以一阶常微分方程为例，欧拉法的迭代公式如下：\[y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)\]其中，\(y_n\)表示第n个点的近似解，\(x_n\)表示对应的自变量的取值，h为步长，\(f(x_n, y_n)\)表示微分方程中的导数。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进，通过使用两个近似解的平均值来计算下一个点的近似解，从而提高了数值解的精度。
改进的欧拉法的迭代公式如下：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_n + hf(x_n, y_n)))\]3. 二阶龙格-库塔法龙格-库塔法是一种常用的数值解法，通过计算多个近似解的加权平均值来提高数值解的精度。
其中，二阶龙格-库塔法是最简单的一种。
二阶龙格-库塔法的迭代公式如下：\[k_1 = hf(x_n, y_n)\]\[k_2 = hf(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2})\]\[y_{n+1} = y_n + k_2\]二、近似求解技巧1. 线性化方法线性化方法是一种常用的近似求解技巧，通过将非线性微分方程线性化，然后使用线性方程的求解方法来得到近似解。
以二阶线性微分方程为例，线性化方法的基本思想是将非线性项进行线性化处理，然后使用线性微分方程的求解方法来得到近似解。
数学中的微分方程数值解法
数学中的微分方程数值解法数学中的微分方程是描述自然界中各种现象的重要工具。
然而，由于微分方程的解析解往往难以求得，因此研究人员开发了各种数值方法来近似求解微分方程。
本文将介绍一些常见的微分方程数值解法。
一、欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一，它基于微分方程的定义，将微分方程转化为差分方程。
具体而言，欧拉方法将微分方程的导数用差商来近似，从而得到差分方程。
然后，通过迭代计算差分方程的解，最终得到微分方程的数值解。
二、改进的欧拉方法改进的欧拉方法是对欧拉方法的改进，它通过使用更精确的差商来提高数值解的精度。
具体而言，改进的欧拉方法使用欧拉方法的两个近似值的平均值来计算下一个近似值，从而减小了误差。
三、龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一类常用的数值解法，包括二阶和四阶的方法。
这些方法的基本思想是通过逐步逼近微分方程的解，从而得到数值解。
具体而言，龙格-库塔方法使用多个近似值来计算微分方程的导数，并根据这些导数的加权平均值来计算下一个近似值。
四、有限差分方法有限差分方法是一种广泛应用于偏微分方程的数值解法。
它将偏微分方程中的导数用差商来近似，从而将偏微分方程转化为差分方程。
然后，通过迭代计算差分方程的解，最终得到偏微分方程的数值解。
五、有限元方法有限元方法是一种常用的数值解法，广泛应用于各种工程和科学领域。
它将微分方程的解空间分割成许多小的区域，然后在每个区域上构造一个多项式函数来逼近微分方程的解。
通过求解这些多项式函数的系数，可以得到微分方程的数值解。
六、辛方法辛方法是一类特殊的数值解法，用于求解哈密顿系统。
它基于哈密顿系统的保守性质，通过保持系统的辛结构来得到数值解。
辛方法在长时间积分和保持能量守恒方面具有优势，因此在分子动力学模拟等领域得到广泛应用。
总结起来，微分方程数值解法是数学中的重要研究领域。
通过使用这些数值方法，研究人员可以近似求解各种复杂的微分方程，从而揭示自然界中的各种现象。
随着计算机技术的不断发展，微分方程数值解法的应用也越来越广泛，为科学研究和工程实践提供了强大的工具。
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法微分方程是描述自然界中众多现象和规律的重要数学工具。
然而，许多微分方程是很难或者无法直接求解的，因此需要使用数值解法来近似求解。
本文将介绍几种常见的微分方程数值解法。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一。
它将微分方程转化为差分方程，通过计算离散点上的导数来逼近原方程的解。
欧拉方法的基本思想是利用当前点的导数值来估计下一个点的函数值。
具体步骤如下：首先，将自变量区间等分为一系列的小区间。
然后，根据微分方程的初始条件，在起始点确定初始函数值。
接下来，根据导数的定义，计算每个小区间上函数值的斜率。
最后，根据初始函数值和斜率，递推计算得到每个小区间上的函数值。
2. 龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一种常用的高阶精度数值解法。
它通过进行多次逼近和修正来提高近似解的准确性。
相比于欧拉方法，龙格-库塔方法在同样的步长下可以获得更精确的解。
具体步骤如下：首先，确定在每个小区间上的步长。
然后，根据微分方程的初始条件，在起始点确定初始函数值。
接下来，根据当前点的导数值，使用权重系数计算多个中间点的函数值。
最后，根据所有中间点的函数值，计算出当前点的函数值。
3. 改进欧拉方法（改进的欧拉-克罗默法）改进欧拉方法是一种中阶精度数值解法，介于欧拉方法和龙格-库塔方法之间。
它通过使用两公式递推来提高精度，并减少计算量。
改进欧拉方法相对于欧拉方法而言，增加了一个估计项，从而减小了局部截断误差。
具体步骤如下：首先，确定在每个小区间上的步长。
然后，根据微分方程的初始条件，在起始点确定初始函数值。
接下来，利用欧拉方法计算出中间点的函数值。
最后，利用中间点的函数值和斜率，计算出当前点的函数值。
总结：微分方程的数值解法为我们研究和解决实际问题提供了有力的工具。
本文介绍了欧拉方法、龙格-库塔方法和改进欧拉方法这几种常见的数值解法。
选择合适的数值解法取决于微分方程的性质以及对解的精确性要求。
在实际应用中，我们应该根据具体情况选择最合适的数值解法，并注意控制步长以尽可能减小误差。
常微分方程的数值解法
常微分方程的数值解法1. 引言常微分方程是自变量只有一个的微分方程，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。
由于常微分方程的解析解不易得到或难以求得，数值解法成为解决常微分方程问题的重要手段之一。
本文将介绍几种常用的常微分方程的数值解法。
2. 欧拉方法欧拉方法是最简单的一种数值解法，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上假设解函数为线性函数，即通过给定的初始条件在每个子区间上构造切线；- 使用切线的斜率（即导数）逼近每个子区间上的解函数，并将其作为下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
3. 改进的欧拉方法改进的欧拉方法是对欧拉方法的一种改进，主要思想是利用两个切线的斜率的平均值来逼近每个子区间上的解函数。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上构造两个切线，分别通过给定的初始条件和通过欧拉方法得到的下一个初始条件；- 取两个切线的斜率的平均值，将其作为该子区间上解函数的斜率，并计算下一个子区间的初始条件；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
4. 二阶龙格-库塔方法二阶龙格-库塔方法是一种更为精确的数值解法，其基本思想是通过近似计算解函数在每个子区间上的平均斜率。
具体步骤如下： - 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上计算解函数的斜率，并以该斜率的平均值近似表示该子区间上解函数的斜率；- 利用该斜率近似值计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
5. 龙格-库塔法（四阶）龙格-库塔法是目前常用的数值解法之一，其精度较高。
四阶龙格-库塔法是其中较为常用的一种，其具体步骤如下：- 将自变量的区间等分为n个子区间；- 在每个子区间上进行多次迭代计算，得到该子区间上解函数的近似值；- 利用近似值计算每个子区间上的斜率，并以其加权平均值逼近解函数的斜率；- 计算下一个子区间的初始条件，并进一步逼近解函数；- 重复上述过程直至达到所需的精度。
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法微分方程（Differential Equation）是描述自然界中变化的现象的重要工具，具有广泛的应用范围。
对于一般的微分方程，往往很难找到解析解，这时候就需要使用数值解法来近似求解微分方程。
本文将介绍几种常见的微分方程数值解法及其原理。
一、欧拉方法（Euler's Method）欧拉方法是最基本也是最容易理解的数值解法之一。
它的基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过给定的初始条件，在离散的点上逐步计算出函数的近似值。
对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，利用欧拉方法可以得到近似解：y_n+1 = y_n + h * f(x_n, y_n)其中，h是步长，x_n和y_n是已知点的坐标。
欧拉方法的优点在于简单易懂，但是由于是一阶方法，误差较大，对于复杂的微分方程可能不够准确。
二、改进的欧拉方法（Improved Euler's Method）改进的欧拉方法又称为改进的欧拉-柯西方法，是对欧拉方法的一种改进。
它通过在每一步计算中利用两个不同点的斜率来更准确地逼近函数的值。
对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，改进的欧拉方法的迭代公式为：y_n+1 = y_n + (h/2) * [f(x_n, y_n) + f(x_n+1, y_n + h * f(x_n, y_n))]相较于欧拉方法，改进的欧拉方法具有更高的精度，在同样的步长下得到的结果更接近真实解。
三、四阶龙格-库塔方法（Fourth-Order Runge-Kutta Method）四阶龙格-库塔方法是一种更高阶的数值解法，通过计算多个点的斜率进行加权平均，得到更为准确的解。
对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，四阶龙格-库塔方法的迭代公式为：k1 = h * f(x_n, y_n)k2 = h * f(x_n + h/2, y_n + k1/2)k3 = h * f(x_n + h/2, y_n + k2/2)k4 = h * f(x_n + h, y_n + k3)y_n+1 = y_n + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6四阶龙格-库塔方法是数值解法中精度最高的方法之一，它的计算复杂度较高，但是能够提供更为准确的结果。
常微分方程的数值解法
常微分方程的数值解法常微分方程是研究变量的变化率与其当前状态之间的关系的数学分支。
它在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
解常微分方程的精确解往往十分困难甚至不可得，因此数值解法在实际问题中起到了重要的作用。
本文将介绍常见的常微分方程的数值解法，并比较其优缺点。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一。
它基于近似替代的思想，将微分方程中的导数用差商近似表示。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
欧拉方法的计算简单，但是由于误差累积，精度较低。
2. 改进欧拉方法为了提高欧拉方法的精度，改进欧拉方法应运而生。
改进欧拉方法通过使用两个点的斜率的平均值来计算下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
改进欧拉方法相较于欧拉方法而言，精度更高。
3. 龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta）是常微分方程数值解法中最常用的方法之一。
它通过迭代逼近精确解，并在每一步中计算出多个斜率的加权平均值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）计算各阶导数的导数值。
（4）根据权重系数计算下一个点的值。
与欧拉方法和改进欧拉方法相比，龙格-库塔法的精度更高，但计算量也更大。
4. 亚当斯法亚当斯法（Adams）是一种多步法，它利用之前的解来近似下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）通过隐式或显式的方式计算下一个点的值。
亚当斯法可以提高精度，并且比龙格-库塔法更加高效。
5. 多步法和多级法除了亚当斯法，还有其他的多步法和多级法可以用于解常微分方程。
多步法通过利用多个点的值来逼近解，从而提高精度。
而多级法则将步长进行分割，分别计算每个子问题的解，再进行组合得到整体解。
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（上海大学 理学院，上海 200444） 摘要：中文摘要（小五号宋体）200 字左右，应包括目的、方法、结果和结论等要素。目的目的目的目的目的目 的目的目的目的目的目的目的目的目的目的目的目的目的。方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方法方 法方法方法方法方法。结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结果结 果结果结果。结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论结论。 关键词：（小五号宋体）关键词需 3~8 个；关键词一；关键词二；关键词三
(2.5)
将 (2.5) 代入 (2.4) ，即有
0
记
a (u , v) [ p
0 1
1
[p
1 du * dv 2 ru *v]dx p (1)u * (1)v(1) fvdx ， v C E (I ) 0 dx dx
(2.6)
du dv ruv]dx p (1)u (1)v(1) dx dx
(2.10)
3
F [u * ] min F [u ]
2 uC E (I )
现在来找 u * 满足的条件。
2 在 CE ( I ) 中任取一个元素 v ，设 是任意非零实数，由 (2.10) 式，有
F [u * v] F [u * ]
(2.11)
而
F [u * v] F [u * ] F [u * ] 2 [a (u * , v) f (v)] 2 a (v, v)
*
2 2 因为 u * ( x) C E ( I ) ，所以 u * (0) 0 ，故只需验证 u * 在 x 1 处满足问题 (2.1) 的边界条件。现取 C E (I ) 中
的函数 v0 ，满足 v0 (1) 0 ，代入方程 (2.8) 并利用上式有 p(1)[ 由于 p(1) 0 且 v0 (1) 0 ，所以
2.3
变分问题与泛函极值问题的等价关系 对于两点边值问题 (2.1) ，它的一次变分为
0
这里的 a(u, v) 和 f (v) 按 (2.7) 式定义。所以求变分问题 (2.8) 的解等价于求使泛函关于任意增量 v 的一次变分
为零的元素 u * 。 作泛函
F [u ] a (u , u ) 2 f (u ) (2.9)
Extremum problem of variational and functional
HUANG Ying 14720051
(College of Sciences, Shanghai University, Shanghai 200444, China)
Abstract: Abstract ( 五 号 ) abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract, abstract abstract abstract abstract abstract abstract. Abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract, abstract abstract abstract abstract abstract abstract. Abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract abstract, abstract abstract abstract abstract abstract abstract. Key words: key word one; key word two; key word three 对于微分方程初、边值问题，一般采用有限差分法求解，下面介绍另一类重要的数值求解工具——有 限元方法。它的处理过程与差分方法有很大的区别：有限元方法不是直接对原来的微分方程作离散，而是 先把微分方程化为等价的变分问题或泛函极值问题，然后再使用有限元方法。本文主要介绍微分方程与变 分问题及泛函极值问题的等价转化，并给出了求解近似解的两种方法。
对上式中的第一项分部积分， 并利用 v(0) v(1) 0 ， 整理后得 [
0
d du * (p ) ru * f ]vdx 0 ，v C0 ( I ) 。 dx dx
所以
d du (p ) ru * f ，即 u * 满足 (2.1) 的第一式。 dx dx
du * (1) u * (1)]v0 (1) 0 。 dx
du * (1) u * (1) 0 ，因此 u * 是问题 (2.1) 的解。 dx 定理 2 设 p ， r ， f 和 满足定理 1 中的所有条件，则变分问题 (2.8) 的解是唯一的。
2 * * 证明：设 u1 和 u2 都是方程 (2.8) 的解，即 a(ui* , v) f (v) ， v C E ( I ) ， i 1,2 。 * * 2 于是 a(u1 u2 , v) 0 ， v C E (I ) ， * * 2 取 v u1 u2 CE ( I ) ，则
d du p ( x) r ( x)u f ( x) ， x I dx dx
du (1) u (1) 0 dx
u (0) 0 ，
(2.1)
这里假设 p( x) C 1 ( I ) ， r ( x) 和 f ( x) 都属于 C 0 ( I ) ，且同时满足：
称 f 是定义在 E 上的一个 n 元函数，记为 f : E 。 E 与 分别称为 f 的定义域和值域。 现将这个概念推广：若 E 是满足某种条件的函数集合，f E ，可通过某种规律 F 使 f 与 中的一 个实数 y 与它对应，则称 F 是 E 上的一个泛函，记为 F [ f ] 。 E 和 仍分别为 F 的定义域和值域。 设泛函 F [u ] 的定义域 E 具有如下性质：如果 u ，v 属于 E ，则存在充分小的正常数 0 ，当 0 时，
0
1
[ p(
* * d (u1 u2 ) 2 * * 2 ) r (u1 u2 ) ]dx 0 。由于 p p0 0 ， r 0 ， dx
故
* * d (u1 u2 ) * * * * * * 。 u2 C (常数) 。又 u1 (0) u 2 (0) 0 ，所以 C 0 即 u1 u2 0 ，即 u1 dx
(2.12)
于是， (2.11) 式成立等价于
2 [a (u * , v) f (v)] 2 a (v, v) 0 ， 0
(2.13)
由关于二次函数的讨论可知，上式等价于
2 a (u * , v) f (v) ， v C E (I )
(2.14)
(2.15)
和
2 a (v, v) 0 ， v C E (I ) ， v 0
lim
F [u * v] F [u * ]
2[a (u * , v) f (v)]
即 F [u ] [ p(
0
1
du 2 ) ru 2 2 fu ]dx p (1)[u (1)]2 。 dx
2 设 F [u ] 在唯一一个 u C E ( I ) 处达到极小值，即
(2.3)
0
1
[
1 d du * ( p( x) ) ru * ]vdx fvdx 0 dx dx
(2.4)
对上式使用分部积分并利用边界条件得
* 1 du dv d du * ( p( x) )vdx p dx p (1)u * (1)v(1) 0 dx 0 dx dx dx
p ( x) p0 0 ， r ( x) 0 ， x I
p0 是常数，另外常数 0 。
(2.2)
定义线性空间：
2 CE ( I ) { f ( x) | f ( x) C 2 ( I ), f (0) 0} 2 2 若 u * ( x) C E ( I ) 是边值问题 (2.1) 的解，将 u * 代入 (2.1) 式，任取 C E ( I ) 中的元素 v 乘 (2.1) 的两边，有
1 泛函与变分的引入
我 们先 回忆 一 下函 数的 概念 。 设 E 为 n 维 Euclid 空 间 n 中 的一 个点 集 ， E 中 每一 点可 表 示为
( x1 , x2 , , xn ) ，又设 是实数集合。如果通过某种规律 f ，在 中找到一个实数 y 与 E 中的点对应，则
③ u 0 ， ( x, y ) 1 ； ④ u g ， ( x, y ) ； ⑤
u u g ， ( x, y ) 。 n
现以第三类边值问题为例： u u [ ( p ) ( p )] qu f ， ( x, y ) x x y y
1
有 u v E 。如果极限
0
lim
F [u * v] F [u * ]
存在，则称此极限是 F [u ] 在 u u * 处关于增量 v 的一次变分。
2 两点边值问题
2.1 变分形式的推导 记 是 n 上的一个有界单连通开区域， 是它的闭包。 I (0,1) ， I [0,1] 。 C ( ) 为定义在 上的 无穷可微函数全体。 两点边值问题如下：
同时成立，后一个条件的成立与否是有泛函本身决定的。 在假设条件 (2.15) 成立的情况下，变分问题 (2.14) 与泛函极值问题 (2.10) 是等价的。