一元一次方程(知识点完整版).
第三章：一元一次方程
本章板块
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??程实际问题与一元一次方
方程的解解方程
等式的基本性质定义一元一次方程.5.4.3.2.1 知识梳理
【知识点一：方程的定义】
方程：含有未知数的等式就叫做方程。
注意未知数的理解，n m x ,,等，都可以作为未知数。 题型：判断给出的代数式、等式是否为方程 方法：定义法
例1、判定下列式子中，哪些是方程？
（1）4=+y x （2）2>x （3）642=+（4）92
=x （5）2
11=x
【知识点二：一元一次方程的定义】
一元一次方程：①只含有一个未知数(元)；
②并且未知数的次数都是1(次)；
③这样的整式方程叫做一元一次方程。 题型一：判断给出的代数式、等式是否为一元一次方程 方法：定义法
例2、判定下列哪些是一元一次方程？
0)(22=+-x x x ，
712
=+x π
，0=x ，1=+y x ，31
=+
x
x ，x x 3+，3=a
题型二：形如一元一次方程，求参数的值
方法：2
x 的系数为0；x 的次数等于1；x 的系数不能为0。 例3、如果()051=+-m
x m 是关于x 的一元一次方程，求m 的值
例4、若方程()05122
=+--ax x a 是关于x 的一元一次方程，求a 的值
【知识点三：等式的基本性质】
等式的性质1：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等。即：若a=b ，则a ±c=b ±c
等式的性质2：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即：若b a =，则bc ac =；若b a =，0≠c 且
c
b c a = 例5、运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）
A 、如果a=b ，那么a-c=b-c
B 、如果a=b ，那么a+c=b+c
C 、如果a=b ，那么
c
b
c a = D 、如果a=b ，那么ac=bc 【知识点四：解方程】
方程的一般式是：()00≠=+a b ax 题型一：不含参数，求一元一次方程的解 方法：
步骤
具体做法 依据 注意事项
1.去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
等式基本性质
2
防止漏乘（尤其整数项），
注意添括号； 2.去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律
括号前面是“+”号，括号可以直接去，括号前面是“-”号，括号里的每
一项都要变号
3.移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(移项一定要变号)
等式基本性质
1 移项要变号，不移不变
号；
4.合并同类项
将方程化简成
()
0≠=a b ax
合并同类项法
则
计算要仔细
5.化系数为1 方程两边同时除以未知
数的系数a ，得到方程
的解
等式基本性质
2
计算要仔细，分子分母勿
颠倒
例7、解方程2
5
83243=--+x x
练习1、()()()35123452+--=-+-x x x x
练习2、
14.01.05.06.01.02.0=+--x x 练习3、x =+??
?
???+??? ??+221413223
题型二：解方程的题中，有相同的含x 的代数式
方法：利用整体思想解方程，将相同的代数式用另一个字母来表示，从而先将方程化简，并求值。再将得到的值与该代数式相等，求解原未知数。
例8、
()()046
1253122212=++++++x x x 思路点拨：因为含有x 的项均在“12+x ”中，所以我们可以将作为“12+x ”一个整体，先求出整体的值，进而再求x 的值。
题型三：方程含参数，分析方程解的情况
方法：分情况讨论，①0≠a 时，方程有唯一解a
b x =； ②0,
0==b a 时，方程有无穷解； ③0,
0≠=b a 时，方程无解。
例9、探讨关于x 的方程03=-++x b ax 解的情况
【知识点五：方程的解】
方程的解：使方程左右两边值相等的未知数的值，叫做方程的解。 题型一：问x 的值是否是方程的解
方法：将x 的值代入方程的左、右两边，看等式是否成立。 例10、检验5=x 和5-=x 是不是方程
23
1
2-=-x x 的解
题型二：给出的方程含参数，已知解，求参数
方法：将解代入原方程，从而得到关于参数的方程，解方程求参数 例11、若3-=x 是方程()524=--+x k x k 的解，求k 的值
题型三：方程中含参数，但在解方程过程中将式子中某一项看错了，从而得到错误的解，求
??
???<-=>=)
0()0(0
)0(||a a a a a a 参数的值
方法：将错误的解代入错误的方程中，等式仍然成立，从而得到关于参数的正确方程，解方程求参数
例12、小张在解关于x 的方程1523=-x a 时，误将x 2-看成x 2得到的解为3=x ，请你求出原来方程的解。
题型四：给出的两个方程中，其中一个方程含参数，并且题目写出“方程有相同解”或者“这个方程的解同时也满足另一个方程”。要求参数的值或者含参数代数式的值
方法：求出其中一个不含参的方程的解，并将这个解代入到另一个方程中，从而得到关于参数的方程，解方程求参数即可
例13、若方程()x x 32123-=-和关于x 的方程1226-=-x k 有相同的解，求k 的值
题型五：解方程的题中，方程含绝对值
方法：根据绝对值的代数意义：分情况讨论。 例14、62=+x x
题型六：方程中含绝对值，探讨方程解的个数
方法：根据绝对值的代数意义去绝对值，再根据一元一次方程的步骤解方程。 例15、求423=-+x x 的解的个数
【知识点六：实际应用与一元一次方程】 列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系； （2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，有时也可间接设未知数；
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程； （4）解方程
（5）检验，看方程的解是否符合题意； （6）作答。
题型一：和、差、倍、分问题
例15、小明暑期读了一本名著，这本名著一共有950页，已知他读了的是没读过的三倍，
问小明还有多少页书没读？
题型二：调配问题
例16、有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程队有28人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的2倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？
题型三：行程问题（四种）
1.相遇问题
路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间
快行距＋慢行距＝原距
例17、甲、乙两人从相距500米的A、B两地分别出发，4小时后两人相遇，已知甲的速度是乙的速度的两倍，求甲、乙两人的速度
2.追及问题
2.1行程中追及问题：快行距－慢行距＝原距
例18、甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，乙比甲先跑30分钟，问何时甲能追上乙？
2.2时钟追及问题：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60
个小格，每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度
时针速度：每分钟走
1
12
小格，每分钟走0.5度
例18、在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？
3.环形跑道
例19、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
4.航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
例20、一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离。
题型四：打折利润问题 利润=售价-成本 %100-%100?=?=
成本
成本
售价成本利润利润率 例21、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价
为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？
题型五：工程问题
工作总量＝工作效率×工作时间
=
工作总量工作效率工作时间 =
工作总量
工作时间工作效率
例22、一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下
的部分由乙单独做，还需要几天完成？
题型六：数字问题
例23、若一个两位数十位上数字与个位上数字之和为8，把这个两位数减去36后，得到的结果恰好是这个两个位数对调之后组成的数，求原来的两位数是多少？
题型七：年龄问题
例24、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的两倍，那么乙现在的年龄是多少岁？
本章总结：
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时钟问题的追及路程中的追及追及问题相遇问题行程问题一般调配按比分配调配问题和、差、倍、分问题程实际问题与一元一次方况有绝对值，讨论解的情方程中不含参数，但含，求参数已知两个方程有相同解已知解，求参数
的解判断某个数是否为方程方程的解有无数个解无解有唯一解讨论未知数的系数问题含有参数换元法化系数为移项、合并同类项去括号去分母基本法不含参数解方程分数的基本性质等式的基本性质等式的基本性质等式的基本性质一元一次方程，求参数方程中含参数，并且是程判断哪些是一元一次方定义一元一次方程.7.6.5.44.33.32.2.31.2.32.31.3.32.21.2.2.1.5.4.3.2.1.4.3.2.1-1.4.3.2.1.321.2.1
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