第九章-质点动力学的基本方程

Fti ,
m v2
Fni ,
0 Fbi
（9—5）
主法线式和中副F法ti , 线Fn上i 和的F投bi影分，别而是作 为用轨于迹质的点曲的率各半力径在。切线、
3 、质点动力学的两类基本问题
1) 第一类基本问题：已知质点的运动,求作用于质点的力.
2) 第二类基本问题：已知作用于质点的力,求质点的运动.
m d2x dt 2
Fxi ,
m d2 y dt 2
Fyi ,
m d2z dt 2
Fzi
（9—wk.baidu.com）
2、质点运动微分方程在自然轴上的投影
点的全加速度 ɑ
ar atr annr, ab 0,
式中 和 n
为沿轨迹切线和主法线的单位矢量， 如图所示。
式(9—3)在自然轴系上的投影式为
mat
（2) 分析力学的一些内容和机械振动的基本理论，如动静 法、虚位移原理、拉格朗日方程和单个、两个自由度的振动 问题。
３．动力学的形成和发展与社会进步的关系
（1) 动力学与钟表
中国古代计时方式，主要有三种： 铜漏；香篆；圭表。 世界上最早的机械钟雏形：东汉张衡所造的浑象仪。 计时方法的关键：标准等时运动。
) g
式中Ｔ＝Ｑ＋Ｐ，称为绳索的静反力。
〔讨论〕 把绳索动反力的值Td和静反力的值Ｔ的比值称为
动荷系数，用Ｋd表示：
Kd
Td T
1
a g
〔补例2〕如图所示桥式起重机上，小车吊着质量 为ｍ的重物，沿横向作匀速运动，速度为Ｖ。，吊绳 长为１。由于突然原因急刹车，重物因惯性绕悬挂点 Ｏ向前摆动。试求刹车后绳索的最大张力及刹车前后 瞬间绳索张力的比。
分析：由题意→→动力学问题→→ 已知运动求作用力，故属于质点动 力学第一类基本问题。
解 （1）求物体对地板的压力
选取重物为研究对象， 进行受力分析和运动分析（如图b所示）。 建立直角坐标轴，列运动微分方程求解
P g
a
FN
P
或
FN
P(1
a )
g
FN'
式中FN’,为物体对地板的压力。
〔讨论〕 压力FN,由两部分组成：物体的重量Ｐ，静压力；
现代钟表由三部分组成：动力部分、传动部分和控制部分。 更精密的时标：石英晶体振动或原子振荡 →→ 电子表。
（2）动力学与现代工业
机器和机械设计上的均衡问题、振动问题和稳定问题，结构物 在冲击和振动环境中的动态响应，交通运输工具的操纵性、稳定性 和舒适性以及动力学载荷的作用、震动等都属于动力学问题；
第二定律 (力与加速度之间的关系的定律)
基本表达式：
d mv F
dt
（9—1）
在经典力学范围内，上式可写为
mar
r F
（9—2）
式(10—2)是质点动力学的基本方程，建立了质点 的加速度、质量与作用力之间的定量关系。
第三定律 (作用与反作用定律)
§9-2 质点的运动微分方程
质点受到n个力 F1, F2 , Fn 作用时， 由质点动力学第二定律，有
分析：由题意→→动力学问题 →→质点动力学第一类基本问题， 先分析重物位于一般位置时。
解 取重物为研究对象，受
力如图所示。 取自然轴如图示，由式（9—5） 得重物的运动微分方程投影式为
１．动力学的研究对象
动力学是研究物体运动的变化与作用在物体上的力
之间的关系。
２．动力学的主要内容
（1) 牛顿力学或经典力学。包括动量定理、动量矩定理、 动能定理。
惯性参考系：相对于参考系静止不动或作匀速直线运动的系统。 非惯性参考系：相对于参考系有加速度的系统。
牛顿三定律只适用于低速、宏观物体。 相对论力学或量子力学
（4）力学模型简化的条件 由所研究问题的性质所决定，具有相对的概念。
第九章 质点动力学的基本方程
本章内容及分析思路
根据动 力学基 本定律
质点动力 学的基本
方程
求解质点 的动力学
问题
§9-1 动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律):
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
惯性：不受力作用的质点(包括受平衡力系作用的质点)，不 是处于静止状态，就是保持其原有的速度(包括大小和方向) 不变。
高速运转机械的动力计算、高层结构受风载及地震的影响， 宇宙飞行、火箭的推进技术和运行等，更包含着许多动力学问题。
４．动力学的力学模型
（1）质点 ： 指具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计
的物体。 （2）质点系：
指由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。 包括固体、弹性体和流体。
（3）刚体： 其中任意两个质点间距离保持不变的固体。
作用在质点上的力可以是常力或变力，变力可以是 时间、坐标、速度的函数或同时是上述三种变量的函数。
求质点的运动就是求式（9—4）或（9—5）的解， 一次、二次积分。积分常数由质点运动的初始条件决定。 可见，质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运 动初始条件有关。
〔补例1〕 电梯如图所示。已知电梯的加速度 ａ＝常数、方向向上。电梯重量为Ｑ，放在电梯地 板上的物质重量为Ｐ，求： （1）物体对地板的压力； （2）电梯吊绳的拉力。
Pa g
，附加动压力。
超重。
如果加速度方向向下，总压力为:
FN'
P(1
a) g
当ａ=ｇ时，FN,=0
（２）求吊绳的拉力。
取电梯和重物整体为研究对象，受力如图a所示。 选坐标轴x，由式（9—4）得投影形式的质点运动微分方程
QP g a Td (Q P )
解得
a
a
Td
(Q
P)(1
) T (1 g
mar
r Fi
（9—3）
d2rr
r
或
m dt2 Fi
（9—3）’
式（10—3）’是矢量形式的微分方程。
1 、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
r 设矢径 在直角坐标轴上的投影分别为x，y，z ，
力 Fi 在轴上的投影分别为 Fxi , Fyi , Fzi ，则式 9 3
在直角坐标轴上的投影形式为:
伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成 正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置——摆奠定了基础。 伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。
1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关 于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。
1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现 了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发 明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。