平方根和立方根1知识讲解
初中数学知识归纳平方根与立方根的计算
初中数学知识归纳平方根与立方根的计算初中数学知识归纳：平方根与立方根的计算数学是一门抽象而又实用的学科，它贯穿我们的日常生活。
在初中阶段，我们学习了许多数学知识，其中包括平方根与立方根的计算。
本文将对平方根与立方根的概念、计算方法以及应用进行归纳与总结。
一、平方根的计算与应用平方根，顾名思义，即一个数的平方根是它的二次方的逆运算。
形式上，如果a^2=b，则a称为b的平方根，记作√b。
对于非负数b来说，它的平方根有两个相等的实数解，一个是正数，另一个是负数。
在进行平方根的计算时，可以采用以下方法：1.直接求解：对于较小的数，我们可以通过手算来计算其平方根。
例如，√16=4，√25=5。
2.公式法：对于一些较大的数，我们可以使用平方根的计算公式来求解。
对于任意非负数a，它的平方根可以通过√a=sqrt(a)计算得到。
在实际生活中，平方根广泛应用于各个领域，如物理、工程等。
例如，在物理学中，速度的大小可以通过平方根计算，加速度等物理量的计算也涉及到平方根。
此外，平方根还可以用于计算三角函数值以及解决几何问题等。
二、立方根的计算与应用立方根与平方根的计算类似，不同之处在于立方根指的是一个数的三次方的逆运算。
对于一个非负数b来说，它的立方根只有一个实数解。
在进行立方根的计算时，可以采用以下方法：1.直接求解：与平方根类似，对于较小的数可以通过手算来计算立方根。
例如，³√8=2，³√27=3。
2.公式法：对于一些较大的数，我们可以使用立方根的计算公式来求解。
对于任意非负数a，它的立方根可以通过³√a=cbrt(a)计算得到。
与平方根类似，立方根在实际生活中也有广泛的应用。
例如，立方根可以用于计算物体的体积以及计算电力工程中的电流等。
在数学中，立方根还与一些特殊数学问题相关，如立方魔方等。
三、平方根与立方根的特殊计算除了一般的平方根与立方根的计算外，我们还需要了解一些特殊情况下的计算方法。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结1. 平方根平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。
以√a表示a的平方根，其中a为非负实数。
1.1 平方根的概念对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则这个非负实数x被称为a的平方根。
平方根的记号为√a。
1.2 平方根的性质- 平方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 非负实数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数，但我们在常见的情况下只讨论正数平方根。
- 非负实数的平方根可以通过求解方程x^2 = a得到。
2. 立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。
以³√a表示a的立方根，其中a为实数。
2.1 立方根的概念对于实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，则这个实数x被称为a的立方根。
立方根的记号为³√a。
2.2 立方根的性质- 立方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 实数的立方根有两个复数解和一个实数解，其中实数解为正数立方根。
- 实数的立方根可以通过求解方程x^3 = a得到。
3. 计算平方根与立方根3.1 通过近似方法计算- 对于非完全平方数和非完全立方数，可以通过近似方法利用计算器或者数学软件计算得到一个接近真实值的结果。
3.2 通过公式计算- 对于完全平方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全平方数a，其平方根可以通过√a = a的1/2次方得到。
- 对于完全立方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全立方数a，其立方根可以通过³√a = a的1/3次方得到。
4. 应用场景平方根和立方根在日常生活和科学领域中有广泛的应用。
4.1 数学- 在代数中，求解方程的过程中常常需要计算平方根和立方根。
- 在概率统计中，方差和标准差的计算中，需要使用平方根。
- 在计算几何中，勾股定理的应用需要计算平方根。
4.2 自然科学- 物理学中，运动速度、加速度等的计算中，需要使用平方根。
讲解详细讲解平方根和立方根的概念运算规则和注意事项解答学生提出的疑问
讲解详细讲解平方根和立方根的概念运算规则和注意事项解答学生提出的疑问平方根和立方根是数学中重要的概念，它们在各个学科领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将详细讲解平方根和立方根的概念、运算规则以及需要注意的事项，以解答学生们提出的疑问。
一、平方根的概念和运算规则平方根是指一个数的平方等于该数的非负根。
即，对于任意非负数x和非负数a，若a的平方等于x，那么我们称a是x的平方根。
用符号表示，可以写作√x=a。
平方根的运算规则如下：1. 非负数的平方根是唯一的。
即，一个非负数x只有一个非负平方根。
2. 负数没有实数平方根。
平方根的定义要求平方根是非负的，因此负数没有实数平方根。
3. 平方根运算具有交换律和结合律。
即，对于任意非负数x和y，有√(x*y)=√x*√y和√(x/y)=√x/√y。
4. 平方根运算满足开方运算法则。
即，对于任意正数x和正整数n，平方根运算和幂运算可以互相转换，即√(x^n)=(√x)^n。
二、立方根的概念和运算规则立方根是指一个数的立方等于该数的非负根。
即，对于任意数值x 和非负数a，若a的立方等于x，那么我们称a是x的立方根。
用符号表示，可以写作³√x=a。
立方根的运算规则如下：1. 实数的立方根是唯一的。
即，一个实数x只有一个实立方根。
2. 负数的立方根是存在的。
与平方根不同，负数是存在实数立方根的，例如-8的立方根是-2，因为(-2)^3=-8。
3. 立方根运算具有交换律和结合律。
即，对于任意数值x和y，有³√(x*y)=³√x*³√y和³√(x/y)=³√x/³√y。
4. 立方根运算也满足开方运算法则。
即，对于任意正数x和正整数n，立方根运算和幂运算可以互相转换，即³√(x^n)=(³√x)^n。
三、注意事项在计算平方根和立方根时，需要注意以下几点：1. 平方根和立方根的符号。
平方根是指非负根，因此其结果为正数或零。
平方根和立方根知识点总结及练习
基础知识巩固一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根1平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a,那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根．2开平方的定义：求一个数的平方根的运算,叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义;3平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9,9的平方根是±3 4一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 5符号：正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根1算术平方根的定义： 一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2,那么这个正数x叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ,读作“根号a”,a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是,在等式a x =2 x≥0中,规定a x =;2a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时,a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数;3当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小;一般来说,被开放数扩大或缩小a 倍,算术平方根扩大或缩小a 倍,例如=5,=50;4夹值法及估计一个无理数的大小5a x =2x≥0 <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x 6正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零; a a ≥00≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a a <0 a ≥07平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数; 3、立方根1立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ,这个数叫做a 的立方根也叫做三次方根,即如果3x a =,那么x 叫做a 的立方根2一个数a 的立方根,记作3a ,读作：“三次根号a ”,其中a 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方; 3 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根,是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根;4利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即()330a a a -=->;5a x =3 <—> 3a x =a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x633a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面;典型例题分析知识点一：有关概念的识别 1、下列说法中正确的是 A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数2、下列语句中,正确的是A ．一个实数的平方根有两个,它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．一个实数的立方根不是正数就是负数D ．立方根是这个数本身的数共有三个3、下列说法中：①3±都是27的立方根,②y y =33,③64的立方根是2,④()4832±=±;其中正确的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 4、()20.7-的平方根是A ．0.7-B ．0.7±C ．0.7D ．0.49 5、下列各组数中,互为相反数的组是A 、－2与2)2(- B 、－2和38- C 、－21与2 D 、︱－2︱和2知识点二：计算类题型1、25的算术平方根是_______；平方根是_____. -27立方根是_______.___________, ___________,___________.2、=-2)4( ； =-33)6( ； 2)196(= . 38-= .3、① 2+32—52 ② 771-7③ |23- | + |23-|- |12- | ④ 41)2(823--+4、1327-＋2)3(-－31- 233364631125.041027-++---3知识点三：利用平方根和立方根解方程1、12x-12-169=0； 212142=x 3125)2(3=+x知识点四：关于有意义的题a ,有非负性,a 0a a ≥0;要使1a有意义,必须满足a ≠0. 1、若a 的算术平方根有意义,则a 的取值范围是 A 、一切数 B 、正数 C 、非负数 D 、非零数 2、要使62-x 有意义,x 应满足的条件是3、当________x 时,式子21--x x 有意义;知识点五：有关平方根的解答题1、一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x,则a 是多少2、若5a ＋1和a －19是数m 的平方根,求m 的值;3、已知x 、y 都是实数,且334y x x =--,求x y 的平方根;知识点六：非负性的应用1、已知实数x,y 满足 2x -+y+12=0,则x-y 等于解答：根据题意得,x-2=0,y+1=0,解得x=2,y=-1, 所以,x-y=2--1=2+1=3．2、已知a 、b 满足0382=-++b a ,解关于x 的方程()122-=++a b x a ;3、若0)13(12=-++-y x x ,求25y x +的值;4、若a 、b 、c 满足01)5(32=-+++-c b a ,求代数式acb -的值;5、已知a 31-和︱8b －3︱互为相反数,求ab －2－27 的值;重点知识巩固考点、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义1如果一个正数x 的平方等于a,即,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根;2如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a 的平方根或二次方跟;如果,那么x 叫做a 的平方根;3如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根或a 的三次方根;如果,那么x叫做a的立方根;2、运算名称1求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方;平方与开平方互为逆运算;2求一个数的立方根的运算,叫做开立方;开立方和立方互为逆运算;3、运算符号1正数a的算术平方根,记作“a”;2aa≥0的平方根的符号表达为;3一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数;4、运算公式4、开方规律小结,a的算术平方根a；正数的平方根有两个,它们互为相反1若a≥0,则a的平方根是a数,其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根;实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同;正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0;2若a<0,则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数,则a的立方根是;3正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数;。
中考数学关键知识点总结平方根与立方根的计算与性质
中考数学关键知识点总结平方根与立方根的计算与性质在中考数学中，平方根和立方根是一些重要的数学概念和知识点。
本文将对平方根和立方根的计算方法和性质进行总结和归纳。
一、平方根的计算与性质1. 平方根的定义：对于非负实数a，若存在一个非负实数b，使得b的平方等于a，则称b为a的平方根，记作√a，其中，√为平方根的符号。
2. 平方根的计算方法：a) 直接求解法：对于一个非负实数a，如果a是一个完全平方数，那么它的平方根可以直接求解；b) 定位求解法：对于一个非负实数a，可以通过定位在两个连续完全平方数之间，然后利用线性插值进行求解。
3. 平方根的性质：a) 非负实数的平方根是唯一确定的，即每一个非负实数都有一个唯一的非负平方根；b) 平方根的运算性质：若a和b均为非负实数，则有以下性质成立：- √(a*b) = √a * √b- √(a/b) = √a / √b- √(a^2) = |a|其中，^表示幂运算，|a|表示a的绝对值。
二、立方根的计算与性质1. 立方根的定义：对于任意实数a，若存在一个实数b，使得b的立方等于a，则称b为a的立方根，记作³√a，其中，³√为立方根的符号。
2. 立方根的计算方法：a) 直接求解法：对于一个实数a，可以通过直接求解或利用计算器进行计算；b) 近似求解法：对于一个实数a，如果无法通过直接求解法得到精确值，可以利用近似方法进行求解。
3. 立方根的性质：a) 任意实数都有一个唯一的立方根；b) 立方根的运算性质：若a和b为任意实数，则有以下性质成立：- ³√(a*b) =³√a * ³√b- ³√(a/b) = ³√a / ³√b- ³√(a^3) = a三、平方根和立方根的应用1. 平方根的应用：a) 平方根可以用于计算图形的边长、面积和体积等问题；b) 平方根可以用于解决一些实际生活中的计算问题，如距离、速度、时间等。
小学数学知识归纳认识简单的平方根和立方根的计算
小学数学知识归纳认识简单的平方根和立方根的计算数学是我们每个人在小学阶段必修的一门科目，而数学中的知识点也是我们建立数学思维和逻辑推理能力的基础。
其中，平方根和立方根是数学中的两个重要的概念，通过对它们的认识和计算，我们可以更好地理解它们的意义和运用。
本文将对小学阶段简单的平方根和立方根的计算进行归纳和介绍。
一、平方根的概念和计算1. 平方根的概念平方根指的是一个数的平方等于另一个给定的数，即对于一个数a，若 a² = b，那么 a 就是 b 的平方根。
2. 平方根的计算方法在小学阶段，我们一般采用开平方的方式来计算一个数的平方根。
具体的计算步骤如下：（1）将被开方的数写成因数相同的乘积形式；（2）将相同的因数分成一对，其中一个因数写在开方号外面；（3）相同的因数开平方写在开方号内；（4）将开方结果乘积起来，即得到最终的平方根。
例如，计算 16 的平方根：（1）16 = 2 × 2 × 2 × 2；（2）因数分成一对为（2 × 2） ×（2 × 2）；（3）开方结果为 2；（4）最终结果为 2 × 2 = 4。
二、立方根的概念和计算1. 立方根的概念立方根指的是一个数的三次方等于另一个给定的数，即对于一个数a，若 a³ = b，那么 a 就是 b 的立方根。
2. 立方根的计算方法与平方根不同，立方根的计算需要通过试探或使用近似方法来计算。
在小学阶段，我们一般使用试探法来计算一个数的立方根。
具体的计算步骤如下：（1）用一个近似的数代替要计算的数；（2）判断这个近似的数是否接近期望的值；（3）若不接近，可以通过增大或减小这个近似的数来逐步迭代，直至接近期望的值。
例如，计算 27 的立方根：（1）假设立方根为 3；（2）3³ = 27，与期望值相等，所以 3 就是 27 的立方根。
三、平方根和立方根的运用平方根和立方根在日常生活以及实际问题中都有广泛的应用。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题以及实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，咱们就详细地聊聊这两个重要的知识点。
一、平方根（一）定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根。
也就是说，若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根。
（二）表示方法一个正数 a 的正的平方根记作“√a”，读作“根号a”；a 的负的平方根记作“ √a ”，读作“负根号a”。
（三）性质1、正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 9 的平方根是 ±3，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9 。
2、 0 的平方根是 0 。
这是个比较特殊的情况，要牢记。
3、负数没有平方根。
（四）开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
（五）算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。
0 的算术平方根是 0 。
例如，√4 ＝ 2 ，这里的 2 就是 4 的算术平方根。
（六）平方根的应用在实际生活中，平方根常用于计算直角三角形的边长、求解一些几何图形的面积和体积等问题。
比如，已知一个正方形的面积是 25 平方厘米，那么它的边长就是√25 ＝ 5 厘米。
二、立方根（一）定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根。
（二）表示方法数 a 的立方根记作“³√a”，读作“三次根号a”。
（三）性质1、正数的立方根是正数。
比如 8 的立方根是³√8 ＝ 2 。
2、负数的立方根是负数。
例如，－8 的立方根是³√ 8 ＝ 2 。
3、 0 的立方根是 0 。
（四）开立方求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
（五）立方根的应用在物理学、工程学等领域，立方根常用于计算物体的体积、密度等问题。
比如，已知一个正方体的体积是 27 立方米，那么它的棱长就是³√27 ＝ 3 米。
初中数学知识归纳平方根和立方根的计算
初中数学知识归纳平方根和立方根的计算初中数学知识归纳：平方根和立方根的计算在初中数学中，平方根和立方根是重要的概念。
它们的计算方法在解决数学问题和实际应用中都发挥着重要作用。
本文将介绍平方根和立方根的定义、计算方法以及相关的性质。
一、平方根的计算平方根是一个数的平方的逆运算。
给定一个非负实数a，若存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则x称为a的平方根，记为√a。
计算平方根有多种方法，其中常用的有因数分解法和倒数开方法。
1.1 因数分解法对于一个非负整数a，可以将它分解为两个因数的乘积，其中两个因数相同，即a = b * b。
那么b就是a的平方根。
例如，对于16，可以将其分解为4 * 4，因此√16=4。
这种方法适用于分解出的因数较小且易于计算的情况。
1.2 倒数开方法倒数开方法是一种近似计算方法，可以使用平方根表格或计算器进行操作。
对于一个非负实数a，首先将其化简为正的科学计数法形式，得到a = m * 10^n，其中1≤ m < 10。
然后，根据表格或计算器的指令查找m的平方根，记为b。
最后，将得到的b乘以10的n/2次方，即可得到a的近似平方根。
例如，对于225，化简为2.25 * 10^2，查表或计算器得到2的平方根为1.414，再乘以10^(2/2)=10，得到近似平方根为14.14。
这种方法适合于找到精确的平方根有困难的情况。
二、立方根的计算立方根是一个数的立方的逆运算。
给定一个实数a，若存在一个实数x，使得x的立方等于a，则x称为a的立方根，记为³√a。
计算立方根的方法与计算平方根的方法类似，可以应用因数分解法或倒数开方法。
2.1 因数分解法对于一个实数a，可以将其分解为两个因数的乘积，其中两个因数相同，即a = b * b * b。
那么b就是a的立方根。
例如，对于8，可以将其分解为2 * 2 * 2，因此³√8=2。
这种方法适用于分解出的因数较小且易于计算的情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因此1.69的平方根为±1.3。
• 快速检测：
(1) 的1 平方根是1; (2)1的平方根是1; (3)2的5 平方根是 ; 5 (4) 324;18
(5)9是 9的2 算术平方根;
(6)是5 25的平方根.
小结： 本结课你有什么收获？谈谈你的看法.
(1)平方根:如果一个数的平方等于a,则这个数叫做a 的平方根.
试一试
（1）144的平方根是多少？ （2）0的平方根是多少？
（3） 2 4 5 的平方根是多少？
（4）- 4 有没有平方根？为什么？ Nhomakorabea概括
（1）一个正数有两个平方根,且互为相反数; （2）零只有一个平方根; （3）负数没有平方根.
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方 根，记作 a ，读作“根号a”；
（2）开平方
求一个非负数的平方根的运算，叫做 开平方．
将一个正数开平方，关键是找出它 的一个算术平方根．
例2：将下列各数开平方： （1）49； （2）1.69 （3）35
解（1） 因为72＝49，所以 4 9 ＝7， 因此49的平方根为±７。
解（2） 因为1.32＝1.69， 所以 1 .6 9 ＝1.3，
(2)什么样的数有平方根?
一个正数有两个平方根,且互为相反数; 零只有一个平方根; 负数没有平方根.
(3)开平方：求一个非负数的平方根的运算,叫做开 平方.
课堂练习： 1、课本P4练习3 2、新课程学习辅导：P1
作业布置：
1、熟记1---20的平方。 2、课本P7习题12.1：1
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
平方根和立方根1
（1）平方根
1 如果一个数的平方等于a，则这个 数叫做a的平方根。
因为52＝25，所以5是25的一个平方根 . 因为（-5）2＝25，所以-5也是25的一个 平方根 .
例1 求100的平方根．
解 因为102＝100， （－１０）2＝１００， 所以100的平方根是10和－１０， 也可以说，100的平方根是±１０．