用导数求切线方程的四种类型
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题型一:利用导数去切线斜率
类型一:已知切点,求曲线的切线方程
此类题较为简单,只须求出曲线的导数()f x ',并代入点斜式方程即可.
例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-,处的切线方程为
解:由2()36f x x x '=-则在点(11)-,处斜率(1)3k f '==-,
故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--,即32y x =-+,. 类型二:已知过曲线上一点,求切线方程
过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法.
例2 求过曲线32y x x =-上的点(11)-,的切线方程.
类型三:已知过曲线外一点,求切线方程 此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解.
例3 求过点(20),且与曲线1y x
=相切的直线方程.
题型二:利用导数判断函数单调性
总结求解函数f(x)单调区间的步骤: 练习:判断下列函数的单调性,并求出单调区间。
(1)确定函数f(x)的定义域; (2)求f(x)的导数f'(x); (3)解不等式 f'(x)>0 ,解集在定义域内的部分为 增区间; (4)解不等式 f'(x)<0 ,解集在定义域内的部分为 减区间.
例1.:已知导函数 的下列信息:
注意:
(1)由原函数的图像画导函数的图像看原函数的单调性,决定导函数的正负。
(2)由导函数的图像画原函数的图像看导函数的正负,决定原函数的单调性。
x x x f x x x f x x x x f ln 21)()3(762)()2(),0(,sin )()1(223-=+-=∈-=π图像的大致形状。
试画出或当或当当)(0)(,1,40)(,1,40)(,41x f x f x x x f x x x f x ='==<'<>>'<<321111(1)2231(11)y x y x x =-+-=-+-练习:、在,处的切线方程 、在,处的切线方程1(01)x y xe =+-3、曲线在,处的切线方程
sin 20x y x e x =++=5、曲线在处的切线方程
练习.:如果函数的图像如下图,
那么导函数的图像可能是( )
1、求函数 的单调区间。
2、求函数f(x)=2sinx ﹣x 的单调区间。 3.823
4)(22+-=x x x f 4.x x x f ln 23)(2-=
题型三.利用函数单调性,求有关参数的取值范围。
(1)
(2)
例1.已知f(x)=2ax-
x 21,x 在(0,1】上是增函数,求a 的范围。
例2.1-ax -x x f 3
=)
( (1)若f (x )在R 上为增函数,求a 的范围
(2)是否存在a ,在f (x )在(-1,1)上位减函数
13632)(23+--=x x x x f
题型四:利用导数研究函数极值与最值
1. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:
若0x 满足0)(0='x f ,且在0x 的两侧)(x f 的导数异号,则0x 是)(x f 的极值点,)(0x f 是极值,并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”,则0x 是)(x f 的极大值点,)(0x f 是极大值;如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”,则0x 是)(x f 的极小值点,)(0x f 是极小值
2. 求可导函数f (x )的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间,求导数f ′(x )
(2)求方程f ′(x )=0的根
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f (x )在这个根处无极值
3、例子:
例1求y =3
1x 3-4x +4的极值 解:y ′=(3
1x 3-4x +4)′=x 2-4=(x +2)(x -2) 令y ′=0,解得x 1=-2,x 2=2
当x 变化时,y ′,y 的变化情况如下表
∴当x =-2时,y 有极大值且y 极大值3
当x =2时,y 有极小值且y 极小值=3
练习1.求f(x)=x 12-x 3的极值
2.设a 为实数,函数.)(23a x x x
x f +--=
(Ⅰ)求)(x f 的极值.
3.设函数1323
1)(23+-+-=ax ax x x f ,其中10< 4..已知a 为实数,))(4()(2 a x x x f --= (1)若0)1(=-'f ,求)(x f 在[-2,2] 上的最大值和最小值; 5. 32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 6.已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值,则常数c = ;