江苏省苏州市第五中学高中数学第二章《数列》等比数列的前n项和教案新人教版必修5
课题：等比数列的前n 项和
教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n 项和公式并能
运用公式解决一些简单问题；
（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透
方程思想、分类讨论思想；
（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质； 教学重点：（1）等比数列的前n 项和公式；
（2）等比数列的前n 项和公式的应用；
教学难点：等比数列的前n 项和公式的推导；
教学方法：问题探索法及启发式讲授法
教 具：多媒体
教学过程：
一、复习提问
回顾等比数列定义，通项公式。
（1）等比数列定义：q
a a n n =-1（2n ≥，)0≠q
（2）等比数列通项公式：)0,(111≠=-q a q a a n n
（3）等差数列前n 项和公式的推导方法：倒序相加法。
二、问题引入：
阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。
问题:如何计算
引出课题:等比数列的前n 项和。
三、问题探讨： 问题：如何求等比数列{}n a 的前n 项和公式 =n S 123n a a a a ++++
221
11111--=+++++n n a a q a q a q a q
回顾：等差数列的前n 项和公式的推导方法。
倒序相加法。
等差数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321
23636412222S =+++++
根据等差数列的定义1+-=n n a a d
[]1111()(2)（n-1)=+++++++n S a a d a d a d （1）
[]()(2)-（n-1)=+-+-++n n n n n S a a d a d a d （2）
（1）+（2）得：12()=+n n S n a a 1()
2+=n n n a a S
探究：等比数列的前n 项和公式是否能用倒序相加法推导？
=n S 123n a a a a ++++
2
21
11111--=+++++n n a a q a q a q a q
221--=+++++n n
n n
n n n n a a
a a S a q q q q
学生讨论分析，得出等比数列的前n 项和公式不能用倒序相加法推导。
回顾：等差数列前n 项和公式的推导方法本质。
构造相同项，化繁为简。
探究：等比数列前n 项和公式是否能用这种思想推导？
根据等比数列的定义：1
)（++=∈n n
a q n N a
变形：1+=n n a q a
具体：12=a q a 23=a q a 34=a q a ……
学生分组讨论推导等比数列的前n 项和公式，学生不难发现：
由于等比数列中的每一项乘以公比q 都等于其后一项。
所以将这一特点应用在前n 项和上。
由此构造相同项。
数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。
221
11111n n n S a a q a q a q a q --=+++++ （1）
23
111111-=+++++n n
n qS a q a q a q a q a q （2）
由此构造相同项。
数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。
11(1)(2)(1)n n q S a a q ∴--=-得：
当q=1时，1na S n =
当1≠q 时，q
q a S n n --=1)1(1 学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。
由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：
当1≠q 时， 11-=-n n a a q
S q
四.知识整合:
1．等比数列的前n 项和公式：
当q=1时，1na S n =
当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 11-=-n a a q
q
2．公式特征：
⑴等比数列求和时，应考虑1q = 与1q ≠ 两种情况。
⑵当1q ≠时，等比数列前n 项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。
⑶等比数列通项公式结合前n 项和公式涉及五个量，1,,,,n n a q n a S ，
五个量中“知三求二”（方程思想）。
3．等比数列前n 项和公式推导方法：错位相减法。
五、例题精讲：
例1．运用公式解决国王赏麦故事中的难题。
变式练习：⑴求等比数列1,2,4,8…的前多少项和是63.
⑵求等比数列1,2,4,8…第4项到第7项的和.
例2．画一个边长为2cm 的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，
依次类推⑴若一共画了7个正方形，求第7个正方形的面积？ ⑵若已知所画正方形的面积和为314
，求一共画了几个正方形，及所画的最后一个正方形的面积。
解：由题意得：每个正方形的面积构成等比数列，且11
42a q ==
（1）7n = 6711
16a a q ∴=⋅=
（2）()11111n n n
n a a q a q S q =⎧=⎪-⎨=⎪-⎩⇒1
14
21412311
412
-⎧⎛⎫=⎪
⎪⎝⎭
⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎨-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎪⎪-⎪⎩n n n a ⇒5
14
=⎧⎪
⎨=⎪⎩n n a
答：（1）第七个正方形的面积是21
16cm 。
（2）一共测了5个正方形，所画的最后一个正方形的面积是21
4cm 。
巩固练习：⑴已知等比数列{}n a 中，11=-a ，2=-q ,求6S 。
⑵已知等比数列{}n a 中，11=a ，3=q ,40=n S ，求n ，n a 。
六、课堂小结：
1、等比数列的前n 项和公式：
当q=1时，1na S n =
当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 1
1-=-n a a q
q
2、等比数列的前n 项和推导方法：错位相减法。
3、数学思想：类比，分类讨论，方程的数学思想。
七、课后作业：
基础题：课本P61 习题2.5 A 组1，2
提高题：求和（21(1)(2)(2)-++++++n n a a a
探究与发现：查阅网络，思考等比数列前n 项和公式还有无其它推导方法？
八、板书设计：
九、课后反思：。
江苏省苏州市第五中学高中数学第二章《数列》等比数列的前n项和教案新人教版必修5
课题：等比数列的前n 项和教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题；（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想；（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质； 教学重点：（1）等比数列的前n 项和公式；（2）等比数列的前n 项和公式的应用；教学难点：等比数列的前n 项和公式的推导；教学方法：问题探索法及启发式讲授法教 具：多媒体教学过程：一、复习提问回顾等比数列定义，通项公式。
（1）等比数列定义：qa a n n =-1（2n ≥，)0≠q（2）等比数列通项公式：)0,(111≠=-q a q a a n n（3）等差数列前n 项和公式的推导方法：倒序相加法。
二、问题引入：阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。
问题:如何计算引出课题:等比数列的前n 项和。
三、问题探讨： 问题：如何求等比数列{}n a 的前n 项和公式 =n S 123n a a a a ++++22111111--=+++++n n a a q a q a q a q回顾：等差数列的前n 项和公式的推导方法。
倒序相加法。
等差数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++32123636412222S =+++++根据等差数列的定义1+-=n n a a d[]1111()(2)（n-1)=+++++++n S a a d a d a d （1）[]()(2)-（n-1)=+-+-++n n n n n S a a d a d a d （2）（1）+（2）得：12()=+n n S n a a 1()2+=n n n a a S探究：等比数列的前n 项和公式是否能用倒序相加法推导？=n S 123n a a a a ++++22111111--=+++++n n a a q a q a q a q221--=+++++n nn nn n n n a aa a S a q q q q学生讨论分析，得出等比数列的前n 项和公式不能用倒序相加法推导。
最新人教版高中数学必修5第二章《等比数列的前n项和》教案(1)
《等比数列的前n项和》教案（1）
教学目标
1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
2．经历等比数列前n项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题.
3．在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神．
教学重点难点
重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题．难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式．
教法与学法
教学方法：采用多媒体技术，体现直观性，激发学习兴趣、激活学生思维，在解决重、难点等方面起到辅助作用．
学习方法：指导学生学会“探究式发现法”的学习方法，从类比猜想中探索
研究从而找到问题的思路和方法．
教学过程
（一）创设情境导入新课
3
++
a q
n
-
a a q
二、作法总结，变式演练
三、思维拓展，课堂交流
2n a +．
数列的前
四、归纳小结，课堂延展
教学设计说明
1．教材地位分析
等比数列的前n项和为后面学习数列求和打下基础．本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点．本节课的教学任务主要是学生掌握求前n项和的方法，并理解其中蕴含的数学思想．
2．学生现实分析
（1）学生已经掌握了函数和数列的一些基础知识．比如等比数列的定义，通项公式及性质，并能够独立的解决一些简单的问题．了解等差数列的前n项和公式的推导方式．（2）学生在前面的学习当中已经具备了一些抽象思维能力，其学习模式知识结构，类比等差数列的情况学习等比数列有关知识．。
人教A版高中数学必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和教案(2)
《等比数列的前n项和》教案一、教材分析从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是人教A版高中数学必修5第二章“数列”第五节的内容，它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到.就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题．过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．三、教学重点和难点重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力.突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→错位相减法等→转化、方程思想；（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.难点：等比数列的前n项和公式的推导．从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物.突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学方法利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.六、教学设计说明1．情境设置生活化.本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生学生初步了解“数学来源于生活”，采用动漫故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲.2．问题探究活动化．教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性.3．辨析质疑结构化．在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系.4．巩固提高梯度化．例1采用表格形式,突出表现五个基本量“知三求二”的关系，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力；例2由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性.5．思路拓广数学化．从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径.以生活中的实例作为思考，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学．6．作业布置弹性化．通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间．介绍相关网站让学生查阅有关资料，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数学素养．。
苏教版高中数学必修五第二学生教案第课时等比数列的前n项和
听课随笔 第4课时【学习导航】知识网络学习要求1．掌握用“错位相减”的方法推导等比数列的前n 项和公式，掌握等比数列的前n 项和公式2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题【自学评价】1.等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n 当1≠q 时，_________________ ① 或________________________② 当q=1时，_____________当已知1a , q, n 时用公式①； 当已知1a , q, n a 时，用公式②. 2.若数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝p (1－q n )，且p ≠0，q ≠1，则数列｛a n ｝是___________.【精典范例】【例1】在等比数列｛a n ｝中，（１）已知1a ＝－4，q ＝12，求10S ； （２）已知1a ＝１，k a ＝243，q ＝3，求k S ．【解】【例2】在等比数列｛a n ｝中，263,2763==S S ，求a n . 【解】点评:等比数列中五个基本量a 1、q 、a n 、n 、S n ，知三可求二. 追踪训练一1．某厂去年的产值记为１，计划在今后五年内每年的产值比上年增长１０％，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ） Ａ．41.1 Ｂ．51.1Ｃ．)11.1(115-⨯ Ｄ．)11.1(106-⨯ 2．求下列等比数列的各项和： （１）１，３，９， (2187)（２）１，21-，41，81-，…，5121-.3．等比数列｛a n ｝的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是（ ） A.179 B.211 C.243 D.275 4．若等比数列｛a n ｝的前n 项和S n =3n +a ,则a 等于（ ） A.3 B.1 C.0 D.－1 5．已知等比数列的公比为2，若前4项和等于1，则前8项之和等于（ ） A.15 B.17 C.19 D.21【选修延伸】【例3】{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，数列k k k k k S S S S S 232,,-- （+∈N k ）是否仍成等比数列？ 【解】追踪训练二1.在等比数列｛a n ｝中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2＋1，a 4=2S 3+1,则公比q 等于（ ） A.3 B.－3 C.－1 D.12.等比数列｛a n ｝中，a 3=7,前 3项之和S 3=21, 则公比q 的值为（ ） A.1 B.－21 C.1或－21 D.－1或21 3.在公比为整数的等比数列｛a n ｝中，已知a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么a 5＋a 6＋a 7＋a 8等于（ ）A.480B.493C.495D.4984.在14与87之间插入n 个数，使这n +2个数组成等比数列，若各项的和为877,则此数列的项数为（ ）A.4B.5C.6D.75.在等比数列｛a n ｝中，公比q =2,log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 10=25,则a 1+a 2+…+a 10=____________.6. 已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数，S n ＝80，S 2n ＝6560，且在前n 项中最大项为54，求此数列的公比q 和项数n .7.一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比及项数.学生质疑 教师释疑。
高中数学第二章数列第九课时等比数列的前n项和教案(一)苏教版必修5
教学目 标：
会用等比数列求和公式进行求和，灵活应用公式与性质解决一些相关问题；培养学生的 综合能力，提高学生的数学修养 . 教学重点：
1. 等比数列的前 n 项和公式 . 2. 等比数列的前 n 项和公式的推导 .
教学难点： 灵活应用公式解决有关问题 .
教学过程：
分析：等比数列的第 5 项到第 10 项可组成一新等比数列 .
解法一：由 1，2， 4，…可知： a1＝1， q＝ 2
∴
an＝
n
2
－
1，∴
a5＝
24＝
16，
a10 1－26）
从第 5 项到第 10 项共有 6 项，它们的和为：
1－2
＝ 1008.
答案：从第 5 项到第 10 项的和为 1008.
（）
A. 等比数列
B. 等差数列
C. 等比或等差数列
D.非等差数列
2．等比数列 { an} 中，若 S6＝ 91， S2＝7，则 S4 为
A.28
B.32
C.35
1
3．数列 { an} 的通项公式为 an＝
，若 Sn＝ 9，则 n 等于
n＋ n＋ 1
A.9
B.10
C.99
（） D.49
（） D.100
12．已知数列 { an} 中， Sn 是它的前 n 项和，并且 Sn+1＝ 4an＋ 2( n＝ 1， 2，… ) ， a1＝1 （ 1）设 b n＝ an+1－ 2an( n＝ 1， 2，… ) ，求证 { bn} 是等比数列； an （ 2）设 cn＝ 2n ( n＝ 1， 2，… ) ，求证 { cn} 是等差数列； （ 3）求数列 { an} 的通项公式及前 n 项和公式 .
江苏省苏州市第五中学高中数学教案苏教版必修五第二章《数列》等比数列的前n项和(第一课时)
课题：等比数列的前项和（第一课时）一、教材分析●教学内容《等比数列的前项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章《数列》第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．●地位与作用《等比数列的前项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．●任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够较好的理解教材上的内容，能较好地在教师的引导下独立、合作地解决一些问题．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.2.教学重点、难点●重点：等比数列前项和公式的推导及公式的简单应用．突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想；（三）能力线：观察能力→初步解决问题能力.●难点：错位相减法的生成和等比数列前项和公式的运用．突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学模式与教法、学法教学模式 ：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法引导． 学生的学法：突出探究、发现与交流．五、教学过程分析（一）教学环节(二) 教学过程板书设计六、教学反思根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下几点反思：（1）在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的应用；(3)方法的拓展；（4）学生课后的拓展学习．根据实际教学情况，学生掌握本课知识较好.（2）本节课处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理，在富有启发性的问题下，学生通过积极的思维，完成了对公式的自主探究，同时注意对重、难点知识采用“欲扬先抑”的方法，让学生在错误中感悟，在争论中抓住问题的本质；在公式的应用后，学生的思维又得到了进一步的发展和提高．（3）本节课特别强调对学生数学思想、方法的渗透贯彻了新课程的理念．（4）本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习、解决问题的强有力工具，使学生乐意投入其中.（5）在推导等比数列前项公式过程中，大多数学生忽略了对=1的讨论，这反映出学生的思维严谨性还有待在以后的教学中注意加强.。
新课标人教A版高中数学必修五第二章第五节《等比数列的前n项和》教案
2.5 等比数列的前n 项和【教学目标】1.知识与技能：探索并掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题。
2.过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式。
3.情感态度与价值观：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养学生的化简能力，在本节课的学习过程中培养合作交流、解决问题能力。
【教学重难点】教学重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题。
教学难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式。
【教学过程】（一）新课导入给出数列：n 2,,2,2,232提问学生此数列是否为等比数列，如果是，那它的首项和公比分别是什么？那它的前n 项和又为多少呢？所以这节课就来探究此问题，引出本节课的课题。
（二）新知探究一般地，对于等比数列n a a a ,,21，它的前n 项和可以写n n a a a S +++= 21，由等比数列的通项公式，上式可以替换成1111-+++=n n q a q a a S ①小组合作探究，观察此式子的特征，让学生探讨如何化解此计算式从而得到n S .学生合作探究得出：将①式左右同时乘以q ，得到n n q a q a q a qS 1211+++= ②，①式和②式有1-n 个相同的项，所以通过两式相减就可以得到n n q a a S q 11)1(-=-，进而得 到qq a S n n --=1)1(1，这时1≠q ，当1=q 时，1na S n =. 师：这种两个式子错开一项的方法叫做错位相减法问：得到的两个前n 项和的公式是数学符号的形式，可不可以用文字语言刻画这两个式子呢？生：当公比不等于1时，等比数列的前n 项和为1减公比分之首项乘以1减公比的项数次方，当公比等于1时，等比数列的前n 项和为项数乘以首项通过对等比数列前n 项和公式和通项公式的观察，发现qq a S n n --=1)1(1可以替换为q q a a S n n --=11.由此学生得到等比数列前n 项和的另一个式子qq a a S n n --=11. （三）课堂练习师：通过刚才对等比数列的前n 项和公式的学习，可以解决开头所提到的问题，师生共同解答。
高中数学必修五第二章：5等比数列的前n项和(1)教案
课型：新授课编写时时间：年月日执行时间：年月日
教学目标：
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
公式的推导方法三：
＝
＝ ＝
（结论同上）
[解决问题]
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
由 可得
= = 。
这个数很大，超过了 。国王不能实现他的诺言。
教学后记：
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
批注
教学重点：等比数列的前n项和公式推导
教学难点：灵活应用公式解决有关问题
教学用具：投影仪
教学方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
教学过程：
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
[提出问题]课本P55“国王对国际象棋的发明者的奖励”
Ⅱ.讲授新课
[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
1、等比数列的前n项和公式：
当 时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知 , q, n时用公式①；当已知 , q, 时，用公式②.
公式的推导方法一：
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和教案新人教A版必修
§2.5等比数列的前n 项和●教学目标知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
●教学重点等比数列的前n 项和公式推导●教学难点 灵活应用公式解决有关问题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境][提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”Ⅱ.讲授新课[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。
下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。
1、 等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②. 公式的推导方法一：一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n n n n qa a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n qa q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =公式的推导方法二： 有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312 根据等比的性质，有q a S a S a a a a a a n n n n n =--=++++++-112132 即 q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．公式的推导方法三：=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）[解决问题]有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题。
苏教版高中数学必修五第二章数列第十课时等比数列的前n项和二教案
第十课时 等比数列的前n 项和(二)教学目标：综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n 项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力.教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式.教学难点：灵活使用有关知识解决问题教学过程：Ⅰ.复习回顾前面我们学习了哪些有关等比数列的知识?定义式：a n a n －1＝q (q ≠0，n ≥2) 通项公式：a n ＝a 1q n －1(a 1,q ≠0)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ,S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q(q ≠1) S n ＝na 1，(q ＝1)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a 1＝S 1(n ＝1)Ⅱ.讲授新课我们结合一些练习来看一下如何灵活应用它们.［例1］求和：（x ＋1y ）＋（x 2＋1y 2 ）＋…＋（x n ＋1y n ） (其中x ≠0，x ≠1，y ≠1)分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.解：当x ≠0，x ≠1，y ≠1时，（x ＋1y ）＋（x 2＋1y 2 ）＋…＋（x n ＋1y n ）＝(x ＋x 2＋…＋x n )＋(1y ＋1y 2 ＋…＋1y n )＝x （1－x n ）1－x ＋ 1y （1－1y n ）1－1y ＝x －x n ＋11－x ＋y n －1y n ＋1－y n 此方法为求和的重要方法之一：分组求和法.［例2］已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列.分析：由题意可得S 3＋S 6＝2S 9，要证a 2，a 8，a 5成等差数列，只要证a 2＋a 5＝2a 8即可. 证明：∵S 3，S 9，S 6成等差数列，∴S 3＋S 6＝2S 9若q ＝1，则S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，由等比数列中，a 1≠0得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，∴q ≠1，∴S 3＝a 1（1－q 3）1－q ，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ，S 9＝a 1（1－q 9）1－q且 a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝2a 1（1－q 9）1－q整理得q 3＋q 6＝2q 9，由q ≠0得1＋q 3＝2q 6又∵a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝a 1q (1＋q 3)，∴a 2＋a 5＝a 1q ·2q 6＝2a 1q 7＝2a 8∴a 2，a 8，a 5成等差数列.评述：要注意题中的隐含条件与公式的应用条件.［例3］某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)?分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n 项和.解：设每年的产量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30∴5（1－1.1n ）1－1.1＝30，整理可得：1.1n ＝1.6 两边取对数，得n lg1.1＝lg1.6，即：n ＝lg1.6lg1.1 ≈5答：约5年内可以使总产量达到30万吨.评述：首先应根据题意准确恰当建立数学模型，然后求解.Ⅲ.课堂练习课本P 58练习1，2，3Ⅳ.课时小结通过本节学习，应掌握等比数列的定义式、通项公式、性质以及前n 项求和公式的灵活应用.利用它们解决一些相关问题时，应注意其特点.Ⅴ.课后作业课本P 58习题 3，4，5等比数列的前n 项和(二)1．数列{a n }为正数的等比数列，它的前n 项和为80，且前n 项中数值最大的项为54，它的前2n 项的和为6560，求此数列的首项和公比.2．已知数列{a n}是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列{b n}是否仍为等比数列？3．求数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n项和S n.4．数列{a n}中，S n＝1＋ka n(k≠0，k≠1)(1)证明数列{a n}为等比数列；（2）求通项a n；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋a n2.5．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.6．等比数列{a n}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值.7．求和（x ＋1x ）2＋（x 2＋1x 2 ）2＋…＋（x n ＋1x n ）28．求数列2x 2，3x 3，4x 4，…，nx n ，…的前n 项和.等比数列的前n 项和(二)答案1．数列{a n }为正数的等比数列，它的前n 项和为80，且前n 项中数值最大的项为54，它的前2n 项的和为6560，求此数列的首项和公比.分析：利用等比数列的前n 项和公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q解题. 解：若q ＝1，则应有S 2n ＝2S n ，与题意不合，故q ≠1.当q ≠1时，由已知得⎩⎨⎧a 1（1－q n ）1－q ＝80 ①a 1（1－q 2n ）1－q ＝6560 ② 由②① ，得1－q 2n1－q n＝82，即q 2n －82q n ＋81＝0 得q n ＝81或q n ＝1(舍)∴q n ＝81，故q ＞1.{a n }的前n 项中最大，有a n ＝54.将q n ＝81代入①，得a 1＝q －1 ③由a n ＝a 1q n －1＝54，得a 1q n ＝54q即81a 1＝54q ④ 由③、④得a 1＝2， q ＝3评述：在数学解题中还应有一个整体观念，如本题求出q n ＝81，应保留q n 为一个整体求解方便.2．已知数列{a n }是等比数列，试判断该数列依次k 项的和组成的数列{b n }是否仍为等比数列？分析：应对{a n }的公比q 分类讨论.解：设b n ＝a (n －1)k +1＋a (n －1) k +2＋…＋a nk ，且数列{a n }的公比为q则当q ＝1时，b 1＝b 2＝…＝b n ＝…＝ka 1,∴{b n }为公比是1的等比数列.当q ≠±1时，b n ＝a （n －1）k ＋1（1－q k ）1－q ，b n ＋1b n＝a nk ＋1a （n －1）k ＋1 ＝q k ∴{b n }为公比是q k 的等比数列.当q ＝－1时，若k 为偶数，则b n ＝0，此时{b n }不能为等比数列.若k 为奇数，数列{b n }为公比为－1的等比数列.综上：当{a n }的公比不为－1时，数列{b n }仍为等比数列；当{a n }的公比为－1时，若k 为偶数，则{b n }不是等比数列；当k 为奇数时，数列{b n }为公比为－1的等比数列.3．求数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…的前n 项和S n .解：(1)a ＝0时，S n ＝1；(2)a ＝1时，S n ＝12 n (n ＋1)；(3)a ＝－1时，S n ＝⎩⎨⎧n 2 （n 为偶数）n ＋12 （n 为奇数） ； (4)a ＝±1；a ≠0时，S n ＝（1－a n ）（1－a n ＋1）（1－a ）（1－a 2）. 4．数列{a n }中，S n ＝1＋ka n (k ≠0，k ≠1)(1)证明数列{a n }为等比数列；（2）求通项a n ；(3)当k ＝－1时，求和a 12＋a 22＋…＋a n 2. 分析：由于条件中涉及S n 与a n 的关系，因此，要考虑S n －S n －1＝a n (n ≥2)的运用，然后回答定义.（1）证明：∵S n ＝1＋ka n① S n －1＝1＋ka n －1 ② ①－②得S n －S n －1＝ka n －ka n －1(n ≥2)∴(k －1)a n ＝ka n －1，a n a n －1 ＝k k －1(常数)，（n ≥2） ∴{a n }是公比为k k －1的等比数列. （2）解：∵S 1＝a 1＝1＋ka 1，∴a 1＝11－k∴a n ＝11－k ·(k k －1 )n －1＝－nn k k )1(1-- (3)解：∵{a n }中a 1＝11－k ，q ＝k k －1∴{a n 2}为首项为（1k －1 ）2，公比为（k k －1）2的等比数列. 当k ＝－1时，等比数列{a n 2}的首项为 14 ，公比为 14∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝14 [1－（14 ）n ]1－14＝13 [1－（14 ）n ]评述：应注意a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1 （n ≥2）的应用. 5．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.解：设数列的公比为q ，项数为2n则⎩⎨⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝85a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝170，得q (a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＝170，∴q ＝2 又∵a 1（1－q 2n ）1－q 2 ＝85，即1－22n1－22＝85 ∴22n ＝256＝28，∴2n ＝8评述：在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及到a 1，n ，q ，a n ，S n 5个量，其中a 1和q 是基本量，利用这两个公式，可知三求二.6．等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值.分析：关键是确定首项和公比.解：设此数列的首项和公比为a 1和q .则⎩⎨⎧a 1（1－q 4）1－q ＝1 ①a 1（1－q 8）1－q ＝3 ② 由②÷①得q 4＝2.∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝a 1（1－q 20）1－q －a 1（1－q 16）1－q ＝a 1 q 16（1－q 4）1－q＝q 16＝24＝16. 评述：在研究等比数列的问题中，要确定基本量a 1和q ,仍然离不开方程思想，在具体求解时，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意优化与化简.7．求和（x ＋1x ）2＋（x 2＋1x 2 ）2＋…＋（x n ＋1x n ）2分析：注意到（x n ＋1x n ）2＝a n ＝x 2n ＋1x 2n ＋2，且{x 2n }与{(1x )2n }为等比数列，故可考虑拆项法.解：S n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋(1x 2 ＋1x 4 ＋…＋1x 2n )＋443442122)22(个n +⋅⋅⋅++ 当x ＝±1时， S n ＝n ＋n ＋2n ＝4n .当x ≠±1时，S n ＝x 2（1－x 2n ）1－x 2 ＋1x 2（1－1x 2n ）1－1x 2＋2n ＝（x 2n －1）（x 2n ＋2＋1）x 2n （x 2－1） ＋2n评述：在运用等比数列的求和公式时，要注意分析公比是否为1.8．求数列2x 2，3x 3，4x 4，…，nx n ，…的前n 项和.分析：可以通过错位相减的方法转化为等比数列的求和问题. 解：（1）当x ＝0时，S n ＝0.(2)当x ＝1时，S n ＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝12 n (n ＋3).(3)当x ≠1时，S n ＝2x 2＋3x 3＋4x 4＋…＋(n ＋1)x n +1 ① xS n ＝2x 3＋3x 4＋4x 5＋…＋nx n +1＋(n ＋1)x n +2 ② ①－②得：（1－x ）S n ＝2x 2＋x 3＋x 4＋…＋x n +1－(n ＋1)x n +2＝2x 2＋x 3（1－x n －1）1－x －(n ＋1)x n +2∴S n ＝2x 2―x 3―（n ＋2）x n +2＋（n ＋1）x n +3（1－x ）2 ③ 又当x ＝0时，S n ＝0适合③∴S n ＝⎩⎨⎧12 n (n ＋3) （x ＝1）2x 2―x 3―（n ＋2）x n +2＋（n ＋1）xn +3（1－x ）2 （x ≠1）评述：错位相减法是一种常用的重要的求和方法.。