2020北京昌平高三二模数学试卷及答案解析
北京市昌平区2020届高三数学第二次统一练习二模试题含解析
北京市昌平区2020届高三数学第二次统一练习（二模）试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1. 已知集合{|21}A x x =-<<，{2,1,0,1,2}B =--，则集合=A B （ ） A. {0}B. {1,0}-C. {0,1}D.{1,0,1}-【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可.【详解】因为集合{|21}A x x =-<<，{2,1,0,1,2}B =--，故=A B {1,0}-. 故选：B.【点睛】本题主要考查了交集的基本运算,属于基础题.2. 在复平面内，复数()i i a -对应的点的坐标为(1,2)-，则实数a =（ ） A. 1 B. 1﹣C. 2D. 2﹣【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法运算公式对已知式子进行整理，结合所给点的坐标即可求出a .【详解】解：()1i i a ai -=--，由题意知，1ai --对应的点的坐标为(1,2)-，则2a =-， 故选:D【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了已知复数对应点坐标求参数，属于基础题. 3. 在（x ﹣2）5的展开式中，x 2的系数为（ ） A. ﹣40 B. 40C. ﹣80D. 80【答案】C 【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得x 2的系数．【详解】在（x ﹣2）5的展开式中，含x 2的项为()32225280C x x =--⋅，故x 2的系数为：﹣80． 故选：C.【点睛】本题主要考查了利用二项式定理求指定项的系数，属于基础题. 4. 已知向量(),1a t =，()1,2b =.若a b ⊥，则实数t 的值为（ ） A. －2 B. 2C. 12-D.12【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出t 的值.【详解】解：∵向量()1a t =，，()1,2b =，若a b ⊥，则20a b t ⋅=+=， ∴实数2t =-， 故选：A.【点睛】本题考查向量垂直的求参，重在计算，属基础题. 5. 设0.30.512,()2,ln 2c a b -===，则（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D.b ac <<【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的性质，求得1b a >>，再结合对数函数的性质，得到01c <<，即可求解. 【详解】由指数函数的性质和0.50.51()22b -== ，可得00.30.5222<<，即1b a >>根据对数函数的性质，可得ln1ln 2ln e <<， 因为ln 2c =，所以01c <<， 综上可得b a c >>.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）A. 4B. 8C. 6D. 46【答案】C 【解析】 【分析】首先根据几何体的三视图还原空间几何体的直观图，进一步求出三角形的最大面积． 【详解】根据几何体的三视图还原得到该几何体的直观图为：该几何体为三棱锥体． 如图所示：由于2,4AB BD ==，下底面BCD 为等腰直角三角形． 可得12223262ACDS=⨯=14242ABDS =⨯⨯=，14242BCDS =⨯⨯=，1222222ABCS=⨯= 所以该四面体四个面的面积中，最大的是26ACDS =．故选：C ．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.7. 已知点P 是双曲线C ：x 224y -=1的一条渐近线y ＝kx （k ＞0）上一点，F 是双曲线C 的右焦点，若△OPF 的面积为5，则点P 的横坐标为（ ） A. 55 C. 5± D. 25【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到渐近线方程为：y ＝2x ，再由面积为5得到y P 5可得到横坐标.【详解】由双曲线方程可得a ＝1，b ＝2，则c 415=+=则渐近线方程为：y ＝2x ，F 50）， 又S 12=c •|y P |＝5，则y P 5 当y ＝5x 52y==， 当y ＝﹣5x 52y==-，故点P 5 故选：A ．【点睛】本题主要考查了双曲线渐近线方程的应用，求出P的纵坐标是解题的关键，属于基础题.8. 已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0），则“函数f（x）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增”是“0＜ω≤2”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由263xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得出xω的取值范围，由正弦型函数的单调性列出不等式组可得ω范围，即可判断出关系.【详解】∵263xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴263xππωωω≤≤，由于函数f（x）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴2622232kkππωπππωπω⎧≥-+⎪⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎪⎩（k Z∈）解得312334kkωππωπω≥-+⎧⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎩，（k Z∈）故k只能取0，即34ω<≤，∴“函数f（x）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增”是“0＜ω≤2”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9. 点P在函数y＝e x的图象上．若满足到直线y＝x+a的点P有且仅有3个，则实数a 的值为（ ）A. B. C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】要满足到直线y ＝x +a 的点P 有且仅有3个，则需要直线与函数y ＝e x 的图象相交，而且点P 在函数y ＝e x，另外一侧两．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题． 【详解】过函数y ＝e x 的图象上点P （x 0，y 0）作切线，使得此切线与直线y ＝x +a 平行y ′＝e x ，于是01x e =，则x 0＝0，y 0＝1∴P （0，1），于是当点P 到直线y ＝x +a 时，则满足到直线y ＝x +a 的点P 有且仅有3个，∴d ==a ＝﹣1或a ＝3又当a ＝﹣1时，函数y ＝e x的图象与直线y ＝x ﹣1相切，，所以不满足； 故a ＝3． 故选：C ．【点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大. 10. 一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画╳．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m 的值为（ ）A. 35B. 30C. 25D. 20【答案】B 【解析】 【分析】根据乙、丙得分一样得到第2，5两题答案正确，再结合甲的答案推得正确答案为：╳╳╳√√╳√╳，即可计算m【详解】因为乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同，所以第2，5两题答案正确， 又因为甲得分30分即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙丙不同，故其余6题答案均正确，故而这8道判断的答案分别是：╳╳╳√√╳√╳，对比丁的答案，可知其2、8两题错误，故得分m ＝6×5＝30， 故选：B.【点睛】本题主要考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知1a >，则41a a +-的最小值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】 由441111a a a a +=-++--，然后结合基本不等式即可求解．【详解】因为1a >，则441111a a a a +=-++--15≥=， 当且仅当411a a -=-时，即3a =时取等号，所以41aa+-的最小值为5.故答案为：5.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，合理构造利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12. 设{a n}是等差数列，且a1＝3，a n+1＝a n﹣2，则数列{a n}的前n项和S n＝_____．【答案】﹣n2+4n【解析】【分析】由a n+1＝a n﹣2，可得：a n+1﹣a n＝﹣2，利用等差数列的求和公式即可得出．【详解】由a n+1＝a n﹣2，可得：a n+1﹣a n＝﹣2，∴数列{a n}为等差数列，公差为﹣2．则数列{a n}的前n项和S n＝3n()12n n-+⨯（﹣2）＝﹣n2+4n．故答案为：﹣n2+4n．【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.13. 已知点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，则点M 到其顶点O的距离为_____．【解析】【分析】利用已知条件求出M的坐标，然后求解点M到其顶点O的距离．【详解】点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，设M（x，x+1），可得（x+1）2＝4x，解得x＝1，所以M（1，2），点M到其顶点O=【点睛】本题主要考查了抛物线简单几何性质，考查了运算能力，属于中档题.14. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称，点(,1)M x -在角β的终边上．若1sin 3α=，则sin β＝_____；x ＝_____．【答案】 (1). 13- (2). ± 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果．【详解】解：在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称，点(,1)M x -在角β的终边上，则(,1)N x -在α的终边上，则1sin 3α==x =±1sin 3β==-.故答案为：13-；±．【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题.15. 曲线C 3=，点P 在曲线C 上．给出下列三个结论：①曲线C 关于y 轴对称；②曲线C 上的点的横坐标的取值范围是[﹣2，2]；③若A （﹣1，0），B （1，0），则存在点P ，使△PAB 的面积大于32． 其中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①② 【解析】 【分析】①根据对称性的特点，用﹣x 代替x ，代入曲线C 中，若等式依然成立，则关于y 轴对称；②列出不等式，3=≥的取值范围； ③采用分析法，12PABP SAB y =⋅⋅=|y P |，要使△PAB 的面积大于32，则32P y ＞，即294P y ＞，再列出不等式，而3=≥y的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：①用﹣x 代替x ，有==3成立，即①正确；②∵y 2≥0，∴3=≥故（x 2﹣1）2≤9，即﹣3≤x 2﹣1≤3，即﹣2≤x 2≤4，解得﹣2≤x ≤2，即②正确； ③11222PABP P P SAB y y y =⋅⋅=⨯⋅=，若存在点P ，使△PAB 的面积大于32，则32P y ＞，即294P y ＞．∵3=≥ ∴y 2≤294＜，故不存在点P 符合题意，即③错误． 故答案为：①②．【点睛】此题考查曲线与方程的关系，考查点与曲线的位置关系，属于中档题 三、解答题.共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 在△ABC a cos B ＝b sin A ． （1）求∠B ；（2）若b ＝2，c ＝2a ，求△ABC 的面积．【答案】（1）3π；（2． 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tan B ，进而可求B ； （2）由余弦定理及已知条件可求a ，c 的值，然后结合三角形的面积公式可求． 【详解】解：（1）在△ABC 中，由正弦定理，cos sin B b A =，cos sin sin A B B A =，因为sin A ≠0， 所以3cos sin B B =， 所以tan B 3=， 因为0＜B ＜π，所以3B π=，（2）因为b ＝2，c ＝2a ，由余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 可得22144222a a a a =+-⨯⨯， 所以a 233=，c 433=，所以11234332322ABCSacsinB ==⨯⨯⨯=． 【点睛】此题考查正、余定理的应用，考查三角恒等变换有应用，考查三角形面积公式的应用，属于中档题17. 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝CD ＝2，BC ＝3，23PC =，E 为PB 中点，_____，求证：四边形ABCD 是直角梯形，并求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．从①CD ⊥BC ；②BC ∥平面PAD 这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答． 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】 选择①．由PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥AD ，PA ⊥CD ．求解三角形得CD ⊥PD ．再由直线与平面垂直的判定可得CD ⊥平面PAD ，则CD ⊥AD ．进一步得到AD ∥BC ．可得四边形ABCD 是直角梯形．过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A ﹣xyz ．求出平面PCD 的法向量与AE 的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线AE 与平面PCD 所成的角的正弦值． 选择②．由PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥AD ，PA ⊥CD ．求解三角形得CD ⊥PD ．再由直线与平面垂直的判定可得CD ⊥平面PAD ，则CD ⊥AD ．再由BC ∥平面PAD ，得BC ∥AD ，则四边形ABCD 是直角梯形．直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值同①． 【详解】选择①．先证四边形ABCD 是直角梯形． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD ．∵PA ＝AD ＝CD ＝2，∴PD =又∵PC =CD 2+PD 2＝PC 2，得CD ⊥PD ． 又∵PA ∩PD ＝P ，∴CD ⊥平面PAD ，则CD ⊥AD ． 又∵CD ⊥BC ，∴AD ∥BC ． ∴四边形ABCD 是直角梯形．再求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值． 过A 作AD 的垂线交BC 于点M ． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AM ，PA ⊥AD ． 如图建立空间直角坐标系A ﹣xyz ．则A （0，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2）． ∵E 为PB 的中点，∴E （1，12-，1）． ∴1112AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，()222PC =-，，，()022PD =-，，． 设平面PCD 的法向量为()n x y z ，，=，则2220220n PC x y z n PD y z ⎧⋅=+-=⎨⋅=-=⎩，令y ＝1，得()011n =，，． 设直线AE 与平面PCD 所成的角为α，∴sinα＝|cos n AE＜，＞|11112 2322-⨯+⨯==⨯．∴直线AE与平面PCD所成角的正弦值为26．选择②．先证四边形ABCD是直角梯形．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD．∵PA＝AD＝CD＝2，∴22PD=．∵23PC=，CD2+PD2＝PC2，得CD⊥PD．∵PA∩PD＝P，∴CD⊥平面PAD，则CD⊥AD．∵BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BC∥AD，则四边形ABCD是直角梯形．再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．同上①．【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之线面角的求法，属于中档题. 18. 为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）a＝0.2；0.2；（Ⅱ）分布列见解析，98；（Ⅲ）[5，6）.【解析】【分析】（Ⅰ）由频率和为1，可求出a的值，然后结合频率/组距、组距和样本总量，求出该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生人数，即可求得对应的概率；（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人，所以X的所有可能取值为0，1，2，3．然后根据超几何分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（III）根据平均数的含义进行估量即可得解．【详解】解：（Ⅰ）因为（0.05+0.1+0.18+a+0.32+0.1+0.03+0.02）×1＝1，所以a＝0.2．因为0.2×1×100＝20，所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生有20人．所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的概率为200.2 100．（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人．所以X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X ＝0）3538528C C ==，P （X ＝1）2153381528C C C ==， P （X ＝2）1253381556C C C ==，P （X ＝3）3338156C C ==． 所以X 的分布列为：所以数学期望E （X）0123282856568=⨯+⨯+⨯+⨯=． （III ）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5，6）． 【点睛】本题主要考查了由频率分布直方图求参数的值，古典概型的应用以及离散型随机变量的分布列，属于中档题.19. 已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>，椭圆M 与y 轴交于A ，B 两点（A在下方），且 4.AB =过点()0,1G 直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点（不与A 重合）. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）证明：直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值.【答案】（Ⅰ）22154x y +=；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由24AB b ==，c a =（2）分直线l 的斜率0k =和0k ≠两类求解，当0k ≠时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立方程组，利用韦达定理求AC AD k k ⋅，化简可得.【详解】（Ⅰ）解：由题意得222524c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.∴椭圆M 的方程为22154x y +=；（Ⅱ）证明：由题意，直线l 的斜率存在，当0k =时，直线l 的方程为1y =，代入椭圆方程有x =则C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,2)A - ，(0,2)B ，2AC k ==2AD k ==∴125AC AD k k ⋅==-，当0k ≠时，则直线l 的方程为1y kx =+.由221154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224510150k x kx ++-=.设()11,C x y ，()22,D x y ， 则1221045k x x k +=-+，1221545x x k=-+， 又()0,2A -，121222AC AD y y k k x x ++==，，()()()()2121212122121212121233393922AC ADkx kx k x x k x x k x x y y k k k x x x x x x x x +++++++++⋅=⋅===+222222103930364512451515545k k k k k k k k⎛⎫-+ ⎪-+++⎝⎭=+=+=---+，即直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值.【点晴】（1）第一问是常规题型，求解时注意椭圆的焦点位置；（2）第二问采用“设而不求”，利用韦达定理直接计算AC AD k k ⋅，考运算能力，化简时要细心，另因为0k =时已求出125AC AD k k ⋅=-，第二问化简时可简略书写. 20. 已知函数f （x ）313x =-ax +a ，a ∈R ． （Ⅰ）当a ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，1）处的切线方程； （Ⅱ）求函数y ＝f （x ）的单调区间；（Ⅲ）当x ∈（0，2）时，比较f （x ）与|1|a --的大小．【答案】（Ⅰ）10x y +-=；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）()|1|f x a >--. 【解析】 【分析】（I ）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程； （II ）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论即可求解； （III ）结合（II ）中对单调性的讨论，可求f （x ）的最值，进而可比较大小． 【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，31()13f x x x =-+， 因为2()1f x x '=-，所以(0)1f '=-，所以曲线()y f x =在点（0，1）处的切线方程为()110y x -=-⨯-，即10x y +-=． （II ）()f x 定义域为R ． 因为2()f x x a '=-，①当a ＝0时，()0f x '≥恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增，②当a ＜0时，()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增．③当a ＞0时，令()0f x '=，则x =x =所以当()0f x '>时，x <x当()0f x '<时，x <<所以函数()f x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减，综上可知，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增；当a ＞0时，函数()f x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减．（III ）由（Ⅱ）可知，（1）当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增， 所以当(0,2)x ∈时，min ()(0)f x f a >=，因为|1|(1)1a a a --=--=-，所以()|1|f x a >--，（2）当a ＞0时，函数()f x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减．①当01<≤，即01a <≤时，|1|0a --≤．所以当(0,2)x ∈时，函数()f x 在上单调递减，2)上单调递增，min ()10f x f a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以()|1|f x a >--．②当12，即1＜a ＜4时，|1|10a a --=-<．由上可知，min ()1f x f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为()211213a a a ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，设2()21,(14)3g x x x =--<<．因为()20g x '=，所以()g x 在(1,4)上单调递增． 所以()()1103g x g =＞＞．所以()11210a a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭＞所以()|1|f x a >--，2≥，即4a ≥时，|1|10a a --=-<． 因为函数()f x在上单调递减， 所以当(0,2)x ∈时，min 8()(2)13f x f a a ==->-． 所以()|1|f x a >--．综上可知，(0,2)x ∈时，()|1|f x a >--.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数求函数单调区间，考查利用导数比较大小，属于较难题.21. 已知有限数列{a n }，从数列{a n } 中选取第i 1项、第i 2项、……、第i m 项（i 1＜i 2＜…＜i m ），顺次排列构成数列{a k }，其中b k ＝a k ，1≤k ≤m ，则称新数列{b k }为{a n } 的长度为m 的子列．规定：数列{a n } 的任意一项都是{a n } 的长度为1的子列．若数列{a n } 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{a n } 为完全数列．设数列{a n }满足a n ＝n ，1≤n ≤25，n ∈N *． （Ⅰ）判断下面数列{a n } 的两个子列是否为完全数列，并说明由； 数列（1）：3，5，7，9，11；数列 （2）：2，4，8，16．（Ⅱ）数列{a n } 的子列{a k }长度为m ，且{b k }为完全数列，证明：m 的最大值为6；（Ⅲ）数列{a n } 的子列{a k }长度m ＝5，且{b k }为完全数列，求1234511111b b b b b ++++的最大值．【答案】（Ⅰ）数列（1）不是{a n }的完全数列；数列（2）是{a n }的完全数列；理由见解析（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）3116． 【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用信息的应用和定义的应用整理出结果．（Ⅱ）根据定义的应用求出子列的长度．假设长度为m ≥7，不妨设m ＝7，得出矛盾，再说明长度为6时满足条件.（Ⅲ）利用信息的应用和关系式的恒等变换的应用求出最大值．【详解】（Ⅰ）数列 （1）不是{a n }的完全数列；数列 （2）是{a n }的完全数列． 理由如下：数列 （1）：3，5，7，9，11中，因为3+9＝5+7＝12，所以数列（1）不是{a n }的完全数列； 数列 （2）：2，4，8，16中，所有项的和都不相等，数列（2）是{a n }的完全数列． （Ⅱ）假设数列{b k }长度为m ≥7，不妨设m ＝7，各项为b 1＜b 2＜b 3＜…＜b 7． 考虑数列{b k }的长度为2，3，…7的所有子列，一共有27﹣1﹣7＝120个．记数列{b k }的长度为2，3，…7的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a ，最大值为A ．所以a ＝b 1+b 2，A ＝b 1+b 2+25+24+23+22+21＝b 1+b 2+115． 所以其中必有两个子列的所有项之和相同． 所以假设不成立．再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意． 所以子列{b k }的最大长度为6．（Ⅲ）数列{a n } 的子列{b k }长度m ＝5，且{b k }为完全数列，且各项为b 1＜b 2＜b 3＜…＜b 5． 所以，由题意得，这5项中任意i （1≤i ≤5）项之和不小于2i﹣1． 即对于任意的1≤i ≤5，有， 即11231242-++++≥++++i i b b b b ．对于任意的1≤i ≤5，112(1)(2(2)0--+-++-≥i i b b b ，设12-=-i i i c b （i ＝1，2，3，4，5），则数列{c i }的前j 项和D j ≥0（j ＝1，2，3，4，5）．下面证明：123451111111112416b b b b b ++++≤+++． 因（11112416+++）﹣（1234511111b b b b b ++++）欢迎下载！祝您成绩进步，生活愉快！21 12345111111111124816b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭351241234541612824816b b b b b b b b b b -----=++++， 3243541211234524816D D D D D D D D D b b b b b ----=++++， 123451223344551111111112244881616b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D D D D D 0． 所以1234511111111311241616b b b b b ++++≤+++=，当且仅当12-=i i b （i ＝1，2，3，4，5）时，等号成立． 所以求1234511111b b b b b ++++的最大值为3116．【点睛】本题考查数列的新定义，考查反证法的应用，考查关系式的恒等变换的应用，属于难题.。
北京市昌平区2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析
北京市昌平区2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】当0a ≤时，函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1()f x ax x =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭，所以2≥14a ≥. 故选:B. 【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 2．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ）A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x > D ．{2x x <或}4x >【答案】C 【解析】 【分析】简单判断可知函数关于1x =对称，然后根据函数()2f x x x =-的单调性，并计算21x xx ⎧-=⎪⎨⎪≥⎩，结合对称性，可得结果. 【详解】可知函数()f x 关于1x =对称 当1x ≥时，()2f x x x=-， 可知()2f x x x=-在[)1,+∞单调递增 则2120x x xx ⎧-=⎪⇒=⎨⎪≥⎩ 又函数()f x 关于1x =对称，所以()01f = 且()f x 在(),1-∞单调递减，所以20x +<或22x +>，故2x <-或0x > 所以()}{21x f x +>={2x x <-或}0x > 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：()()11f x f x -=+，()()110f x f x -++=，考验分析能力，属中档题.3．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14C．2D．4【答案】D 【解析】 【分析】利用直线()3y k x =+与圆221x y +=相交求出实数k 的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由于直线()3y k x =+与圆221x y +=1<，解得k <<因此，所求概率为242P ⨯==. 故选：D. 【点睛】4．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC V 中，“30B ︒>”是“cos 2B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】对于命题①,因为()220002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:ABC V 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即1cos 2B -<<,即可得到cos B <,即充分性成立;必要性:ABCV中,0180B ︒︒<<,若cos 2B <,结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题． 故假命题有①③. 故选:C 【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.5．连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a-=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ） AB．2CD【答案】D 【解析】 【分析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得12S S 取得最大值时有a b =，从而求得其离心率.【详解】双曲线22221x y a b-=与22221y x b a -=互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为(,0),(0,)a b ±±，四个焦点的坐标为(,0),(0,)c c ±±，四个顶点形成的四边形的面积112222S a b ab =⨯⨯=， 四个焦点连线形成的四边形的面积2212222S c c c =⨯⨯=，所以1222221222S ab ab ab S c a b ab ==≤=+， 当12S S 取得最大值时有a b =，c =，离心率ce a== 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.6．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ uuu r（O 为坐标原点），设OZ r =u u u r ，以射线Ox为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i rn i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（ ）A．B ．4C．D ．16【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，直接求解即可.【详解】)4441216cos sin 266z ii i ππ⎡⎤⎫⎛⎫==+=+⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦16cos 4sin 4866i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，16z ==.故选：D 【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.7．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ）A ．12B ．C ．2D 【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大，设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±， 所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=． 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题． 8．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．21y x =+ B ．x x y e e -=- C ．lg y x =D ．2y x =【答案】C 【解析】试题分析：A 中，函数为偶函数，但1y ≥，不满足条件；B 中，函数为奇函数，不满足条件；C 中，函数为偶函数且y R ∈，满足条件；D 中，函数为偶函数，但0y ≥，不满足条件，故选C ． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域． 9．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x≤2}【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集. 【详解】∵集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥=+{x ∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 10．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（ ）A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +【答案】A 【解析】 【分析】计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解. 【详解】由2222244S a a p S a ππ--===阴正，∴42p π=+. 故选：A 【点睛】本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.11．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．32y x =±B ．233y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可知，双曲线2214x y -=的渐近线方程是2x y =±.本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用． 12．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断： ①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=． 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【解析】 【分析】对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=可判断； 对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断；对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得242||164832BE m m =++，再由222||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可用m 表示2r ，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断. 【详解】如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ， 显然B ，E ，F 三点不共线，则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以①正确． 由题意可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则124y y m +=，128y y =-．所以()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以②正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．由上，有124y y m +=，21244x x m +=+，则()()2224212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+．于是，222222421212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入21244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++，所以()()22224224416124a r m mm -=+-++=．所以③正确． 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届北京市昌平区高考数学二模试卷(理)(有答案)(已审阅)
北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的一个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．若x，y满足．则z=2x﹣y的最小值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣4．设α、β是两个不同的平面，b是直线且b⊂β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．过点A和圆心O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．6．如图所示的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填入的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜57．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所示，那么满足不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3]B．[﹣3，﹣2]∪（0，1]C．[﹣2，0）∪[1，3]D．[﹣1，0）∪（0，1] 8．将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示．设正八角星的中心为O，并且=，=，若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为λ+μ，λ，μ∈R的形式，则λ+μ的最大值为（）A．B．2 C．1+D．2一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知S n是等比数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公比q=2，则数列{a n}的通项公式a n=．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上一点，则|OA|的最小值为．11．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=，AC=12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的棱长为．13．2016年3月12日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园一带一谷”七大板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“一谷”即延寿生态观光谷．某校学生准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“一馆一园一带一谷”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有种．（用数字作答）14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）①若a3=，则a=；②记S n=a1+a2+…+a n，则S2016=．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．16．为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试．现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采用A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上）测试成绩[85，100][70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新生的测试成绩互相独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正方形A1ACC1所在平面，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的一点（端点除外），平面AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平面BC1D所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．18．已知函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线．设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，求a的取值范围．19．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP．20．定义max{x1，x2，x3，…，x n}表示x1，x2，x3，…，x n中的最大值．已知数列a n=，b n=，c n=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*．记d n=max{a n，b n，c n}（Ⅰ）求max{a n，b n}（Ⅱ）当k=2时，求d n的最小值；（Ⅲ）∀k∈N*，求d n的最小值．北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把分子分母同时乘以1+i，直接利用复数的除法运算求解．【解答】解：=．故选：C．2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的一个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的焦点坐标与实轴，求出双曲线的几何量，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线C：mx2﹣ny2=1的一个焦点为F（﹣5，0），实轴长为6，可得c=5，a=3，b===4，双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选：A．3．若x，y满足．则z=2x﹣y的最小值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A（）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2×．故选：D．4．设α、β是两个不同的平面，b是直线且b⊂β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】α、β是两个不同的平面，b是直线且b⊂β“b⊥α”可得：α⊥β；反之不成立，即可判断出关系．【解答】解：α、β是两个不同的平面，b是直线且b⊂β“b⊥α”⇒α⊥β；反之不成立，若α⊥β，b⊂β，b⊥α不一定成立．故选：A．5．过点A和圆心O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接OD．AD与⊙O切于点D，可得AD2=AB•AC，解出AC．在Rt△ADO中，S△ADO==，解得DE．由DE⊥BC，可得BE•EC=DE2，即BE•（BC﹣BE）=DE2，解出BE即可得出．【解答】解：连接OD．∵AD与⊙O切于点D，∴AD2=AB•AC，∴AC==15．∴BC=15﹣3=12，∴⊙O的半径r=6．在Rt△ADO中，S△ADO==，解得DE==2．∵DE⊥BC，∴BE•EC=DE2，即BE•（BC﹣BE）=DE2，∴BE2﹣BC•BE+DE2=0，∴BE2﹣12BE+20=0，解得BE=2或10（舍去）．∴BE=2，故选：C．6．如图所示的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填入的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜5【考点】程序框图．【分析】由题意，若输出S的值为3，可得退出循环时S的值为6，即S=6，i=3时，应该不满足条件，退出循环，从而可得判断框内应填入的判断条件为i＜3．【解答】解：由题意，若输出S的值为3，可得：3=log2（S+2），即退出循环时S的值为6．模拟程序框图的运行过程，得S=0，i=1满足条件，执行循环体，S=2，i=2满足条件，执行循环体，S=6，i=3此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出S的值为6，故判断框内应填入的判断条件为i＜3．故选：B．7．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所示，那么满足不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3]B．[﹣3，﹣2]∪（0，1]C．[﹣2，0）∪[1，3]D．[﹣1，0）∪（0，1]【考点】函数的图象．【分析】由图象可知，当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，分别利用函数的图象，结合不等式f（x）≥2x﹣1，即可得出结论．【解答】解：由图象可知，x=0时，2x﹣1=0，∴f（x）≥0，成立；当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当0＜x≤1时，f（x）＞1，2x﹣1≤1，满足不等式f（x）≥2x﹣1；当1＜x＜3时，f（x）＜1，1＜2x﹣1＜7，不满足不等式f（x）≥2x﹣1；∵函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，∴当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，当﹣3＜x≤﹣2时，﹣≤f（x）＜0，﹣＜2x﹣1≤﹣，满足不等式f（x）≥2x﹣1；当x＞﹣2时，f（x）＜﹣，2x﹣1＞﹣，不满足不等式f（x）≥2x﹣1；∴满足不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是[﹣3，﹣2]∪[0，1]．故选：B．8．将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示．设正八角星的中心为O，并且=，=，若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为λ+μ，λ，μ∈R的形式，则λ+μ的最大值为（）A．B．2 C．1+D．2【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据题意找出使得λ+μ最大的顶点C，根据向量加法的平行四边形法则可作出平行四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的几何意义便可得出，这样由平面向量基本定理即可求出λ+μ的最大值．【解答】解：如图，根据图形及向量加法的平行四边形法则可看出O到顶点C的向量，此时λ+μ最大；作平行四边形OBCD，设BC=a，根据题意得，OA=；∴；∴；∴=；又；∴；即λ+μ的最大值为．故选C．一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知S n是等比数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公比q=2，则数列{a n}的通项公式a n=2n（N*）．【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的前n项和公式和通项公式求解即可．【解答】解：∵S n是等比数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公比q=2，∴，解得：a1=2，∴N*）．故答案为：2n（N*）．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上一点，则|OA|的最小值为．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出极坐标方程的普通方程，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线l：ρsinθ=ρcosθ+2的普通方程为：y=x+2，极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上一点，则|OA|的最小值就是原点到直线的距离：d==．故答案为：．11．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=，AC=【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cos∠ADB=﹣，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=，求得∠ADC，利用正弦定理即可得解AC的值．【解答】解：∵AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，∴由余弦定理可得：cos∠ADB===﹣，∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=，∴∠ADC=π﹣∠ADB=，∴由正弦定理可得：AC===．故答案为：，．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的棱长为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥．AC⊥侧面PBC．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，AC⊥侧面PBC．∠PCB=135°，BC=1，PC=．则该三棱锥中最长棱的棱长为PB===．故答案为：．13．2016年3月12日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园一带一谷”七大板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“一谷”即延寿生态观光谷．某校学生准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“一馆一园一带一谷”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有144种．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】先选择一馆一园一带一谷，再进行排序，即可得出结论．【解答】解：由题意，先选择一馆一园一带一谷，再进行排序，即=144种．故答案为：144．14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）①若a3=，则a=；②记S n=a1+a2+…+a n，则S2016=1512．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】①由a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a+．对a分类讨论：当时，当时，即可得出．②a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），a2=﹣a1+=﹣a+．对a分类讨论：当时，可得：a n+2=a n．当时，可得a n+4=a n．即可得出．【解答】解：①∵a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a=，舍去；当时，a3=a2﹣1=﹣a+=，解得a=，满足条件．∴a=．②a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a，∴a4=﹣a2+=﹣a，∴a n+2=a n．S2016=（a1+a2）×1008=1512．当时，a3=a2﹣1=﹣a+=﹣a+，∴a4=﹣a3+=﹣+=a+1＞1，∴a5=a4﹣1=a．∴a n+4=a n．∴S2016=（a1+a2+a3+a4）×504=3×504=1512．综上可得：S2016=1512．故答案分别为：；1512．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．【分析】（I）由函数图象可知A，T=π，利用周期公式可求ω，又函数过点（，2），结合范围|φ|＜，解得φ，可求函数解析式，由函数图象可得2sin（2x0+）=，可解得x0=kπ﹣，k∈Z，又结合范围﹣＜x0＜，从而可求x0的值．（II）由x∈[﹣，]，可求范围2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可求其最值．【解答】（本小题满分13分）解：（I）∵A＞0，ω＞0，由函数图象可知，A=2，T==2[x0﹣（x0﹣）]=π，解得ω=2，又∵函数过点（，2），可得：2=2sin（2×+φ），解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，又|φ|＜，∴可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∵由函数图象可得：2sin（2x0+）=，解得：2x0+=2kπ+，k∈Z，可得：x0=kπ﹣，k∈Z，又∵﹣＜x0＜，∴x0=，…（II）由x∈[﹣，]，可得：2x+∈[﹣，]，…当2x+=﹣时，即x=﹣，f（x）min=f（﹣）=﹣1，当2x+=时，即x=，f（x）max=f（）=2．…16．为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试．现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采用A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上）测试成绩[85，100][70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新生的测试成绩互相独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用均值与方差的定义分别求出甲、乙两校新生的数学成绩的均值与方差，从而得出结论．（2）分类讨论，求得甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率．【解答】解：（1）两校新生的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新生的数学测试样本成绩的方差小于乙校新生的数学测试样本成绩的方差．（2）设事件D=“从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级”．设事件E1=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为A”，P（E1）=，设事件E2=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B”，P（E2）=，设事件F1=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B”，P（F1）=，设事件F2=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为C”，P（F2）=，根据题意，D=E1F1∪E1F2∪E2F2，所以P（D）=P（=E1F1）+P（E1F2）+P（E2F2）=++•=，因此，从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率为．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正方形A1ACC1所在平面，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的一点（端点除外），平面AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平面BC1D所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质．【分析】（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD，则由中位线定理得出GD∥AB1，于是AB1∥平面BC1D，由线面平行的性质得出AB1∥EF；（II）以C1为原点建立空间坐标系，求出和平面BC1D的法向量，则AE与平面BC1D所成角的正弦值为|cos＜＞|；（III）设=λ，求出和的坐标，令•=0解出λ．【解答】证明：（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD．∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴G为B1C的中点，∵D为AC中点，∴GD∥AB1．又GD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．∵AB1⊂平面AB1EF，平面AB1EF∩平面BC1D=EF，∴AB1∥EF．（II）以C1为原点，以C1A1，C1C，C1B1为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示．则A（2，2，0），E（0，1，），B（0，2，1），C1（0，0，0），D（1，2，0）．∴=（﹣2，﹣1，），=（0，2，1），=（1，2，0）．设平面BC1D的法向量为=（x，y，z），则∴，令y=1，得=（﹣2，1，﹣2）．∴cos＜，＞===．∴AE与平面BC1D所成角的正弦值为．（III）假设在线段BC1上存在点E，使得A1E⊥CE，设=λ，则=（0，，）．∴=﹣=（﹣2，，），==（0，﹣，）．∵A1E⊥CE，∴．即．解得：λ=．∴在线段BC1上存在点E，使得A1E⊥CE，且=．18．已知函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线．设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）分别求得f（x）和g（x）的导数，由题意可知：即可求得c的值及a、b的关系；（Ⅱ）写出h（x）的表达式，求导，构造辅助函数F（x）=h′（x），由∀a∈R，F′（x）＞0，即可判断h′（x）的单调性，求得h′（x）的零点，并根据h′（x）判断出h（x）的单调性；（Ⅲ）由（II）知当x∈[0，1]时，h（x）是增函数，将问题转化为：h（x）max﹣h（x）min=e a﹣a≤e﹣1，即当a≥0时，G（a）=e a﹣a﹣（e﹣1）≤0，求得函数的单调性，求得a的取值范围．【解答】解：（I）∵函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c，∴函数f′（x）=ae ax，g′（x）=﹣2x+b．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线，∴，即，∴c=1，a=b；…（II）由已知，h（x）=f（x）﹣g（x）=e ax+x2﹣ax﹣1．∴h′（x）=ae ax+2x﹣a，设F（x）=ae ax+2x﹣a，所以F′（x）=a2e ax+2，∀a∈R，F′（x）＞0，所以h′（x）在（﹣∞，+∞）上为单调递增函数．…由（I）得，f′（0）=g′（0）所以h′（0）=f′（0）﹣g′（0）=0，即0是h′（x）的零点．所以，函数h（x）的导函数h′（x）有且只有一个零点0．…所以h′（x）及h（x）符号变化如下，x （﹣∞，0）0 （0，+∞）h（x）﹣0 +h′（x）↘极小值↗所以函数h′（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）．…（III）由（II）知当x∈[0，1]时，h（x）是增函数．对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，等价于h（x）max﹣h（x）min=h（1）﹣h（0）=e a﹣a≤e﹣1，等价于当a≥0时，G（a）=e a﹣a﹣（e﹣1）≤0，∵G′（a）=e a﹣1≥0，∴G（a）在[0，+∞）上是增函数，又G（1）=0，所以a∈[0，1]．…19．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意知c=1，b=，求得a=2，进而得到椭圆方程和离心率；（II）设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），将A，P代入椭圆方程．两式相减，由点B，C，P三点共线，可得直线PB，BC的斜率相等，化简整理求得k AB•k PA=﹣1，即可得证；或求得k PA•k PB=﹣，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．【解答】解：（I）由题意知c=1，b=，则a2=b2+c2=4，所以椭圆M的方程为+=1，椭圆M的离心率为e==；（II）证明：设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），由点A，P在椭圆上，所以+=1①，+=1②点A不是椭圆M的顶点，②﹣①可得=﹣，法一：又k PB=，k BC==，且点B，C，P三点共线，所以=，即=，所以k AB•k PA=•=•==•（﹣）=﹣1．即AB⊥AP．法二：由已知AB，AP的斜率都存在，k PA•k PB=•==﹣，又k PB=k BC=，可得k PA=﹣，则k AB•k PA=•（﹣）=﹣1，即AB⊥AP．20．定义max{x1，x2，x3，…，x n}表示x1，x2，x3，…，x n中的最大值．已知数列a n=，b n=，c n=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*．记d n=max{a n，b n，c n}（Ⅰ）求max{a n，b n}（Ⅱ）当k=2时，求d n的最小值；（Ⅲ）∀k∈N*，求d n的最小值．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由题意，max{a n，b n}=max{， }，﹣=，分别求得k=1、k=2及k≥3时，分别求得max{a n，b n}；（Ⅱ）当k=2时，由（Ⅰ）可得d n=max{a n，c n}=max{， }，根据数列的单调性求得n=，d n取得最小值，44＜＜45，分别求得d44和d45，比较即可求得d n取得最小值；（Ⅲ）由（II）可知，当k=2时，d n的最小值为，当k=1及k≥3时，根据函数单调性，分别求得可能取最小值时，n的取值，比较即可求得d n取得最小值；【解答】解：（I）由题意，max{a n，b n}=max{， }，因为﹣=，所以，当k=1时，＜，则max{a n，b n}=b n=，当k=2时，=，则max{a n，b n}=a n=，当k≥3时，＞，则max{a n，b n}=a n=．…（II）当k=2时，d n=max{a n，b n，c n}=max{a n，c n}=max{， }，因为数列{a n}为单调递减数列，数列{c n}为单调递增数列，所以当=时，d n取得最小值，此时n=．又因为44＜＜45，而d44=max{a44，c44}=a44=，d45=c45=，有d44＜d45．所以d n的最小值为．…（III）由（II）可知，当k=2时，d n的最小值为．当k=1时，d n=max{a n，b n，c n}=max{b n，c n}=max{， }．因为数列{b n}为单调递减数列，数列{c n}为单调递增数列，所以当=时，d n取得最小值，此时n=．又因为72＜＜73，而d72=b72=，d72=c72=，．此时d n的最小值为，＞．（2）k≥3时，≥=，a n＞b n，所以d n=max{a n，b n，c n}=max{a n，c n}≥max{， }．设h n=max{， }，因为数列{a n}为单调递减数列，数列{}为单调递增数列，所以当=时，h n取得最小值，此时n=．又因为36＜＜37，而h36=a36=，h37=，＜．此时d n的最小值为，＞．．综上，d n的最小值为d44=．…。
2020年北京昌平区高三二模数学试卷
故选 ．
7. A
解析:
双曲线：
的渐近线方程为
，右焦点在
，
设 点坐标为
，
则
的面积
，
7
解得
．
故选 ．
8. A 解析: 若函数
在
上单调递增，则
，即
，即
之，若
，则函数 在
上不一定单调递增，故“函数
“ 故选 ．
”的充分而不必要条件．
，解得
，反
在
上单调递增”是
9. C
解析:
由题意，曲线
的图象上到直线
距离为 的点 有且仅有 个，
19. 已知椭圆
的离心率为 ，椭圆 与 轴交于 ， 两点（ 在下
方)，且
．过点
的直线 与椭圆 交于 ， 两点（不与 重合)．
（ 1 ） 求椭圆 的方程；
（ 2 ） 证明：直线 的斜率与直线 的斜率乘积为定值．
20. 已知函数
，
．
（1） 当
时，求曲线
在点 处的切线方程．
（ 2 ） 求函数
的单调区间．
（3） 当
4. A
解析:
∵
，
又∵
，
∴
∴
．
故选 ．
， ，
5. B
解析:
∵
，
∴
，Байду номын сангаас
又∵
， ，
，
，由
得
，则 的系数为
6
∴
，
又∵
，
又
，
∴
，
∴
．
故选 ．
6. C 解析: 在长方体中作出该几何体的直观图，如图所示，
三棱锥
北京市昌平区2020届高三第二次统一练习(二模)数学试题(解析版)
近线方程即可得到横坐标
解：由双曲线方程可得 a＝1，b＝2，则 c
，
则渐近线方程为：y＝2x，F（ ，0），
又 S c• |yP|＝5，则 yP＝±2 ，
当 y＝2 时，x
，
当 y＝﹣2 时，x
，
故点 P 的横坐标为± ， 故选：A．
8．已知函数 f（x）＝sinωx（ω＞0），则“函数 f（x）在 ≤2”的（ ）
∴
，解得 a＝﹣1 或 a＝3
又当 a＝﹣1 时，函数 y＝ex 的图象与直线 y＝x﹣1 没有交点，从而只有两个点到直线距 离为 ，所以不满足；
故 a＝3．
故选：C．
10．一次数学考试共有 8 道判断题，每道题 5 分，满分 40 分．规定正确的画√，错误的画 ╳．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则 m 的值为（ ）
7．已知点 P 是双曲线 C：x2
1 的一条渐近线 y＝kx（k＞0）上一点，F 是双曲线 C
的右焦点，若△OPF 的面积为 5，则点 P 的横坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件得到渐近线方程为：y＝2x，再由面积为 5 得到 yP＝±2 ，再带回渐 8 / 25
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
5．设
，c＝ln2，则（ ）
A．c＜b＜a
B．c＜a＜b
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
解：∵b＝20.5，又 0＜0.3＜0.5，
∴20＜20.3＜20.5，即 b＞a＞1，
∵ln1＜ln2＜lne＝1，∴0＜c＜1，
∴b＞a＞c，
故选：B．
北京市昌平区2020届高三数学5月综合练习(二模)试题理(含解析)
北京市昌平区 2020 届高三 5 月综合练习（二模）数学理试题本试卷共 5 页，共150 分．考试时长120 分钟．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共40 分。
在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1. 已知全集U R ，会合 A { x | x2 1} , 则e U AA.( , 1) (1, )B.( , 1]U[1, )C.( 1,1)D.[ 1,1]【答案】 A【分析】【剖析】由题意第一求得会合A，而后进行补集运算即可.【详解】 A { x | x2 1} ＝ { x | 1 x 1} ，因此， e U A { x | x 1或x 1} ，表示为区间形式即 ( , 1) (1, ) .应选： A.【点睛】此题主要考察会合的表示方法，补集的定义与运算等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力.2.已知复数 z 1 a(1 i) （i为虚数单位， a 为实数）在复平面内对应的点位于第二象限，则复数 z 的虚部能够是A. 1 iB. 1 i1 1C. D.2 2 2 2 【答案】 D【分析】【剖析】由题意获得对于 a 的不等式组，求解不等式组即可确立复数z 的虚部 .【详解】 z 1 a(1 i) ＝ (a 1) ai ，对应点为：( a 1,a) 在第二象限，a 10因此，a 0因此复数的虚部 a 的取值范围为：0 a1，只有 D切合.应选： D.【点睛】此题主要考察复数的运算法例，复数所在象限确实定等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力 .3. 已知某程序框图以下图，则履行该程序后输出的 a 的值是A. 1B. 1 2C. 1D. 2【答案】 A【分析】【剖析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运转过程，即可获得答案【详解】代入 a 2 ， i 1 2018，则a 1 1 1 ， i 112；2 2再次代入得 a 1 ， i 3 ；持续代入得 a 2 ， i 4 ；不难发现出现了循环，周期为 3 则当 i 2018 时， a 1 ， i 2018 1 2019 2018 ，跳出循环获得a 1应选 A【点睛】此题主要考察的是程序框图，在循环构造中找出其循环规律，即可得出结果， 较为基础x y3 0,4. 若直线 y2x 上存在点 ( x, y) 知足 x 2y3 0, 则实数 m 的最大值为x m,A. 2B. 1C. 1D. 3【答案】 B 【分析】 【剖析】第一画出可行域，而后联合交点坐标平移直线即可确立实数 m 的最大值 .【详解】不等式组表示的平面地区以下列图所示，y 2x x 1由2 y3 0，得：，x y2即 C 点坐标为（－ 1，－ 2），平移直线 x ＝ m ，移到 C 点或 C 点的左侧时，直线 y2x 上存在点 ( x, y) 在平面地区内，因此， m ≤－ 1，即实数 m 的最大值为－ 1.【点睛】此题主要考察线性规划及其应用，属于中等题.r rr rr r5. 设 a, b 是非零向量，则“存在实数，使得 ab ”是“ ab a b ”的A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】【剖析】由题意联合向量共线的性质分类议论充足性和必需性能否成立刻可.【详解】存实数，使得a b ，r r r r r r r r说明向量 a,b 共线，当 a,b 同向时， a b a b 成立，r r r r r r当 a, b 反向时， a b a b 不行立，因此，充足性不行立.r r r r r r当 a b a b 成即刻，有 a,b 同向，存在实数，使得a b 成立，必需性成立，r r r r即“存在实数，使得 a b ”是“a b a b ”的必需而不充足条件.应选： B.【点睛】此题主要考察向量共线的充足条件与必需条件，向量的运算法例等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力 .6.某四棱锥的三视图以下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D. 4 【答案】 C【分析】【剖析】第一由三视图复原几何体，而后联合几何体的特点可得直角三角形的个数.【详解】由三视图可得，该四棱锥以下列图的P－ ABCD，直角三角形有：△PAD、△ PCD、△ PAB，共3个.应选： C.【点睛】此题主要考察三视图复原几何体的方法，棱锥的空间构造特点等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力 .7.嫦娥四号月球探测器于 2020 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12 日下午 4 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为 100公里，远月点与月球表面距离为 400 公里. 已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A. 1B. 3C. 1D.325 40 8 5 【答案】 B【分析】【剖析】由题意分别求得a, c 的值，而后联合离心率的定义可得椭圆离心率的近似值.【详解】以下列图，F为月球的球心，月球半径为：1×3476＝1738，2依题意，｜ AF｜＝100＋1738＝1838，｜BF｜＝400＋1738＝2138. 2a＝ 1838＋2138，a＝1988，a＋ c＝2138，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：c 150 3 e1988，a 40选 B.【点睛】此题主要考察椭圆的实质应用，椭圆离心率的求解，近似计算的方法等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力.x2 x(0 x 1),8. 已知函数 f ( x) 是定义在R上的偶函数，且知足 f ( x)2，若函数x1( xx 1)eF ( x) f ( x) m 有6个零点，则实数m 的取值范围是A. (1,12) B. (1,0) U(0,12 ) 16 e 16 eC.1D. [0,1 0,2 2 ) e e【答案】 C【分析】【剖析】将原问题转变为两个函数有六个交点的问题，联合函数的分析式利用导数研究函数图像的变化状况，由函数图像即可确立实数m 的取值范围.【详解】函数 F ( x) f ( x) m 有6 个零点，等价于函数 y f ( x) 与 y m 有 6 个交点，当 0x 1时， f ( x) x 2x ( x 1) 2 1 ，x 12 4 16当x 时，f ( x) ， f '(x)2 x1e x e x ，当 x [1,2] 时， f ( x) 递加，当 x (2, ) 时， f (x) 递减，f ( x) 的极大值为： f (2)1e 2，作出函数 f (x) 的图象以下列图，y f (x) 与 ym 的图象有 6 个交点，须 0 m10, 1e2 ，表示为区间形式即e 2.应选： C .【点睛】 此题主要考察导函数研究函数图像的性质，数形联合的数学思想， 等价转变的数学思想等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9. 已知幂函数 f x 的图象经过点 (2,2) ，则 f (4) 的值为 ___________【答案】 2 【分析】设 f x x， f 2 22,112.42，故 f 4210. 在极坐标系中，极点到直线cossin2的距离为 ________.【答案】 2【分析】【剖析】第一将极坐标化为直角坐标，而后利用点到直线距离公式可得距离.【详解】极坐标方程化为直线方程即：x＋ y－2＝0，|0 0 2|2 .极点坐标即（ 0,0 ），因此距离为：2【点睛】此题主要考察极坐标与直角坐标的互化，点到直线距离公式等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力 .11. 在V ABC中，三边长分别为 a 3,b 2 2, c5 ,其最大角的余弦值为_________,V ABC 的面积为_______.【答案】(1).10(2). 3 10【分析】【剖析】利用余弦定理可得最大角的余弦值，而后联合同角三角函数基本关系和面积公式可得三角形的面积 .【详解】大边对大角可知， A 最大，因此， cosA＝b2 c2 a2 8 5 9 10 ；2bc 2 2 2 5 10sin A 1 cos2 A 3 10 ，10V ABC 的面积为S＝1bcsin A 1 2 2 5 3 10 ＝ 3.2 2 10【点睛】此题主要考察余弦定理的应用，三角形面积公式的应用等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力.12.2020 年 3 月 2 日，昌平“回天”地域展开了7 种不一样种类的“三月雷锋月,回天有我”社会服务活动 .此中有2种活动既在上午展开、又在下午展开，3 种活动只在上午展开， 2 种活动只在下午展开.小王参加了两种不一样的活动，且分别安排在上、下午，那么不一样安排方案的种数是___________.【答案】 18【分析】【剖析】由题意利用分类加法计数原理和摆列组合有关结论可得不一样安排方案的种数.【详解】小王参加的是两种不一样的活动，有 2 种活动既在上午展开、又在下午展开，（1）设小王没参加既在上午展开、又在下午展开的 2 种活动，则有： C31 C21 ＝ 6 种方案；（2）设小王参加了既在上午展开、又在下午展开的 2 种活动，（a）上午参加了既在上午展开、又在下午展开的 2 种活动之一，则有：C21 C 21 ＝ 4 种方案；（b）下午参加了既在上午展开、又在下午展开的 2 种活动之一，则有：C31 C21 ＝ 6 种方案；（c）上下午都参加了既在上午展开、又在下午展开的 2 种活动，则有：C21 C11 ＝ 2 种方案；因此，不一样的安排方案有：6＋ 4＋ 6＋ 2＝18 种 .【点睛】此题主要考察分类加法计数原理，分步乘法计数原理等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力.13. 设数列{ a } 的前 n 项和为 S ，且n N* ,a a ,S S 请写出一个知足条件的数列n n n 1n n 6 .{ a n} 的通项公式 a n________．【答案】 n 6( n N* ) （答案不独一）【分析】【剖析】第一由题意确立数列的特点，而后联合数列的特点给出知足题意的数列的通项公式即可. 【详解】n N* ,a n 1 a n，则数列{ a n}是递加的，n N* , S n S6，即S6 最小，只需前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，因此，知足条件的数列 { a n } 的一个通项公式 a nn 6(n N * ) （答案不独一）【点睛】 此题主要考察数列前 n 项和的性质， 数列的通项公式确实定等知识， 意在考察学生的转变能力和计算求解能力 .14. 已知平面内两个定点M (3,0) 和点 N ( 3,0) ， P 是动点，且直线 PM , PN 的斜率乘积为常数 a(a 0) ，设点 P 的轨迹为 C .① 存在常数 a(a0) ，使 C 上全部点到两点 ( 4,0),(4,0) 距离之和为定值；② 存在常数a(a0) ，使 C 上全部点到两点 (0, 4),(0,4) 距离之和为定值； ③ 不存在常数 a(a 0) ，使 C 上全部点到两点 ( 4,0),(4,0) 距离差的绝对值为定值； ④ 不存在常数 a(a0) ，使 C 上全部点到两点 (0, 4),(0,4) 距离差的绝对值为定值 .此中正确的命题是 _______________. （填出全部正确命题的序号）【答案】 ②④【分析】【剖析】由题意第一求得点 P 的轨迹方程， 而后联合双曲线方程的性质和椭圆方程的性质考察所给的说法能否正确即可 .【详解】设点 P 的坐标为： P （ x ， y ），依题意，有：y y 3 xa ，x 3整理，得：x 2y 2 1 ， 9 9a对于①，点的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，且c ＝4， a ＜ 0，椭圆在 x 轴上两极点的距离为：2 9 ＝ 6，焦点为： 2×4＝ 8，不符；对于②，点的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆，且 c ＝4，椭圆方程为：y 2 x 2 1，则 9a 9 16 ，解得： a25 9a9，切合；9对于③，当 a7 x 2 y 2 1，因此，存在知足题意的实数a ，③错误；时，799对于④，点的轨迹为焦点在y 轴上的双曲线，即y 2 x 29a1，9不行能成为焦点在y 轴上的双曲线，因此，不存在知足题意的实数a ，正确 .因此，正确命题的序号是②④.【点睛】此题主要考察轨迹方程的求解，双曲线方程的性质， 椭圆方程的性质等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力.三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. 已知函数 f ( x ）=cos x( 3sin x cosx)+1.2（I ）求 f () 的值；3（II ）当 x [0, ] 时，不等式 cf ( x) c2 恒成立，务实数 c 的取值范围．2【答案】（I ）1 ； （II ） ( 1,1) .2【分析】【剖析】( Ⅰ ) 第一整理函数的分析式，而后联合函数的分析式求解函数值即可；( Ⅱ ) 第一求得函数f x 在区间 0,上的值域，而后联合恒成立的结论获得对于 c 的不等2式组，求解不等式组可得c 的取值范围 .【详解】（ I ） f ( x ）= 3sin xcosx21 31= sin(2 x ) ,cos x+=sin 2xcos2 x2226因此 f ( ) 1 .35（II ）由于 0x，因此2x. 因此1 ） 1.66 sin （2x2626c 1 ,1 由不等式 cf (x) c2 恒成立， 因此 2，解得 1 c.c2 12因此实数 c取值范围为 ( 1, 1).2【点睛】 此题主要考察三角函数的性质及其应用， 恒成立问题的办理方法等知识， 意在考察学生的转变能力和计算求解能力.16. 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面PCD平面ABCD, AB 2, BC1，PC PD2，E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE ；（Ⅱ）求二面角 E AC D 的余弦值；（Ⅲ）在棱 PD 上能否存在点M ，使得 AM BD ？若存在，求PM 的值；若不存在，说PD明原因．【答案】（ I ）看法析；（ II ）6；（Ⅲ）答案看法析 . 6【分析】【剖析】( Ⅰ ) 由题意联合三角形中位线的性质和线面平行的判断定理即可证得题中的结论；( Ⅱ ) 由题意成立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，而后联合法向量可得二面角的余弦值；( Ⅲ ) 假定存在知足题意的点uuuur uuurPM PD ，由题意联合点的坐标和向量垂直的充足必需条件获得对于的方程，解方程即可确立的值.【详解】（ I ）设BD交AC于点F，连接EF.由于底面 ABCD 是矩形,因此F为 BD 中点.又由于 E为PB中点,因此EF∥ PD.由于 PD平面ACE , EF平面ACE,因此PD∥平面ACE.（II ）取 CD 的中点 O ，连接 PO ， FO . 由于底面 ABCD 为矩形 , 因此 BCCD .由于 PC PD ， O 为CD 中点 ,因此 POCD ,OF ∥BC ，因此 OF CD .又由于平面 PCD ⊥平面 ABCD , PO 平面 PCD , 平面 PCD ∩平面 ABCD =CD . 因此⊥平面 ，POABCD如图，成立空间直角坐标系O xyz , 则 A(1, 1,0)，C(0,1,0) B(1,1,0),P(0,0,1),E( 1 , 1 , 1) ，ur uuuruuur2 2 2( 1, 3,1)设平面 ACE 的法向量为 m( x, y, z) ， AC ( 1,2,0), AE2 2 2uuuv v0,x 2 y 0, x 2y,AC m1 3 1因此 uuuv vx y 0 z y.AE m2 2 z2令 y 1 ，则 x 2, z1 ，因此 ur.m （2,1， 1）uuurur uuurur uuur 6(0,0,1) m OP.平面 ACD 的法向量为 OP ，则 cos m,OPuruuur 6| m | OP如图可知二面角 E AC D 为钝角，因此二面角 EAC D 的余弦值为6 .6（Ⅲ）在棱 PD 上存在点 M ,使 AMBD .设 PM([0,1]), M ( , , ) 则 uuuuruuur.x y z ,PM PDPD,D （0， 1,0）由于 (x,y,z 1) (0, 1, 1), 因此 M (0,,1) .uuuur( 1,1,1uuur( 1, 2,0) .AM ), BD由于 AMuuuur uuur. BD,因此 AM BD因此1 （21 ）=0 ，解得= 1[0,1].2BD ，且PM1因此在棱 PD 上存在点 M , 使 AM .PD 2【点睛】此题主要考察线面平行的判断定理，面面角的向量求法，立体几何中的探究性问题等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力.17. 某学校为认识高一重生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试. 现从男、女生中各随机抽取 20 人，把他们的测试数据，依据《国家学生体质健康标准》整理以下表. 规定：数据≥ 60 ，体质健康为合格.等级数据范围男生人数男生均匀分女生人数女生均匀分优异[90,100] 5 91.3 2 91优异[80,89] 4 83.9 4 84.1及格[60,79] 8 70 11 70.2不及格60 以下 3 49.6 3 49.1总计-- 20 75.0 20 71.9(I)从样本中随机选用一名学生，求这名学生体质健康合格的概率；(II)从男生样本和女生样本中各随机选用一人，求恰有一人的体质健康等级是优异的概率；（III ）表中优异、优异、及格、不及格四个等级的男生、女生均匀分都靠近（两者之差的绝对值不大于 1），但男生的总均匀分却明显高于女生的总均匀分．研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总均匀分也靠近，请写出去掉的这个等级．（只需写出结论）【答案】（ I ）17；（ II ）3；（ III）去掉的等级为优异. 2010【分析】【剖析】( Ⅰ ) 第一确立合格人数和总人数，而后利用古典概型计算公式可得体质健康合格的概率；( Ⅱ ) 第一确立从男生、 女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优异的概率， 而后联合独立性事件概率公式可得知足题意的概率值；( Ⅲ ) 联合表格给出所需去掉的等级即可.【详解】（ I ）样本中合格的学生数为： 5 2 44 8 11 34 ，样本总数为： 2020 40 ，这名学生体质健康合格的概率为34 1740.205 1（II ）设事件 A 为“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优异”，P(A)20 .4事件 B 为“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优异”,P(B) 21 .2010由于 A, B 为独立事件， 故所求概率为P( AB AB) P( AB) P(AB) P( A)(1P(B))(11 9 3 1 3.P(A)) P(B)10 4 10 104（III ）去掉的等级为优异 .【点睛】 此题主要考察古典概型概率公式， 独立事件概率公式及其应用等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力 .18. 已知 f xx 1 e x1ax 2 ．2(I) 若曲线 y f x 在点 (1, f (1))处的切线与 x 轴平行，求 a 的值； (II) 若 f (x) 在 x 0 处获得极大值，求 a 的取值范围 . 【答案】（ I ） e ； （ II ） (1, ) .【分析】【剖析】( Ⅰ ) 由题意利用导函数与原函数切线的关系可得对于a 的方程，解方程即可求得实数 a 的值 .( Ⅱ ) 第一求得导函数的分析式，而后分类议论即可确立实数 a 的取值范围 .【详解】 ( I ) 由于 f xx 1 e x1ax 2 , f x 定义域为 ( ,) ，2因此 f ' xxe x ax ， f ' 1e a.由题设知 f ' 1 0 ，即e a 0, 解得a e ．此时 f (1)= e0 ，因此a的值为e．2（II ）由( I )得f ' x xe x ax x(e x a) .①若 a 1 ，则当x ( ,0) 时，x 0,e x 1,e x a 0, 因此f '( x) 0 ；当 x (0,ln a) 时，x 0,e x a e ln a a 0, 因此f '( x) 0 ．因此 f (x) 在x 0 处获得极大值.②若 a 1 ，则当 x (0,1) 时，x 0，e x a e x 1 0，因此 f '( x) 0 ．因此 0不是 f ( x)的极大值点．综上可知， a 的取值范围是（1，+∞）．【点睛】导数是研究函数的单一性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考察主要从以下几个角度进行：(1) 考察导数的几何意义，常常与分析几何、微积分相联系．(2) 利用导数求函数的单一区间，判断单一性；已知单一性，求参数． (3) 利用导数求函数的最值( 极值 ) ，解决生活中的优化问题．(4)考察数形联合思想的应用．19. 已知抛物线G : y2 2 px p 0 过点M 1, 2 ，A, B是抛物线 G 上异于点M的不一样两点，且以线段AB 为直径的圆恒过点M .（I ）当点A与坐标原点O 重合时，求直线MB 的方程；（II ）求证：直线AB 恒过定点，并求出这个定点的坐标.【答案】（ I ）x 2 y 5 0；（II ）答案看法析.【分析】【剖析】( Ⅰ ) 第一求得抛物线的方程，而后求得AO的斜率，最后利用直线垂直的充足必需条件可得直线 MB 的方程；( Ⅱ ) 联立直线方程与抛物线方程，联合韦达定理获得系数之间的关系，而后联合直线方程的形式即可证得直线恒过定点.【详解】（ I ）由于M 1, 2 在抛物线G : y2 2 px p 0 上，因此 2 22 p 1 ，因此 p 2 ，抛物线 G : y2 4x .当点 A 与点 O 重合时，易知k AM 2 ，由于以线段 AB 为直径的圆恒过点M ，因此AM MB .因此k BM 1. 2因此 MB : y 2 1x 1 , 即直线 MB 的方程为 x 2 y 5 0. 2（II ）明显直线 AB 与x轴不平行，设直线AB 方程x my n .x my n,，消去 x 得y 2 4my 4n 0 .y 2 4x设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，由于直线AB与抛物线交于两点，因此=16m2 16n 0, y1 y2 4m, y1 y2 4n ①由于以线段 AB 为直径的圆恒过点M ，因此AM MB .由于 A, B 是抛物线上异于M的不一样两点 , 因此x1,x2 1 , k MA k MB 1 .k MA =y12y1 2 4 k=y2 2 y2 2 4 x 1 y 2 y 2 ,同理得MB x 1 y 2 y 2 .1 12 2 211 14 4因此4 4=1, 即( y1 2)( y2 2) 16 0 , y1y2 2(y1+y2 ) 20 0 . y1 2 y2 2将①代入得， 4 n 8m 20 0 ，即 n = 2 m 5 .代入直线方程得x my 2m 5 m(y 2) 5.因此直线 AB 恒过定点(5, 2)【点睛】 (1) 直线与抛物线的地点关系和直线与椭圆、双曲线的地点关系近似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线能否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式 | AB| ＝x1＋x2＋p，若可是焦点，则一定用一般弦长公式．20. 对于会合 A a1 , a2 , , a n，B { b1 ,b2 , ,b m } ，n N* ,m N *, A B { x y | x A, y B} .会合A中的元素个数记为| A|.规定：若会合A知足 |A A|n(n 1)，则称会合 A 拥有性质 T ．2（I ）已知会合 A{1,3,5,7} ， B{ 1 2 4 8A|， |B B |的值；, , , } ，写出 |A3 3 3 32，证明： A 具（II ）已知会合 Aa 1, a 2 , , a n ， { a n } 为等比数列， a n 0 ，且公比为3 有性质T ；（III）已知 A, B 均有性质 T ，且 n m ，求 | A B |的最小值 .【答案】（I ） | A A | 7;| B B | 10. ； （II）看法析； （ III ） n(n 1) .2 【分析】 【剖析】() 分别求得 A +A B +BA|，|B B|的值；Ⅰ ，，而后可得 | A( Ⅱ ) 将原问题进行等价变形，而后利用反证法证明题中的结论即可；( Ⅲ ) 原问题等价于随意两个元素之和均不同样，且随意两个不一样元素之差的绝对值均不同样.据此整理计算即可确立 | A B | 的最小值 .【详解】（ I ）由题意可得：A A2,4,6,8,10,12,14 ，B B2,1,5 ,3, 4 , 2,10, 8,4,16,3 33 3 33故 | A A | 7;| B B | 10.（II ）要证 A 拥有性质 T ，只需证明，若 n 1 n 2 n 3n 4 ，则an 1an 4an 2a n 3.假定上式结论不行立，即若n 1 n 2 n 3 n 4 ，则a n 1a n 4an 2an 3.nnq nq nn nn n n n即 q 1q 42 3 ，即 q 41q2 1q311，2 n 4 n 12 n 2 n 1 2 n3 n 1n nn nn nn 3 n 1n 4 n 3n n( )( )( )1， 24 12 2 13 4 22334 1.333由于上式的右侧为3的倍数，而上式的左侧为2 的倍数，因此上式不行立 .故假定不行立，原命题成立 .（III ）由题意，会合 A 拥有性质 T ，等价于随意两个元素之和均不同样 . 如，对于随意的 a b c d ，有 adb c ，等价于 d c b a ，即随意两个不一样元素之差的绝对值均不同样.令 A *{ x y | x A, y A, x y} ，因此 A 拥有性质 T|A A|n(n 1) |A * | n(n 1) .22 由于会合 A, B 均有性质 T ，且 n m ，因此 |A B | n 2 | A * I B *|n 2 n(n 1)n(n1)，当且仅当 A B 时等号成立 .2 2因此 |AB | 的最小值为n( n1) .2【点睛】“新定义”主假如指即时定义新观点、新公式、新定理、新法例、新运算五种，然 后依据此新定义去解决问题， 有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透辟理解 . 可是，透过现象看实质，它们考察的仍是基础数学知识，因此说“新题”不必定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是取胜法宝 .。
北京市昌平区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
北京市昌平区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈ A ．12 B．4 C．2log D．2【答案】A【解析】【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值.【详解】 由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12x g x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.2．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当时，，所以，排除D ．选C ． 3．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,e 【答案】A【解析】试题分析：由题意得()ln 120f x x ax =+-='有两个不相等的实数根，所以()120f x a x-'=='必有解，则0a >，且102f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭'，∴102a <<． 考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求f′（x ）―→求方程f′（x ）＝0的根―→列表检验f′（x ）在f′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.4．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm【答案】C【解析】【分析】 由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，据此可计算出答案.【详解】由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ，∴该几何体的表面积233524S πππ=⨯+⨯⨯=.故选：C【点睛】本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键. 5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cmD ．()2454cm 【答案】D【解析】【分析】 根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.【详解】根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224⨯=.22215+1425452⨯⨯=所以该几何体的表面积是()2454cm . 故选：D【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．8【答案】D【解析】【分析】画出函数()f x 的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.【详解】解：函数()f x ，如图所示()()()()()200f x af x f x f x a +<⇒+<⎡⎤⎣⎦当0a >时，()0a f x -<<，由于关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解因此其整数解为3，又()3963f =-+=-∴30a -<-<，()48a f -≥=-，则38a <≤当0a =时，()20f x <⎡⎤⎣⎦，则0a =不满足题意；当0a <时，()0f x a <<-当01a <-≤时，()0f x a <<-，没有整数解当1a ->时，()0f x a <<-，至少有两个整数解综上，实数a 的最大值为8故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题. 7．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A ．4B ．34C ．211D ．14 【答案】D【解析】试题分析：先画出可行域如图：由{2y xx y =+=，得(1,1)B ，由{x ay x ==，得(,)C a a ，当直线2z x y =+过点(1,1)B 时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点(,)C a a 时，目标函数2z x y=+取得最小值，最小值为3a；由条件得343a=⨯，所以14a=，故选D.考点：线性规划.8．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）A．2014年我国入境游客万人次最少B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差【答案】D【解析】【分析】ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确.【详解】A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；C．入境游客万人次的中位数应为13340.13与13604.33的平均数，大于13340万次，故正确；D．由统计图可知：前3年的入境游客万人次相比于后3年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误. 故选：D.【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.9．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】 X 可以是{}{}{}{}5,1,5,3,5,1,3,5共4个，选D.10．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()U B A =U ð( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}6【答案】D【解析】【分析】根据集合的混合运算，即可容易求得结果.【详解】 {}1,2,3,4,5A B ⋃=Q ，故可得()U B A =U ð{}6.故选：D.【点睛】本题考查集合的混合运算，属基础题.11．已知函数()3sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ） A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a -【答案】B【解析】【分析】 由函数的奇偶性可得，(1)(1)2f f =--=-【详解】∵3()sin f x x a x =+其中3()g x x =为奇函数，()sin t x a x =也为奇函数∴()()()f x g x t x =+也为奇函数∴(1)(1)2f f =--=-故选：B【点睛】函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数12．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m ⊥平面α时，若l ∥α”则“l ⊥m”成立，即充分性成立，若l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，即必要性不成立，则“l ∥α”是“l ⊥m”充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
昌平数学二模高三试卷答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f'(x)的零点个数。
答案：3个解析：对f(x)求导得f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，解得x = ±1。
由于f''(x) = 6x，f''(1) = 6 > 0，f''(-1) = -6 < 0，故x = ±1是f(x)的极值点，因此f'(x)有3个零点。
2. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-3,4)，点C(5,1)，求三角形ABC的外接圆方程。
答案：(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10解析：设三角形ABC的外接圆方程为x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，代入A、B、C三点坐标，解得D = -2，E = -4，F = -1，所以外接圆方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10。
3. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n - 1，求数列{an}的前n项和S_n。
答案：S_n = 2^(n+1) - n - 2解析：根据数列的通项公式，S_n = (2^1 - 1) + (2^2 - 1) + ... + (2^n - 1) = 2^(n+1) - n - 2。
4. 已知等差数列{an}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求该数列的第10项a_10。
答案：a_10 = 21解析：等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n - 1)d，代入a_1 = 3，d = 2，n = 10，得a_10 = 3 + (10 - 1) 2 = 21。
5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0,1]上单调递增，且f(0) = 2，f(1) = 3，求a、b、c的值。
答案：a = 1，b = -2，c = 2解析：由f(0) = 2，得c = 2；由f(1) = 3，得a + b + c = 3，结合f(x)在[0,1]上单调递增，得a = 1，b = -2。
北京昌平区2020年高三数学第二学期统一练习(二)理
昌平区 2020 学年第二学期高三年级第二次一致练习 数学（理科）试卷考生注意事项：1、本试卷共 6 页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120分钟。
2、答题前，考生务势必学校、姓名、考试编号填写清楚。
答题卡上第一部分( 选择题 ) 必须用 2B 铅笔作答，第二部分 ( 非选择题 ) 一定用黑色笔迹的署名笔作答，作图时能够使用2B铅笔。
3、改正时，选择题用塑料橡皮擦洁净，不得使用涂改液。
请保持卡面整齐，不要折叠、 折皱、损坏。
不得在答题卡上作任何标志。
4、请依据题号次序在各题目的答题地区内作答，未在对应的答题地区作答或高出答题区 域的作答均不得分。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、8 小题，每题5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出选择题 ( 本大题共 切合题目要求的一项． )1．已知会合 A { x | x 3}, B { x | ( x 2)( x4) 0}，则 AI B =A ． { x | x 2}B ． { x | 3 x 4}C ． { x | 3 x 4}D ． { x | x 4}2．设向量a (1, x 1)，b (x 1,3)，则是“a // b ”的“x 2”A ．充足但不用要条件B ．必需但不充足条件C ．充要条件D．既不充足也不用要条件113. 已知 a 22 ,b ( )2 , 运算原理2如右图所示，则输出的值为开始A.12B.42输入 a 、 b4是否a bC. 4 22D.4输出 a输出 a b结束4．已知一个空间几何体的三视图如下图，此中正视图、侧视图都是由半圆和矩形构成，依据图中标出 11 的尺寸 ( 单位 :cm) ，可得这个几何体的体积是1331A ．π cmB ． 4 cm32 2 C ． 5cm3正视图侧视图D ． 2π cm33俯视图5. 依据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80 mg/100mL （不含 80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在 80mg/100mL （含 80）以上时，属醉酒驾车。
2019-2020年高三数学第二次质量抽测 理(昌平二模)(含解析)
2019-2020年高三数学第二次质量抽测理（昌平二模）（含解析）考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C解析，所以，选C.（2）已知命题，，那么下列结论正确的是A. 命题B．命题C．命题 D．命题【答案】B解析全称命题的否定是特称命题，所以命题，选B.(3)圆的圆心到直线（为参数）的距离为A. B.1 C. D.【答案】A解析直线的直角方程为，所以圆心到直线的距离为，选A.(4)设与抛物线的准线围成的三角形区域（包含边界）为，为内的一个动点，则目标函数的最大值为A. B. C. D.【答案】D侧视图俯视图2222正视图334EDCBA解析抛物线的准线方程为，所以做出对应的三角形区域如图。
由，得。
平移直线，由图象可知当直线经过点D 时，直线的截距最小，此时z 最大。
由得，即，代入得最大值，选D.(5) 在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为 A. B. C. D. 【答案】C解析由得，解得，所以事件“”发生的概率为，选C. (6) 已知四棱锥的三视图如图所示， 则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 A ． B ． C ． D ．【答案】C解析由三视图可知该几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为，此三角形的面积为：两个侧面面积为：，前面三角形的面积为：。