随机过程作业题及参考答案第一章
第一章 随机过程基本概念
P39
1. 设随机过程()0cos X t X t ω=,t -∞<<+∞,其中0ω是正常数,而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解:
1 当0cos 0t ω=,02
t k π
ωπ=+
,即0112t k πω??=
+ ???
(k z ∈)时, ()0X t ≡,则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠,02
t k π
ωπ≠+
,即0112t k πω??
≠
+ ???
(k z ∈)时, ()~01X N ,,()0E X ∴=,()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????.
()[]()22
000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????
. ()()20~0cos X t N t ω∴,.
则()2202cos 02cos x t
f x t t
ωπω-
=
;.
2. 利用投掷一枚硬币的试验,定义随机过程为
()cos 2t X t t π?=??
,出现正面,出现反面
假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为
12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ??
???
;和()1F x ;,以及二维分布函数12112
F x x ?
? ??
?
,;,
。
12??
???X 0 1
k p
12 12
00
11101222
11
??????
??∴=≤=≤?? ? ????????≥??,;,,x F x P X x x x
()1X 1- 2
k p
1
2 12
()(){}0111112212
<-???
∴=≤=-≤?≥??,;,,x F x P X x x x
随机矢量()112????
? ?????
,X X 的可能取值为()01-,,()12,. 而()1101122????==-=??
?
????,P X X ,()11
11222
????===?? ?????,P X X . ()1212111122???
???∴=≤≤?? ? ???????
,;,,F x x P X x X x
12121212001
1
0110122112
<<-???=≤<≥-≥-≤?≥≥??,或,且或且,且x x x x x x x x
3. 设随机过程(){}
X t t -∞<<+∞,总共有三条样本曲线
()11X t ω=,,()2sin X t t ω=,,()3cos X t t ω=,
且()()()1231
3
P P P ωωω===。试求数学期望()EX t 和相关函数()12X R t t ,。
解:
()()1111
1sin cos 1sin cos 3333
EX t t t t t =?+?+?=++.
()()()1212X R t t E X t X t =????,
1212111
11sin sin cos cos 333t t t t =??+?+? ()12121
1sin sin cos cos 3t t t t =++ ()121
1cos 3
=+-????t t .
4. 设随机过程()Xt X t e -=,(0t >),其中X 是具有分布密度()f x 的随机变量。试求
()X t 的一维分布密度。
解:
()X t 的一维分布函数为:
()(){}{}{}1ln ln -??
=≤=≤=-≤=≥-????
;Xt F x t P X t x P e x P Xt x P X x t
111ln 1ln ????
=-<-=--?? ?????
P X x F x t t .
X 具有分布密度()f x ,
()∴X t 的一维分布密度为:
()()11111ln ln ??????
'==--??-=-?? ? ? ???
??????
;;f x t F x t f x f x t x
t tx t . P40
5. 在题4中,假定随机变量X 具有在区间()0T ,中的均匀分布。试求随机过程的数学期
望()EX t 和自相关函数()12X R t t ,。
解:由题意得,随机变量X 的密度函数为
()1
00X x T
f x T
?<=???,,其它
由定义,
()()0
00111
T
T Xt tx
tx tx T
EX t E e e dx e d tx e T Tt Tt
----??==?=--=-???
?
()()1111Tt Tt e e Tt Tt
--=-
-=-. (0t >) ()()()()1212
1212X t t Xt Xt X R t t E X t X t E e e E e -+--????==?=????????
, ()
()()()1212120
012111T
T x t t x t t e
dx e d x t t T T t t T -+-+=?=-?-+???
?+?? ()
()
()()12120
12121
11x t t T t t T e e T t t T t t -+-+??=-
=-
-?
?++
()()121211T t t e T t t -+??=
-?
?+.
9. 给定随机过程(){}
X t t -∞<<+∞,。对于任意一个数x ,定义另一个随机过程
()()()10X t x Y t X t x
≤??=?>??,,
试证:()Y t 的数学期望和相关函数分别为随机过程()X t 的一维分布和二维分布函数(两个自变量都取x )。
证明:设()1f x t ,和()21212f x x t t ,;,分别为()X t 的一维和二维概率函数,则
()()()()()()111x
Y m t E Y t y t f x t dx f x t dx F x t +∞
-∞
-∞
====?????
?
,,,.
()()()()1212122121212Y R t t E Y t Y t y y f x x t t dx dx +∞
+∞
-∞
-∞
==?????
?
,,;,
()()12
212121221212x x f x x t t dx dx F x x t t -∞-∞
==?
?
,;,,;,.
若考虑到对任意的t T ∈,()Y t 是离散型随机变量,则有
()()(){}(){}(){}()11100Y m t E Y t P Y t P Y t P X t x F x t ==?=+?==≤=????,. ()()()1212Y R t t E Y t Y t =????,
()(){}()(){}121211111010P Y t Y t P Y t Y t =??==+??==,, ()(){}()(){}121201010000P Y t Y t P Y t Y t +??==+??==,, ()(){}()112221212P X t x X t x F x x t t =≤≤=,,;,.
因此,()Y t 的数学期望和相关函数分别为随机过程()X t 的一维分布和二维分布函数。 P41
14. 设随机过程()X t X Yt =+,t -∞<<+∞,而随机矢量()X Y τ
,的协方差阵为
2122σγγσ??
??
??
,试求()X t 的协方差函数。 解:依定义,利用数学期望的性质可得
()12X C t t ,
()()()(){}
1122X Y X Y E X Yt m m t X Yt m m t =+-++-+???????? ()()()(){
}
1122X Y X Y E X m Yt m t X m Yt m t =-+--+-????????
()()()()2X X X Y E X m X m E X m t Y m =--+--???????? ()()()()112Y X Y Y E t Y m X m E t t Y m Y m +--+--????????
2112XX XY YX YY C t C t C t t C =+++
()22112122
t t t t σγσ=+++.
15. 设随机过程()2X t X Yt Zt =++,t -∞<<+∞,其中X ,Y ,Z 是相互独立的随机变量,各自的数学期望为零,方差为1。试求()X t 的协方差函数。 解:
()()()()(){}
121122X X X C t t E X t m t X t m t =--????????,
()()()(){}
2222
11112222X Y Z X Y Z E X Yt Zt m m t m t X Yt Zt m m t m t ????=++-++++-++????
……………………… ①
X ,Y ,Z 的数学期望均为0,即0X m =,0Y m =,0Z m =,将其代入①式,得:
()()()22
121122X C t t E X Yt Zt X Yt Zt ??=++++??,
()222222222221121211212E X XYt XZt XYt Y t t YZt t XZt YZt t Z t t =++++++++
()()()222222222121212121212E X XY t t XZ t t Y t t YZ t t t t Z t t ??=++++++++?? ………… ②
()()()22D X E X E X =-,
()()()222101E X D X E X ∴=+=+=.
同理,()
21E Y =,()
21E Z =.
X ,Y ,Z 相互独立,
()()()0E XY E X E Y ∴==.
同理,()0E XZ =,()0E YZ =. 将上述结果代入②式,得
()12X C t t ,
()()()()()()()()()222
222222121212121212E X t t E XY t t E XZ t t E Y t t t t E YZ t t E Z =++++++++
2212121t t t t =++.