初中锐角三角函数
AC
AC
注意 ⑴sinA,cos ,tan∠BAC,都是一个完整的符号，
单独的“sin”没有意义,用希腊字母或单独一个大
写英文字母表示的角前面的“∠”一般省略不写，
用三个大写英文字母表示的角前面的“∠”不能省
略⑵。sin 表示一个比值,没有单位.
例题解析：
例1、如图,在Rt△DEF中,
∠F=90°，EF=3，DE=5
1、若sinα=cos15 °, 则锐角α＝ 度。 2、若tanA ·tan15°= 1，则锐角∠A = 。
3、在Rt△ABC中，∠C = 90°，若sinA = cosA ，则tanA = 。
4、如果α是锐角，且sin2α+cos2 35º=1，那么α＝ 度。 5、已知sinα+cosα= 2，则sinα·cosα= 。
1.１锐角三角函数
感悟定义
比值 BACB叫做∠A的正弦(sine [ sain ])，记做sinA=
BC AB
比值 A叫C 做∠A的余弦(cosine [ kosain ]) ，记做cosA= AC
AB
AB
比值 BC叫做∠A的正切(tangent [ tæ ndЗənt ]) ，记做tanA= BC
解后语： 已知直角三角形中的两边或两边之比， 就能求出锐角三角函数值．
练习：
1、 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、
∠B、∠C的对边分别是a，b，c，•
根据下列条件计算∠A的正弦、余
弦和正切值． （1）a=2 2，b= 17 （2）b ：c = 2 ：3 （3）cosB=2/3
在直角三角形中进行 三角函数的相关计算 时，要画出图形，根 据勾股定理计算出各 条边长，然后利用三 角函数的定义计算， 注意准确记住各个三 角函数表示的线段之 比。
老师期望: 只要勇敢地走向黑板来 展示自己,就是英雄!
随堂练习
驶向胜利 的彼岸
1、计算: (1)sin600-tan450;
解：(1)3sin600-tan450 1
=2
32
=
2
(2)cos600+tan600;
解1 ：(2)c3os600+tan600 =2
1 2 3
=
2
随堂练习
驶向胜利 的彼岸
F
3
tanE=__4_/_3_ D
5
E
sinE=__4_/_5_
cosE=__3_/_5_
变式二： 如图,在Rt△DEF中, ∠F=90°，
sinD= 3
5
cosD=__4_/5__•
F
tanD=__3_/4__
tanE=__4_/_3_
3
sinE=__4_/_5_ D
5
E
cosE=__3_/_5_
4
2
B
3、C
七、应用拓展
如图，在△ABC中，∠A=30度， tanB 3 , AC 2 3,
2
求AB。
C
解：过点C作CD⊥AB于点D
∠A=30度， AC 2 3
sin A CD 1 CD 1 2 3
AC 2
2
3
A
cos A AD AC
3 2
AD
3 2 2
6、若sinA=1/3，则cosA= 。
反思提高：
如果∠A是Rt△ABC的一个锐角（如图），则有
sinA=
A的对边 斜边
cosA= A斜的边邻边
0<你s能in求A出<s1in，A与cosA 0<的co取sA值<范1围. 吗？
1(2、)以射⑴线在AB如为始图边任所意示作锐的角格∠D点AB图，并中求出，它请的 求正切出值锐；请角组内α比的较三，谁角画函出的数锐角值的;正切值最大？
36 tan2 300 3 sin 600 2 cos 450.
2.如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂 直于两岸.桥长12m,在C处看桥两端 A,B,夹角∠BCA=600. 求B,C间的距离(结果精确到1m).
A
┐ BC
驶向胜利 的彼岸
同学们，再见！
5
求:△ABC的周长.
B
┐
C
A
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，
B
BC 7, AC 21
7
求∠A、∠B的度数． 解： 由勾股定理
A
21
C
2
2
AB AC2 BC2 21 7 28 2 7
sin A BC 7 1 AB 2 7 2
∴ A=30°
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,
扶梯的长度是多少?
(把实际问题数A学C化) 7
解：因为sin300=A B
AB
A
7 所以，AsBi=n30
7 1
14(m)
7m
2
C
所以，扶梯的长度为14m.
300
B
独立
P13 习题1.3 （1,2）题 作业
1.计算;(1)tan450-sin300; (2)cos600+sin450-tan300;
练习：
2、在Rt△ABC中，如果一条直角边和斜
边的长度都缩小至原来的1/5，那么锐角
A的各个三角函数值（ ）
A．都缩小
B．都不变
C．都扩大5倍 D．无法确定
例题解析：
例2、已∠知C的a、对b、边c，分∠别C表=9示00R注t△意AB记C中住∠这A、些∠B、
（1）用关于a，b，c 的代数结式表论示，∠A可、以∠B当的正
∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30° = 60°
（3）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥
的底面半径OB的 3 倍，求 ．
解： 在图中，
tan a AO 3OB 3 OB OB
a 60
A OB
六、巩固练习
1．求下列各式的值
（1)tan45°－sin30°·cos60°（2） 2．求满足下列条件的锐角α :
sin 600 1 tan 600 2 tan 450
(1) 2cosα- 2 =0 (2) tan（α+10°）= 3
1
3．在 Rt△ABC 中，∠C=90°,若 sinA= 2 ,
A
则 BC∶AC∶AB 等于（ ）
A．1∶2∶5
B.1∶ 3 ∶ 5
C. 1∶ 3 ∶ 2
D.1∶2∶ 3
C
1、（1）3 （2）1 ；2、（1）45°（2）50°
想一想：那么 D tanα的取值范 围是什么呢？
C
tanα> 0
ＡA α
BB
小测验
∠B=900
1、如图，在△ABC中，若AB=10，BC=6，
求sinA的值。
B
10
6
A
C
小测验
A
2.如图:在等腰△ABC
中,AB=AC=5,BC=6.
5
5
求: sinB,cosB,tanB. B
┌ 6D
C
3.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20, sin A 4 .
sinD=__3_/5__ cosD=__4_/5__• tanD=__3_/4__
F
4 3
tanE=__4_/_3_ D
5Байду номын сангаас
E
sinE=__4_/_5_
cosE=__3_/_5_
变式一：
如图,在Rt△DEF中, ∠F=90°，
EF︰DE = 3︰5
sinD=__3_/5__ cosD=__4_/5__• tanD=__3_/4__
弦和余弦； （2）用关于a，b，c
的代数公式表式示用tan的A和哦ta！nB；
（3）观察以上结果你能发现什么结论？
当∠A+∠B=90°时,
sinA=cosB, cosA=sinB,
tanA=
sinA cosA
sin2A+cos2A=1
tanA·tanB= （注：sin2A表示sinA的平方）
公式应用：
33
tan B CD 3 BD 2
BD
3 2 2 3
AB AD BD 3 2 5
D
B
构造直角三 角形，利用 锐角三角函 数，进行边 角转化
随堂练习
驶向胜利 的彼岸
1、计算: (1)sin600-cos450;(2)cos600+tan600;
怎样 做？
初三数学锐角三角函数
初三数学锐角三角函数中考要求中考要求模块一 三角函数基础一、锐角三角函数的定义如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c=．（2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b=． 注意：①正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．二、特殊角三角函数a A这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！ 三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan aA b=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，． 四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A= 2．互余角三角函数关系：(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B <【例1】 已知在ABC △中，A B ∠∠、是锐角，且5sin tan 22913A B AB cm ===，，，则ABC S =△ ．【巩固】如图，点A 在半径为R 的O 上，以A 为圆心，r 为半径作A ，设O 的弦PQ 与A 相切，求证PA QA ⋅为定值．【例2】 求tan1tan2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒的值【巩固】化简：22sin cos sin 1tan sin cos αααααα++--【例3】已知tan α1）221cos sin cos 1sin cos sin a ααααα-+-+，（2090α︒<<︒）．【巩固】已知tan 2α=，求4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+．【例4】 已知α为锐角，且22sin 5cos 10αα-+=，求α的度数． OQPA【巩固】若α为锐角，且22cos 7sin 50αα+-=，求α的度数．【例5】 已知sin cos αα+（α为锐角），求作以1sin α和1cos α为两根的一元二次方程．【巩固】若方程222210x ax a -+-=的一个根是sin α，则它的另一个根必是cos α或cos α-．【巩固】已知：ABC △中，方程2(sin sin )(sin sin )(sin sin )0B A x A C x C B -+-+-=的两根相等，求证60B <︒．【巩固】在ABC △中，60A =︒，最大边与最小边的边长分别是方程2327320x x -+=的两个根，求ABC △的外接圆半径和内切圆的面积．【例6】 若0°<θ<30°，且1sin 3km θ=+(k 为常数，且k <0)，则m 的取值范是 ．模块二 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=； （4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A=等． 四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来cb aC BA（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等． 七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． （3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．【例7】 如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的A B ，两层，甲在A 层测得电视塔塔顶D 的仰角为α，塔底C 的俯角为β，乙在B 层测得塔顶D 的仰角为θ，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知A B ，之间的高度差为a ，求电视塔高CD（用含a αβθ，，，的代数式表示）图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线【例8】一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由1:0.75改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．（1）求整修后背水坡面的面积；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？【例9】如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60︒方向上，港口D在港口A 北偏西60︒方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30︒的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B处测得港口C在B处的南偏东75︒方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．DC BA【巩固】海面上B 处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方C 时，在驶向正西方的目的地A 处，且200CA CB ==海里，在AB 中点O 处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？（路程保留整数海里，角度精确到度）课堂检测1． （辽宁竞赛）如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB (见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺．（1）请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB 的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上（所测的距离用m ，n 表示，角用α，β表示，测倾器高度忽略不计）；（2）根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB (用字母表示)．2． 化简：222tan1tan 2....tan89sin 1sin 2...sin 89︒⋅︒︒︒+︒++︒3． 如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）或绕定点P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持''AP A P BP B P ==，）．通过向下踩踏点A 到'A （与地面接触点）使点B 上升到点'B ，与此同时传动杆BH 运动到''B H 的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点'H ，从而使桶盖打开一个张角'HDH ∠．如图3，桶盖打开后，传动杆''H B 所在的直线分别与水平直线AB DH 、垂直，垂足为点M C 、，设''H C B M =．测得6cm 12cm '8cm AP PB DH ===，，．要使桶盖张开的角度'HDH ∠不小于60︒，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字）课后作业1． 化简求值：1sin 1sin 1cos 1cos 1sin 1sin 1cos 1cos αααααααα⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪⎪ ⎪⎪+-+-⎝⎭⎝⎭（090α︒<<︒）2． 若045α︒<<︒，且3sin cos 716αα=，求sin α的值． 图3图2C MAA'P BB'HDH'H'DHB'BPA'A（图1）3． （2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）．如图①在ABC △中，AB AC =，顶角A 的正对记作sadA ，这时=BCsadA AB=底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）60sad ︒= ．（2）对于0180A ︒<<︒，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 ． （3）如图②，已知3sin 5A =，其中A ∠为锐角，试求sadA 的值．图②图①C BAC B A。
中考数学-锐角三角函数(解析版)
知识点一：锐角三角函数 1．三角函数定义 在 Rt△ABC 中，若∠C=90°
sin A A的对边 a
斜边
c
A的邻边
b
cos A
斜边
c
A的对边
a
tan A A的邻边 b
A的邻边
b
cot A A的对边 a
2.同角三角函数的关系
（1）平方关系： sin2 Acos2 A1
（1）三边之间的关系为 a2 b2 c2 （勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
2.其他有关公式
（1）
S
1 2
ab sin C
=
1 2
bc sin
A
=
1 2
ac sin
B
（2）Rt△面积公式：
S
1 2
ab
1 2
ch
（3）直角三角形外接圆的半径
R c 2
，内切圆半径
r abc 2
结论：直角三角形斜边上的高 h ab c
3.实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母 i 表示，即 i h . l
见问题，这也是以后中考命题的趋势。 5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在 解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
初中数学 什么是锐角三角函数
初中数学什么是锐角三角函数锐角三角函数是指在单位圆上所定义的三角函数，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学和几何中具有重要的应用和性质。
在本文中，我们将详细介绍锐角三角函数的定义、性质和应用。
1. 正弦函数（Sine Function）：正弦函数是在单位圆上定义的一个周期函数。
在锐角三角函数中，正弦函数表示三角形中对边与斜边的比例关系。
正弦函数的定义如下：sin(θ) = 对边/斜边2. 余弦函数（Cosine Function）：余弦函数也是在单位圆上定义的一个周期函数。
在锐角三角函数中，余弦函数表示三角形中邻边与斜边的比例关系。
余弦函数的定义如下：cos(θ) = 邻边/斜边3. 正切函数（Tangent Function）：正切函数是正弦函数和余弦函数的比值，也是在单位圆上定义的一个周期函数。
在锐角三角函数中，正切函数表示三角形中对边与邻边的比例关系。
正切函数的定义如下：tan(θ) = 对边/邻边4. 锐角三角函数的性质：-周期性：锐角三角函数是周期函数，其周期为360度或2π弧度。
-奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。
-定义域和值域：正弦函数和余弦函数的定义域是实数集合R，值域是[-1, 1]；正切函数的定义域是除了其奇点（kπ+π/2，其中k为整数）的实数集合R，值域是全体实数集合R。
5. 锐角三角函数的应用：锐角三角函数在数学和几何中有广泛的应用，特别是在三角学和解析几何中。
-三角恒等式：锐角三角函数满足许多重要的三角恒等式，如正弦函数和余弦函数的平方和恒等于1，正切函数与正弦函数和余弦函数的关系等。
-角度的计算：通过锐角三角函数，可以计算给定三角形的角度大小。
-三角函数图像：通过绘制锐角三角函数的图像，可以帮助我们直观地理解三角函数的性质和变化规律。
通过以上介绍，我们了解了锐角三角函数的定义、性质和应用。
熟练掌握锐角三角函数的概念和性质，对于理解和解决与三角函数相关的数学问题至关重要。
中考复习： 锐角三角函数
中考复习：锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）1、定义：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sinc ）， 记作sin A ，即sin A aA c∠==的对边斜边。
把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cos A ，即；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tan A ，即。
锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle ）。
当锐角A 的大小确定时，∠A 的对边与斜边的比（正弦）、∠A 的邻边与斜边的比（余弦）、∠A 的对边与邻边的比（正切）分别是确定的。
2、增减性：在0°到90°之间，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦随着角度的增大而减小。
3、取值范围：当∠A 为锐角时，三角函数的取值范围是：0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0。
4、互余两角的函数关系：如果两角互余，则其中一有的正弦等于另一角的余弦，即：若α是一个锐角，则sin α=cos （90°-α），cos α=sin （90°-α）。
5、正、余弦的平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。
二、300、450、600的正弦值、余弦值和正切值如下表：三、解直角三角形bcos c A A ∠==的邻边斜边atan bA A A ∠=∠的对边＝的邻边C ∠A 的邻边b∠A 的对边a在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。
1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：（1）边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝b a。
锐角三角函数
初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理：直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+ 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：定 义表达式 取值范围 关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α＝sin cos αα，cot α＝cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意：（1）正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）sinA 不是sin 与A 的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。
“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。
例题:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a =1，b =2，则cosA =________ ，tanA =_________．2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB =5，BC =3，则sinA =________ ，tanA =_________．3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A =300，b =4，则a =__________，c =__________4.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（ ） A ．1010B ．23 C ．34D ．310105.在△ABC 中，∠C =90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（ ）A .a =c ·sinAB ．b =c ·cosBC ．b =a ·tanBD ．a =b ·tanA6.在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B .a .b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B .b .c .7.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34D ．45练习:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA =53，则cosB =_________． 2.已知cosA =23，且∠B =900-∠A ，则sinB =__________． 3.∠A 为锐角，已知sinA =135，那么cos (900-A)=___________ ． 4.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =（ ） A ．43 B ．34 C ． 53 D ．54 5.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA =22，则cosB 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．1D ．22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42，而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02；30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31，而它们的余切值分别是31.22.13。
锐角函数表
初中锐角三角函数公式表公式有如下几个：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]；sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]；cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]；cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]；cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2；sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2；cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2 。
锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
如图：我们把锐角∠A的正弦、余弦、正切和余切都叫做∠A的锐角函数。
锐角三角函数值都是正值正弦。
（sin）等于对边比斜边；余弦（cos）等于邻边比斜边；正切（tan）等于对边比邻边；余切（cot）等于邻边比对边；正割（sec)等于斜边比邻边；余割(cs c)等于斜边比对边。
扩展资料1、同角三角函数间的关系·平方关系：sin^2(A)+cos^2(A)=1·积的关系：sinA=tanA·cosAcosA=cotA·sinAcotA=cosA·cscAtanA·cotA=1·倒数关系：直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,余切等于邻边比对边3、三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,当角度在0°<∠A<90°间变化时，tanA>0, cotA>0.特殊的三角函数值0°30°45°60°90°0 1/2 √2/2 √3/2 1 ←sinA1 √3/2 √2/2 1/2 0 ←cosA0 √3/3 1 √3 None ←tanANone √3 1 √3/3 0 ←cotA。
初中锐角三角函数及应用
初中锐角三角函数及应用锐角三角函数是指角度小于90度的三角函数，包括正弦、余弦和正切。
这些函数在数学和物理学中有着广泛的应用。
首先，我们来介绍一下锐角三角函数的定义和性质。
在一个直角坐标系中，对于一个锐角ABC（角A小于90度）, 我们可以定义正弦函数sinA 为点B的纵坐标除以斜边AC的长度，余弦函数cosA 为点B的横坐标除以斜边AC的长度，正切函数tanA 为点B的纵坐标除以横坐标。
其中，sinA、cosA和tanA都是角A的函数。
这些函数有许多重要的性质。
首先，它们的定义域都是锐角的正数集合，即(0,90)。
其次，它们的值域都是(-1,1)，即在定义域内，这些函数的值都在-1到1之间变化。
此外，正弦函数和余弦函数还具有周期性，周期为360度或2π弧度。
也就是说，对于一个锐角A，sin(A+360k) = sinA，cos(A+360k) = cosA，其中k 为整数。
在应用方面，锐角三角函数有着广泛的作用。
首先，它们被广泛应用于三角计算。
例如，我们可以利用正弦定理或余弦定理，通过已知边和角来求解三角形的其他未知边和角。
这在测量、建筑、工程等领域都有着重要的应用。
其次，锐角三角函数在物理学中也有着重要的应用。
例如，对于一个斜抛运动的物体，我们可以利用正弦函数和余弦函数来分析其垂直和水平方向上的运动。
它们可以帮助我们计算物体的落点、飞行时间、最大高度等。
另外，锐角三角函数还与周期函数和图像有着密切的关系。
它们的图像可以通过函数的周期性来得到。
例如，正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，具有对称性和单调性，而余弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，也具有对称性和反单调性。
此外，锐角三角函数还与三角恒等式有着重要的联系。
三角恒等式是指对于锐角A和B，成立的恒等关系。
利用三角恒等式，我们可以化简复杂的三角函数表达式，简化计算过程。
总的来说，锐角三角函数是数学中一类重要的函数，具有广泛的应用。
它们不仅在三角计算和几何题目中有着重要作用，还与物理学、周期函数和三角恒等式等有着紧密的联系。
初中锐角三角函数
初中锐角三角函数正弦函数是指在锐角三角形中，对于任意角度A，正弦函数的值等于以A为角度的对边与斜边的比值。
正弦函数用符号“sin”表示。
余弦函数是指在锐角三角形中，对于任意角度A，余弦函数的值等于以A为角度的邻边与斜边的比值。
余弦函数用符号“cos”表示。
正切函数是指在锐角三角形中，对于任意角度A，正切函数的值等于以A为角度的对边与邻边的比值。
正切函数用符号“tan”表示。
这三个函数在数学中非常重要，应用广泛。
正弦函数和余弦函数的性质很相似。
它们的取值范围都在-1到1之间。
对于一个锐角三角形，从其中一条边的两个特定点A和B出发，我们可以定义经过点A和点B的直线与垂直边之间的夹角为θ，那么sinθ就等于点B到垂直边的距离与斜边的长度之比，cosθ等于点A到垂直边的距离与斜边的长度之比。
正切函数的性质则略有不同。
它的取值范围是正负无穷大。
其中，tanθ等于点B到垂直边的距离与点A到垂直边的距离的比值。
如果θ接近于90度（对应锐角三角形中的直角），tanθ的值将趋于无穷大。
初中锐角三角函数的运用非常广泛。
在几何学中，可以通过锐角三角函数来求解各种三角形的边长和角度大小。
在物理学和工程学中，锐角三角函数也被广泛用于计算机绘图、声音和光学等领域。
此外，在三角函数的应用中，人们还会用到其它一些相关的概念和运算，如正弦定理、余弦定理等。
总之，在中学教育中，锐角三角函数被认为是数学的基础知识之一、它的运用不仅帮助我们理解和解决各类几何问题，也为我们打开了更深入的数学和科学方面的研究之门。
通过掌握锐角三角函数的定义和性质，我们可以更好地理解三角学的概念和方法，并将它们应用到实际生活和学术领域中。
无论是数学还是物理、工程领域，锐角三角函数都是不可或缺的基础知识。
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数是初中九年级数学中的一个重要内容，其中包括对正弦、余弦和正切函数的理解和应用。
下面是对锐角三角函数知识点的详细总结：1.三角函数的定义：- 正弦函数（sin）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与斜边的长度的比值。
- 余弦函数（cos）：对于单位圆上的一个角，其邻边的长度与斜边的长度的比值。
- 正切函数（tan）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与邻边的长度的比值。
2.锐角的定义：锐角是角度在0°到90°之间的角。
3.单位圆：单位圆指半径长度为1的圆，锐角三角函数可以通过单位圆来定义和理解。
4.三角函数的图像：正弦函数、余弦函数和正切函数的图像可以通过将单位圆绕过原点旋转得到。
5. 正弦函数（sin）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：sin0° = 0, sin30° = 1/2, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2, sin90° = 1-图像特点：关于y轴对称6. 余弦函数（cos）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：cos0° = 1, cos30° = √3/2, cos45° = √2/2,cos60° = 1/2, cos90° = 0-图像特点：关于x轴对称7. 正切函数（tan）的特点：-定义域：(0°,90°)或(0,π/2)-值域：R（实数集）-周期：180°或π- 特殊值：tan30° = 1/√3, tan45° = 1, tan60° = √3, tan90° = 不存在（无限大）-图像特点：周期性递增8.三角函数之间的关系：- 正弦函数和余弦函数的关系：sinθ = cos(90° - θ)- 正切函数与正弦、余弦函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ9.锐角三角函数的应用：-通过正弦函数、余弦函数和正切函数可以求解三角形的边长和角度大小。
初中数学锐角三角函数
它们统称为∠A 的锐角三角函数
锐角三角函数
考点2 特殊角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
30°
1
3
3
2
2
3
45°
2
2
1
2
2
60°
3 2
1 2
3
锐角三角函数
考点3 解直角三角形
解直角三角 在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即 3 条边和 2 个锐角，由直角三 形的定义 角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形
锐角三角函数
[方法点析] 利用三角形的高，将非直角三角形转 化为直角三角形，是解直角三角形常用的方法．
回归教材
直角坐标系中的锐角三角函数
教材母题 如图 22－2，在所示的直角坐标系中，
P 是第一象限的点，其坐标是(3，y)，且 OP 与 x 轴的正半轴的夹角 α 的正切值是43，求：
(1)y 的值； (2)角 α 的正弦值．
锐角三角函数
┃ 锐角三角函数
考点聚焦
考点1 锐角三角函数的定义
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b
∠A 的正弦 sinA＝∠A斜的边对边
∠A 的余弦 cosA＝∠A斜的边邻边
∠A 的正切 tanA＝∠∠AA的的对邻边边
a ＝____c____
b ＝____c____
a ＝___b_____
(4)sin2A＋cos2A＝1 (5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1(0°＜∠A＜90°) (1)已知斜边和一个锐角； 解直角三角 (2)已知一直角边和一个锐角； 形的题目 (3)已知斜边和一直角边； 类型 (4)已知两条直角边