方差和标准差 教学设计(一)
方差和标准差教学设计（一）
教学设计思想
本节内容一共需要二个课时来学习，第一课时通过观察与思考使学生直观感受甲、乙两人的射击平均成绩不分高低，但射击成绩波动大小不同，从而引出方差和标准差的概念。
在教师引导下学生探究出如何刻画每个数据与平均数的偏差，如何表示所有数据的总偏差。
第二课时提供了三个实际情景，通过对问题的分析和探究，使学生进一步理解方差的意义。
教学目标
知识与技能
说出刻画数据离散程度的三个量——极差、方差、标准差——的概念，能借助计算器求出相应方差和标准差。
能在具体情境中用方差、标准差刻画一组数据的波动大小，并能解决相应的实际问题。
过程与方法
经历数据的收集与整理的过程，根据公式求一组数据的方差和标准差。
情感、态度、价值观
体会方差、标准差是反映一组数据波动大小的量，在数据的整理与计算的过程中养成耐心、细致、认真的习惯，学会把知识应用于生活。
教学重难点
重点：计算一组数据的方差概念的理解。
难点：对方差的意义理解不透，有些问题弄不清该用方差衡量，还是该用平均数衡量。
解决办法：通过学习明白对于一组数据来说，我们要衡量这组数据的集中趋势，可以通过平均数、众数和中位数这三个统计量来分析。
如果要衡量这组数据中的离散趋势，也就要研究它的波动情况，就需要利用方差或标准差这两个统计量来衡量。
教学方法
合作探究，小组讨论
教学用具
多媒体
课时安排
2课时
教学过程设计
第一课时
我们常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平”。
但在评价选手的射击水平、机器加工零件的精度、手表的日走时误差时，只用平均数是不够的，有时还需要用一个新的数来
刻画一组数据的波动情况。
（一）观察与思考
甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛，每人各射10发子弹，成绩如下表：射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲的成绩/环 4 8 6 10 5 7 7 6 10 7
乙的成绩/环 5 7 6 8 7 8 6 7 9 7
将数据用散点图表示，如图26—3。
1.观察图形，从图中能估计甲和乙射击成绩的平均水平吗?
2.哪组数据围绕其平均值的波动较大?波动大小反映了什么?
3.谁的射击成绩比较稳定？
注：观察两名业余射击选手比赛的成绩的散点图，直观感受两人成绩水平的高低及稳定性
1.大约都是7环左右。
2.甲选手的波动较大。
波动大意味着成绩不稳定。
3.从图上观察，乙选手的成绩波动较小，比甲选手的成绩更稳定。
要比较甲和乙的射击水平，自然想到比较其射击成绩的平均数或中位数，但是，甲和乙射击成绩的平均数和中位数都是7(环)。
两人相比，乙的成绩大多集中在7环附近，而甲的成绩相对于平均数的波动较大。
如果一组数据与其平均数的偏差(偏离平均数的大小)较小，我们就说这组数据比较稳定。
事实上，我们在研究问题时，仅考虑数据的“平均水平”是不够的，还需要关注数据的离散程度，即它们与平均数的偏差大小。
设x是n个数据x1，…，x n的平均数，各个数据与平均数之差的平方的平均数，叫做这
n 个数据的方差(variance)，用“s 2
”表示。
即
222212n 1
s [(x x)(x x)...(x x)]n
=-+-++-
称方差的算术平方根
s =
为这组数据的标准差(standard deviation)。
方差和标准差都是刻画数据离散程度的统计量。
对平均数相等的两组数据，一般方差较小的这组数据相对于平均数的离散程度较小。
注：这里应强调，比较两组数据的波动大小时，以两组数据的平均数相等或比较接近为前提。
例如，甲和乙射击成绩的平均数都是7，方差分别为
2222222
1s [4757267377872107] 3.410
=
-+-+-+-+-+-=甲（）（）（）（）（）（） 2222221s [5726747728797]1.210
=
-+-+-+-+-=乙（）（）（）（）（） 由于22
s s <乙甲，说明乙的射击成绩比甲稳定。
一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。
极差也是刻画数据离散程度的一个统计量。
如：
甲射击成绩的极差为10－4＝6(环)。
乙射击成绩的极差为9－5＝4(环)。
极差反映数据的波动范围，它只用到数据的两个极端值，没有利用数据的全部信息。
因此，在数学上常用方差刻画数据的离散程度。
（二）例题
例 在某场女排比赛的一个时段里，甲、乙两队场上各自6名球员的身高分别如下；(单位，cm)
甲队：166 178 181 175 186 182 乙队：175 176 172 183 185 177
用计算器计算此时每队场上6名球员身高的平均数和方差，并说明这一时段里哪个队场上球员的身高更整齐些。
解：(1)进入统计状态，选择一元统计。
(2)输入球员的身高数据。
注：输人数据的方式与计算平均数时输入数据的方式相同。
(3)显示结果。
按STATVAR 键后屏幕显示n x Sx x δ。
n 表示数据的个数，x 表示平均数，x δ表示标准差，利用→或←选择x δ，再按键2x ENTER ，屏幕自动显示方差的值。
计算结果见下表：(方差精确到0.01)
这一时段里，两队场上球员平均身高相同，但22
s s >乙甲，所以乙队场上球员的身高比较
整齐。
（三）练 习
两个小组各5名同学目测同一本画册的宽度，目测误差的数据如下：(单位：cm) 第一组：－2 －1 0 1 2 第二组：－3 －2 0 2 3
(1)从直观上看，哪组同学目测得较准确?
(2)分别计算两组数据的极差和方差，进行比较，验证第(1)题的结论。
答案
(1)第一组同学目测较准确。
(2)两组数据的极差分别是4cm 和6cm ，方差分别为22
12s 2,s 5.2
== 第一组的极差和方差都较小。
（四）小结
引导学生总结本节的主要知识点。
（五）板书设计
练习 第二课时
张老师乘公交车上班，从家到学校有A ，B 两条路线可选择。
他做了一番实验。
第一周，星期一、星期三、星期五选A 路线，星期二、星期四选B 路线，每天两趟；第二周交换。
记录所用时间如下表： 实验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A 路线所花时间/min 31 51 36 36 58 43 42 32 52 39
B 路线所花时间/min 46 50 41 43 47 48 49 48 43 45
（一）一起探究
根据两条路线所花时间绘制的折线统计图如图26—4所示。
1.观察图26—4，请说明选择哪条路线乘车平均用时较少，选择哪条路线乘车用时的波动较大。
2.用计算器分别计算选择A ，B 两条路线乘车所用时间的平均数和方差。
3.如果上班路上的可用时间只有40min ，乘车应选择哪条路线?
4.如果路上可用时间为50min ，乘车应选择哪条路线? 注：这是一个非常现实的问题，综合性较强。
1.从图26—4看出，选择A 路线平均用时较少，且所用时间的波动性也大。
2.22
A A
B B x 42(min),s 74,x 46(min),s 7.8====
3.应选择A 路线。
4.应选择B 路线。
经计算和分析得到：选择路线A 乘车平均用时较少，但数据的离散程度大，有三次用时超过50min ，说明时常有堵车现象发生；选择路线B 乘车平均用时较多，但用时比较稳定，
可能路线B较长，但很少有堵车现象。
（二）做一做
画一个长和宽分别为3cm和2cm的长方形，用最小刻度为1mm的直尺测量长方形对角线的长度。
6名同学一组，将测得的数据填入下表。
A B C D E F
测量人编
号
测量结果
/cm
(1)计算6个数据的平均数和方差。
(2)计算对角线的实际长度(精确到0.1)。
(3)用测量数据的平均数作为实际长度的近似值，记录估计的误差。
(4)和其他小组比较你们估计的误差及测量数据的一致性。
注：设置该问题的目的，是让学生再次经历数据的收集和处理的过程，进一步体会方差的大小在实际问题中的意义。
(1)略。
≈
(2)13 3.6
-的值。
(3)计算x3.6
(4)应交流讨论估计误差和测量结果，体会误差越小，测得数据越接近实际长度，且方差也应越小。
（三）练习
测试甲、乙两种品牌的手表各100只，表示日走时误差数据的统计图如图26—5所示。
（1）甲、乙两种手表平均日走时误差分别是多少？
（2）甲、乙两种手表日走时误差的极差、方差分别是多少？
（3）如何评价这两种手表的质量？
（4）在价格、性能相同的条件下，你愿意购买哪种手表？
答案
（1）两种手表的平均误差都是0。
（2）两种手表的日走时误差的极差分别是4和6，方差分别是1.04和1.62。
（3）甲种手表质量好些
（4）购买甲种手表。
（四）小结
引导学生总结本节的主要知识点。
（五）板书设计。
方差和标准差.3方差和标准差
3.3方差和标准差教学设计一、教学目标1、了解方差，标准差公式的产生过程2、熟练掌握方差和标准差的计算方法及其运用。
3、能通过实例学会用样本方差分析总体方差二、教学重点方差、标准差的概念、计算及其运用三、教学难点方差概念的理解和应用四、教材分析《方差与标准差》这节课是选自浙教版八年级上第三章第三节，是在学生学会用平均数，中位数，众数来表示数据集中程度的统计量后的另一种反映数据离散程度的统计量。
是对数据进行分析的另一重要指标。
这节课是七年纪上册“数据与图表”内容的延续，在数据与图表中是着重用图表的形式来反映数据的特征和变化。
而本章则是用统计量来反映数据的特征和变化。
学好本节课，不仅为进一步学好数据分析打好基础，而且在日常生活和实际生产中有着广泛的应用。
计算方差、标准差时，首先要求平均数，因此，求方差、标准差也是求平均数的练习和巩固的过程。
但平均数与方差的最本质的区别是：平均数是反映一组数据的集中程度的统计量而方差是反映一组数据的离散程度的统计量。
五、学情分析根据我自己对所带两个班级学生的了解，他们在分析，推导能力上不是特别强，所以本节的内容我准备按课本的要求来，不做较大的改变，不要求学生解决复杂或生僻的问题。
对于八年级的学生要根据实际选择统计量，并通过数据分析作出判断或预测。
不仅需要学生有教高的综合分析能力，而且要有较丰富的生活实践经验，对于这个年龄段的学生来说，是比较薄弱的。
因此，我在教学中会把握好教学要求，给学生留有充分的时间思考和小组讨论，用集体的智慧来解决难题。
在这堂新课中，我放较大的比重在公式的产生上，既公式的推导过程。
因为中考不允许学生使用计算器，所以在数据的选择上要便于计算，不允许学生使用计算器。
六、教学过程 （一）情景引入 学生观看射击比赛视频提问：一年一度的比赛又要开始了，所有的学员都这么优秀选谁？ 设计意图：1、通过视频吸引学生的注意力，让学生的注意力集中到课堂上 2、每个学员都很优秀有自己的特点，所以我们要有一个合理的选拔 标准，从而引出了本堂课的学习内容 （二）合作学习甲、乙两人的测试成绩统计如下:（1）分别算出甲、乙两人的平均成绩. （2）根据这两人的成绩，再画出折线统计图.（3）现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜?为什么?提问：1、哪组数据围绕其平均数波动较大，波动大反映了什么？ 2、谁射击成绩比较稳定？设计意图：1、1,2两个小题学生根据自己现有的知识能够解决，通过给出两个 问题，引导学生仔细观察折线图，因为折线图能够直观反应两人成24 68 成绩（环）10 0 1 2 3 4 5绩水平的高低以及稳定性。
北师大版数学八年级上册《方差与标准差》教学设计1
北师大版数学八年级上册《方差与标准差》教学设计1一. 教材分析《方差与标准差》是北师大版数学八年级上册的一章内容。
本章主要介绍了方差和标准差的概念、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
通过本章的学习，学生能够理解方差和标准差的含义，掌握它们的计算方法，并能够运用方差和标准差来描述数据的波动情况。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经学习了数据的收集、整理和描述的基本方法，包括平均数、中位数、众数等。
学生对于数据的波动情况有一定的了解，但是可能对于方差和标准差的概念以及计算方法还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际问题来理解方差和标准差的概念，并通过练习来掌握它们的计算方法。
三. 教学目标1.理解方差和标准差的概念，掌握它们的计算方法。
2.能够运用方差和标准差来描述数据的波动情况。
3.培养学生的数据分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.方差和标准差的概念的理解。
2.方差和标准差的计算方法的掌握。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过实际问题来引导学生学习方差和标准差的概念和计算方法。
2.使用多媒体教学辅助工具，如PPT等，来进行教学演示和讲解。
3.通过课堂练习和课后作业，巩固学生对方差和标准差的理解和计算方法的掌握。
六. 教学准备1.PPT教学演示文稿。
2.实际问题案例和练习题。
3.黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题来导入本节课的内容。
例如，给出一个班级学生的身高数据，让学生观察数据的波动情况。
引导学生思考如何描述这种波动情况，从而引入方差和标准差的概念。
2.呈现（15分钟）通过PPT演示文稿，介绍方差和标准差的概念、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
讲解方差的定义和计算公式，以及标准差的定义和计算公式。
通过示例来演示如何计算一组数据的方差和标准差。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，每组选择一组数据，计算其方差和标准差。
教师巡回指导，解答学生的问题。
《标准差与方差》数学教案设计
《标准差与方差》数学教案设计一、教学目标1.理解方差的定义和性质，掌握方差的意义和应用。
2.学会计算数据的方差和标准差。
3.培养学生运用统计方法解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1.重点：方差和标准差的定义及计算方法。
2.难点：方差的意义和在实际问题中的应用。
三、教学准备1.教学课件或黑板。
2.数据表格、计算器等教学工具。
四、教学过程一、导入新课（1）引导学生回顾平均数的定义和计算方法。
（2）提出问题：平均数能否完全反映一组数据的特征？为什么？（3）引导学生思考，为引入方差和标准差的概念做铺垫。
二、新课讲解1.讲解方差的定义和性质（1）通过实际例子，让学生感受数据波动的大小。
（2）引导学生理解方差是衡量数据波动程度的统计量。
（3）讲解方差的计算公式和性质。
2.讲解标准差的定义和性质（1）介绍标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。
（2）讲解标准差的计算公式和性质。
3.讲解方差和标准差的意义（1）通过实际例子，让学生感受方差和标准差在数据分析中的作用。
（2）引导学生理解方差和标准差在描述数据分布特征方面的重要性。
三、案例分析1.分析案例一：某班学生的数学成绩（1）给出学绩的数据表格。
（2）引导学生计算平均数、方差和标准差。
（3）让学生讨论：哪个统计量更能反映这组数据的特征？2.分析案例二：某地区气温变化（1）给出某地区气温变化的数据表格。
（2）引导学生计算平均数、方差和标准差。
（3）让学生讨论：如何利用方差和标准差分析气温变化的规律？四、巩固练习1.学生独立完成课后练习题。
2.教师对学生的答案进行点评和讲解。
五、课堂小结2.强调方差和标准差在数据分析中的应用。
六、作业布置1.学生完成课后作业。
2.教师批改作业，了解学生的学习情况。
七、教学反思1.本节课教学效果如何？哪些地方需要改进？2.学生对方差和标准差的理解是否到位？如何提高学生的理解能力？3.在今后的教学中，如何更好地运用案例教学，提高学生的学习兴趣和积极性？八、教学延伸1.引导学生了解其他统计量（如偏度、峰度等）的定义和作用。
高一数学教案方差5篇
高一数学教案方差5篇平方差公式是特别情势的多项式与多项式相乘的一种简便运算，它在代数运算和恒等变形中有广泛地运用.今天作者在这里整理了一些高一数学教案方差5篇最新，我们一起来看看吧!高一数学教案方差1数学教案-方差第一课时素养教育目标(一)知识教学点使学生了解方差、标准差的意义，会运算一组数据的方差与标准差.(二)能力训练点1.培养学生的运算能力.2.培养学生视察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力.(三)德育渗透点1.培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.2.渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点.(四)美育渗透点通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反应在图像上的形象美，激发学生对美好事物的寻求，岣哐STRONG 数学美的鉴赏力.重点·难点·疑点及解决办法1.教学重点：方差概念.2.教学难点：方差概念.3.教学疑点：学生不易知道为何要用方差去描写一组数据的波动大小，为何不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢?为何对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢?对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚.4.解决办法：教师要讲清方差，标准差的意义，即它们都是用来描写一组数据波动情形的特点数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情形.教学步骤(一)明确目标前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描写一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本(或一组数据)和整体的另一类特点数——方差、标准差及其运算.这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲授.(二)整体感知对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特点数，就是方差和标准差.(三)教学进程1.请同学们看下面的问题：(用幻灯出示)两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果以下(单位：毫米)机床甲4039.840.140.239.94040.239.840.2机床乙404039.94039.940.24040.14039.9上面表中的数据如图所示教师引导学生视察表格中的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢?对于这个问题，学生会立刻想到运算它们的平均数.教师可把学生分成两级分别运算这两组数据的平均数.(请两名同学到黑板运算)运算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米.这时教师引导学生摸索，这能说明两个机床做的一样好吗?不能!我们再视察上图(给学生充分的时间视察，找出左右两图的区分)从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多;机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的邻近.这说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好.教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小).通过引例的学习，使学生知道为何要研究数据波动的大小，为提出方差概念做好了准2.方差概念教师讲授，为了描写一组数据的波动大小，可以采取不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采取的是下面的做法：设在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，那么我们用它们的平均数，即用③来衡量这组数据的`波动大小，并把它叫做这组数据的方差.一组数据方差越大，说明这组数据波动越大.教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生知道和掌控.在学生知道方差概念时，可能会提出疑问：为何要这样定义方差?(教师说明，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了避免正偏差与负偏差的相互抵消)为何对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方?(教师说明，这主要是由于在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，方差更强些)为何要除以数据个数n?(是为了排除数据个数的影响).在学生知道了方差概念之后，再回到了引例中，通过运算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好.教师范解从知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.这样做使学生深入体会到数学来源于实践，又反过来作用实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的爱好，而且培养了学生运用数学的意识.3.例1 (用幻灯出示)已知两组数据：甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1分别运算这两组数据的方差.让学生自己动手运算，求平均数时激发学生用简化公式运算，找一位好学生到黑板运算.解：根据公式②(取 )，有从知道，乙组数据比甲组数据波动大.4.标准差概念在有些情形下，需要用到方差的算术平方根④并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.教师引导学生分析方差与标准差的区分与联系：运算标准差要比运算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便.课堂练习教材P165中(1)、(2)(四)总结、扩大知识小结：通过这节课的学习，使我们知道了对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小;而描写一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差和标准差.方差与标准差这两个概念既有联系又有区分.方法小结：求一组数据方差的方法;先求平均数，再利用③求方差，求一组数据标准差的方法：先求这组数据的方差，然后再求方差的算术平方根.布置作业教材P173中1，2(1)(2)板书设计高一数学教案方差2一、教学目的1.使学生了解方差、标准差的意义，会运算一组数据的方差与标准差.2.使学生了解样本方差、样本标准差、整体方差的意义.二、教学重点、难点重点：方差、标准差、样本方差、样本标准差、整体方差的意义.难点：样本方差、样本标准差的运算.三、教学进程复习提问运算一组数据的平均数有哪些方法?引入新课在很多实际问题中，只知道一组数据的平均数是不够的，还需要知道这组数据的波动大小.如何了解数据的波动大小?这正是我们要解决的问题.新课引例两台机床同时生产直径是40毫米的零件.为了检验产品质量，从产品中抽出10件进行测量，结果以下(单位：毫米)：表中数据表成以下情势：可在此处让学生用公式②分别运算这两组数据的平均数(还可提问学生a取什么值最好，这样学生能在教师的启示下得到a=40最合适).当学生算出以下平均数：让学生摸索，两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米时，甲、乙两机床性能是否都一样好?提出问题让学生议议后，再引导学生看图1，让学生认识到“机床甲生产的零件的直径与规定尺寸编差较大，偏离40毫米线较多;机床乙生产的零件的直径与规定尺寸的偏差较小，比较集中在40毫米线的邻近.”这说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好.这反应出，对一组数据，除需要了解它们的平均水平以外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小).在此处要告知学生：描写一组数据的波动大小，可以采取不止一种办法.本课介绍“方差”即是一种方法.即：来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差.要强调“一组数据方差越大，说明这组数据波动越大”.条件许可时，还可介绍③式可表示为：接下来可以请两个学生运算引例中机床甲、乙两组数据的方差.从0.026 0.008可以比较出，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.(接下来教师再给出以下例题.)例1 已知两组数据：分别运算这两组数据的方差.讲此例后，要强调求解步骤为：(1)求平均数;(2)求方差;(3)比较方差得出结论.此后接前面问题说，用来衡量一组数据的波动的方法还可用一组数据的标准差，即公式④(即标准差)也是用来衡量一组数据波动大小的重要的量.在本节引例中，两组数据的标准差，可让学生算一下，得出：说明：运算标准差要比运算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便.小结1.本课学了运算一组数据的方差的公式③.2.本课在方差的基础上又学了运算一组数据的标准差的公式④.练习：选用课本练习题.作业：选用课本习题.四、教学注意问题要注意通过例题讲好求方差题目的解题格式.高一数学教案方差3一、教学目的1.使学生进一步知道方差、标准差的意义.2.使学生掌控利用简化公式运算一组数据的方差的方法.3.使学生会根据同类问题两组数据的方差(或标准差)比较两组数据的波动情形.二、教学重点、难点重点：简化运算一组数据的方差公式.难点：利用方差(或标准差)比较两组数据的波动情形.三、教学进程复习提问1.什么是一组数据的方差、标准差?2.一组数据的方差和标准差应如何运算?引入新课我们看到，用公式③运算一组数据的方差比较麻烦.那么，有否较简便的运算方法呢?新课教师应在黑板上进行以下推导：推导上述公式后，可让学生仿①～④四个公式的方法归纳推理出以下结论：一样地，如果一组数据的个数是n，那么它们的方差可以用下面的公式运算：在这时，教师要强调：当一组数据中的数较小时，用公式⑤运算方差比公式③运算少了求各数据与平均数的差一步，因此比较方便.例2 运算下面数据的方差(结果保存到小数点后第1位)：3 -1 2 1 -3 3教师可让学生共同来完成此例.接下来教师按教材指出，当一组数据较大时，可按下述公式运算方差：其中x1=x1-a，x2=x2-a，…，xn=xn-a，x1，x2，…，xn是原已知的n个数据，a是接近这组数据的平均数的一个常数.为使学生对公式⑥加深印象，可让学生用公式⑥解下例.例3 甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测验成绩以下(单位：分)：哪个小组学生的成绩比较整齐?解后，指出解题步骤有以下三步：(3)代入公式⑥运算方差并比较得解.小结1.本课介绍了当一组数据中的数值较小时，用以运算方差的简化运算公式⑤.2.本课又学习了当一组数据中的数值较大时，用以运算方差的简化公式⑥.练习：选用课本练习题.作业：选用课本习题.补充作业2.甲、乙两组数据的方差之和为13，标准差之和为5，且甲的波动比乙的波动大，求它们各自的标准差.(答案：S甲=3，S乙=2.)3.在某次数学考试中，甲、乙两校各8个班，不及格的人数分别以下：分别运算这两组数据的平均数与方差.四、教学注意问题要注意给学生讲以下三点：1.方差与标准差是衡量样本和整体波动大小的特点数.2.用简化运算公式求方差较为方便.3.对同类问题的两组数据，方差小的波动小、方差大的波动大.高一数学教案方差4《标准差与方差》数学教案设计教学目标1、掌控用运算器求平均数、标准差与方差的方法.2、会用运算器求平均数、标准差与方差.教学建议重点、难点分析1、本节内容的重点是用运算器求平均数、标准差与方差，难点是准确操作运算器.2、运算器上的标准差用表示，和教科书中用S表示不一样，但意义是一样的.而运算器上的S和我们教科书上的标准差S意义不一样.在运算器上S和是并排在一起的，按同一键，都是统计运算用的.因S在前，在后，这样要想显示出标准差，就需要发挥该键的统计功能中第二功能，于是就得先按键，再按键.教学设计示例1素养教育目标(一)知识教学点使学生会用运算器求平均数、标准差与方差.(二)能力训练点培养学生正确使用运算器的能力.(三)德育渗透点培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.(四)养育渗透点通过本节课的教学，渗透了用高科技产品求方差值的简单美，激发学生的学习爱好，丰富了学生具有数学美的底蕴.重点·难点·疑点及解决办法1.教学重点：用运算器进行统计运算的步骤.2.教学难点：正确输入数据.3.教学疑点：学生容易把运算器上的键S主认为是书上的标准差S，教科书中的符号S与CZ1206运算器上的符号S的意义不同，而与运算器上的符号相同.4.解决办法：第一使运算器进入统计运算状态，再将一些数据输入，按键得出所要求的统计量.教学步骤(一)明确目标请同学们回想一下，我们已学过用科学运算器进行过哪些运算?(求数的方根、求角的三角函数值等)，那么用运算器和用查表进行这些运算在运算速度、准确性等方面有什么不同，(运算器运算速度快、准确性高，查表慢，且准确性低).这节课我们将要学习用运算器进行统计运算.它会使我们更能充分体会到用运算器进行运算的优越性.这样开门见山的引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课的学习.(二)整体感知进行统计运算，是科学运算器的重要功能之一.一样的科学运算器，都含有统计运算功能，教科书以用CZ1206运算器进行统计运算为例说明运算方法.用CZ1206运算器进行统计运算，一样分成三步：建立统计运算状态，输入数据，按键得出所要求的统计量.这些统计量除了平均数、标准差外，还有数据个数n，各数据的和，各数据的平方和 .衡量一组数据的波动大小的另一个量S.运算器上的键S，并不表示教科书上的标准差S.(三)教学进程教师第一讲清解题的三个步骤，第一步建立统计运算状态.方法：在打开运算器后，先按键2ndF、STAT，便使运算器进入计运算状态.第二步输入数据，其进程一定要用表格显示输入时，每次按数据后再按键DATA.表示已将这个数据输入运算器.这时显示的数，是已输入的数据的累计个数，表中所有数据输入后显示的数为8，表明所有数据的个数(样本容量)为8，如果有重复显现的数据，如有7个数据是3，那么输入时可按3×7(前面是输入的数据，后面是输人数据的个数).第三步按一下有关的键，即可直接得出运算结果.在教师讲情操作要领的基础上，(把学生分成两组)让学生自己操作，用运算器求14.3节例1中两组数据的`平均数、标准差与方差.在学生操作进程中，教师要指导学生每输入一个数据，就检查一下运算器上的显示是否与教科书的表格一致，如发觉刚输入的数据有误，可按键DEL将它清除，然后连续往下输入.教师还要指出教科书上的符号S与CZ1206型运算器上的符号S的意义不同，而与该运算器上的符号相同，在CZ1206型运算器键盘上，用表示一组数据的标准差.由于这个运算器上未单设方差运算键，我们可以选按键，然后将它平方，即按键× = ，就得到方差值 .(四)总结、扩大知识小结：通过本节课的学习，我们学会了用科学运算器进行统计运算.在运算中，要注意操作方法与步骤，由于数据输入的进程较长，操作时务必仔细，避免出错，在用运算器进行统计运算的条件下，可通过比较两组数据的标准差来比较它们的波动大小，而不必再转到相应方差的比较.方法小结：用CZ1206型运算器进行统计运算.一样分成三步：建立统计运算状态，输入数据，按键得出所要求的统计量.布置作业教材P179中A组板书设计随堂练习用运算器运算下列各组数据的平均数和方差、标准差1.60，40，30，45，70，582.9，8，7，6，9，7，8用运算器求平均数、标准差与方差”用运算器求平均数、标准差与方差”高一数学教案方差5平方差公式教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是掌控公式的结构特点及正确运用公式.难点是公式推导的知道及字母的广泛含义.平方差公式是进一步学习完全平方公式、进行相干代数运算与变形的重要知识基础.1.平方差公式是由多项式乘法直接运算得出的：与一样式多项式的乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项.合并同类项后仅得两项.2.这一公式的结构特点：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数;右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差.公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也能够表示单项式或多项式等代数式.只要符合公式的结构特点，就可运用这一公式.例如在运用公式的进程中，有时需要变形，例如，变形为，两个数就可以看清楚了.3.关于平方差公式的特点，在学习时应注意：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.(2)右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方).(3)公式中的和可以是具体数，也能够是单项式或多项式.(4)对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来运算.三、教法建议1.可以将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的`是激发学生的学习爱好，使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特点，上升到一定的理论认识，加以实践检验，从而培养学生视察、概括的能力.2.通过学生自己的试算、视察、发觉、总结、归纳，得出为何有的两个二项式相乘，其积为两项，由于其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2.这样得出平方差公式，并且把这类乘法的实质讲清楚了.3.通过例题、练习与小结，教会学生如何正确运用平方差公式.这里特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的知道和训练，如运算(1+2x)(1-2x)，(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2↓↓↓↓↑↑(a + b)(a - b)=a2- b2.这样，学生就可以正确运用公式进行运算，不容易出过失.另外，在运算中不一定用一种模式呆板地运用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活运用公式，培养学生解题的灵活性.教学目标1.使学生知道和掌控平方差公式，并会用公式进行运算;2.注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力.教学重点和难点重点：平方差公式的运用.难点：用公式的结构特点判定题目能否使用公式.教学进程设计一、师生共同研究平方差公式我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应当有几项?合并同类项以后，积可能会是三项吗?积多是二项吗?请举出例子.让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解.教师根据学生的回答，引导学生进一步摸索：两个二项式相乘，乘式具有什么特点时，积才会是二项式?为何具有这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢?而它们的积又有什么特点?(当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式.这是由于具有这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会显现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了.而它们的积等于乘式中这两个数的平方差)继而指出，在多项式的乘法中，对于某些特别情势的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似情势的多项式相乘时就可以直接运用公式进行运算.以后常常遇到(a+b)(a-b)这种乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作为公式，叫做乘法的平方差公式.在此基础上，让学生用语言叙述公式.二、运用举例变式练习例1 运算(1+2x)(1-2x).解：(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2.教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特点，并让学生说出本题中a，b分别表示什么.例2 运算(b2+2a3)(2a3-b2).解：(b2+2a3)(2a3-b2)=(2a3+b2)(2a3-b2)=(2a3)2-(b2)2=4a6-b4.教师引导学生发觉，只需将(b2+2a3)中的两项交换位置，就可用平方差公式进行运算.课堂练习运用平方差公式运算：(l)(x+a)(x-a); (2)(m+n)(m-n);(3)(a+3b)(a-3b); (4)(1-5y)(l+5y).例3 运算(-4a-1)(-4a+1).让学生在练习本上运算，教师巡查学生解题情形，让采取不同解法的两个学生进行板演.解法1：(-4a-1)(-4a+1)=[-(4a+l)][-(4a-l)]=(4a+1)(4a-l)=(4a)2-l2=16a2-1.解法2：(-4a-l)(-4a+l)=(-4a)2-l=16a2-1.根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的情势，运用平方差公式，写出结果.解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-l2后得出结果.采取解法2的同学比较注意平方差公式的特点，能看到问题的本质，运算简捷.因此，我们在运算中，先要分析题目的数字特点，然后正确运用平方差公式，就可以比较简捷地得到答案.课堂练习1.口答下列各题：(l)(-a+b)(a+b); (2)(a-b)(b+a);(3)(-a-b)(-a+b); (4)(a-b)(-a-b).2.运算下列各题：(1)(4x-5y)(4x+5y); (2)(-2x2+5)(-2x2-5);教师巡查学生练习情形，请不同解法的学生，或产生毛病的学生板演，教师和学生一起分析解法.三、小结1.什么是平方差公式?2.运用公式要注意什么?(1)要符合公式特点才能运用平方差公式;(2)有些式子表面不能运用公式，但实质能运用公式，要注意变形.四、作业1.运用平方差公式运算：(l)(x+2y)(x-2y); (2)(2a-3b)(3b+2a);(3)(-1+3x)(-1-3x); (4)(-2b-5)(2b-5);(5)(2x3+15)(2x3-15); (6)(0.3x-0.l)(0.3x+l);2.运算：(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y); (2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b);(3)x(x-3)-(x+7)(x-7); (4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4).高一数学教案方差5篇到此结束。
2.2《方差与标准差》教 案 设 计
今天我们一起来探索这个问题。
学生思考计算
从学生熟悉的生活入手，提出问题，引导学生进入新知识的学习，创造一种探索的情境。
通过动手操作观察能更好地促进学生对数学知识的进一步理解。
2
分
钟
数学活动
通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。让我们一起来做下列的数学活动：
1画一画
2填一填A厂
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
数据
与平均值差
B厂
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
数据
与平均值差
3算一算
把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加。
4想一想
你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？
学生动笔
学生每两组展开活动。
10
分
钟
师生交流
揭示新知
（3）为什么要除以数据个数n？（是为了消除数据个数的影响）．
5．初步运用
在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好？
Ｐ４６
（二）标准差
1．问题：
方差的单位与愿数据的单位相同吗？应该如何办？
2．引出新知----标准差概念
在有些情况下，需要用到方差的算术平方根，即
感知
方差
解决学
生疑问
感知
方差
20
分
钟
实际应用
巩固新知
北师大版八年级上册数学6.4.1方差与标准差教案
在今天这节课中，我们学习了方差与标准差的概念及其计算方法。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，关于导入新课部分，我通过提出与日常生活相关的问题来激发学生的兴趣。这种方法在一定程度上确实能吸引学生的注意力，但我觉得还可以进一步优化。例如，可以让学生提前收集一些数据，课上分享他们所关注的数据波动现象，这样既能增强学生的参与感，也能让他们更直观地感受到方差与标准差在实际中的应用。
本节课将结合实际数据和问题情境，帮助学生掌握方差与标准差的概念、计算及应用，培养数据分析能力，为后续学习统计学知识打下基础。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.数据分析观念：通过学习方差与标准差，培养学生分析数据波动性的能力，使他们在实际问题中能够运用统计学方法，合理选择和运用方差、标准差对数据进行描述和分析。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了方差与标准差的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对方差与标准差的理解。我希望大家能够掌握这些பைடு நூலகம்识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
解决方法：教师可以通过图示、例题等多种方式，帮助学生理解方差计算过程中每个步骤的含义，强调平方和平均数的重要性。
（2）标准差的性质：理解标准差与方差之间的关系，掌握标准差的性质。
解决方法：教师可以通过实际案例，让学生观察标准差与方差的变化规律，从而理解它们之间的关系。
（3）在实际问题中应用方差和标准差：学生可能不知道如何将方差和标准差应用于实际问题。
初中数学精品教学设计：方差和标准差
3.3方差与标准差1学习目标：1．认识理解利用样本方差估计总体方差（或标准差），并会运用解决实际问题中的稳定性问题.2．不同的问题中，方差（或标准差）意义的理解，把实际问题转化为数学模型. 2知识链接：乒乓球的标准直径为40mm ，质检部门从A 、B 两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检测.结果如下（单位：mm ）：A 厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；B 厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40. 1，39.8，40.2，39.8，40.2. 你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢?（1）请你算一算它们的平均数和极差.（2）是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？ 3自学任务（分层）与方法指导： 一、熟读课文，理解概念 1、样本方差、标准差的概念2、样本方差估计总体方差和标准差的思想。
二、自学P65例题，并完成下列练习cm ）（2）哪种玉米的苗长得齐？2. 数据0，1，2，3，4的标准差是 。
4小组合作探究问题与拓展：一养鱼专业户为了估计池塘里有多少条鱼，先捕上１００条做上标记，然后放回池塘里，过了一段时间，待带标记的一混合于鱼群后，再捕捞3次，记录如下：第一次共捕捞95条，平均重量是2.1千克，有标记的有6条；第二次捕捞107条，平均重量是2.3千克，，带有标记的有7条；第三次捕捞98条，平均重量是1.9千克，带有标记的有7条； （1）问他鱼塘内大约有多少条鱼？（2）问他鱼塘内大约有多少千克的鱼？（只要求列出式子，不用计算出结果）5当堂检测题1. 数据90，91，92，93的标准差是（ ） A.2B.45 C.25 D.45 2. 数据501，502，503，504，505，506，507，508，509的方差为 。
3．甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是（ ） 甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4 乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？4．作为一项惠农强农应对当前国际金融危机、拉动国内消费需求的重要措施，“家电下乡”工作已经国务院批准从2008年12月1日起在我市实施．我市某家电公司营销点自去年12月份至今年5月份销售两种不同品牌冰箱的数量如下图：（1）完成下表：（2）请你依据折线图的变化趋势，对营销点今后的进货情况提出建议．甲品牌乙品牌。
大学统计学方差标准差教案
教学目标：1. 让学生理解方差和标准差的定义及其意义。
2. 掌握计算方差和标准差的方法。
3. 能够运用方差和标准差分析数据的离散程度。
教学重点：1. 方差和标准差的定义。
2. 计算方差和标准差的方法。
教学难点：1. 方差和标准差的实际应用。
教学过程：一、导入1. 教师简要介绍统计学的基本概念，如平均数、中位数、众数等。
2. 引入方差和标准差的概念，提出问题：如何衡量一组数据的离散程度？二、新课讲授1. 方差的定义及计算方法- 定义：方差是一组数据与其平均值之差的平方的平均值。
- 计算公式：\[ \text{方差} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n} \]- 其中，\( x_i \) 表示第 \( i \) 个数据，\( \bar{x} \) 表示平均值，\( n \) 表示数据个数。
2. 标准差的定义及计算方法- 定义：标准差是方差的平方根，它表示数据与平均值之间的平均距离。
- 计算公式：\[ \text{标准差} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i -\bar{x})^2}{n}} \]三、课堂练习1. 教师给出几个示例数据，要求学生计算其方差和标准差。
2. 学生分组讨论，互相交流计算过程和结果。
四、案例分析1. 教师选取实际案例，引导学生运用方差和标准差分析数据的离散程度。
2. 学生分析案例，总结方差和标准差在实际应用中的意义。
五、课堂总结1. 教师总结本节课的主要内容，强调方差和标准差在统计学中的重要性。
2. 学生回顾本节课所学知识，提出自己的疑问。
六、课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅相关资料，了解方差和标准差在其他领域的应用。
教学反思：1. 本节课通过讲解、练习和案例分析，使学生掌握了方差和标准差的定义、计算方法及其应用。
2. 教师应注重引导学生运用所学知识分析实际问题，提高学生的实际应用能力。
苏教版数学高一苏教版必修3教案2.3.2方差与标准差
2.3.2方差与标准差整体设计教材分析“方差与标准差”这节课在上节课平均数的基础上，从实例“有甲、乙两种钢筋，检查它们的抗拉强度”中平均数不是反映总体质量、水平的唯一特征数，在平均值相差不大的情况下，数据的稳定程度可以作为评价对象质量高低的又一重要因素，从而说明引入方差、标准差的必要性，同时使学生养成从多个角度看问题的习惯，锻炼了学生的创造性思维.为了让学生充分体会“稳定性”的意义，教材中用数轴表示两组数据，形象地表现出数据的“聚散”程度，并用极差反映数据的稳定性.当两组数据的极差相差不大时，就不适宜用极差来表示稳定性，这时可用“方差与标准差”作为比较数据稳定性的特征数.初中已学过方差概念，现在的教学不能停留在原有的水平上，要将用方差刻画数据的稳定程度的理由讲清楚，充分揭示用方差作为比较数据稳定性水平的特征数的思维过程.通过方差的单位与原数据的单位的比较,通过实际问题的分析,让学生了解到用方差反映稳定性水平的不足之处是与原数据单位不一致,且平方后可能夸大偏差的程度等,从而引入“标准差”的概念,这一过程应让学生在形成问题和解决问题的过程中加以探索.三维目标1.通过对具体案例的分析掌握样本数据的平均数、方差与标准差的基本概念和计算方法，培养学生分析问题和解决问题的能力,激发学生探究数学问题的兴趣和动机.2.在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.3.引导学生对一些生活中实际问题的学习, 进一步培养学生的数学素养和增强学生的数学应用意识及认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.4.渗透数学来源于实践，反过来又作用于实践的观点.重点难点教学重点：1.通过实例理解样本数据方差与标准差的意义和作用,学会计算数据的样本方差与标准差.2.根据方差与标准差对事件进行科学的决策，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.教学难点：1.方差与标准差的计算方法及运算的准确性.2.用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,从中进一步理解统计的基本思想.课时安排1课时教学过程导入新课平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计报表显示，此地区的年平均家庭收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭收入普遍比较高.但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭收入计算出来的，那么它就既不能代表贫困家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入.因为这个平均数掩盖了一些极端情况.而这些极端情况显然是不能被忽视的.因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际情况.举例：有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如下表）检查他们的抗拉强度（单位：kg/mm2），通过计算发现，两个样本的平均数均为125.哪种钢筋的质量较好？两种钢筋的平均数都是125，那么,它们有没有什么差异呢?推进新课作出图形，作直观比较：直观上看，还是有差异的.乙的强度比较分散，甲的强度相对集中.因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.例如，在作统计图、表时提到过的极差甲的强度极差＝135-110=25,乙的强度极差＝145-100=45.它在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息，显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略.新知探究1.方差(variance)的概念：考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差，一般用s 2表示.假设样本数据是x 1,x 2,…,x n ，x 表示这组数据的平均数.结合上节课有关离差的讨论可知,离差越小,稳定性就越高. 因此，通常用如下公式计算方差：∑=-=ni i x x n s 122)(1. 因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了离差的程度,因此将其算术平方根∑=-=ni i x x n s 12)(1 作为样本的标准差（standard deviation ）,分别简称样本方差、样本标准差.2.计算样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差的算法是：S1 算出样本数据的平均数x ；S2 算出每个样本数据与样本平均数的差x i -x(i=1,2,…，n)；S3 算出S2中x i -x(i=1,2,…，n)的平方；S4 算出S3中n 个平方数的平均数；S5 算出S4中平均数的算术平方根，即为样本标准差.关于方差、标准差的一点说明：（1）方差、标准差是用来描述样本数据的离散程度的，它反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度.方差与标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，方差标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散.（2）在实际应用中，方差与标准差常被理解为稳定性.例如在上面的比较两种钢筋的抗拉强度时，方差与标准差越小意味着该产品的质量越稳定；在描述成绩时，方差与标准差越小，说明成绩越稳定.（3）学生思考“标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有什么特点？”由标准差的定义容易得出标准差是非负的；标准差为0意味着所有的样本数据都相等的特性，且与样本平均数也相等，可以构造一个样本容量为2的样本：x 1,x 2(x 1<x 2)，这样可以体会出两个样本数据分散程度与样本标准差应用示例例1 根据下列四组样本数据，说明它们的异同点.(1) 555555555；(2) 444555666；(3) 334456677；(4) 222258888.分析：从数据的数字特征出发.解：四组数据的平均数都是5.0，标准差分别是0.00，0.82，1.49，2.83.虽然它们有相同的平均数，但是它们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的.点评：样本的方差、标准差能说明数据的分散程度.例2 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）,试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.分析：巩固求方差和标准差的方法.解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为［(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2］÷5=0.02,乙品种的样本平均数也为10，样本方差为［(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2］÷5=0.24.因为0.24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.点评：1.本题若仅由x甲=x乙，易产生这两种水稻的产量一样稳定的错觉.这表明在实际问题中，仅靠期望值（即平均数）不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度（及方差或标准差）：标准差大说明取值分散性大，标准差小说明取值分散性小或者说取值比较稳定、集中.2.要对“根据这组数据估计…”的统计意义作必要的说明：第一，统计研究是以一定的样本为依据的，对于确定的样本得到确定的统计结果；第二，统计结果具有随机性，选择不同的样本可能得到不同的统计结果.最后还可让学生思考除了品种的优劣，影响水稻产量还有哪些因素？根据一组数据得到的结果是否可靠？这些问题的提出会激发学生对统计学理论的兴趣.例3 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用了一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差.分析：用每一个区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均使用寿命.解：各组中值分别为165.5，195.5，225.5，255.5,285.5，315.5，345.5，375.5，由此算165.5×1%+195.5×11%+225.5×18%+255.5×20%+285.5×25%+315.5×16%+345.5×7%+375.5×2%=268.4≈268（天）.这些组中值的方差为1001×［1×(165.5-268.4)2+11×(195.5-268.4)2+18×(225.5-268.4)2+20×(255.5-268.4)2+ 25×(285.5-268.4)2+16×(315.5-268.4)2+7×(345.5-268.4)2+2×(375.5-268.4)2］=2 128.60(天2)， 故所求的标准差约为6.2128≈46（天）.答：估计这种日光灯的平均寿命约为268天，标准差约为46天.点评：此例的目的是：掌握连续性随机变量的平均值和标准差的一种估计方法，即组中值估计法.因为前一节例3已介绍了连续性随机变量的平均值的估计方法，所以处理此例时应让学生回忆前例并主动探索解决问题的方法.例4 容量是40的样本中各数据与30的差的平方和是250，样本标准差是1.5，求样本平均数.分析：根据样本平均数、样本方差、样本标准差的公式解题.解：∵(x 1-30)2+(x 2-30)2+…+(x 40-30)2=250,所以(x 12+x 22+…+x 402)-60(x 1+x 2+…+x 40)+40×302=250.即(x 12+x 22+…+x 402)-60×40x +40×900=250， ①又∵140［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x 40-x )2］=1.52=2.25，即(x 12+x 22+…+x 402)-2x(x 1+x 2+…+x 40)+40x 2=90，即(x 12+x 22+…+x 402)-80x 2+40x 2=90，②①-②得40x 2-2 400x+40×900=160， 即x 2-60x +896=0,( x -32)( x -28)=0， 所以，x =32或x =28.点评：理解样本方差的含义，抓住关键点：x 1+x 2+…+x 40=40x ，通过数形结合，结合消元x 1+x 2+…+x 40合理解决问题.例5 已知一组数据的方差是s 2，将这组数据的每个数据都加上10，求所得新数据的方差.分析：利用方差公式解题.解：设原数据：x 1,x 2,…,x n ，平均数是x ，方差是s 2，则新数据为：x 1+10,x 2+10,…,x n +10，平均数为则方差为n 1［(x 1+10-x -10)2+(x 2+10-x -10)2+…+(x n +10-x -10)2］ =n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］=s 2.变式训练某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s ，后来发现登记有误，某甲得70分却记为40分，某乙50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为s 1，则s 与s 1之间的大小关系是（ ）A.s=s 1B.s<s 1C.s>s 1D.不能确定解析：由题意，平均数不变，所以只要看与平均数的离差的平方的变化情况.因为方差刻画了数据相对于平均值的平均偏离程度.s 中有：(40-70)2+(80-70)2=1 000，s 1中有：(70-70)2+(50-70)2=400所以s>s 1.答案：C点评：由本例及变式可推理归纳方差的性质：（1）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，则ax 1,ax 2,…,ax n 的方差为a 2s 2；（2）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，则ax 1+b,ax 2+b,…,ax n +b 的方差为a 2s 2，特别地，当a=1时，则有x 1+b,x 2+b,…,x n +b 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；（3）方差刻画了数据相对于平均值的平均偏离程度.对于不同的数据集，当离散程度越大时，方差越大；（4）方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感.知能训练课本本节练习解答：1.甲、乙两个班的样本平均数为160，但甲班的极差为3，乙班的极差为30，故甲班的波动较小.2.已知 s 2=3=81［(k 1-k )2+(k 2-k )2+…+(k 8-k )2］， 而 883)...(28)3(2...)3(2)3(2821821⨯-+++=-+-+-k k k k k k =2k -3, s 12=18［(2k 1-6-2k+6)2+(2k 2-6-2k+6)2+…+(2k 8-6-2k+6)2］=4s 2=12.3.甲较稳定.4.甲的平均值为10，方差为0.055；乙的平均值为10，方差为0.105.点评：从练习中再次体会数据的离散程度影响对事件的客观判断，体会从平均数、离散程度的角度对事件作出科学判断的方法.课堂小结1.数据的离散程度影响对事件的客观判断，体会从平均数、离散程度的角度对事件作出科学判断的方法，方差与标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，方差与标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散；2.衡量离散程度的常用计算方法——方差与标准差，熟悉用计算器计算方差与标准差的方法，切实掌握相关的计算公式、方法、步骤并对有关数据进行合理解释；3.样本的有效选择对判断有重要影响，知道影响判断、决策的因素是多方面的，在对总体作出判断之前，要充分考虑各种因素，切实体会统计的思想方法；4.样本数据既具有随机性又具有规律性，在很广泛的条件下，简单随机抽样样本的数字特征如众数、中位数、平均数、方差与标准差随样本容量的增加及时稳定于总体相应的数字特征，总体的数字特征是一定的，不存在随机性.作业课本习题2.3 3、5、7.设计感想本节课一定要让学生体会平均数反映的是一组数据的平均水平，而方差和标准差则反映了一组数据的波动大小.在实际学习、工作中用得非常多，比如选择运动员参加大型比赛时，要看他以前的每次测试的平均成绩，但成绩的稳定性也非常重要；学习上也是如此，稳定了可以给最后的考试提供稳定心理.用这种与生活的息息相关性激发学生学数学的无限兴趣就是老师最大的收获.习题详解习题2.31. x =301(2×5.1+3×5.2+6×5.3+8×5.4+7×5.5+3×5.6+1×5.7)≈5.39. 该厂这个月的平均日产值约为5.39万元.2.在全部数据中找出最小值4.0和最大值7.4，两者之差为3.4，确定全距为3.5，以组距0.5将区间［4.0,7.5］分成7个组.x =1001(4.25×1+4.75×2+5.25×15+5.75×28+6.25×33+6.75×18+7.25×3)=6.03，估计试验田里麦穗的平均长度约为6.0 cm.3.（1）甲机床次品数的平均值为1.5，乙机床次品数的平均值为1.2，故乙机床次品数的平均值较小；（2）甲的方差为1.65，乙的方差为0.82，故乙机床的生产状况较为稳定.4.估计甲机床平均次品率约为(0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1)÷1 000=0.06%，乙机床平均次品率约为(0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0)÷1 000=0.07%，故甲机床的产品质量较好.5.（1）此样本中金属棒的平均长度约为5.99； （2）频率分布表如下：频率直方图如下：（3）6×(1-0.2%)≈5.99，6×(1+0.2%)≈6.01，故合格的金属棒有15根，合格率约为15÷40≈37.5%.6.（1）频率分布表如下：频率分布直方图如下：(2)由组中值估计的总体平均数为(57×5+65×14+73×25+81×11+89×5)×601=72.6，约73次. 实际总体平均数约为72，误差约为1.7.施了新化肥的土地的平均每块土地产量为20.52 kg ，未施新化肥的土地平均每块土地产量为17.36 kg ，且施了新化肥的土地产量的方差约为83.33，未施新化肥的土地产量的方差约为154.88，说明用了新化肥不仅平均产量高，而且产量稳定，故可认为新化肥取得了成功.。
苏科版数学九年级上册3.4 方差、标准差教学设计
苏科版数学九年级上册3.4 方差、标准差教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级上册3.4 方差、标准差是本册的重点内容，也是难点内容。
这一节主要介绍了方差和标准差的概念，以及它们的计算方法。
方差是衡量一组数据波动大小的量，标准差是方差的平方根，用来衡量一组数据的离散程度。
本节内容对于学生来说比较抽象，需要通过大量的例子来帮助学生理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程、不等式等基础知识，对于函数、统计等概念也有一定的了解。
但是，对于方差、标准差这样的抽象概念，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子来帮助学生理解概念，并通过大量的练习来巩固知识。
三. 教学目标1.了解方差、标准差的概念，理解它们的意义。
2.学会计算方差、标准差的方法。
3.能够应用方差、标准差来解决实际问题。
四. 教学重难点1.方差、标准差的概念。
2.方差、标准差的计算方法。
3.应用方差、标准差解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法。
通过具体的例子引出方差、标准差的概念，通过案例教学法讲解计算方法，通过小组合作法让学生互相讨论、交流，巩固知识。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例资料。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的问题引出方差、标准差的概念。
例如，某学校九年级有甲、乙两个班级，在一次数学考试中，甲班平均分是80分，乙班平均分是82分，问这两个班的数学成绩是否存在显著性差异？2.呈现（10分钟）通过PPT课件呈现方差、标准差的定义和计算公式。
方差是衡量一组数据波动大小的量，标准差是方差的平方根，用来衡量一组数据的离散程度。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找一个例子，计算其方差和标准差。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解。
5.拓展（10分钟）让学生思考：方差、标准差在实际生活中有哪些应用？引导学生联系生活实际，举例说明。