线性空间与线性变换内积空间

基(basis)：线性空间的极大无关组； 维数(dimension)：基中向量的个数； 常见线性空间的基与维数： Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n Rmn ，自然基{Eij}，dim Rmn =mn。 F[t]3 ，自然基{1，t，t2}，dimF[t]3 =3 C[a，b]， {1，x，x2，x3…x n-1 …}C[a,b]， dim C[a，b]= 约定： 本书主要研究有限维线性空间。
重要的子空间：生成子空间 设向量组｛1，2，· · · ， m｝V，由它们的一 切线性组合生成的子空间： Span{1，2，· · · ，m }=L(1，2，· · · ，m) = ｛k11+k22+· · · +kmm| ki} 生成子空间的重要的性质： 1）如果1，2，· · · ，m线性无关，则其为生成子空 间Span{1，2，· · · ，m }的一组基； 2）如果 1， 2， · · · ， r是向量组 1 ， 2， · · · ，m的 最大线性无关组，则 Span{1，2，· · · ，m } 1， 2 ， · · · ，r是Span{1，2，· · · ，m }的一 组基
五、坐标
坐标的来历：设{1，2，…， n } 是空间V的一 组基， V, 可以由基1，2，…， n唯一 线性表示 =x11+x22+…+xn n 则x1 ，x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。
要点： 坐标与基有关 坐标的表达形式
例1：求 下的坐标。
R22中向量
三、向量组的探讨（Review)
向量组的极大线性无关组： 1，2，…，s为向量组A的一个部分组 （精英组合） 满足 向量组1，2，…，s线性无关 （彼此工作不可替代） 任意A的向量可以由1，2，…，s线性表示 （公司的任何人的工作可由精英组合完成） 向量组的秩(rank)：最大无关组中向量的个数
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•Example： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
不是线性空间的集合
V={X=（x1，x2，1）T：xi R} 运算：向量加法和数乘向量 要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏 洞可以攻击。
*例3 设R22中向量组{Ai}
1 1 0 2 A1 A2 1 2 1 3 3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组. 3把其余的向量表示成极大线性无关组的 线性组合.
(12 ...n )Y
例 已知空间R中两组基（I）{Eij} （II）；{ 2 1 0 1 0 0 0 0 } 0 0 1 0 3 1 0 3 1. 求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。 2. 求向量 7 3 在基（II）的坐标Y。 1 2
第1章：线性空间与线性变换
内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法 特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间(Linear Spaces)
六、基变换和坐标变换
讨论：
不同的基之间的关系 同一个向量在不同基下坐标之间的关系
1 基变换公式 {1 , 2 ,..., n } 设空间中有两组基：{1 , 2 ,..., n }
过渡矩阵C的性质： C为可逆矩阵
则(1 , 2 ,..., n ) (1 , 2 ,..., n )Cnn
子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方 法
子空间和非子空间的例子： V={x=(x1，x2，0｝R 3， V={x=(x1，x2，1｝R 3，
矩阵AR m×n， •齐次线性方程组AX=0的解集合： S=｛X ： AX=0｝Rn， •非齐次线性方程的解集合： M=｛X ： AX=b｝Rn，
一. 集合与映射 1. 集合 集合：作为整体看的一堆东西. 集合的元素：组成集合的事物. 设S表示集合，a表示S的元素，记为a∈S 读为a属于S；用记号 aS 表示a 不属于S.
4
集合的表示：(1 ) 列举法
(2) 特征性质法 M a a具有的性质 例如 P ( x, y ) x 2 y 1 空集合：不包含任何元素的集合，记为
R 3={x=（x1，x2，x3）T：xi R} ={空间中所有向量}
定义向量的加法，数与向量的乘积。 运算封闭 八条运算律成立
线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） Definition:(线性空间或向量空间)
要点：
集合V 与数域F 向量的加法和数乘向量运算 （运算之后的结果跑不出去） 八条运算律 （能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）
线性空间的一般性的观点：
线性空间的简单性质（共性）： （1） V中的零元素是惟一的。 （2） V中任何元素的负元素是惟一的。 数0 （3）数零和零元素的性质： 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 （ 4） = （ 1）
向量0
三、向量组的探讨（Review)
向量的线性相关与线性无关：
子集合：设 S1与S2 表示两个集合，如果集合
都是集合 S 2 的元素，即由 aБайду номын сангаас S1 a S2 ， 那么就称 S1是S2 的子集合，记为
S1 S 2或S 2 S1
相等：即
5
S1 S2且S1 S2 S1 S2
集合的交： S1 S2 x x S1且x S2 集合的并： S1 S2 x x S1或x S2
I. 先修课程
《矩阵论》主要以大学《线性代数》为先修课 程，可以同济大学数学系编著的《线性代数》 教材书为参考书。 《矩阵论》还以大学《高等数学》为先修课程 ，可以同济大学数学系编著的《高等数学》教 材书为参考书。 本课程假定读者已经学习过上述两门大学课程 或已经掌握相关的知识。
II. 主要内容
课程主要包括以下六项内容： (1) 线性空间与线性变换； (2) 内积空间； (3) 矩阵的标准形； (4) 矩阵分解； (5) 范数理论及其应用； (6) 矩阵分析及其应用。
3 1 在基{E } ij 4 5
例2 设空间F[x]4的两组基为： {1，x，x2，x3}和 {1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3} 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标。
归纳： 有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和 一个实际的 R n 元素对应起来，从而将抽象具体化 进行研究。
四、线性空间的基和维数
抽象的线性空间的元素称之为向量(vector) 所有的线性空间中的向量的线性相关性定义 和Rn一样：
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
因此，要研究线性空间，只需要研究它的最 大线性无关组----即为基(basis)
四、线性空间的基和维数
向量可由1，2，…，s线性表示;（其工作可由多人 合力完成） 向量组1，2，…，s线性无关 任何一个向量不能由其余向量线性表示 要使k11+k22+…+kss =0, 只有系数都为0 向量组1，2，…，s线性相关 其中一个向量可以由其余向量线性表示 要使k11+k22+…+kss =0, 必须有非零系数
集合的和： S1 S2 x y x S1 , y S2
例如
1,2,3 2,3,4 1,2,3,4 1,2,3 2,3,4 3,4,5,6,7
2. 数域 数域：是一个含0和1,且对加，减，乘，除（0 不为除数）封闭的数集.
6
例如：有理数域Q，实数域R，复数域C.
2、子空间的“交空间”与“和空间”
讨论：设W 1 V，W2 V，且都是子空间，则 W1W2和W1W2是否仍然是子空间？ 1. （1） 交空间
交集： W1W2=｛ W1 而且 W 2｝Vn（F） W1W2是子空间，被称为“交空间”
（2）和空间
W1W2 W1＋W2 和的集合：W1＋W2=｛=X1＋X2X1W1，X2W2｝
8
乘法：设 , 依次是集合S到 S1 ， S1到S2 的
映射，乘积 定义如下
(a) ( (a)), a S
是S到 S 2 的一个映射.
注： ， ( ) ( ) （ 是 S 2到S3的
映射）
二、线性空间的概念 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） Example
例1.1.8 P8
n 线性空间V与F 的同构
坐标关系
V
Fn
V的基{1，2，。。。 n}
由此建立一个一一对应关系
V，X Fn， （）=X （1+2）=（1）+（2） （k）=k（）
在关系下，线性空间V和Fn同构。
同构的性质
定理1.3:V 中向量{1，2，…n}线性相关 它们的坐标{X1 , X2, … ,Xn}在Fn中线性 相关。 同构保持线性关系不变。 应用： 借助于空间Fn中已经有的结论和方法研 究一般线性空间的线性关系。
例如： 1 ( A) det A, A K nn 将方阵映射为数
2 (a ) aI , a K
将数映射为矩阵 3 ( f (t )) f ' (t ), f (t ) Pn 可看成变换。 其中 Pn是次数不超过 n的实系数多项式的集合.
相等：设 1与 2 都是集合S到 S ' 的映射，如 果对于 a S 都有1 (a) 2 (a) ，则称 1与 2 相等，记为 1 2 .
过 渡 矩 阵
C的第i列是 i 在基{i }下的坐标
2 坐标变换公式
已知 空间中两组基：
满足: (1 , 2 ,..., n ) (1 , 2 ,..., n )Cnn
: (1 2 ... n )X ; 讨论X和Y的关系
X=CY
{1 , 2 ,..., n } {1 , 2 ,..., n }
§1.2
子空间
概述：线性空间V中，向量集合V可以有集 合的运算和关系： Wi V， W1W2， W1W2， 问题： 这些关系或运算的结果是否仍然为 线性空间 ？
1、 子空间的概念
定义： 设非空集合WV，W ，如果W 中的元素关于V中的线性运算为线性空间， 则称W是V的子空间。 判别方法：Important Theorem W是子空间 W对V的线性运算封闭。
3. 映射
映射：设S 与S’ 是两个集合，一个法则（规则）
: S S ，它使S中的每个元素a 都有 S’中一
'
个确定的元素 a’ 与之对应，记为
(a) a 或 a a
称为集合S到 S’ 的映射，a’ 称为a 在映射
下的象，而a 称为 a’ 在映射σ下的一个原象.
7
变换：S到S自身的映射.
常见的线性空间
F=R或C
Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：x F} 运算：向量加法和数乘向量 Fmn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 Rmn ；Cmn 。 F[t]n ={f(x)=a0 + a1x+ a2x2+...+an-1xn-1 ：aiR} 运算：多项式的加法和数乘